Мамиров Ж.А., к.ф.-м.н., Директор Центра прикладных экономико-математических исследований, АО «Институт экономических исследований»

Мамиров Ж.А., к.ф.-м.н.,
Директор Центра прикладных экономико-математических исследований,
АО «Институт экономических исследований»
Экзерсисы с эластичностями
Казалось бы, тема «Эластичность спроса по цене и доходу» одна из
самых простых и понятных тем экономических учебников, даже если
учитывать все нюансы ceteris paribus - «при прочих равных условиях». Однако
есть вопросы по данной теме, которые ставят в тупик, как студентов, так и
маститых преподавателей. Эти вопросы сформулированы здесь в виде
умственных упражнений – экзерсисов. Как будет показано ниже, трудности в
ответах на эти упражнения заключаются, как это ни парадоксально, в
неразрешенных на сегодня проблемах моделирования функций спроса и
индексологии. Результатом экзерсисов является предлагаемая ниже
матричная классификация (таблица 4) функций спроса (или товаров) в
зависимости от их эластичностей. Данная классификация позволяет провести
группировку различных видов функций спроса и методов их моделирования,
построить «ландшафт» описываемых ими товаров и их групп, увидеть
«белые пятна» на карте эластичностей.
Ниже приведена таблица с хорошо известными примерами (стр. 440,
таблица 20-3) из классического учебника [1]:
Таблица 1. Ценовая эластичность спроса на отдельные продукты*
Товар или услуга
Коэффициент Товар или услуга
ценовой
эластичности
спроса
Коэффициент
ценовой
эластичности
спроса
Жилье
0,01
Бензин
0,60
Электроэнергия (для
бытовых целей)
0,13
Молоко
0,63
Хлеб
0,15
Бытовые приборы
0,63
Билеты на баскетбольные
матчи команд основной
лиги
0,23
Кинофильмы
0,87
Телефонные услуги
0,26
Пиво
0,90
Сахар
0,30
Обувь
0,91
Медицинское
0,31
Автомобили
1,14
обслуживание
Яйца
0,32
Говядина
1,27
Юридические услуги
0,37
Фарфор, стекло, столовые
приборы
1,54
Ремонт автомобилей
0,40
Ресторанное обслуживание
2,27
Одежда
0,49
Баранина и ягнятина
2,65
*Составлено по различным источникам и исследованиям ценовой эластичности спроса
Во многих экономических учебниках встречаются, с некоторыми
вариациями, определения диапазонов значений EDp эластичности спроса по
цене (таблица 2) и определения диапазонов значений EDI - эластичности
спроса по доходу (таблица 3). Здесь используются следующие обозначения: p
– цена, I – доход, D = D(p, I) – функция спроса.
Таблица 2. Диапазоны значений эластичности спроса по цене и их
наименования.
Диапазоны значений EDp –
эластичности спроса по цене
0
(0; 1)
1
(1; )

Названия диапазонов
Абсолютно неэластичный спрос
Неэластичный спрос
Единичная эластичность спроса по
цене
Эластичный спрос
Абсолютно эластичный спрос
Таблица 3. Диапазоны значений эластичности спроса по доходу и их
наименования.
Диапазоны значений EDI –
эластичности спроса по доходу
(- ; 0)
(0; 1)
1
(1; )
Названия диапазонов
Товары низшей категории
Товары первой необходимости
Единичная эластичность спроса по
доходу
Товары высшей категории
В отношении указанной в таблице 3 классификации товаров полезно
иметь в виду дискуссии на тему об интерпретации товаров низшей категории
(инфериорные товары) [2], - «что товары с отрицательной эластичностью
спроса по доходу далеко не всегда являются товарами низкого качества в
обыденном смысле этого слова».
Теперь, внимание, наши экзерсисы. Построим матрицу (таблица 4), по
горизонтали которой откладываются различные значения эластичности
спроса по доходу, а по вертикали – значения эластичности спроса по цене.
Причем, значения эластичности спроса по цене не берутся, как обычно, с
абсолютным знаком.
Столбцы матрицы (таблица 4) пронумерованы буквами: A, B, C и D, а
строки цифрами: 1, 2,…, 6. Ссылки на ячейки матрицы имеют стандартный
формат: указывается буквенный номер столбца и номер строки, на
пересечении которых расположена рассматриваемая ячейка.
Упражнение 1. Заполнить таблицу 4 примерами товаров, спрос на
которые обладает соответствующими ячейке значениями эластичности
спроса по цене EDp и доходу EDI.
Упражнение 2. Существуют ли ячейки таблицы 4, куда не может быть
отнесен ни один товар или услуга?
