45 И. Л. Александрова, Н. Б. Плещинский ПРОВОДЯЩИЙ

№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
УДК 517.958
И. Л. Александрова, Н. Б. Плещинский
ПРОВОДЯЩИЙ ТОНКИЙ ЭКРАН В ВОЛНОВОДНОЙ
СТРУКТУРЕ: ЗАДАЧА ДИФРАКЦИИ
И ЗАДАЧА ТРАНСМИССИИ1
Аннотация. Задача дифракции и задача трансмиссии электромагнитной волны
на идеально проводящем тонком экране в плоском волноводе сведены к парному сумматорному функциональному уравнению относительно коэффициентов разложения искомой волны в ряд Фурье. Парное уравнение равносильно
бесконечной системе линейных алгебраических уравнений, которая решается
методом усечения. Предложена вычислительная схема для решения задачи
трансмиссии в случае, когда экран находится в открытом пространстве.
Ключевые слова: электромагнитные волны, задача дифракции, задача трансмиссии, плоский волновод, волны в открытом пространстве, интегральные
уравнения.
I. L. Aleksandrova, N. B. Pleshchinskiy
THIN CONDUCTING SCREEN IN A WAVEGUIDE
STRUCTURE: THE PROBLEM OF DIFFRACTION
AND THE PROBLEM OF TRANSMISSION
Abstract. The diffraction problem and the transmission problem for an electromagnetic wave on a thin conducting screen in a plane waveguide are reduced to a paired
summatory functional equation with respect to coefficients of the Fourier expansion.
The paired equation is equivalent to an infinite set of linear equations. This set is
solved by the truncation method. The authors obtain a computational scheme for
solving the transmission problem on the screen in the open space.
Key words: electromagnetic waves, diffraction problem, transmission problem,
plane waveguide, waves in open space, integral equations.
1. Постановка задач
Как правило, любая электромагнитная волна в волноводной структуре
может быть представлена в виде суммы двух волн противоположной ориентации. Будем говорить, что в случае среды без потерь волна ориентирована
положительно (прямая волна), если она переносит энергию или затухает
в направлении оси волновода. Волна отрицательной ориентации (обратная
волна) переносит энергию или затухает в противоположном направлении.
Пусть в волноводе имеется неоднородность конечного размера, например,
диэлектрическая вставка или проводящее тело. Если на неоднородность набегают приходящие с бесконечности электромагнитные волны, причем в общем
случае с двух сторон, то появляется дифрагированное поле – волны, уходящие от неоднородности на бесконечность. Таким образом, в общем случае
в процессе дифракции участвуют четыре волны: две волны, положительно и
отрицательно ориентированные, с одной стороны от неоднородности и две
волны, также разной ориентации, с другой стороны.
1
Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект 12-01-97012-р_поволжье_а.
Physics and mathematics sciences. Mathematics
45
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Задача дифракции электромагнитных волн на неоднородности в волноводной структуре ставится так: по набегающим на неоднородность волнам
нужно найти уходящие от нее волны. Назовем задачей трансмиссии следующую задачу: по электромагнитному полю с одной стороны от неоднородности
нужно найти поле с другой ее стороны (лат. transmissio – передача, переход).
Можно рассматривать две равноправные задачи трансмиссии: или по
полю с одной стороны от неоднородности ищется поле с другой стороны, или
наоборот. У задачи дифракции, вообще говоря, также есть пара – задача, когда по уходящему от неоднородности полю нужно восстановить набегающие
на нее волны. Отметим, что и задача дифракции, и задача трансмиссии ставятся как задачи сопряжения для уравнений электродинамики, но имеется
существенное отличие: в первом случае нужно найти их решения в двух областях, удовлетворяющие некоторым условиям на общей границе, а во втором – в одной и той же области, но решения разной ориентации.
Задачи дифракции электромагнитных волн на идеально проводящих
тонких экранах относятся к классическим задачам электродинамики (см.,
например, [1], гл. IV, § 2). Близкими к ним по постановке и по методам исследования являются задачи дифракции на отверстиях в экранах, а также так
называемые задачи «о связи объемов через отверстие». Первое (и фактически
единственное) явное решение задачи дифракции на идеально проводящей полуплоскости получил А. Зоммерфельд. Морс и Рубинштейн [2] построили решение задачи дифракции на ленте в виде ряда по функциям Матье как предельный случай решения задачи дифракции на проводящем эллиптическом цилиндре. Приближенное решение задачи дифракции на ленте и щели, основанное на
функциональном уравнении Винера – Хопфа, дано в книге Б. Нобла [3]. Монография А. С. Ильинского и Ю. Г. Смирнова [4] посвящена аналитическому
исследованию векторных электродинамических задач на незамкнутых проводящих тонких поверхностях. Теория разрешимости соответствующих краевых задач построена методами теории псевдодифференциальных операторов.
В данной работе исследуется случай, когда неоднородность представляет собой идеально проводящую бесконечно тонкую пластину (экран), расположенную на поперечном сечении волноводной структуры. Будем обозна
чать через M экран, на котором w0 ( x) = u0 ( x) , и через N – оставшуюся
часть сечения (дополнение для M ), где w1 ( x) = 0 . Как обычно, предельные

