текст доклада

advertisement
УДК 62.50: 681.50.1
Н. А. ДУДАРЕНКО, Н. А. ПОЛИНОВА, О. В. СЛИТА
Университет ИТМО, Санкт-Петербург
ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ МАТРИЦЫ ДИНАМИКИ НА НАЛИЧИЕ
ВЫБРОСОВ В ТРАЕКТОРИЯХ СВОБОДНОГО ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
Рассматривается устойчивая линейная непрерывная
система,
матрица
динамики
которой
обладает
вещественным спектром собственных чисел. Установлено,
что в траекториях свободного движения системы
наблюдается выброс, причиной которого является
структура
собственных
векторов.
Представлена
геометрическая интерпретация наличия выброса в
пространстве собственных векторов. Дана количественная
оценка наблюдаемого выброса с помощью числа
обусловленности матрицы собственных векторов.
Введение
Ставится задача исследования свободного движения линейной непрерывной
многомерной динамической системы по норме вектора ее состояния с целью
изучения влияния на это поведение структуры собственных векторов ее
матрицы динамики, обладающей вещественным простым спектром
собственных чисел. Как будет показано, Структура собственных векторов
может породить такие системные ситуации, при которых на траекториях
свободного движения системы по норме вектора состояния возможны
появления выбросов чрезмерной величины, определяемых числом
обусловленности матрицы этих векторов.
Геометрическая и алгебраическая интерпретации выбросов в
траекториях свободного движения апериодических систем в
пространстве собственных векторов
 Геометрическая интерпретация. Поставим задачу поиска
системных причин возможных выбросов в траекториях свободного движения
по вектору состояния апериодической системы
(1)
x t   Fxt ; x0  xt  t  0 ,
где x 0, x t  – вектора соответственно начального и текущего состояний
системы; F 
ее матрица динамики с алгебраическим спектром
и
геометрическим спектром
 F   i ; i  1, n
i : Fi  ii ; i  1, n ;


x 0, x t   R ; F  R
n

n n
. Решение системы (1) имеет вид
x (t )  e Ft x (0) .


Научный руководитель д.т.н. профессор Ушаков Анатолий Владимирович.
1
(2)
На основании свойства матричной экспоненты e Ft сохранять геометрический
спектр матрицы F и с учетом разложения вектора x (0) по собственным
n
векторам, так что выполняется равенство x(0)    ii , решение (2) системы
i 1
(1) может быть записано
x (t ) 
n
  i e i t  i ,
(3)
i 1
причем i  1; i  1, n .
Сформулируем
утверждение,
которое
докажем,
опираясь
на
геометрические представления.
Утверждение 1. Необходимыми условиями наличия выбросов в
траекториях свободного движения по вектору состояния апериодической
системы (1) являются:
1. наличие хотя бы одной пары  l ,  j  arg angl  l ,  j   2 собственных


 


векторов, характеризующейся тупым углом между ними в плоскости, натянутой
на эти вектора;
2. наличие у собственных чисел l ,  j , соответствующих собственным
l , j ,
векторам
свойства,
l ,  j   argl  0,  j  0 & l
удовлетворяющего

условиям
  j .
Доказательство утверждения осуществим геометрическим образом, для
чего рассмотрим линейную оболочку (плоскость) L  l ,  j , натянутую на пару




векторов  l ,  j , образующих тупой угол (см. рис. 1).
Xj
X 0
j
l
Xl
Рис. 1
Зададим вектор начального состояния x 0 системы (1) в виде вектора,
принадлежащего этой оболочке и обладающий единичной нормой так, что он
удовлетворяет x 0  arg x 0  L  l ,  j & x 0  1 . Очевидно, x 0 представим




в форме
x 0   j  j   l  l ,
2
(4)


Потребуем от x 0 , чтобы он был бы биссектрисой угла angl  l ,  j между
векторами  l ,  j , что в силу правил суммирования векторов возможно, когда в