Упражнение 3. Заполнить таблицу 4 примерами классов товаров,
например: еда, одежда, жилье, знания и т.п., спрос на которые обладает
соответствующими ячейке значениями эластичности спроса по цене EDp и
доходу EDI.
Упражнение 4. Существуют ли товары, спрос на которые обладает
соответствующими нескольким ячейкам значениями эластичности спроса по
цене EDp и доходу EDI?
Таблица 4. Матрица значений эластичности спроса по цене и доходу.
Рассмотрим вышеприведенные упражнения последовательно с трех
точек зрения: неоклассической теории потребления, обобщенной модели
потребительского спроса и торговой статистики или теории экономических
индексов.
A. Неоклассическая теория потребления
Напомним некоторые положения из неоклассической теории
потребления.
1. Неоклассическая модель потребительского спроса (модель
рационального потребления) основана на постулате существования
бинарного отношения предпочтения, определенного на множестве
бесконечно делимых товаров и обладающего свойствами полноты,
транзитивности, непрерывности, выпуклости и монотонности. Эти свойства
обеспечивают существование непрерывной порядковой функции полезности.
2. Решением задачи на максимум функции полезности на множестве
товаров, доступных при данном бюджете, является функция спроса
Маршалла.
3. Решением соответствующей двойственной задачи является функция
спроса Хикса.
4. Эластичности функций спроса Маршалла и Хикса связаны
уравнением Слуцкого [3].
Для рынка одного товара (любого) с необходимостью следует, что
функция спроса Маршалла имеет вид:
D ( p, I )  I / p
Следовательно, EDp = EDI = 1. Следовательно, в упражнении 1 все
товары размещаются в таблице 4 в одной ячейке С3. Отсюда же
тривиальными получаются ответы на упражнения 2, 3 и 4.
Рассмотрим теперь случай рынка более одного товара. Как следует из
анализа уравнения Слуцкого [3], ценных товаров Гиффена не бывает, т.е.
одновременно условия EDp > 0 и EDI > 0 не выполняются. Следовательно,
ответом на упражнение 2, с точки зрения неоклассической теории
потребления или ad hoc рационального потребителя, будет, что ячейкам B6,
С6 и D6 не может быть отнесен ни один товар.
Это максимум, что могут дать общетеоретические рассуждения в
рамках неоклассической теории для выполнения наших экзерсисов. Однако
существуют частные примеры функций потребительского предпочтения.
Учебные примеры подобных функций не имеют никакого отношения к
наблюдаемой реальной торговой статистике. Поэтому ограничимся анализом
примеров различных модельных функций типа функций Стоуна, которые
применяются, в частности, в вычислимых моделях общего равновесия CGEM
(Computable General Equilibrium Models).
С целью выполнения наших экзерсисов рассмотрим класс функций
потребительского предпочтения Р. Стоуна, которые имеют вид:
i
n
 x

u ( x)    f ( i  1) ,   i  1
(1)
ai
i 1
i 1 

Здесь a i - минимально необходимое количество i–го блага, которое
n
приобретается в любом случае и не является предметом выбора: для этого
необходимо, чтобы доход I был больше  p i a i - количества денег,
i
необходимого для покупки этого набора. Коэффициенты степени  i >0
характеризуют относительную «ценность» благ для потребителя.
Рассмотрим функции Стоуна при f(x) = x. Тогда соответствующая
модели Стоуна функция спроса Маршалла имеет вид:
xi  ai 
i (I   p j a j )
j
pi
(2)
Вычисления показывают, что прямые коэффициенты эластичности
спроса по цене и доходу удовлетворяют неравенствам:
 1  EDi  0, i  1, , n

EDI  0
(3)
Следовательно, спрос на все товары неэластичен, причем это товары,
которые могут быть и нормальными товарами, и товарами высшей
категории. В таблице 4 эти товары заполняют только ячейки B4, C4, D4.
Аналогичными свойствами обладают товары (т.е. заполняют только
ячейки B4, C4, D4 таблицы 4), спрос на которые определяется функциями
потребительского предпочтения Леонтьева, Кобба-Дугласа, Бернулли.
Закономерно поставить вопрос о полноте системы известных функций
спроса: любая ли допустимая модель спроса может быть сведена к основным
известным функциям спроса или их комбинации при некоторых
предпосылках? На сегодня этот вопрос остается открытым. Список
известных теоретических функций потребительского предпочтения и
соответствующих функций спроса не является полным.
