Document 1957700

СВОЙСТВА СЕКУЩИХ И КАСАТЕЛЬНЫХ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Мамаев И.И., Светличная В.Ю.
Ставропольский государственный аграрный университет
Ставрополь, Россия
PROPERTIES SECANTS AND TANGENTS OF THE SECOND-ORDER CURVES
Mamayev I.I., SvetlichnayaV.Y.
Stavropol State Agrarian University
Stavropol, Russia
Для кривых второго порядка возникает вопрос, имеющий практическое значение:
действительны ли для параболы, эллипса и гиперболы метрические соотношения подобные
тем, которые существуют для окружности (свойства касательной и секущей и другие).В
данной статье покажем, что такие метрические соотношения существуют.
I. Парабола
Лемма 1.Пусть точка
B лежит на хорде AC параболы y = ax 2 или на ее
продолжении и, кроме того, прямая
параболе. Тогда
где
BD параллельна оси Oy , причем точка D лежит на
a ⋅ AB ⋅ BC cos 2 α = BD ,
(1)
α - угол, составленный хордой с горизонталью.
Доказательство.
Решим сначала
графическим путем квадратное уравнение
ax 2 + bx + c = 0 . Для этого построим на одном чертеже графики функции y = ax 2 и
y = −bx − c . Очевидно, абсцисса x1 и x2 точек пересечения
Aи C
параболы с прямой
будут корнями данного уравнения.Сделав затем некоторые дополнительные построения,
найдем из чертежа (рис.1):
Далее,
перемножая
AE = x − x1 и EF = x2 − x .
AE
и
EF ,
получим:
AE ⋅ EF = AB ⋅ BC ⋅ cos2 α =
(
b
c
1
= x ( x1 + x2 ) − x1x2 − x2 = − x − − x2 = −bx − c − ax 2
a
a
a
Кроме того, нетрудно заметить, что
BD = ( −bx − c ) − ax2
)
(2)
(3)
Из равенств (2) и (3) следует (1).Аналогичным доказывается лемма и в том случае,
когда точка
B будет внешней по отношению к параболе (рис.2)
A1
Bα
A
E
x2
y = ax 2
y
y = ax 2
C
C
y
D
A1
F
C1
A
x
Dx1
Рис.1
0 m
B
C
x
Рис.20
II. Эллипс
Лемма 2. Пусть DE - вертикальная или горизонтальная и
AC - наклонная хорды
x2 y 2
эллипса a 2 + b2 = 1 и, кроме того, B - точка пересечения хорд или точка, лежащая на
EB ⋅ BD ⋅ l 2
продолжении их. Тогда AB ⋅ BC ⋅ cos α = 2
, (4) где α - угол, составленный
b + a2 ⋅ k 2
наклонной хордой с осью Ox , k = tgα и l равно a или b , в зависимости от того,
2
DE .
вертикальной или горизонтальной будет хорда
y = kx + d - уравнение прямой, проходящей через концы
Доказательство. Пусть
наклонной хорды. Решив его совместно с уравнение эллипса, получим квадратное
уравнение:
)
(
2
a 2 d 2 − b2
2
a
kd
x + 2 2 2 ⋅ x + 2 2 2 = 0. Очевидно,
b +a k
b +a k
2
2a 2k ⋅ d
x1 + x2 = − 2 2 2
b + a ⋅k
и x1 ⋅ x2
=
(
a 2 d 2 − b2
b + a ⋅k
2
2
что
в
данном
случае
)
2
Далее, из чертежа (рис.3) найдем:
CB ⋅ cosα ⋅ AB ⋅ cosα = ( x1 − m )( m − x2 ) = − x1x2 + ( x1 + x2 ) m − m2 ,
(
)
и
BD =
или
b 2 a 2 − m2 − a 2 ( km + d )
a 2 (b 2 − d 2) 2a 2 k ⋅ d ⋅ m
2
2
AB ⋅ BC ⋅ cos α = 2 2 2 + 2 2 2 − m =
b + a ⋅k
b + a ⋅k
b 2 + a 2 m2
Замечая,
что
BE =
b 2
a − m2 − ( km + d )
a
2
(5)
b 2
a − m2 + ( km + d )
a
получим:
BE ⋅ BD =
)
(
b 2 a 2 − m2 − a 2 ( km + d )
2
a2
Таким образом, принимая во внимание равенства (5) и (6), будем иметь
(6)
AB ⋅ BC ⋅ cos2 α =
EB ⋅ BD ⋅ a 2
b 2+ k 2 a 2
В том случае, когда хорда
(7)
DE горизонтальна, а также тогда, когда точка B будет
внешней по отношению к эллипсу (рис.4), теорема доказывается по аналогии.