значения (следы) компонент электромагнитного поля: w0 ( x) = u0 ( x) на M ;
w1 ( x) = 0 на N , должны удовлетворять условиям: на M касательные составляющие электрического вектора обращаются в нуль, а на N касательные
составляющие электрического и магнитного вектора непрерывны.
Рассматриваются две простые волноводные структуры: плоский волновод и открытое пространство (рис. 1). Предполагается, что составляющие
гармонически зависящего от времени электромагнитного поля не зависят от
поперечной координаты y декартовой системы координат. В этом случае,
как известно, компоненты TE- или TM-поляризованных волн выражаются через потенциальную функцию – решение двумерного уравнения Гельмгольца.
Следовательно, следы компонент поля на сечении волноводов выражаются
через следы потенциальной функции и ее нормальной (по отношению к сечению) производной. В дальнейшем эти следы будем помечать нижними
46
University proceedings. Volga region
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
индексами 0 и 1, будем называть их нулевым и первым следами волны соответственно.
Рис. 1. Проводящий тонкий экран в плоском волноводе и в открытом пространстве
Ограничимся случаем, когда электромагнитное поле TE-поляризовано.
Также предположим, что волноводные структуры слева и справа от экрана
заполнены одной и той же однородной изотропной средой без потерь.
2. Электромагнитные волны в плоском волноводе
В случае TE-поляризации поля потенциальная функция u ( x, z ) –
решение уравнения Гельмгольца
 2u
x 2

 2u
z 2
 k 2 u ( x, z ) = 0 –
(1)
должна обращаться в нуль при x = 0 и при x = a . Так как функции
2
nx
sin
, n = 1, 2, ,
a
a
sn ( x) =
образуют полную ортонормированную систему функций на отрезке [0, a] , то
любое решение однородной краевой задачи для уравнения (1) в полосе имеет
вид
  un e

u ( x, z ) =

 i n z  i  n z
 un e
sn ( x),
n =1
(2)


где un и un – некоторые постоянные;  n – такие числа, что
2
 n 
 n2    = k 2 .
 a 
Условимся, что Re n > 0 или Im n < 0 . Тогда при зависимости от

времени вида eit слагаемые с коэффициентами un соответствуют волнам

положительной ориентации, а с коэффициентами un – волнам отрицательной
ориентации. Ситуация, когда  n = 0 (волны нулевой ориентации) здесь не
рассматривается.
Physics and mathematics sciences. Mathematics
47
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
u
( x,0) – следы волны на сечении z = 0
z
волновода. Будем обозначать u0,n и u1,n коэффициенты Фурье этих следов
Пусть u0 ( x) = u ( x,0), u1 ( x) =
относительно системы функций sn ( x) . Легко получить следующее утверждение.
Лемма 1. Электромагнитная волна в плоском волноводе положительно ориентирована тогда и только тогда, когда
u1,n  i  n u0,n = 0, n = 1, 2, ,
(3)
или когда
a
a


u1 ( x) = u0 (t ) K1 (t , x) dt , или u0 ( x) = u1 (t ) K 1 (t , x) dt ,
0
(4)
0
где
K1 (t , x) = i


n =1
 n sn (t ) sn ( x), K 1 (t , x) = i

1
  n sn (t )sn ( x).
(5)
n =1
Заметим, что равенства (4) представляют собой нелокальные граничные
условия, связывающие друг с другом нулевой и первый следы волны в плоском волноводе. Их можно рассматривать как пару обращающих друг друга
интегральных уравнений.
Ядро K 1 (t , x) имеет логарифмическую особенность на диагонали
области определения, а ядро K1 (t , x) – гиперсингулярное. Сходимость рядов
в формулах (2) и (5) в общем случае, так же как и некоторые равенства,
следует понимать в обобщенном смысле.
Для отрицательно ориентированных волн в формулах (3)–(5) нужно
поставить другой знак перед постоянными  n .
Лемма 2. Ориентированная волна в плоском волноводе однозначно
определяется по одному своему следу на сечении волновода. Неориентированная волна однозначно определяется по двум своим следам.
Действительно, если на сечении z = 0 однородного плоского волновода
заданы функции (в общем случае – распределения) u0 ( x) и u1 ( x) , то при
любом n коэффициенты представления (2) находятся из системы уравнений




un  un = u0,n ,  i  n un  i  nun = u1,n . Для ориентированной волны для
каждого n остается только одно уравнение.
Утверждение леммы остается в силе для любого сечения плоского волновода, а также для полубесконечного волновода, поскольку потенциальная функция поля в полуполосе естественным образом продолжается на всю полосу.
3. Плоский волновод. Сумматорные уравнения
Пусть на экран в плоском волноводе набегает слева электромагнитная