Действительно, различают три основных подхода моделирования [4],
являющихся основными источниками теоретических функций спроса:
 вывод уравнений спроса как решение задачи максимизации функции
полезности потребителя (данный подход рассматривался нами выше);
 моделирование спроса, связанное с теорией двойственности
потребительского выбора и тождеством Роя: использование данного подхода
позволяет учесть возможности существования в корзине потребителя
инфериорных и нормальных благ;
 вывод функций спроса в форме долей расходов на товар из функции
расходов с помощью леммы Шепарда (пример – модель ADIS (Almost Ideal
Demand System) [5]).
Все аналитические модели спроса, рассматриваемые в современных
исследованиях, можно выразить [5] общей функциональной формой:
q i  a i  bi x  c i f ,
(4)
где q – спрос на товар i; x – сумма расходов или доход потребителя; f –
некоторая произвольная функция от дохода; ai, bi, ci – некоторые
произвольные функции цен.
В [5] доказывается теорема о классификации систем спроса, имеющих
форму выражения (4), которая сводится к 8 случаям систем спроса. Отметим
два известных следствия из данной теоремы.
Следствие 1. Все основные модели спроса имеют сходные основания и
могут быть сведены друг к другу при некоторых предпосылках. Так,
Роттердамская модель может быть получена из модели AIDS при
выполнении некоторых требований к коэффициентам [4] и т.п.
Следствие 2. Допустимые системы спроса не исчерпываются 8
случаями, выделенными в теореме [5] о классификации.
Проблема неполноты системы известных функций спроса усугубляется
еще проблемой аналитической разрешимости основной задачи теории
потребления. Например, при использовании функции CES (Constant Elasticity
of Substitutions) в качестве функции полезности получение решения в виде
явной функции спроса в общем случае невозможно.
Таким образом, в рамках неоклассической теории потребления,
несмотря на ее относительную математическую простоту, выполнить наши
экзерсисы не представляется возможным.
i
B. Обобщенная модель потребительского спроса
Для того, чтобы обойти известные противоречия современной теории
потребительского спроса (парадоксы агрегирования покупателей Гормана,
Зонненшейна, Дебре и Мантеля) была предложена [6, 7] обобщенная модель
потребительского спроса. В рамках данной модели рациональный выбор
ансамбля потребителей определяется на заданном a priori рынке конечных
продуктов.
В [6, 7] предлагается математическая модель рационального поведения
потребителей, основанная на отказе от использования функции полезности.
Такая функция, вообще говоря, может не существовать, и вместо нее
вводится векторное поле потребительских предпочтений, компоненты
которого имеют смысл относительных ценностей продуктов. При этом
используется метод сравнительной статики (анализ Слуцкого) и теория
векторных полей. В случае потенциальности векторного поля предпочтений
его потенциал является ординальной функцией полезностей, т.е. новая
модель совпадает с классической.
Система предпочтений ансамбля потребителей представляется с
помощью векторного поля q (x) в пространстве товаров Rn . Поле q (x)
называется
потенциальным,
если
существует
такая
скалярная
дифференцируемая функция u (x) , называемая потенциалом поля, что
qi ( x)  u ( x) / xi .
Рациональный выбор ансамбля потребителей, имеющих поле
предпочтений q (x) и расходующих на данном рынке в ценовой ситуации p
суммарное количество денег e, т.е. рыночный спрос x( p, e) , определяется
вместе с множителем l системой нелинейных уравнений
qi ( x)  l pi  0, i  1, , n

 p, x  e  0
(5)
Нетрудно видеть, что в случае потенциальности поля система (5) совпадает с
характеристической системой классической модели.
В [6, 7] доказано, что в случае дифференцируемости и строгого
убывания поля q (x) система (5) определяет однозначный и непрерывно
дифференцируемый спрос x( p, e) , матрица Слуцкого которого обладает
свойствами отрицательной полуопределённости, нулевой степенью
однородности, кроме свойства симметричности. При этом в соответствии с
условиями интегрируемости Гурвица - Узавы [8], в общем случае функция
полезности, рационализирующая этот спрос, не существует.
Под обратной задачей для модели (5) понимается задача нахождения
поля предпочтений q (x), наиболее адекватного торговой статистике
{ p t , x t : t  0, , T } в смысле метода наименьших квадратов. Она может быть
решена как параметрическим, так и непараметрическим методом. При этом
накладываются ограничения, обеспечивающие положительность и
монотонность искомого поля.
Как отмечает Горбунов В.К. [6]: «для реализации новых возможностей
анализа потребительского спроса требуется развитие методов решения
обратной задачи, заключающейся в построении поля предпочтений,
рационализирующего наблюдаемую статистику продаж. Для этого, можно
обобщить, например, непараметрический метод Африата [9]».
