РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Л.Г. Страховская

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
Ордена Ленина Институт Прикладной Математики им. М.В. Келдыша
Л.Г. Страховская
Об одном варианте МКСЭ для уравнений Навье-Стокса
Москва 2006
2
Л.Г. Страховская
Об одном варианте МКСЭ для уравнений Навье-Стокса
АННОТАЦИЯ
Построен вариант метода конечных суперэлеменов (МКСЭ) для расчёта
течений вязкой несжимаемой жидкости с преобладанием конвективного
переноса в двумерных областях на треугольной неструктурированной сетке.
L.G. Strakhovskaya
One FSEM variant for Navier-Stokes equations
ABSTRACT
A variant of the finite superelement method (FSEM) for computing of 2-D
viscous incompressible flows from a predominance of convective transfer on
unstructured triangular meshes is constructed.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных
исследований (код проекта 05-01-00573)
СОДЕРЖАНИЕ
Введение……………………………………………….………………........3
1. Постановка задачи……………………...…..………………………………4
2. Слабая постановка задачи.....………………………………………………6
3. Аппроксимация.…..………………………………………………………...9
4. Метод конечных суперэлементов………..…………………………...…..12
5. Вычислительный эксперимент……….……….………..…………………16
6. Заключение…..………………………….………………………………….17
Список литературы ………………………………………………………..24
3
ВВЕДЕНИЕ
Развивается одно из направлений в конструировании разностных схем
для расчета течений вязкой несжимаемой жидкости в двумерных областях
сложной формы. Пространственные аппроксимации нестационарных
нелинейных уравнений Навье-Стокса на треугольной неструктурированной
сетке строятся методом конечных суперэлеменов (МКСЭ) для чисел
Рейнольдса в диапазоне 10 2  10 4 . Обобщённое (слабое) решение ищется в
пространстве непрерывных функций, пространство следов которых на
границе ячеек состоит из интерполяционных полиномов заданной степени
N (порядок схемы). Внутрь ячейки оно продолжается как приближенное
решение рассматриваемого уравнения в классе полиномов более высокой
заданной степени J  N . Числа J и N являются параметрами метода.
В стандартном МКСЭ [1] считается, что внутри ячейки решение является
«точным» решением рассматриваемого уравнения в классическом смысле, а
на границе ячеек удовлетворяет условиям слабой непрерывности потока.
Полиномиальное приближение в данной работе используется в целях
экономии времени расчета базисных функций, который необходимо делать
во всех ячейках на каждом шаге по времени. Все операции
дифференцирования и интегрирования выполняются по аналитическим
формулам. В то же время требуется выполнение специального
вариационного уравнения аналогичного уравнению в МКЭ, для чего
необходимо вычислять интегралы по площади в отличие от контурных
интегралов при расчете потоков в стандартном МКСЭ.
В работах [2,3] схемы МКСЭ строятся применительно к двумерному
уравнению конвекции-диффузии, которое следует рассматривать как
фрагмент нелинейной системы уравнений Навье-Стокса. Такой фрагмент
может появиться при итерационном решении стационарной задачи,
основанном на общей идее расщепления системы уравнений и линеаризации,
или при решении нестационарной задачи по какой-либо неявной схеме. Опыт
решения уравнения конвекции-диффузии был использован при решении
системы уравнений Навье-Стокса.
МКСЭ был предложен в 1976 году [4] для расчета задач, моделирующих
нейтронно-физические процессы в ядерных реакторах [5], а затем
использовался для решения задач теории упругости [6]. МКСЭ - это
проекционно-сеточный метод, использующий идеи МКЭ, но в деталях
существенно отличающийся от стандартных конструкций МКЭ [7]. Основная
цель МКСЭ - это расчет задач на сетках с большим шагом, большим
относительно степени гладкости искомого решения, но в то же время –
эффективный учет мелкомасштабных неоднородностей внутри ячейки,
играющих важную роль в рассчитываемых процессах.
4
В данной работе представлены расчеты трех модельных задач: задача о
тепловой конвекции (GAMM-test 89), течение в каверне с движущейся
верхней стенкой и задача с известным точным решением. Решение
нестационарной задачи осуществляется по неявной схеме, на каждом шаге по
времени для разрешения нелинейности делается небольшое число (3-5)
итераций типа Ньютона. Используется треугольная не разнесенная сетка,
одна и та же для скоростей и давления, узлы сетки расположены в вершинах
и на сторонах треугольников. Основное внимание уделяется построению
пространственной аппроксимации стационарной линеаризованной системы
Навье-Стокса методом конечных суперэлементов. В каждом треугольнике
строится векторный суперэлемент: по числу узлов на границе треугольника
строятся три векторные трехкомпонентные базисные функции с полюсом в
данном узле.
Подробные эксперименты по построению неявной схемы, по решению
нелинейной задачи и конструированию векторного суперэлемента будут
представлены в следующих публикациях.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Система уравнений Навье-Стокса, описывающая течение вязкой
несжимаемой жидкости в ограниченной области   R 2 с границей  , имеет
вид:
u
 u  ( u )u   p  q
( x , y )   ; u   g ,
,
(1)
t
u  0
u( x , y ,0 )  u 0 ( x , y )
где u  ( u( x , y ,t ),v( x , y ,t )) - неизвестная вектор-функция скорости, p( x , y ,t ) неизвестная функция давления;  ( x , y )  0 - коэффициент вязкости,
функция источника q  ( q1( x , y ,t ),q 2 ( x , y ,t )) и g  ( g 1( x , y ,t ),g 2 ( x , y ,t )) заданные функции, а
 u u 


