ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №144 ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ ПРИ ПОМОЩИ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №144
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ
ПРИ ПОМОЩИ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА
Цель и содержание работы
Целью работы является изучение гармонических колебаний физического маятника.
Содержание работы состоит в опытном определении ускорения силы тяжести методом
оборотного маятника.
Краткая теория
Среди разнообразных физических явлений широко распространены колебательные
явления, обладающие, общими чертами и подчиняющиеся общим закономерностям, несмотря на различную природу колебательных процессов (например, механические и электрические колебания). Общая черта всех колебательных движений состоит в том, что они
представляют собой движения, многократно повторяющиеся или приблизительно повторяющиеся через определенные промежутки времени.
Простейшим среди колебательных движений является гармоническое колебательное
движение. Характер такого движения рассмотрим при помощи следующей кинематической
модели. Допустим, что точка M равномерно вращается по окружности радиуса A с постоянной угловой скоростью
(рис. 1).
M
t
N2
O
N
N1
X
Рис. 1. Пример гармонического движения
Проекция этой точки N на диаметр (ось X ) будет совершать колебательное движение между крайними положениями N1 и N2 . Колебание точки N и будет гармоническим
колебанием. Чтобы его описать, найдем координату x точки как функцию времени t . Из
рис. 1 видно, что
x
A cos( t
0
)
(1)
где
– угол, который образовывал в начальный момент времени t
0
0 радиус OM с осью
X.
Формула (1) описывает аналитически гармоническое колебательное движение.
Величина A дает максимальное отклонение колеблющейся точки от положения равновесия O. Она называется амплитудой колебания. Величина
частотой. Величину
величину
0
t
0
называется циклической
называют фазой колебания, а ее значение при t
0 , то есть
– начальной фазой. По истечении времени
T
2
(2)
фаза получает приращение 2π, а колеблющаяся точка возвращается в свое исходное положение. Время T называется периодом колебаний.
Простым колебанием называется движение точки от одного крайнего положения до
другого. Время простого колебания равно
T
.
2
Мы привели кинематическое определение гармонического колебательного движения. Выясним теперь физические условия, при которых происходят гармонические колебания. Для этого рассмотрим физический маятник, т.е. твердое тело, укрепленное на неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр масс, и способное совершать колебания относительно этой оси (рис. 2).
Обозначим через J момент инерции маятника относительно такой оси O . Пусть
точка C является центром масс.
Применим закон динамики вращательного движения (относительно горизонтальной
оси O )
J
Mz
(3)
к движению физического маятника.
Момент силы реакции опоры равен нулю. Момент силы тяжести
M
mgl sin
,
где l – расстояние от оси вращения до центра масс,
(4)
– угол отклонения мятника от поло-
жения равновесия (угол между прямой OC и вертикалью).
Угловое ускорение равно
d2
.
dt 2
(5)
O
O
C
O'
С
O

mg
Рис.2. Физический маятник
Подставив (4) и (5) в (3), получим следующее дифференциальное уравнение движения маятника:
d2
J 2
dt
mgl sin
.
Знак “минус” выбран потому, что момент силы тяжести сообщает маятнику угловое
ускорение, обратное угловому отклонению. Если угол α мал (α ≤ 5º), то sin
, и после
преобразований уравнение примет вид:
d2
dt2
mgl
J
0.
(6)
Решение уравнения (6) имеет вид:
m
где
sin( t
0
),
(7)
– циклическая частота колебаний
mgl
J
m
– амплитуда, а
0
– начальная фаза колебаний;
(8)
m
и
0
определяются начальными ус-
ловиями.
Покажем, что (7) удовлетворяет уравнению (6). Действительно, продифференцировав
по времени два раза, получим
d2
dt2
2
m
sin( t
0
).
(9)
Подставив (9) и (8) в (6), получим, что левая часть уравнения (6) тождественно обращается в нуль.
Применив формулу (2) и выражение для частоты колебаний (8), найдем период гармонических колебаний физического маятника:
T
J
.
mgl
2
(10)
Частным случаем физического маятника является математический маятник. Так
называется колебательная система, состоящая из материальной точки, прикрепленной к
концу нерастяжимой и невесомой нити, второй конец которой закреплен неподвижно.
Примером математического маятника может служить тяжелый шарик малых размеров,
подвешенный на длинной тонкой нити.
Момент инерция математического маятника относительно точки подвеса равен:
J ml 2 .
(11)
( l – длина маятника).
Период колебаний математического маятника определяется тогда, согласно (10) и
(11), следующим выражением1:
T
2
l
.
g
(12)
Сравнивая выражения (10) и (12), заключаем, что физический маятник колеблется с
тем же периодом, что и математический маятник с длиной
l0
J
,
ml
(13)
которая называется приведенной длиной физического маятника.
Точка O , находящаяся на расстоянии l0 от оси вращения по линии, проходящей через центр масс (рис.2), называется центром качания физического маятника. Центр качания
имеет следующее свойство. Если ось вращения маятника O поместить в центр качания, то
его период не изменится, и прежняя ось вращения станет новым центром качания. Это
можно доказать, если использовать теорему Гюйгенса-Штейнера: момент инерции тела J
относительно какой-либо оси равен моменту инерции J0 этого тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр тяжести, сложенному с величиной ma 2 :
1
Формулы (10) и (12) справедливы лишь для малых углов. Более точная формула для определения периода
колебаний математического маятника:
T
2
l
1 2
1
sin
g
4
2
J
J0 ma 2
где a – расстояние между осями, m – масса тела.
На основании этой теоремы с учетом a l при точке подвеса O имеем:
J
ml
l0
J0
ml
l.