Таким образом, задача выполнения наших экзерсисов переносится в
область проблем торговой статистики или индексологии.
C. Торговая статистика
Индексы количеств и цен потребления относятся к классу бинарных
статистических индексов. В экономической статистике они рассчитываются
различными методами по двум парам многомерных векторов «цена-
количество» соответствующих индексируемым периодам динамики
некоторого рынка товаров конечного потребления.
Основная проблема – это проблема корректного агрегирования цен и
количеств товаров, их группировка. С одной стороны, со стороны практиков,
агрегирование базируется на различных способах усреднения, использующих
отличные друг от друга весовые коэффициенты, сравнительные базы и др.
Наиболее распространёнными и общепризнанными являются формулы
Ласпейреса и Пааше, которые стали использоваться в статистике одними из
первых. Для улучшения качества экономических параметров были
предложены более сложные формулы расчёта такие, например, как индексы
Фишера, Торнквиста, Уолша, Эджворта.
Однако, эти многочисленные методы представляют субъективизм
исследователей и политиков, но игнорируют субъективизм и рациональность
потребителей, приспосабливающихся к меняющейся конъюнктуре в
соответствии со своими предпочтениями. В условиях экономической
нестабильности они дают неприемлемо большие расхождения [9].
С другой стороны, со стороны индексологии, в рамках теории
полезности А. Маршалла и В. Парето под экономическим индексом
понимается функция полезности, позволяющая провести агрегирование
исходной информации о потребительском спросе в обобщенный показатель.
Двойственная к функции полезности функция агрегированной цены
выступает как индекс цены.
Вопрос об адекватности классической модели рационального
потребления конкретному рынку, представленному торговой статистикой,
решается теоремой С. Африата [10]. Таким образом, в силу отказа от
функций полезности в общем случае, мы снова приходим к необходимости
обобщения непараметрического метода Африата [10] в рамках индексологии.
Более того, «универсального индекса цен, годного на все случаи жизни,
по-видимому, быть не может» - такое заключение дал в 1989 году А.А.
Конюс [11], основатель аналитического направления в теории экономических
индексов.
Заключение
Рассмотренные нами экзерсисы – это не экзерсисы ad hoc. Они
позволяют сформировать представление об эластичности спроса на товары и
услуги как на индексно - иерархически организованный выбор, в рамках
которого получает естественную интерпретацию модель рационального
потребления. Точнее, проблема сведена к теоретическим и практическим
аспектам индексологии [6].
Результатом экзерсисов стала матричная классификация (таблица 4)
функций спроса (или товаров) в зависимости от их эластичностей.
Рассмотрение этих экзерсисов данной статьей не ограничивается. Это
увлекательная и актуальная в условиях экономического кризиса тема,
поэтому продолжению быть.
Литература.
1. Макконнелл К.Р., Брю С.Л., Экономикс: принципы, проблемы и
политика, Пер. с 14-го англ. изд. - М.: ИНФРА-М, 2003. — XXXVI,
972 с
2. J. R. Gould, On the Interpretation of Inferior Goods and Factors //
Economica, 1981. Vol. 48, N 192. P. 397-405
3. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и
экономическая теория – М.: Айрис-пресс, 2002. – 576 с.: ил. –
(Высшее образование).
4. Оценивание функций спроса для групп продовольственных
товаров в российской экономике за 1999–2004 гг. / Бондарев А. А.
– М.: ИЭПП, 2008. – 166 с.
5. Lewbel A. Characterizing Some Gorman Engel Curves // Econometrica.
Vol. 55. No. 6 (Nov., 1987). P. 1451–1459.
6. Горбунов В.К. Модель потребительского спроса без функции
полезности // Труды Средневол. матем. общества. 2005. Т.7. Вып.1.
7. Горбунов В.К. Модель потребительского спроса, основанная на
векторном поле предпочтений // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 6.
Экономика. 2009. №1.
8. Hurwic, L., Uzawa H. On the integrability of demand functions / In:
Chipman J.S. et al. (Eds). Preference, Utility and Demand. – New York:
Harcourt Brace, 1971.
9. S. N. Afriat: The Construction of a Utility Function from Expenditure
Data, International Economic Review 8 (1967): 67–77; A. Fostel, H. E.
Scarf, and M. J. Todd: Two New Proofs of Afriat’s Theorem,
Economic Theory 24 (2004): 211–219
10.Кёвеш П. Теория индексов и практика экономического анализа. М.:
Фин. и стат., 1990, 460 с.
11.Вопросы истории народного хозяйства и экономической мысли.
Вып. 1./ Редкол. В. А. Жамин (глав. ред.) и др. М. Экономика. 1989