  u   x y 
(u)    
.
  v   v v 


 x y 
Нестационарную задачу (1) будем решать по полностью неявной схеме,
t n1  t n   необходимо решить
тогда на каждом шаге по времени
стационарную нелинейную задачу:
5
u n1  u n

 u n1  ( u n1 )u n1  p n1  q
(2)
  u n1  0
Для ее решения строится итерационный процесс, в котором на каждой
итерации решается линеаризованная краевая задача [8]. Используются
итерации типа
( u m1 )u m1  ( u m1 )u m  ( u m )u m1  ( u m )u m .
Полученную линеаризованную дифференциальную систему уравнений
Навье – Стокса на m  1 итерации запишем в виде:
 u m1  U
u m1
u m1
p m1
V
 a11u m1  a12v m1 
 f1
x
y
x
 v m1  U
v m1
v m1
p m1
V
 a 21u m1  a 22v m1 
 f2
x
y
y
(3)
u m1
v m1

 0
x
y
u

 g 1 ( x , y ),
v   g 2 ( x , y ) .
Здесь  ,U ,V ,a11 ,a12 ,a21 ,a22 , f 1 , f 2 - известные функции x , y с предыдущей
итерации.
Введём три вектора u , u1 ( u) , u 2 ( u) , опуская индекс m  1 :
 u
    Uu 
 x
 v
u 1      Uv
 x
u



u 
 
u  v ,
 p
 
u



 Vu
 

p
y




 , u    v  Vv  p 


2

y





v







(4)
При условии U  V  0 уравнения (3) могут быть записаны в «почти
x
y
дивергентной форме»:
Lu 
u1 u 2

 Au  f ,
x
y
(5)
6
где матрица
 a11

A   a21
 0

a12
a22
0
0

0  и правая часть:
0 
 f1
 
f  f 2.
 
0
 
Для (5) будем использовать также представление
 L11 L12 L13 


Lu   L21 L22 L23 u  f ,
L L 0 
 31 32

(5а)
Аппроксимация векторного уравнения (5) на
треугольной
неструктурированной
сетке,
полученной
некоторой
правильной
триангуляцией области  , строится методом конечных суперэлементов.
2.СЛАБАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим формальное интегральное тождество, на которое опирается
определение обобщенного (слабого) решения уравнения (5): для любой
подобласти   
 ( Lu  f )wd  (u n

1 x

 u 2 n y )wds -  (u1

w
w
 u2
)d   Auw d -  fw d (6)
x
y


здесь w  ( w1 , w2 , w3 ) - произвольная гладкая вектор-функция с носителем 
(пока без требования обращения в ноль на  ), n  ( nx ,n y ) - внешняя
нормаль к  .
2.1. В МКЭ алгоритм построения приближенного решения уравнения (5)
состоит в следующем:
а) В области  вводится треугольная сетка, в локальной нумерации счетные
узлы ( xm , y m ) расположены в вершинах треугольной ячейки T (схема 1-го
порядка), на сторонах треугольника и, для схем выше второго порядка
~m .
точности, еще внутри T . В узлах нужно вычислить сеточные значения u
7
Схема МКЭ 3 порядка,
шаблон «Треугольник»

