А.А. Жинов, П.А. Милов ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЯЗКОСТИ СМЕСЕВОГО

А.А. Жинов, П.А. Милов
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ВЯЗКОСТИ СМЕСЕВОГО
ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ТУРБИНЫ
РАБОЧЕГО
ТЕЛА
Характеристики распространенных в турбоустановках рабочих тел, таких
как водяной пар или смесь продуктов сгорания углеводородного топлива с
воздухом, в традиционных для современных турбомашин диапазонах
параметров достаточно хорошо изучены.
Совершенствование турбоустановок требует перехода на более высокие
параметры рабочих тел, а зачастую и на нетрадиционные смесевые рабочие
тела, например, на смесь водяного пара и углекислого газа. Их характеристики,
особенно в области высоких температур и давлений, зачастую изучены слабо.
Например, вязкость рабочего тела во многом определяет эффективность
турбоустановки и ее эксплуатационные характеристики. При течении рабочего
тела в турбине, вязкость – это один из главных параметров, от которого зависят
потери в лопаточном аппарате. При моделировании течения в проточной части
высокотемпературной турбины, рабочим телом в которой является смесь
водяного пара и углекислого газа, необходимо достоверно определить
теплофизические параметры такой смеси в широком диапазоне температур и
давлений. Существует множество аналитических и экспериментальных методов
для такого определения. В подавляющем большинстве случаев
экспериментальное измерение дорого или невозможно и необходимо
использовать аналитические методики расчета.
В настоящей статье приводится сравнение различных аналитических
методов [1…4] вычисления вязкости смеси газов H2O и CO2 при различных их
концентрациях
и
параметрах,
характерных
для
проектируемой
высокотемпературной турбины.
Предварительно был
определен процентный состав газовой смеси,
работающей в турбине, молекулярные веса компонент и вязкости чистых
веществ, входящих в смесь, при параметрах течения в турбине. Вязкость
смесевого рабочего тела определялась как величина обратная текучести.
1. Метод суммирования парциальных вязкостей. Модель Грэхэма[1].
Уравнения такого рода представляют вязкость смеси газов как сумму
парциальных вязкостей компонент входящих в смесь. Метод предполагает, что
полный момент в смеси является суммой моментов переносимых каждой
отдельной компонентой. На этом основании вводится понятие парциальной
вязкости.
Уравнениям этой группы недостает описательной силы, когда речь заходит
о взаимодействиях разных молекул в смеси. Взаимодействие учитывается
подгонкой вязкостей чистых компонент. Сама подгонка обычно
осуществляется добавлением дополнительных членов (bi) в уравнение.
Данная модель наиболее проста, в ней вязкость смеси газов получается
посредством суммирования произведения вязкостей (i ) каждой компоненты и
их мольных долей ( xi ) .
mix   i  xiibi 
(1)
Такая модель хорошо работает для смесей, в которых компоненты имеют
схожую молекулярную массу. Если молекулярные массы сильно различаются,
отклонение свойств смеси, рассчитанных по этой модели от реальных свойств,
как правило, достаточно велико.
2. Методика Уилки [2]. Данный метод использует другой подход –
применение уравнения, выведенного из кинетической теории, которое может
быть расширено на многокомпонентные системы. Для вычисления необходим
сложный коэффициент (ij ) для каждой пары компонент в смеси. Для
вычисления этого коэффициента необходимы только вязкости и молекулярные
веса отдельных компонент.
 
1   i
   j

1/2



1/4 
2
Mj  


 M i  
ij 
(2)
1/2
M 
4 
1  i 
2 Mj 
Затем этот коэффициент используется в расчете вязкости смеси наряду с
мольной долей:
1
2
(3)
 mix 