(14)
Отсюда находим
l
J0
.
m(l0 l)
(15)
Приведенная длина перевернутого маятника будет равна
J0
(l0 l) .
m(l0 l)
l0
Воспользовавшись (15), получаем требуемый результат:
l0
l l0 l l0 .
Зная приведенную длину маятника l , и определив период колебаний физического
маятника, можно найти величину g в данном месте Земли. Таким образом, могут быть
произведены наиболее точные измерения ее в различных точках земной поверхности.
Приборы и принадлежности, необходимые для восполнения работы
1.Оборотный маятник (рис. 3). Он состоит из однородного металлического стержня
с делениями, нанесенными на его поверхность через 10 мм.
Опорные призмы A и B жестко закреплены на определенных местах. Расстояние l0
между ребрами призм указано на установке. Два тяжелых груза в форме чечевиц D и C
также жестко закреплены на стержне. Груз M в форме чечевицы можно перемещать вдоль
стержня.
2. Частотомер-хронометр, предназначенный для измерения среднего полупериода
колебаний оборотного маятника в миллисекундах (mS). Усреднение производится по
10 простым колебаниям.
3. Электронная схема включает в себя фотодиод ФД-3 и служит для преобразования
световых импульсов в электрические.
4. Осветительная установка, служащая для освещения фотодиода. Осветительная
установка и фотодиод смонтированы на стойке, на которой укреплен оборотный маятник.
5. Источник питания, служит для питания электронной схемы и осветительной установки.
A
C
D
B
M
Рис. 3. Оборотный маятник
Порядок выполнения работы
В данной работе нужно найти такое положение груза M, при котором период простого колебания (полупериод) оборотного маятника при последовательных подвесах его на
призмах A и B будет одним и тем же. В этом случае расстояние между ребрами опорных
призм будет равно приведенной длине маятника. Измерив полупериод
можно, восполь-
зовавшись формулой (12), определить ускорение свободного падения
2
g
2
l0 .
(16)
Измерения проводятся в следующей последовательности:
1. Включить в сеть источник питания. При этом загорается лампочка осветительной
установки.
2. Включить в сеть частотомер-хронометр.
3. Подвесить оборотный маятник на призму A. Опустить груз M в нижнее положение.
4. Отвести рукой нижний конец маятника так, чтобы размах колебаний его не превышал 8–10 см и отпустить.
5. Нажать кнопку “сброс”, расположенную на передней панели частотомера. Частотомер-хронометр начинает измерять время колебаний после того, как загорится на его передней панели белая лампочка “измерение”.
6. Записать показания частотомера в таблицу 1. При одном и том же положении груза M, измерения повторить 3 раза. Перед каждым измерением необходимо нажимать кнопку “сброс”.
7. Проделать измерения (пп. 4 – 6) для различных положений груза M, который перемещают, начиная от нижнего конца через каждые 2 см до призмы B. (В данной работе
перемещается только груз M).
Таблица 1
Положение груза
1
2
3
4
5
6
7
8
1.
Средний полупериод
на призме A
2.
3.
Среднее значение
из 3-х измерений
1.
Средний полупериод
на призме B
2.
3.
Среднее значение
из 3-х измерений
8. По данным таблицы 1 на миллиметровой бумаге построить график зависимости
среднего полупериода
колебаний маятника от положения груза M. На оси абсцисс откла-
дывают деления шкалы, соответствующие различным положениям груза M, а на оси ординат средний полупериод τ. Масштаб по осям удобно выбирать следующим образом: 1 см на
оси абсцисс соответствует расстоянию между двумя делениями на стержне; 1 см на оси ординат – 20 mS (0,02 с).
9. Перевернуть маятник и подвесить его на призму B. Следуя пунктам 4 – 6, измерять
среднее время простого колебания. При этом груз M следует перемещать через каждые
2 см от самого верхнего положения до призмы B. Результаты измерений занести в таблицу 1.
10. На той же миллиметровой бумаге достроить второй график (при положении маятника на призме B), следуя указаниям п. 8. Точка пересечения 2-х кривых определяет положение груза М, при котором полупериоды колебаний имеют одинаковые значения.
Установить груз M в найденное из графиков положение и измерить средний полупериод (следуя пунктам 4, 5) при подвесе маятника на каждой из призм. Результаты измерений завести в таблицу 2. Записать значение приведенной длины маятника l0 (указано на установке).
Таблица 2
Приведенная длина маятника l0
Средний полупериод на призме A
A
l0 = ……… м
Средний полупериод на призме B
,с
1.
1.
2.
2.
3.
3.
Среднее значение
B
,с
(с) =
Обработка результатов измерений
1. Рассчитать
по формуле:
3
3
Ai
Bi
i 1
i 1
6
2. Вывести формулу для расчета относительной и абсолютной погрешностей измерений g (см. “Обработка результатов измерений”)
g
g
g
g
и рассчитать эти ошибки.
После расчета относительной ошибки
g
определить необходимое число значащих
цифр в числе
0,1
g
по таблице, приведенной в методическом пособии “Обработка результатов измерений”
3. По формуле (16) рассчитать g . Окончательный результат записать в виде
g
g
g (м/c2)
Контрольные вопросы
1. Что такое физический маятник?
2. Что такое оборотный маятник? Что называется приведенной длиной физического маятника?
3. Какие колебания называются гармоническими?
4. При каком условии физический маятник можно считать математическим?
5. Вывести дифференциальное уравнение движения маятника.
6. Сформулируйте теорему Гюйгенса-Штейнера.
7. Какое практическое значение имеет измерение ускорения силы тяжести?
8. В чем заключается метод определения g оборотным маятником?
9. Выведите формулу для вычисления абсолютной и относительной погрешности измерения g в данной работе.
10. Что называется амплитудой, частотой и фазой колебания?
Литература
1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 1.
2. Сивухин Д.В. Курс общей физики. Т. 1.