б) В T выбирается интерполяционный базис { ~m } , состоящий, например, из
полиномов Лагранжа, или Чебышева, или экспоненциальных функций.
Внутрь ячейки приближенное решение продолжается интерполированием,
пока неизвестных, сеточных значений
~( x , y )  u~ ~ ( x , y ) .
u
m m
(7)
m
Заметим, что в случае неоднородной области при недостаточно малом
размере ячейки, даже, если известны точные сеточные значения решения,
приближенное решение (7) является грубым, не учитывающим сложное
поведение решения внутри T .
в) Определяется билинейная форма
a( u ,w )    (u1

w
w
 u2
)d   Auw d
x
y

и скалярное произведение
( f ,w )   fw d ,

слабым решением уравнения (5) называется [9] непрерывная кусочно~ , удовлетворяющая уравнению
дифференцируемая функция u
~ ,w )  ( f ,w ) ,
a( u
w ,
w(  )  0 ,
(8)
0
т.е. функция w должна принадлежать тестовому пространству W21 .
Решение (7) подставляется в (8). Матрица жесткости системы алгебраических
~ m собирается из функционалов
уравнений относительно неизвестных u
~ ,
~ ).
a (
m
l
2.2. МКСЭ отличается от МКЭ следующим:
а) счетные узлы расположены в вершинах и на сторонах треугольника,
внутри T счетных узлов нет.
8
Схема 3 порядка в
МКСЭ, шаблоны
«Звезда» и «Ромб»
ω
б) В T рассчитываются два интерполяционных векторных базиса  ik ( x , y ) ,
 m k ( x , y ) из специальных краевых задач:
k  1,2,3; i  1,2,...,3N ,
L ik  0,
( x , y ) T ,
 ik T  ~i e k ,
L m k  ~m e k , ( x , y )  T ,  m k T  0 ,
(9)
k  1,2; m  1,2,...,M ,
3N - число узлов на T , M - число узлов в T .
Внутри ячейки приближенное решение представляется в виде
3
u( x , y )  
k 1
3N
i1 u
k
i
2
 ik ( x , y )  
k 1
M
f mk  mk( x , y ) ,

m1
(10)
u ik - искомые сеточные значения, f mk - известные сеточные значения правой
части.
Задачи (9) в T решаются «точно» на подробной внутренней сетке.
в) Слабым решением является непрерывная, кусочно-гладкая функция u ,
которая в точках гладкости (внутри T ) является «точным» классическим
решением уравнения (5), а на линиях разрыва первых производных (на T )
удовлетворяет условию слабой непрерывности потока [1],[2],[10]:
(11)
 (u1nx  u 2 n y )ds  0

Решение
(10)
подставляется
в
(11).
Матрица
жесткости
k
системы
алгебраических уравнений относительно неизвестных u i собирается из
функционалов типа (11) от базисных функций  ik ( x , y ) . Построенная
конечно-элементная схема отличается от (8) более точной аппроксимацией
решения внутри T и, следовательно, на. T .
Уравнение (11) можно трактовать как условие того, что в качестве носителя
 в (5) выбирается крестообразная область меры ноль с центром в узле
счетной сетки, а в качестве w - характеристическая функция области  [11].
2.3. В данной работе предлагается следующее определение слабого решения
задачи (5). Определим форму
9
B( u ,w )  -  (u1

и
w
w
 u2
)d   Auw d   (unx  vn y )w3 ds
x
y


(12)
w  ( w1 ,w2 , w3 ) с компонентами
тестовое пространство функций
0
w1 ,w2  W21 и w3  W21 , поэтому в контурном интеграле формулы (6) после
(u n
умножения векторов останется только
x
 v n y )w3 ds , где n  ( nx ,n y ) -

внешняя нормаль к  .
Слабым решением задачи (5) назовем непрерывную
u = ( u1 ,u 2 ,u 3 ) = ( u , v, p)  W21 ,
которая
на
границе
ячеек
функцию
состоит
из
интерполяционных полиномов заданной степени N (порядок схемы). Внутрь
ячейки она продолжается как приближенное решение уравнения (5) в классе
полиномов более высокой заданной степени J  N и удовлетворяет
уравнению
B( u ,w )  ( f ,w ) ,
u