(4)  j и  l равны друг другу. Более того, в силу angl  l ,  j   2 выполняется
условие
 l , j   arg j   l &  j

 1,  l  1 . Рассмотрим движение системы
(1) x t   x  x 0, t  , которое в силу (3) получит представление
xt   xx0, t    j e
t  t Пl  3 l1  0
 l el t  0; xt   xx0, t    j e
  l e l t .
l ,  j   argl  0,  j  0 & l
Если в (5) учесть условие
момента
 jt
(5)

  j , то с
будут выполняться асимптотические условия
 jt
так, что для нормы вектора x t  будет
 t
выполняться условие x t    j e j . Утверждение доказано.
Примечания 1
1. Очевидно, что при angl  l ,  j   2 при любых сочетаниях l ,  j
выбросов в траекториях системы (1) по норме не наблюдается.
2. Если x 0 является биссектрисой острого угла   angl  l ,  j между




векторами  l ,  j , то в траекториях x t   x x 0, t  системы (1) выбросов
также не наблюдается.
3. Если x 0 принадлежит angl  l ,  j   2 , но не является биссектрисой




так, что выполняется одно из двух возможных условий  l  1,  j  0 или
 l  0,  j  1 , то при любом сочетании собственных чисел l ,  j системы (1)


невозможно появления выбросов в траекториях по норме вектора состояния.
Проиллюстрируем справедливость положений утверждения 1 примером.
Пример 1
Рассмотрим систему (1) с вектором состояния второго порядка,
характеризующуюся спектром собственных векторов матрицы F вида
1  1 0Т ; 2   0.9987 0.05Т , которые удовлетворяют требованиям
условия 1 утверждения 1, обладая единичной нормой и образуя тупой и острый
углы. Зададим матрице F алгебраический спектр собственных чисел вида
 F   i  argdet λI  F   0 : 1  1; 2  50,
элементы
которого
удовлетворяют условию 2 утверждения 1.
Для полноты картины сформируем матрицу F , обладающую
приведенными геометрическим и алгебраическим спектрами. Для чего
воспользуемся модальным разложением этой матрицы с учетом того, что
матрица диагонализации имеет своими столбцами собственные вектора
матрицы. Тогда получим
3
0
1  0.9987    1 0  1  0.9987 

1  2 1  
F  MM 1  1  2  1

0.05   0  50 0
0.05 
0
 0 2 
  1 978 .726 

.
 50 
0
1

Зададим в качестве вектора начального состояния x 0 вектор единичной
нормы x 0  1 , принадлежащий биссектрисе угла angl 1 ,  2  . В результате
он получает представление x 0  0.0255 0.9997 T . Разложим вектор x 0 по
собственным векторам матрицы F , в результате чего получаем представление
x 0  19.99351  19.994 2 . Представление (5) для свободного движения,
сконструированной матрицы F , будет иметь вид
x t   x  x 0, t   exp Ft x 0   1e 1t   2 e  2 t  19.9935 e t  19.994 e 50t .
Нетрудно видеть, что составляющая свободного
движения
x 2 t   19.994 2 e 50t в
момент
t  21 ln  
  0.05
 0.0599
практически
становится нулевой (достигает пятипроцентного значения от начального
значения). В этот же момент вторая составляющая свободного движения
x1 t   19.99351e t
будет
определяться
выражением
x1 t   19.99351e 0.0599  18.83111 . Очевидно, в траектории свободного
движения сконструированной двумерной системы вида (1) будет наблюдаться
выброс max x t  по норме x t  вектора состояния равный max x t   17.8324 .
t
t
Подтвердим этот результат непосредственным наблюдением за нормой x t 
свободного движения, вычисляемая в силу соотношения xt   expFt x0 .
Полученная кривая представлена на рис. 2.а (кривая 1). Кривая подтверждает
правильность оценки выброса траекторий свободного движения, полученных на
основе геометрической интерпретации.
На рис. 2.а и б приведены кривые процессов в системе с той же структурой
собственных векторов, что и выше, но для полноты картины со спектрами
 F   1  1; 2  25
собственных
чисел:
(кривая
2),
 F   1  1; 2  10 (кривая 3) и  F   1  1; 2  5 (кривая 4),
спектры характеризуются единым максимальным собственным числом
 M  1  1 . Причем на рис. 2.а приведены процессы по норме, а на рис. 2.б
для большей геометрической наглядности в фазовом пространстве, натянутом
на пару собственных векторов.
4
Рис. 2
 Алгебраическая
интерпретация.
Число обусловленности
модифицированной матрицы собственных векторов матрицы динамики
системы как количественная мера выбросов. Проблему, вынесенную в
заголовок подраздела, начнем с рассмотрения решения системы (1), которое [1,
3, 5, 7, 9, 13] имеет вид (2). Перейдем в выражении (2) к соотношениям по
векторным и матричным нормам, тогда [1, 3, 6, 8, 12] становится справедливой
запись
(6)
x t   expFt x 0  expFt   x 0 .
Напомним, что система (1) устойчивая апериодическая с матрицей F простой
структуры так, что её спектр собственных чисел удовлетворяет условиям:
(7)
 F   i  argdetI  F   0; i  0; Jmi   0; i   j при i  j .