волна с потенциальной функцией u ( x, z ) . При ее дифракции появляются волны, отраженные влево и прошедшие вправо; их потенциальные функции обо

значим u ( x, z ) и v ( x, z ) .
48
University proceedings. Volga region
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика


Будем искать v ( x, z ) = u ( x, z )  w( x, z ) , где w( x, z ) – возмущение от
экрана потенциальной функции. Тогда граничные условия и условия сопряжения на сечении волновода имеют вид



u0 ( x)  u0 ( x) = 0, u0 ( x)  w0 ( x) = 0 на M ;


u0 ( x) = w0 ( x), u1 ( x) = w1 ( x) на N .
(6)
Теорема 1. Задача дифракции электромагнитной волны на экране
в плоском волноводе эквивалентна бесконечной системе линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) относительно коэффициентов Фурье функции w( x)
 wk 


 n wn
n =1


1

I n,m J m,k =
un I n,k , k = 1, 2, ,

m =1 m
n =1


(7)
где
I n ,m =
 sn (t )sm (t ) dt ,

J m,k = sm (t ) sk (t ) dt.
M
(8)
N

Доказательство. Из равенств (6) следует, что u0 ( x) = w0 ( x) всюду на

[0, a] и un = wn , n = 1, 2, Поэтому числа wn должны удовлетворять парному сумматорному функциональному уравнению (ПСФУ)


wn sn ( x) = 
n =1



un sn ( x) на M ,
n =1

  n wn sn ( x) = 0 на N .
(9)
n =1
Преобразуем ПСФУ к БСЛАУ с помощью интегрально-сумматорного
тождества
a  

  1


wn sn ( x) =
 n wn sn (t ) 
sm (t ) sm ( x)  dt ,



n =1
 m=1  m

0  n =1



x  [0, a].
(10)
Из тождества (10) следует, что на N


n =1
wn sn ( x) =
 
  1

  n wn sn (t ) 
sm (t ) sm ( x)  dt 



 m=1  m

M  n =1
 




n =1
m =1
1
  n wn   m sm ( x) I n,m .
(11)
Спроектируем новое парное уравнение (первое равенство из (9) и равенство (11)) на функции sk ( x) и получим БСЛАУ (7). #

При решении задачи дифракции по un из БСЛАУ нужно найти wn ,



тогда vn = un  wn и un = wn , n = 1, 2, Отметим, что интегралы (8) вычисляются аналитически, причем все рассуждения легко перенести на ситуацию,
когда M – не один экран на сечении волновода, а несколько таких экранов.
Physics and mathematics sciences. Mathematics
49
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Аналогичным образом рассматривается задача дифракции в случае, когда волна от внешнего источника набегает на экран справа или когда заданы


две волны с потенциальными функциями u ( x, z ) и v ( x, z ) . При этом в БСЛАУ
(7) изменятся правые части уравнений, но не матрица коэффициентов. Поэтому
разделять общую задачу дифракции на две подзадачи не имеет особого смысла.
Задача трансмиссии в общей постановке также может быть разделена
на две подзадачи. Действительно, если заданы потенциальные функции


v ( x, z ) и v ( x, z ) , то по первой из них можно найти решение задачи дифрак

ции – волну u'( x, z ) , прошедшую влево, и волну v'( x, z ) , отраженную вправо.


Затем по разности v ( x, z )  v'( x, z ) нужно восстановить приходящую справа


волну u ( x, z ) и второе слагаемое u ''( x, z ) в потенциальной функции волны,
уходящей влево. Такое упрощение задачи трансмиссии целесообразно.