 g1 ,
v   g 2 ,
(13)
g 1 , g 2 W21 / 2
0
3
1
 w  ( w , w , w ) : w , w  W21 , w  W2 ;
1
2
1
3
2
f 1, f 2  L2 .
3. АППРОКСИМАЦИЯ
3.1. Основная сетка. Предполагаем, что с помощью правильной
триангуляции в области  можно построить сетку, в общем случае
неструктурированную, с треугольными ячейками T t , причем    T t и
t
любые два треугольника либо не пересекаются, либо имеют общее ребро,
либо общую вершину. Узлы сетки расположены в вершинах треугольников
(схема первого порядка), а также, в зависимости от порядка схемы N, на
каждой стороне треугольника вводится N-1 узел. Всего на границе
треугольника вводится 3N счетных узлов (назовем их объединение N ht ), в
которых должны быть определены значения сеточной функции
u ti  ( uit ,1 , u it,2 , u it,3)  (uit , vit , pit ) , i  1,2,...,3N , здесь i - локальный номер узла в
ячейке. Объединение N ht по всем ячейкам назовем сеткой N h . Полином P ,
интерполирующий след функции u на T t по 3N узлам, будем записывать в
виде:
P ( x, y; u)T t 
3N
i1 u1i ~i ( x, y) ,
t
(14)
10
{ ~i ( x , y ), i  1,2,...,3N}
система функций, образующая на T t полный
интерполяционный
базис порядка N относительно системы узлов N ht , и
~i ( xk , yk )  ki , i, k  1,2,...,3N . Узел ( xi , yi ) , в котором функция ~i ( xi , yi )  1 называется ее
полюсом.
3.2. Вспомогательная сетка. Для кусочно-гладкого восполнения известных
сеточных функций  ,U ,V ,a11 ,a12 , a 21 ,a 22 , f 1 , f 2 внутри ячейки T t будем
использовать также сетку M ht , которая совпадает с сеткой N ht для N  2 , а для
t
N  3 сетка M ht включает еще внутренние узлы в треугольнике T . Число
узлов M сетки M ht равно M  (N  1)(N  2) / 2 , из них (N  1)(N  2) / 2 узла лежит внутри
треугольника. Полином P , интерполирующий, например, функцию U по M
узлам в ячейке, будем записывать в виде:
-
P ( x, y;U ) 
{ ~ m ( x , y ) , m  1,2,...,M}
M
~
U mt m ( x, y) ,

m 1
(15)
система функций, образующая в T полный
полиномиальный базис степени N относительно системы узлов M ht , где
~ m ( xk , yk )   km , k ,m  1,2,..., M . Для N  1,2 системы базисных функций { ~i } и { ~ m }
совпадают. Для N  3, M  3N .
3.3. Конструкция скалярных функций ~i ( x , y ) , ~ m ( x , y ) ,  j ( x, y ) .
t
Прежде всего, делается преобразование системы координат Oxy в систему
O
координат
так,
чтобы
треугольник
вершинами:
Tt с
( x1 , y1 ),( x2 , y 2 ),( x3 , y3 ) перешёл в треугольник
с вершинами
I
( 0,0 ),( 1,0 ),( 0,1 ) :
x  ( x2  x1 )  ( x3  x1 )  x1  x1( 1     )  x2  x3 
(16)
y  ( y2  y1 )  ( y3  y1 )  y1  y1( 1     )  y2  y3 
( x  x1 ) ( x3  x1 )
J  2 ST  2
- Якобиан преобразования.
( y 2  y1 ) ( y3  y1 )

y
n
V3
1

T
V1
O

V2
x
O
Рис. 1
I

1

11
Обратное преобразование имеет вид:
1
  [( y3  y1 )x  ( x3  x1 ) y  y1 x3  x1 y3 ]
J
1
  [( y1  y2 )x  ( x2  x1 ) y  x1 y2  y1 x2 ]
J
Координаты нормали n  (n x , n y ) , например, ко второй стороне треугольника
T t имеют выражения:
n x  ( y2  y1 ) / ( x2  x1 )2  ( y2  y1 )2
.
n y  ( x1  x2 ) / ( x2  x1 )2  ( y2  y1 )2
Исходным для построения функций ~i (  ,  ) , ~ m (  ,  ) является степенной
предбазис, состоящий из мономов – степеней переменных  ,  , которые
обозначаем  j   j  j , K j , M j  0 . Структуру предбазиса представим в
виде «бесконечного» треугольника Паскаля, занумеровав функции  j по
K
M
строкам слева направо и сверху вниз.
1

2
3
4
5

 2
 3
 4

2
 2
 2 2
 3 2
3
 3
 2 3
4
 4
5
..............................................................
Мономы
разделяем на граничные
и внутренние. Функции ~i (  ,  )
интерполяционного базиса порядка N на границе треугольника I строятся из
мономов, расположенных по границе первых N+1 строк треугольника
Паскаля, в виде
~ (, ) 