Частный
случай:
при
α = 0 из
формулы
следует
(7)
соотношение:
AB ⋅ BC ⋅ b2 = EB ⋅ BD ⋅ a 2 .
y
A1
x1
(8)
y
E
0 B
x1 C
0
A
D
C1
x
A1
С1
В
C
A
D
Рис.3
Рис.4
III.Гипербола
Лемма 3.Пусть
x2 y 2
− =1
a 2 b2
гиперболы
продолжении их.
где,
α ,k
DE - вертикальная или горизонтальная и AC -наклонная хорды
и
и, кроме того,
EB ⋅ BD ⋅ l 2
Тогда: AB ⋅ BC ⋅ cos α = ± 2 2
,
k a − b2
2
в соответствии с тем, внутренней или внешней будет
AC по отношению к гиперболе. Доказательство леммы (3) аналогично тому, что мы
имели для эллипса. Частный случай: если хорда
параллельна оси
другой
(9)
l имеют тот же смысл, что и для эллипса; при этом знак плюс или минус в
правой части равенства берется
хорда
B - точка пересечения хорд или точка, лежащая на
(рис.5
HL параллельна оси Ox и хорда MN
Oy и, кроме того, B - точка пересечения одной из них с продолжением
и
6),
HB ⋅ BL ⋅ b2 = MB ⋅ BN ⋅ a 2
то
из
леммы
(3)
можно
получить
соотношение
(10)
y
y
M
B
H
L
xB
L
H
0
M
x
0
N
N
Рис. 5
Так как через точку
Рис.6
B , не лежащую на кривой, можно провести всякий раз по две прямых
(две хорды, или две секущих, или секущую касательную), составляющих с осью
Ox
одинаковые углы, то из рассмотренных выше лемм, а также их частных случаев,
непосредственно вытекают следующие теоремы.
Теорема I. Произведения отрезков хорд кривой второго порядка, проходящих через
данную точку и, составляющих с ее осью одинаковые углы, равны между собой.
Теорема II. Произведения секущих кривой второго порядка, проходящих через
данную точку и составляющих с ее осью одинаковые углы, на их внешней части, равны
между собой.
Теорема III. Если секущие и касательные кривой второго порядка, проведенные из
данной точки, составляют одинаковые углы с ее осью, то квадрат касательной будут равен
произведению секущей на ее внешнюю часть.
Теорема IV. Если хорда центральной кривой
параллельна оси
HL параллельна оси Ox и хорда MN
Oy и, кроме того, B - точка пересечения хорд или точка, лежащая на
продолжении их, то
HB ⋅ BL ⋅ b2 = MB ⋅ BN ⋅ a 2 . В частности, для окружности и
равносторонней гиперболы
(b = a ) будем иметь: HB ⋅ BL = MB ⋅ BN .
Отметим
также,
что теоремы I, II и III (с учетом того, что касательная если предельное положение секущей)
можно объединить в одну теорему: если
AC и AC
- хорды кривой второго порядка,
1 1
составляющие с ее осью одинаковые углы, и
B является точкой пересечения этих хорд или
лежащие на их продолжении, то для полученных при этом отрезков имеет место равенство
AB ⋅ BC = A1 B ⋅ BC1 .
Список использованной литературы :
1.
Погорелов А.В. Основания геометрии М.: Наука, 1979, 151 с
2.
Мамаев И.И., Котова С.В. Окружность в абсолютной геометрии II Инновация в науке:
пути развития: материалы международной заочной научно-практической конференции/
Чебоксары: учебно-методический центр, 2014, с 326-331
3.
Мамаев И.И. , Бондаренко В.А., Шибаев В.П. Элементы теории математических
доказательств в преподавании математических дисциплин в вузе//Ежегодная 77 научнопрактическая конференция «Аграрная наука- Северо-Кавказскому федеральному округу »,
Ставрополь, СтГАУ , 2013, с 482-486
4.
Донец З.Г., Мамаев И.И., Шибаев В.П., Учебная дисциплина как целостная модель
организации обучения студентов на интегративной основе // Теоретические и прикладные
проблемы современной педагогики, Ставрополь, СтГАУ, 2012, с 40-47
5.
Литвин Д.Б., Яновский А.А., Донец З.Г. Интерполяция и аппроксимация данных в
MATLAB //
Информационные системы и технологии как фактор развития экономики
региона, Ставрополь, СтГАУ, 2013, с 97-99
6.
Серикова В.С., Родина Е.В. Кривые второго порядка // Современные наукоемкие
технологии М: Академия естествознания, №5, 2014, с 175-177
7.
Гулай Т.А., Долгополова А.Ф., Литвин Д.Б. Анализ и оценка приоритетности,
изучаемых студентами экономических специальностей аграрных вузов // Вестник АПК
Ставрополья, СтГАУ, №1(9), 2013, с 6-10