Итак, при решении упрощенной задачи трансмиссии по vn нужно

найти un , но для этого можно использовать ту же самую БСЛАУ (7). Доста

точно заменить в правой части коэффициенты un на vn  wn . Отметим, что

числа vn не могут быть заданы произвольно. Должно быть выполнено условие


 vn sn ( x) = 0 на M .
n =1
Теорема 2. Задача трансмиссии электромагнитных волн на экране
в плоском волноводе эквивалентна БСЛАУ
 wk 


 n wn
n =1



1

I n, m J m,k 
I n,k wn =
vn I n,k , k = 1, 2,

m =1 m
n =1
n =1



(12)
4. Плоский волновод. Вычислительный эксперимент
Приближенное решение БСЛАУ (7) может быть получено методом
усечения. В конечномерной СЛАУ
 wk 
K

 n wn
n =1
L
K
1

I n,m J m,k = I n,k un , k = 1.. K ,

m =1 m
n =1


(13)
присутствуют два параметра усечения K и L .
Задача дифракции. Численное решение СЛАУ (13) легко находится,
например, методом Гаусса.
Можно искать одновременно и вектор w = ( w1 , , wK ) , и вектор
 

v = (v1 , , vK ) , если удвоить число неизвестных и число уравнений, т.е. добавить к соотношениям (12) уравнения


 wk  vk = uk , k = 1..K .
(14)

Задача трансмиссии. Если заданы значения vn и нужно определить wn

и un , то проще всего переписать уравнения (13), (14) следующим образом:
 wk 
K

n =1
50
 n wn
L
K
1



I n ,m J m,k 
I n,k un = 0, wk  uk = vk .

m =1 m
n =1


(15)
University proceedings. Volga region
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
Если в качестве исходных данных в задаче трансмиссии использовать

приближенное решение задачи дифракции, то вектор u может быть восстановлен с достаточной точностью при относительно малых размерах экрана.
При увеличении экрана результат становится хуже, но можно компенсировать потерю точности за счет увеличения параметра L . Аналогичный эффект
наблюдается, если вместо (15) рассматривать СЛАУ вдвое меньшей размерности
 wk 
K

n =1
 n wn
L
K
K
1

I n ,m J m,k 
I n,k wn =
I n,k vn , k = 1. . K ,

m =1 m
n =1
n =1



(16)
которая является усечением БСЛАУ (12) или выводится непосредственно
из (13).
Вычислительный эксперимент показал, что решение задачи трансмиссии устойчиво по отношению к достаточно малым возмущениям исходных
данных.
Приведем простые рассуждения, уточняющие связь между задачей дифракции и задачей трансмиссии. Если задача дифракции (прямая задача) сво
дится к операторному уравнению вида Aw = Bu , то при решении задачи
трансмиссии (обратной задачи) нужно искать вектор w так, чтобы получи 
лось w  u = v . Тогда новое уравнение для определения w имеет вид

( A  B ) w = Bv . Следовательно, задача трансмиссии может быть решена численно примерно с той же точностью, что и задача дифракции, если при возмущении оператора A оператором B сохраняются его свойства.
Стабилизировать счет при решении задачи трансмиссии можно и с по
мощью следующего приема. Если известно, что у искомого вектора u по
следние компоненты должны быть равны нулю: un = 0 при n > K1 (здесь
K1 < K ), то эти равенства можно использовать при модификации алгоритма.
Нужно взять K1 первых уравнений из СЛАУ (16) и добавить к ним уравне
ния wk = vk , k = K1  1. . K .
Решение задачи трансмиссии можно получить также методом, который
часто используется при решении обратных задач. Выберем множество ли
нейно независимых векторов u j , j = 1. . K и найдем соответствующие им ре

шения v j задачи дифракции. Если векторы v j тоже линейно независимы, то

любой заданный вектор v можно разложить по этому базису. Если






v = 1v1    K v K , то решение задачи трансмиссии u = 1u1    K u K . Вычислительный эксперимент показал, что в этом случае результат тем лучше,
чем больше экран.
5. Волны в открытом пространстве
Открытое пространство (плоскость в двумерном случае) также является
волноводной структурой. Потенциальными функциями собственных волн являются решения уравнения Гельмгольца (1) вида u ( x, z ) = eix iz , если
2   2 = k 2 (в общем случае  и  – комплексные числа).
Physics and mathematics sciences. Mathematics
51
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Сузим класс допустимых решений уравнения Гельмгольца. Пусть при
каждом фиксированном значении z дважды дифференцируемая функция
u ( x, z ) как функция аргумента x имеет медленный рост на бесконечности (не
может возрастать быстрее, чем полином). Тогда в выражении u ( x, z ) = eix iz
параметр  может принимать только вещественные значения. Кроме того, у
неограниченной во всех направлениях волноводной структуры как бы появляются стенки, ось z становится ее осью, а прямые z = c – поперечными сечениями.
Будем рассматривать u ( x, z ) при фиксированном z как распределение
медленного роста на бесконечности. Применим интегральное преобразование
Фурье по переменной x   и получим из уравнения Гельмгольца дифференциальное уравнение
 2u
2
 (k 2  2 )u (, z ) = 0 (обобщенная производная
z
совпадает с классической). При    k общее решение этого уравнения
u (, z ) = c1 ()e i () z  c2 ()ei () z , где c1 (), c2 () – распределения медлен 2u
ного роста и  () = k 2  2  0 . При  =  k имеем
= 0 и, следовательz 2
но, u (, z ) = c1 ()  c2 () z .
Условимся, что или Re () > 0 , или Im () < 0 при    k . Тогда элементарная волна eix ei () z имеет положительную ориентацию по отношению к оси z , а волна e ix ei () z – отрицательную ориентацию. В случае
 =  k будем говорить, что элементарные волны имеют нулевую ориентацию.
Таким образом,
u ( x, z ) =
1
2