i
Коэффициенты
3N
aij  List ( j ) (, ) ,

j 1
.
(17)
обычным
способом
построения
интерполяционного базиса из условия: ~i (  k ,  k )   ki , i ,k  1,2,...,3N . Порядок
расположения узлов (  k ,  k ) вдоль границы треугольника и номера граничных
мономов  j для каждого порядка схемы N строго определены. Узлы
aij
находятся
i  1,2 ,...,3 N
12
занумерованы в направлении против часовой стрелки, начиная с узла ( 0,0 ) ,
список номеров List ( j )
задаётся таблицей. Например, чтобы построить
функции ~i (, ) для схемы третьего порядка, надо выделить в бесконечном
треугольнике Паскаля первые четыре строки и взять в (17) все граничные
мономы, начиная с 1. Коэффициенты aij , i , j  1,2,...,3N не зависят от номера
t треугольника T t , вычисляются для каждого N один раз и хранятся на
диске.
Таким же образом строятся функции ~ m (  ,  ) полного полиномиального
базиса степени N в треугольнике I , в которые входят уже все мономы из
первых N+1 строк треугольника Паскаля, включая внутренние:
M
~ ( , ) 

 a m j  List ( j ) (  ,  ) , m  1,2,...,M .
m
(18)
j 1
Нумерация узлов и мономов идет сначала по границе как в (17), затем по
внутренним мономам подобно исходной нумерации  j . Коэффициенты
amj (N) , m, j  1,2,..., M вычисляются для каждого N также один раз и хранятся на
диске. Будет использоваться также система линейно-независимых функций,
обращающихся в ноль на границе I :
(19)
{ j (, )  (1    ) j , j  1,2,..., J }
4. МЕТОД КОНЕЧНЫХ СУПЕРЭЛЕМЕНТОВ
Метод конечных суперэлементов является проекционно-сеточным
методом. Построение схемы состоит из двух этапов: построение базиса в
ячейке (суперэлемент) и вычисление коэффициентов схемы. Основной
конструкцией является построение специального базиса в счетной ячейке,
размеры которой велики по сравнению со степенью гладкости искомых
функций. Базисные функции должны отражать эту негладкость решения
внутри ячейки. В стандартном МКСЭ для этой цели в ячейке вводится
подробная сетка, на которой базис рассчитывается каким-либо конечноразностным методом, либо МКЭ. В данной работе для построения базиса
используется проекционный метод. Для задачи (3) впервые предлагается
конструировать векторный суперэлемент [8].
4.1 Векторный суперэлемент. В каждой треугольной ячейке T t , на границе
которой расположено 3N счетных узлов (сетка N ht ), построим систему из
 ik  (1ik , ik2 , 3ik ), k  1,2,3; i  1,2,...,3N
3×3N базисных вектор-функций
(они зависят и от t ) как решения элементарных краевых задач:
13
L ik  0,
( x , y ) T ,
 ik
T
 ~i e k ,
k  1,2,3; i  1,2,...,3N
(20)
Кроме того, определим еще базисные функции  mk , k  1,2; m  1,2,...,M как
решения неоднородного уравнения в T t с нулевыми значениями на T t :
~ e ,
L m k  
m k
( x , y ) T ,  m k
T
 0, k  1,2; m  1,2,...,M ,
(21)
где ~ i - полный скалярный интерполяционный базис на T и ~ m - полный
скалярный интерполяционный базис в T , являются заданными функциями.
Решение краевых задач в треугольной ячейке осуществлялось: методом
коллокаций, Галеркина, методом минимальных интегральных невязок, МКЭ.
Исследовалась точность решения в зависимости от порядка схемы N и
способа решения.
Векторным суперэлементом (СЭ) порядка N назовем треугольную ячейку
T t , оснащенную системами базисных вектор-функций :
{  ik ( x, y )}, i  1,2,...,3N; k  1,2,3.
{  mk ( x, y ) }, m  1,2,...,M; k  1,2 .
(22)
4.2. Приближенное решение в ячейке T t .
Приближенное решение в ячейке T t ищется в виде
3
u t ( x, y )  
k 1
3N
2
i 1
k 1
 uitk  tik ( x, y)  
M
f mtk  tmk ( x, y)

m 1
(23)
tk
здесь ui - неизвестные пока сеточные значения искомого решения
uti  (u1t ,i1 , u it,2, u it,3)  (uit , vit , pit ) , i - локальный номер узла на T t , k - номер
компоненты;
f mk
- известные значения сеточного представления правой
части, m - локальный номер узла в T t . Индекс k у вектор-функции  ik ( x, y )
обозначает номер базисной функции с граничными значениями в (20), а у
t
вектор-функции  ik ( x, y ) индекс k обозначает номер базисной функции,
являющейся решением уравнения с правой частью в (21).
4.3. Конструкция базисных функций для однородной задачи.
Элементарная ячейка T t сетки N h
рассматривается как отдельная
изолированная область, в которой надо решить серию краевых задач (20),
отличающихся данными на границе T t . Базисные трёхкомпонентные
вектор-функции  ik  (1ik , ik2 , 3ik ), k  1,2,3; i  1,2,...,3N ищутся как слабое
решение (20) в виде полиномиальных функций:
t
14
 J

  bikj1 j ( x, y ) 