 ..
 x2 
 x3 
 x1 
 x3 
1    12    13  .. 1    21    23  ..
 x1 
 x1 
 x2 
 x2 
Уравнение 3 можно переписать в общем виде:
n
i
m  
1 j n
i 1
1   xi ij
xi j 1
(4)
j i
Каждое слагаемое представляет собой парциальную вязкость одной
компоненты. Знаменатель каждого слагаемого берет в учет взаимодействия
между разными молекулами, посредством прямого индивидуального
регулирования парциальной вязкости для каждой компоненты.
3. Уравнение Хернинга и Зипрера[3]. Данный метод рассчитывает
парциальные вязкости без вычисления коэффициента Уилки:
mix 
 i xi M i 
  xi M i 
(5)
Это сумма парциальных вязкостей, умноженная на квадратный корень из
молекулярной массы каждой компоненты.
4. Метод Дэвидсона[4]. В этом методе вязкость рассматривается как
сопротивление жидкости при передаче момента. Чем больше вязкость, тем
меньше будет возмущение среды на заданном расстоянии от точки приложения
силы. Введение парциальных вязкостей в рассмотренных выше методах
является приближением, основанным на опытных данных лишь для нескольких
исследованных смесей. Физических оснований для предположения
аддитивности парциальных вязкостей нет.
Уравнение Максвелла рассматривает вязкость газа как произведение
средней длины свободного пробега молекул, плотности и средней скорости на
некоторую константу С:
(6)
  C  l  V
Различные интерпретации кинетической теории показывают разные
значения константы С в диапазоне от 0,31 до 0,5.
Средняя длина свободного пробега молекулы может быть определена как
средняя скорость молекул, деленная на частоту столкновений с другими
молекулами:
V
(7)
l
z
Средняя длина свободного пробега не является простой функцией
состояния или состава среды. Полная частота столкновений является суммой
частот столкновений zij между всеми возможными парами молекул:
z   i , j zij
(8)
Частота столкновений молекул zij пропорциональна их концентрации.
Следовательно, z является суммой слагаемых второй степени, отражающих
концентрации.
Так как текучесть является свойством обратным вязкости, то её можно
рассматривать, как способность жидкости передавать момент. Этот параметр
напрямую связан с полной частотой столкновения молекул.
Скомбинировав уравнения 6, 7 и 8 для выражения текучести, получим:
 i, j zij
f 
(9)
CV 2
В смеси газов, при тепловом равновесии, средняя кинетическая энергия
( K ) каждой молекулы связана с постоянной Больцмана (k ) и абсолютной
температурой (T ) следующим соотношением:
3kT
(10)
K
2
Кинетическая энергия молекулы газа определяется как:
mv 2
K
2
Если рассматривать V как молярный объем газа, плотность как
(11)
m
, тогда
V
знаменатель в правой части уравнения 9 примет вид:
3CkT
(12)
Cv 2 
V
Это выражение пропорционально температуре и не зависит от состава
смеси.
Текучесть газовой смеси включает поправки, основанные на частоте
столкновения молекул, которые учитываются заданием концентраций и свойств
компонент. Ниже приводится уравнение для расчета текучести смеси, вязкость
же берется как обратная ей величина.
Мольная доля часто используется для отражения концентрационных
свойств смесей, одновременно текучесть и вязкость связаны лишь с передачей
момента от одной точки среды к другой. Это позволяет предположить, что
текучесть смеси газов должна зависеть от импульса отдельных его компонент, а
не от их концентраций. В данной методике доля момента является главным
параметром вместо мольных долей или концентраций.
Импульс связан с весом молекулы и температурой. Импульс p
определяется как:
p  mv
(13)
Найдем связь импульса с температурой используя уравнения 10 и 11:
p  3mkT
(14)
При температурном равновесии температуры всех компонент смеси
одинаковы. Таким образом, средний импульс каждой компоненты
пропорционален корню квадратному её молекулярного веса. Вышеприведенное
уравнение Хернинга-Зипрера эквивалентно сумме зависящих от момента
импульса парциальных вязкостей.
Доля момента yi для компоненты определяется как часть полного момента
импульса в смеси. Если мольную долю компоненты представить как xi то
количество момента, связанного с этой долей, будет равно xi 3MkT , а доля
момента связанная с компонентой, имеющей молекулярный вес M i становится:
yi 
xi M i
i 
xi M i
(15)

Частота столкновений между двумя типами молекул zij может быть
представлена как произведение их долей импульса:
(16)
zij  yi y j
Таким образом, текучесть чистого газа зависит от квадрата среднего
импульса молекул.
Нижеприведенное уравнение со скалярным коэффициентом смешивания
Bij используется для выражения текучести газовой смеси:

f   i , j yi  y j  fij  Bij

(17)
При i  j f ij представляет собой эффективную текучесть взаимодействия
между i  той и j  той компонентой.
Когда i  j f ij отражает текучесть чистого газа i при тех же самых
смесевых давлении и температуре. Текучесть взаимодействия может быть
рассчитана как:
1
fij 
(18)
i i
Скалярные коэффициенты Bij связаны с эффективностью передачи
импульса между молекулами при столкновении. В применении к чистому газу
коэффициент Bij  1 в уравнении 17 при i  j . В случае, если i  j Bij будет
зависеть от веса молекул участвующих в столкновении.
Уравнения сохранения импульса и энергии включают в себя массы,
начальные и конечные скорости:
(19а)
m1V1i  m2V2i  m1V1 f  m2V2 f
2
2
m1V12i m2V22i m1V1 f m2V2 f