 c1 ()e

i  (  ) z
 c2 ()ei () z  e ix d ,

(17)
здесь распределение c1 () определяет волны положительной ориентации, а
распределение c2 () – волны отрицательной ориентации (по отношению
к оси z или к поперечному сечению волноводной структуры z = 0 ). «Лишнее» решение (при  =  k ) не зависит от z , u ( x, z ) = c1e ikx  c2 eikx . Такое решение нулевой ориентации не переносит энергию вдоль оси z и не затухает.
Утверждения о следах потенциальных функций на прямой z = 0 такие
же, как и в случае плоского волновода. Отличие в том, что они формулируются на языке образов Фурье следов волны.
Лемма 3. Электромагнитная волна в открытой плоскости положительно ориентирована тогда и только тогда, когда
u1 ()  i  ()u0 () = 0
(18)
или когда
52
University proceedings. Volga region
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика

u1 ( x) =
 u0 (t ) K1 (t , x) dt,

или u0 ( x) =

 u1 (t ) K1 (t , x) dt,
(19)

где
i
K1 (t , x) =
2

  ()e
i (t  x ) 

i
d , K 1 (t , x) =
2



1 i (t  x ) 
e
d .
 ()
Лемма 4. Ориентированная волна в открытой плоскости однозначно
определяется по одному своему следу на прямой z = 0 . Неориентированная
волна однозначно определяется по двум своим следам.
Действительно, положительно ориентированная волна восстанавливается по образу Фурье нулевого следа так:
u ( x, z ) =
1
2

 u0 ()e
i  () z ix
d .

Для волн отрицательной ориентации нужно изменить во всех формулах
знак у функции  () .
Если же заданы оба следа u0 ( x), u1 ( x) , то имеем СЛАУ для образов
Фурье следов слагаемых положительной и отрицательной ориентации




u0 ()  u0 () = u0 (), u1 ()  u1 () = u1 (),




u1 ()  i  ()u0 () = 0, u1 ()  i  ()u0 () = 0.
Открытая плоскость отличается от плоского волновода тем, что каждую волну в такой волноводной структуре однозначно определяет некоторое
распределение (образ Фурье следа потенциальной функции), а не дискретный
набор коэффициентов разложения по полной системе собственных волн (коэффициенты Фурье).
6. Экран в открытом пространстве.
Интегральные уравнения 1-го рода
Задача дифракции электромагнитной волны на проводящем тонком
экране в открытом пространстве может быть сведена к интегральным уравнениям различного вида. Удобно использовать связь между следами искомого
поля на поперечном сечении волноводной структуры. Наиболее просто получить интегральное уравнение 1-го рода с логарифмической особенностью
в ядре.
Пусть, как и в случае плоского волновода, на экран набегает слева

электромагнитная волна с потенциальной функцией u ( x, z ) . Будем искать по

тенциальные функции u ( x, z ) и v ( x, z ) волны, отраженной влево, и волны,


прошедшей вправо, причем так, что v ( x, z ) = u ( x, z )  w( x, z ) , где w( x, z ) –
возмущение от экрана. Как и в случае плоского волновода, должны быть выполнены условия
Physics and mathematics sciences. Mathematics
53
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион



u0 ( x)  u0 ( x) = 0, u0 ( x)  w0 ( x) = 0 на M ;


u0 ( x) = w0 ( x), u1 ( x) = w1 ( x) на N .
(20)
Теорема 3. Задача дифракции электромагнитной волны на экране
в открытой плоскости эквивалентна интегральному уравнению относительно первого следа возмущения от экрана

w1 (t ) K 1 (t , x) dt = u0 ( x), x  M ; w1 ( x) = 0 x  N .
(21)

M

Доказательство. Из условий (20) следует, что u0 ( x) = w0 ( x) и на N , и
на M . Тогда из равенства (18) и его аналога для волн отрицательной ориен