Так как матрица F простой структуры, то для нее оказывается справедливой
модальное представление в форме
F  MM 1 .
(8)
где M  row M i ; i  1, n матрица собственных векторов матрицы F так, что




выполняется соотношение FM i  i M i ;   diag i ; i  1, n . Известно [3, 6, 8],
что матричная функция f * от матрицы * сохраняет модальное
представление (8) для матричной функции, записываемое в форме
5
f F   Mf  M 1 . Если в качестве матричной функции взять матричную
экспоненту f F   exp Ft  , то для нее можно записать


x t   expFt x 0  expFt   x 0  Mdiage  t ; i  1, nM 1  x 0 .
exp Ft   M exp  M 1  Mdiag e i t ; i  1, n M 1 .
Подставим (9) в (6)
i
(9)
(10)
Продолжим формирование экспоненциального покрытия roof x t  процессов в
автономной системе (1) по норме x t  её свободного движения, для которого
на основании (10) сформируем цепочку неравенств




x t   Mdiag e i t ; i  1, n M 1  x 0  M  diag e i t ; i  1, n  M 1  x 0 . (11)
Учтем, что мультипликативная конструкция M  M 1
представляет собой
число обусловленности [2, 4, 8, 12, 14, 15, 16] C M  матрицы собственных
векторов матрицы F так, что выполняется равенство CM   M  M 1 ;


diag e i t ; i  1, n  e  M t , где  M – максимальное собственное число матрицы
F , определяющее степень устойчивости  системы (1) в форме    M [1, 9,
10, 11]. Изложенное выше позволяет сформировать экспоненциальное покрытие
roof x t  процесса x t  , степень достаточности которого будет определяться
числом обусловленности C M  матрицы собственных векторов матрицы F ,
которые ищутся с точностью до их нормы. Таким образом, число
обусловленности C M  матрицы будет минимальным, если матрица
собственных векторов составлена из векторов единичной нормы. Тогда
экспоненциальное покрытие roof x t 
процесса
минимальной
x t 
достаточности удовлетворяет соотношениям
~
(12)
xt   roof xt   C M eM t x0 .
~
где матрица M – модифицированная матрица собственных векторов матрицы
F , то есть матрица её собственных векторов единичной нормы, вычисляемая в
~
1
силу соотношения M  M  diag M i 2 ; i  1, n .
 