 1ik ( x, y )   j 1




J
2
j2
~ ( x, y )e

 ik ( x, y )    bik  j ( x, y )   
i
k
 j 1



3
  ( x, y )  

Jp
 ik

j3
p


  bik  j ( x, y ) 
 j 1

Пока
полагаем
 pj (, )   j (, ) ,
но
(24)
рассматривается
вариант
с
 pj (, )   j (, ) .
Система
уравнений
для
нахождения
коэффициентов
bikjm ,
i  1,2,...,3N ; k,m  1,2,3 в (24) строится в соответствии с уравнением (13) для
однородной задачи с тестовыми функциями ψ nl   n e l .
B ( ik ,  nl )  0
(25)
- для  (i, k ) это система из 2 J  J p уравнений с 2 J  J p неизвестными с
одной и той же матрицей P с элементами
pnl 1, j m1  Blm ( j ,  n ), j, n  1,..., J ( J p ); l , m  1,2,3.
Для дальнейшего нам будет удобно представить матрицу системы (25),
состоящей из блоков, сгруппировав блок в соответствии с видом уравнения
(5а):
~ , )
 B11 ( j ,  n ) B12 ( j ,  n ) B13 ( j ,  n )   bikj1   B1k (
i
n
 

 
j2
~
 B 21 ( j ,  n ) B 22 ( j ,  n ) B 23 ( j ,  n )    bik    B 2k (i ,  n )

  j 3  
~
B
(

,

)
B
(

,

)
0
31
j
n
32
j
n

  bik   B3k (i ,  n )





(26)
Таким образом, для построения функций  ik надо один раз обратить
матрицу P и 3×3N раз умножить P 1
на вектор правой части
~
( B( ik ,  nl )), l  1,2, n  1,2,...J ; l  3, n  1,2,..., J p .
4.4. Конструкция базисных функций неоднородной задачи.
Базисные трёхкомпонентные вектор-функции  m k , m  1,2,..., M; k  1,2.
ищутся как слабое решение неоднородного уравнения
(21) в T t с
нулевыми значениями на T t в виде:
15
 1m k ( x, y ) 
 2m k ( x, y ) 
J
c
j 1
J
c
j 1
J

3
mk
( x, y ) 
p
(27)
 j ( x, y )
j2
mk
c
j 1
 j ( x, y )
j1
mk
 pj ( x, y )
j3
mk
нахождения
коэффициентов
cmjmk ,
k  1,2; m  1,2,..., M; j  1,2,..., J (J p ), m '  1,2,3. строится в соответствии с (13) с
тестовыми функциями ψ nl   n e l .
Система
уравнений
~
~
 m k   me k .
'
для
~
B( mk ,  nl )  ( mk ,  nl ) ,
(28)
где
Это система уравнений с той же матрицей P , что и (25). Таким образом, для
построения функций  m k надо 2M раз умножить матрицу P 1 на вектор
~
правой части (( mk ,  nl )), l  1,2, n  1,2,...J ; l  3, n  1,2,..., J p .
4.5 Вычисление коэффициентов разностной схемы. После того как
'
найдены коэффициенты bikjm . cmjmk выражения (23) подставляются в (13), в
~ 
~ e . Уравнение (13) записывается в виде:
качестве w t берутся 
j
jl
j l
~ )  (f , 
~ ),
B(u, 
jl
jl
(29)
Для формирования разностных уравнений предварительно в каждой T t
ячейке вычисляются функционалы:
~k ~
~ ), B ( k , 
~ ) , (
Bln (iuk , 
j
ln
mf
j
mf ,  j ) ,
k,l,n,u  1,2 ,3;
f  1,2; i,j  1,2 ,...,3 N ; m  1,2 ,...,M
.
Собирая матрицу жесткости из функционалов при коэффициентах ui , vi , pi
по шаблону типа «звезда» или «ромб», мы получим систему алгебраических
уравнений в N h на m  1 итерации (3), здесь i – номер узла глобальной сетки
Nh в .
 Fji u i
iN h
 R j,
j  Nh
(30)
4.6 Вычислительный алгоритм. К уравнениям (30) надо добавить еще одно
уравнение, условие нормировки для p ( x, y, t n ) :  pd  0 . В модельных