тации следует, что u1 ( x) = w1 ( x) . Поэтому w1 ( x) = u1 ( x) = 0 на N , и второе
из условий (19) принимает вид
w0 ( x) =
 w1 (t ) K 1 (t , x) dt.
(22)
M
Таким образом, для определения вспомогательной функции w( x, z )
в полуплоскости z > 0 имеем смешанные граничные условия

w0 ( x) = u0 ( x) на M ; w1 ( x) = 0 на N .
(23)
Эта задача, легко видеть, сводится к интегральному уравнению (21).
Заметим, что это уравнение – парное, его следует рассматривать как уравнение 3-го рода. #
При численном решении интегрального уравнения (21) удобно использовать метод Галеркина с разложением искомой функции по полиномам Чебышева 1-го рода с весом, если ширина ленты не более, чем длина волны.
Этот метод используется достаточно часто (см., например, [4, 5]), поэтому на
деталях мы не останавливаемся. Отметим только, что если M = [1,1] (этого
всегда можно добиться заменой переменных), то
w1 (t ) 
K
 ak
k =0
Tk (t )
1 t2
.
Вместо интегрального уравнения (21) можно рассматривать интегральное уравнение относительно образа Фурье w1 () первого следа w1 ( x ) . Действительно, непосредственно из равенства (18) следует, что
w0 ( x) =
1
2



i
w1 ()e ix d .
 ()
Тогда первое условие из (23) сводится к уравнению
1
2



i

w1 ()e ix d  = u0 ( x) на M .
 ()
(24)
Его решение должно быть таким, чтобы было выполнено и второе
условие из (23).
54
University proceedings. Volga region
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
Как известно, при преобразовании Фурье функции
Tk (t )
1 t
2
,
доопределенные нулем вне отрезка [1,1] , переходят в функции Бесселя,
а точнее, в функции
 k
(i ) J k ().
2
Поэтому приближенное решение интегрального уравнения (24) целесообразно искать в виде
w1 () 
 K
ak (i ) k J k ().
2 k =0

Как показал вычислительный эксперимент, при использовании метода
Галеркина в этом случае получаются те же самые значения коэффициентов ak .
Построим вычислительную схему для решения задачи трансмиссии
в случае, когда экран расположен в открытом пространстве. Предположим,
что образы Фурье следов волны, набегающей слева на экран, имеют ограниченный носитель, расположенный в пределах отрезка [  A, A] . Тогда
u0 ( x) =
1
2
A
 u0 ()e
ix
d .
A
В такой волне отсутствует часть элементарных гармоник, затухающих
в направлении оси z (возможно даже, что затухающие слагаемые вообще отсутствуют).
Выберем на [  A, A] конечную систему линейно независимых функций
 j (), j = 1. . L . Для каждой из них найдем
u0j ( x) =
1
2
A

j
()e ix d 
A
и построим приближенное решение интегрального уравнения (21), т.е. вектор
a j = (a0j ,, aKj ) , составленный из коэффициентов разложения функции
w1j (t ) по полиномам Чебышева с весом. В силу указанного выше соответствия между полиномами Чебышева и функциями Бесселя при преобразовании Фурье легко выписать коэффициенты разложения образа Фурье w1j ()
по функциям  j (), j = 1.. L . Так как w1j ()  i  () w0j () = 0 , то коэффициенты разложения по тем же функциям образа Фурье нулевого следа w0j () равны
Physics and mathematics sciences. Mathematics
55
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
bnj
K

a j (i )k
=i
2 k =1 k

A

A
1
J k ()n () d .
 ( )
Будем рассуждать на языке коэффициентов разложения по базисным
функциям образов Фурье нулевых следов волн, участвующих в волновом
процессе. Векторы из коэффициентов разложения прошедших вправо волн

v0j () получаются как суммы единичных векторов e j , соответствующих
следам u0j () =  j () набегающих слева волн, и векторов b j = (b0j , , bKj ) .
При этом векторы e j  b j будут линейно независимыми.

Если задан нулевой след v0 () волны справа от экрана, то соответствующий ему вектор коэффициентов разложения по функциям  j () запишем как линейную комбинацию векторов e j  b j с некоторыми коэффициентами  j . Тогда нулевой след искомого решения задачи трансмиссии имеет
вид
L
  j  j ().
j =1
Если в качестве исходных данных в задаче трансмиссии использовать
приближенное решение задачи дифракции, то коэффициенты разложения

функции u1 ( x) в ряд по полиномам Чебышева могут быть восстановлены
с достаточной точностью. Возмущение параметра A не влияет на результат.
Данный метод устойчив к небольшим возмущениям исходных данных.
7. Интегральные уравнения 2-го рода
Задача дифракции электромагнитной волны на экране в открытом пространстве может быть сведена также и к интегральным уравнениям 2-го рода.
Рассмотрим связи вида (19) между нулевым и первым следами потенциальной функции w( x, z ) с учетом граничных условий (23) – равенства (22) и

w1 ( x) = w0 (t ) K1 (t , x) dt  f1 ( x),
N

f1 ( x) = u0 (t ) K1 (t , x) dt.