Соотношение (12) позволяет сделать следующий вывод. Покрытие x t 
процесса по норме автономной системы, стартующего из точки  x 0 , t  0,
~
превышает это значение в C M раз, оставаясь экспоненциальным. Это значит,
 
что покрытие roof  x t   покрывает процесс x t  , характеризующийся
наличием выброса при асимптотическом стремлении к нулю.
Пример 2.
Рассмотрим систему вида (1) из примера 1 на предмет эффективности
использования результата в форме (12). Система вида (1) из примера 1
характеризуется:
6
  1 978 .726 
, модифицированной матрицей
F
 50 
0
1  0.9987 
~ ~
~
собственных векторов
, характеризующаяся
M  1  2  
0.05 
0
~
числом обусловленности C M , вычисление численного значения которого
предоставляется читателю. Тогда в силу (12) покрытия процессов по норме
матрицей
состояния


 


roof  x t   в системе из примера 3.1 принимает вид x t  39.973e x 0
~
и xt   С M e t x0 . На рис 3 приведены кривые рис. 2 (кривые 1 – 4) и их
экспоненциальное покрытие.
 
t
||x(t)|| 20
18
1
2
16
14
3
12
10
4
8
6
4
2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
t, sec
Рис. 3
Следует отметить, что полученные выше покрытия обладают
достаточностью оценок, и они инвариантны относительно вектора начального
состояния x 0 , что подчеркивает конструктивность представления (12)
Заключение
Установлено, что в апериодических системах, то есть системах с
вещественным спектром отрицательных собственных чисел, но со структурой
собственных векторов, близкой к колинеарности, порождающей модальную
матрицу с большим значением числа обусловленности, при определенных
реализациях вектора начального состояния
возможны существенные
отклонения (выбросы) траекторий по норме вектора состояния от монотонного
их развития, не нарушающие в целом асимптотической сходимости.
Таким образом, структура собственных векторов матриц динамики
устойчивых апериодических непрерывных систем оказывается важным
системным фактором, наделяющим динамические процессы в системе весьма
специфическими свойствами, которые могут приводить к нежелательным
последствиям разрушительного характера.
7
Работа выполнена при государственной финансовой поддержке ведущих
университетов Российской Федерации (субсидия 074-U01)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
ЛИТЕРАТУРА
Андреев Ю. Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976. 424 с.
Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. – М.: Наука, 1984. 320 с.
Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1973. 578 с.
Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления: Пер. с англ. – М.: Мир, 1999. 548 с.
Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления: Пер с англ. – М: Мир,
1977. 650 с.
Ланкастер П. Теория матриц. – М.: Наука, 1982. 272 с.
Матричные уравнения в задачах управления и наблюдения непрерывными объектами / Т.А.
Акунов, С. Алишеров, Р.О. Оморов, А.В. Ушаков; Под ред. А.В. Ушакова. – Бишкек: Илим,
1991. 61 с.
Уилкинсон Дж. Х. Алгебраические проблемы собственных значений/ Пер. с англ. М.: Наука,
Физматлит. 1970. 564 с.
Ушаков А., Дударенко Н., Слита О. Современная теория многомерного управления: аппарат
пространства состояний.– Saarbrucken: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2011.–418с.
Харитонов В.Л. Об асимптотической устойчивости семейства систем линейных
дифференциальных уравнений// Диф. уравн. 1978. Т.14. №11.C. 2086-2088.
Харитонов В.Л. Устойчивость вложенных семейств полиномов. // Автоматика и
телемеханика. 1995. № 5. С. 170-178.
G.H. Golub, J.H. Wilkinson ILL-conditioned eigensystems and the computation of the Jordan
canonical form SIAM Rev., 18 (1976), pp. 578–619
C. B. Moler and C. F. Van Loan, “Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix,
Twenty-Five Years Later,” SIAM Review, Vol. 45, No. 1, 2003, pp. 3-49.
Wilkinson J.H. Sensitivity of eigenvalues. Utilitas Mathematica. 1984. V. 25. P. 5-76.
Wilkinson J.H. Sensitivity of eigenvalues II. Utilitas Mathematica. 1986. V. 30. P. 243-286.
Zhang L., Wang X.T. Partial eigenvalue assignment for high order system by multi-input control //
Mechanical Systems and Signal Processing. 2014. V. 42. Iss.1-2. P. 129–136.
8
Скачать