задачах для решения переопределенной системы (30) используется
стандартная программа DLSBRR из MSIMSL. Сделав несколько итераций
( m  2  5 ) решения нелинейной задачи (2), мы получаем решение
нестационарной задачи на n  1 шаге по времени.
16
5. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
5.1. Задача о тепловой конвекции
Результаты расчетов модельной задачи о тепловой конвекции (GAMMtest 89) по схеме МКСЭ 3-го порядка ( N  3) приведены на рисунках 2,3:  прямоугольник XY со сторонами 41,   1 , q 1  0, q 2  Gr  x , где Gr число Грасгофа. При Gr  2  10 4 устанавливается один вихрь, при Gr  2  10 4 –
два вихря. Число Грасгофа характеризует степень нелинейности задачи [12].
Расчеты проводились на ортогональной сетке с числом треугольников
равным 2  10  10 (область делится на 10  10 прямоугольников, которые
делятся диагональю из левого нижнего угла в верхний правый на два
треугольника). В первом расчете для установления решения требовалось 4
шага по времени, во втором – 60.
  max
1. Gr  2  10,   10 ,   10, n  4, m  1  3 ,
6
i
u in 1  u in
.
u in 1
2. Gr  4  10 4 ,   10 4 ,   10, n  60, m  3 .
На рисунках представлена также функция тока : Stream.fun = ( x, y)
u  y , v  x .
5.2. Точное решение модельной задачи:
Исследовалась зависимость точности решения от порядка схемы [13]. На
рис. 4 приведен расчет модельной стационарной нелинейной задачи с
известным точным решением на той же сетке:
u  8 x(1  x)(2 y  1), v  8 y(1  y)(2 x  1), p  (2 x  1)(2 y  1) .
q 1  uux  vu y  ( 16  2) (2 y  1), q 2  uvx  vv y - ( 16  2) (2 x  1) .
В таблице приводится зависимость числа итераций m от порядка схемы
Norder и числа Рейнольдса Re   1 , J  3, J p  1 . Итерации велись до:
u
m 1
i
u im1  u i
 u  10 ,  
,
ui
m
i
7
u i0  0, i   .
160
Norder
Re
1
2
3
1600
m
ή
14
16
13
10 1
m
ή
20
10 1
10 2
10 4
17
5.3. Течение в каверне с движущейся верхней стенкой. На рис. 5,6
приведены два расчета течения в каверне с движущейся верхней стенкой для
Re  160 и Re  1000. Аналогичные результаты в [14] получены на более
подробных сетках модифицированным вариантом RFB (residual-free bubbles),
который близок рассматриваемому в данной работе варианту МКСЭ.
На рис.7 приведены базисные функции в треугольнике. Fi_Lagr - первая
базисная функция в скалярном полиномиальном базисе в форме Лагранжа
для схемы 3-го порядка, используемая в МКЭ и три компоненты первой
l
векторной базисной функции Fi_u(1,l )  11
, l  1,2 ,3 , построенные в
предлагаемом варианте МКСЭ.
6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1. Построен алгоритм
решения двумерной нестационарной системы
уравнений
Навье-Стокса
по
неявной
схеме
на
треугольной
неструктурированной сетке, общей для скоростей и давления.
2. Для решения на каждом шаге по времени стационарной нелинейной
системы уравнений построено три варианта итерационного процесса, в
котором на каждой итерации решается линеаризованная краевая задача.
3. Для построения схемы МКСЭ базис в треугольной ячейке строится либо
как решение скалярного уравнения конвекции-диффузии (элемент системы
Навье–Стокса), либо
трехкомпонентный (две скорости и давление)
векторный базис строится как решение системы Навье–Стокса, что особенно
эффективно при использовании более точной аппроксимации конвективных
членов уравнений. Принципиально трудная задача построения векторного
базиса для интерполяции решения уравнений Навье-Стокса другими