(25)
M
Чтобы перейти к интегральным уравнениям 2-го рода, нужно исключить из формул (22) и (25) одну из искомых функций (см. [6], а также [7],
гл. 6).
В случае плоского волновода можно получить интегральное уравнение
точно того же вида, если рассуждать не на языке коэффициентов Фурье следов потенциальных функций, а на языке самих этих функций. Действительно,
ПСФУ (9) равносильно смешанным граничным условиям (23). Интегральносумматорное тождество (10) превращается во второе равенство (4), причем
интегрирование в этом равенстве проводится только по M в силу условия
w1 ( x) = 0 на N . Если выражение для w1 ( x ) из первого равенства (4) подставим в равенство (22), то получим
56
University proceedings. Volga region
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
a

 w0 () K1 (, t ) d   K 1 (t , x) dt


M0


при x  N . С другой стороны, w0 ( x) = u0 ( x) при x  M . Если это парное
уравнение спроектировать на функции sk ( x ) , то придем к БСЛАУ (7).
В случае плоского волновода регулярные БСЛАУ, эквивалентные задачам дифракции и трансмиссии, были равносильны интегральным уравнениям
2-го рода, заданным на всем сечении волноводной структуры. Покажем, как
для открытой плоскости можно свести задачу дифракции электромагнитной
волны на экране к регулярному интегральному уравнению на оси. Для этого
нужно принять во внимание, что в периодическом случае коэффициенты
Фурье функции заменяют ее образ Фурье, а сумма ряда Фурье – аналог обратного преобразования Фурье.
Как было установлено выше, возмущение w( x, z ) электромагнитного
поля справа от экрана определяется по смешанным граничным условиям (23)

w0 ( x) = u0 ( x) на M ;
w1 ( x) = 0 на N ,
w0 ( x) =
 
при этом для положительно ориентированной волны (см. вторую формулу
(19)) с учетом второго граничного условия

w0 ( x) =
 w1 (t ) K 1(t , x) dt =  w1 (t ) K 1 (t , x) dt.

M
Функции под знаком интеграла заменим на обратные преобразования
Фурье, и тогда на N
w0 ( x) =
 1 
 1  i i (t  x)

i t

i  (1 ) w0 (1 )e 1 d 1 
e 2
d 2  dt =
 2
 2  (2 )


M
 



1
=
2


 1  1

i x
e 2 I (2  1 ) d 2  d 1 ,
 (1 ) w0 (1 ) 
 2   ( 2 )


 



здесь и дальше
I ( ) =
e
it
dt ,
J () = eit dt.

M
N
Теперь перейдем к образу Фурье искомой функции. Имеем
w0 () =
1
2

 w0 ( x)e
ix
dx =

1
w0 ( x)e
2 
ix
dx 
M
1
w0 ( x)e
2 
N
ix
dx = 
1
2


  1

1

ix
 u0 ( x)e dx 
 (1 ) w0 (1 ) 
I (2  1 ) J (  2 ) d 2  d 1.
  ( 2 )

42 
M
 




Physics and mathematics sciences. Mathematics
57
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион


Выразим функцию u0 ( x) через ее образ Фурье u0 () и получим
  1

I (2  1 ) J (  2 ) d 2  d 1 = f (), (26)
 w0 () 
 (1 ) w0 (1 ) 
  ( 2 )

42 
 

1



  (, ),
1
f ( ) =
2


 u0 (1 ) I (  1 ) d 1.

Так как J (  2 ) = 2(2  )  I (  2 ) , то это интегральное уравнение можно переписать в виде

 w0 () 
 w0 (1 ) K (1, ) d 1 = f (),
  (, ),




1
1

 (1 ) 2
K (1 , ) =
I (  1 ) 
I (2  1 ) I (  2 ) d  2  .
 ( 2 )
  ( )

4 2



1

Можно перейти от интегрального уравнения к БСЛАУ, если подобрать
систему функций (распределений) на оси, по которым можно разлагать в ряды следы потенциальных функций всех участвующих в процессе дифракции
волн. Как известно, любое распределение умеренного роста на бесконечности
и его образ Фурье разлагаются в ряды по функциям Эрмита h j ( x) , причем
между коэффициентами разложений имеется простая связь.
Если
u0 () =

 u j h j (),
w0 () =
j =0

 w j h j (),
j =0
то


1
f ( ) =
uj
h j (1 ) I (  1 ) d 1.
2
j =0



Умножим обе части интегрального уравнения на hk () , проинтегрируем по оси и получим БСЛАУ
k wk 



w j K kj =
j =0
 u j f kj ,
k = 0,1,,
j =0
где

K kj =
  hk ()h j (1 ) K (1, ) d 1 d ,

58
University proceedings. Volga region
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
1
f kj =
2

  hk ()h j (1 ) I (  1 ) d 1 d .