(19б)
2
2
2
2
могут быть найдены с помощью алгебраического решения
V1 f и V2 f
вышеприведенных уравнений:
m  m2
2m2
V1 f  1
V1i 
V2i
(20а)
m1  m2
m1  m2
m  m1
2m1
V2 f  2
V2i 
V1i
(20б)
m1  m2
m1  m2
Умножив уравнение 20а на m1 получим выражение для импульса
компоненты 1:
m  m2
2m1m2
m1V1 f  1
m1V1i 
V2i
(21)
m1  m2
m1  m2
Эффективность воздействия компоненты 2 на компоненту 1 может быть
представлена с помощью деления второго слагаемого на первоначальный
момент компоненты 2:
2m1
(22)
E21 
m1  m2
2m2
(23)
E12 
m1  m2
Средняя эффективность этого взаимодействия измеренного для момента
смеси равна:
y E  y2 E21
(24)
E1,2  1 12
y1  y2
Уравнение 23 можно упростить, применив выражение 15:
2 m1 m2
(25)
E1,2 
m1  m2
Это выражение принимает максимальное значение при одинаковых
массах. Кроме того, оно неотрицательно и симметрично относительно
перемены индексов.
Коэффициент Bij предполагается зависимым от Ei , j , зависимость
выражается степенным законом:
(26)
Bi , j  EiA, j
Параметр A предполагается одинаковым для смесей и является
единственной эмпирической константой в уравнении смешивания.
Принимая во внимание уравнение 26, учитывающее эффект влияния
неодинаковости взаимодействующих масс на передачу момента импульса, из
выражения 16 можно вывести следующее соотношение для газовой смеси:
 yi y j

A

f   i, j
E 
(27)
 i  j i , j 


Выражение 26 легко применимо к смесям с любым количеством
компонент.
В случае двухкомпонентной смеси выражение 27 примет вид:
y2
yy
y2
A
f1,2  1  2 1 2 E1,2
 2
(28)
1
2
1 2
По всем рассмотренным выше методикам проведен расчет вязкости
рабочего тела на входе в ЦВД и в ЦСД высокотемпературной турбины при
T0цвд  850o C и P0цвд  13МПа и T0цсд  850o C и P0цсд  3,2 МПа для различных
концентраций СО2 в водяном паре. Вязкости чистых компонент:
 H 2O  4,325  105 Па  с , CO2  3,762 10 5 Па  с , молярные массы M H 2O  18
г / моль , М CO2  44 г / моль .
Результаты расчетов представлены на рисунках 1 и 2. Полученные
результаты показывают, что модели Грэхема, Уилки и Хернинга-Зипрера дают
близкие результаты в диапазоне концентрации в смеси СО2 от 0…20% –
разница между ними менее 1,2%. Модель Девидсона дает меньшие значения
вязкости смеси на 0…3,5% чем рассмотренные выше модели.
Рис. 1 Вязкость смеси при различной концентрации СО2
при P0цвд  13МПа и T0цвд  850o C
Рис. 2 Вязкость смеси при различной концентрации СО2
при P0цсд  3,2МПа и T0цсд  850o C
Таким образом, при расчетах высокотемпературной турбины, работающей
на смесевом рабочем теле (Н2О + СО2) при расчетной концентрации СО2 в
рабочем теле 4…8% различия при определении вязкости, во всех
рассмотренных методиках, не превышают 0,5…3%. Модель Девидсона дает
наименьшие значения для вязкости смеси. Влияние температуры смеси на ее
вязкость, при течении в турбине, значительно превышает влияние выбора
расчетной методики на результат в рассмотренном диапазоне концентраций.
Список литературы
1. Graham, T. On the Motion of Gases. Phil. Trans., v. 136, 1846, pp. 573-631.
2. Wilke, C. R A Viscosity Equation for Gas Mixtures. J. Chem. Phys., v. 18,
1950, pp. 517-519.
3. Herning.E., and L. Zipperer. Calculation of the Viscosity of Technical Gas
Mixtures From the Viscosity of the Individual Gases.Gas-und Wasserfach, v. 79,
1936, pp. 69-73.
4. Thomas A. Davidson. A simple and accurate method for calculating viscosity
of gaseous mixtures. Report of investigations, 1993., Bureau of Mines.