Список литературы
1. Х е н л , Х . Теория дифракции / Х. Хенл, А. Мауэ, К. Вестпфаль. – М. : Мир,
1964. – 428 с.
2. M o r s e , P . M . The diffraction of waves by ribbons and by slits / P. M. Morse,
P. J. Rubinstein // Phys. Rev. – 1938. – V. 54, № 11. – P. 895.
3. Н о б л , Б. Метод Винера – Хопфа / Б. Нобл. – М. : ИЛ, 1962. – 280 с.
4. И л ь и н с к и й , А . С . Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких
экранах (Псевдодифференциальные операторы в задачах дифракции) / А. С. Ильинский, Ю. Г. Смирнов. – М. : ИПРЖР, 1996. – 176 с.
5. С м и р н о в , Ю . Г . Применение многочленов Чебышева к решению одномерных
интегральных уравнений типа потенциала / Ю. Г. Смирнов. – Пенза : Изд-во
Пенз. гос. тех. ун-та, 1994.
6. П л е щ и н с к и й , Н . Б. Уравнение Гельмгольца в полуплоскости и скалярные
задачи дифракции электромагнитных волн на плоских металлических экранах /
Н. Б. Плещинский. – Препринт ПМФ-03-02. Казань : Казанск. матем. об-во, 2003. –
30 с.
7. П л е щ и н с к и й , Н . Б. Модели и методы волноводной электродинамики : учеб.
пособие / Н. Б. Плещинский. – Казань : Казан. гос. ун-т, 2008. – 104 с.
References
1. K h e n l , K H . Teoriya difraktsii / KH. Khenl, A. Maue, K. Vestpfal'. – M. : Mir,
1964. – 428 s.
2. M o r s e , P . M . The diffraction of waves by ribbons and by slits / P. M. Morse,
P. J. Rubinstein // Phys. Rev. – 1938. – V. 54, № 11. – P. 895.
3. N o b l , B . Metod Vinera – Khopfa / B. Nobl. – M. : IL, 1962. – 280 s.
4. I l ' i n s k i y , A . S . Difraktsiya elektromagnitnykh voln na provodyashchikh tonkikh
ekranakh (Psevdodifferentsial'nyye operatory v zadachakh difraktsii) / A. S. Il'-inskiy,
YU. G. Smirnov. – M. : IPRZHR, 1996. – 176 s.
5. S m i r n o v , Y U . G . Primeneniye mnogochlenov Chebysheva k resheniyu
odnomernykh integral'nykh uravneniy tipa potentsiala / YU. G. Smirnov. – Penza : Izdvo Penz. gos. tekh. un-ta, 1994.
6. P l e s h c h i n s k i y , N . B . Uravneniye Gel'mgol'tsa v poluploskosti i skalyarnyye
zadachi difraktsii elektromagnitnykh voln na ploskikh metallicheskikh ekranakh /
N. B. Pleshchinskiy. – Preprint PMF-03-02. Kazan' : Kazansk. matem. ob-vo, 2003. –
30 s.
7. P l e s h c h i n s k i y , N . B . Modeli i metody volnovodnoy elektrodinamiki : ucheb.
posobiye / N. B. Pleshchinskiy. – Kazan' : Kazan. gos. un-t, 2008. – 104 s.
Александрова Ирина Леонидовна
ассистент, кафедра прикладной
математики, Казанский федеральный
университет (г. Казань,
ул. Кремлевская, 18)
Aleksandrova Irina Leonidovna
Assistant, sub-department of applied
mathematics, Kazan Federal University
(Kazan, 18 Kremlyovskaya str.)
E-mail: iralexand@ksu.ru
Physics and mathematics sciences. Mathematics
59
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Плещинский Николай Борисович
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
прикладной математики, Казанский
федеральный университет
(г. Казань, ул. Кремлевская, 18)
Pleshchinskiy Nikolay Borisovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of applied mathematics, Kazan Federal
Unversity (Kazan, 18 Kremlyovskaya str.)
E-mail: pnb@ksu.ru
УДК 517.958
Александрова, И. Л.
Проводящий тонкий экран в волноводной структуре: задача дифракции и задача трансмиссии / И. Л. Александрова, Н. Б. Плещинский //
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2013. – № 1 (25). – С. 45–60.
60
University proceedings. Volga region