авторами нам не известна.
4. Создан автоматизированный алгоритм построения схем высокого порядка
до 10-го включительно, при этом отсутствуют внутренние счетные узлы в
треугольнике (нет шаблона «треугольник»)
5. МКСЭ - стабилизированный метод, построение базисных функций как
решения уравнений Навье – Стокса улучшает число обусловленности
матрицы жесткости, которое очень велико при стандартном МКЭ.
6. МКСЭ позволяет использовать сетки с большим шагом по пространству,
уменьшая объемы вычислений, но в то же время учитывает сложное
поведение решения внутри ячейки.
7. Метод хорошо распараллеливается: расчет базиса в ячейке может
осуществляться на отдельном процессоре.
18
Задача о тепловой конвекции (GAMM-test 89) в прямоугольнике 41,
схема МКСЭ 3-го порядка
Stream.fun. Gr=40000
Stream. fun. Gr=20, tau=10, n=4
0.01
1.00E+01
0.00E+00
0
-1.00E+01
-0.01
-2.00E+01
-0.02
-3.00E+01
-4.00E+01
-0.03
-5.00E+01
-0.04
y
-0.05
-6.00E+01
y
-7.00E+01
-0.06
-8.00E+01
1
x
-9.00E+01
Р1
1
x
  10 6
  10 4
Рис. 2
Р1
19
U
P
3.00E+02
2.50E+02
2.00E+02
1.50E+02
1.00E+02
5.00E+01
0.00E+00
-5.00E+01
-1.00E+02
-1.50E+02
-2.00E+02
-2.50E+02
-3.00E+02
1.00E+05
8.00E+04
6.00E+04
4.00E+04
2.00E+04
0.00E+00
-2.00E+04
-4.00E+04
y
y
-6.00E+04
1
-8.00E+04
V
u
1
Р1
x
Р1
x
p
2.00E+02
1.50E+02
1.00E+02
Gr=40000
5.00E+01
0.00E+00
-5.00E+01
-1.00E+02
  max
y
i
-1.50E+02
-2.00E+02
1
v
Р1
x
Рис.3
uin1  uin
 10 4
uin1
20
Точное решение модельной задачи
u
V
2.00E+00
2.00E+00
1.50E+00
1.50E+00
1.00E+00
1.00E+00
5.00E-01
5.00E-01
0.00E+00
0.00E+00
-5.00E-01
-5.00E-01
-1.00E+00
-1.00E+00
y
y
-1.50E+00
-1.50E+00
-2.00E+00
-2.00E+00
1
1
Р1
x
Р1
x
P
Stream. fun.
1.00E+00
0.00E+00
8.00E-01
-5.00E-02
6.00E-01
-1.00E-01
4.00E-01
-1.50E-01
-2.00E-01
2.00E-01
-2.50E-01
0.00E+00
-3.00E-01
-2.00E-01
-3.50E-01
-4.00E-01
y
-4.00E-01
y
-6.00E-01
-4.50E-01
-5.00E-01
-8.00E-01
1
-1.00E+00
1
Р1x
Рис. 4
Р1
x
21
Течение в каверне
U,
V
Re=160
y
P
1
u
y
Р1
v
1
x
Р1
x
y
Re  160,   10, Nstep  12,   10 -6
1
Р1
p
x
Рис. 5
22
Re  1000 , h 
1
,   10, Norder  3,   10 -6 , Nstep  27
10
Stream. fun.
U
y
1.00E-02
0.00E+00
-1.00E-02
-2.00E-02
-3.00E-02
-4.00E-02
-5.00E-02
-6.00E-02
-7.00E-02
-8.00E-02
-9.00E-02
-1.00E-01
-1.10E-01
-1.20E-01
y
1
Р1x
Р1
x
1
P
V
y
y
Р1
1
x
Рис. 6
1
Р1x
23
Базисные функции в задаче “Каверна”, схема 3-го порядка, Re=160
Fi_u(1,1)
Fi_Lagr
1.00E+00
9.00E-01
8.00E-01
7.00E-01
6.00E-01
5.00E-01
4.00E-01
3.00E-01
2.00E-01
1.00E-01
0.00E+00
-1.00E-01
1.00E+00
9.00E-01
8.00E-01
7.00E-01
6.00E-01
5.00E-01
4.00E-01
3.00E-01
2.00E-01
1.00E-01
0.00E+00
-1.00E-01
y
1
Р1
x
y
1
Fi_U(1,3)
x
4.00E-02
2.00E-02
3.50E-02
1.50E-02
3.00E-02
1.00E-02
2.50E-02
5.00E-03
2.00E-02
0.00E+00
1.50E-02
-5.00E-03
1.00E-02
y
Р1
Fi_U(1,2)
-1.00E-02
5.00E-03
y
-1.50E-02
0.00E+00
1
-2.00E-02
Р1
x
Рис. 7
1
Р1
x
24
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Л.Г. Страховская, Р.П. Федоренко. Об одном варианте метода конечных
элементов. // Ж. вычис. матем. и матем. физ. 1979. Т.19. №4. С. 950-960.
2. Жуков В.Т., Страховская Л.Г., Федоренко Р.П., Феодоритова О.Б. Об
одном направлении в конструировании разностных схем.// Ж. вычис.
матем. и матем. физ.2002. Т.42. №2. С.223-235.
3. В.Т. Жуков, Н.Д. Новикова, Л.Г. Страховская, Р.П. Федоренко, О.Б.
Феодоритова. Применение метода конечных суперэлементов для задач
конвекции-диффузии.//Ж. мат. моделирования . 2002. Т.14. №11, с.78-92.
4. Л.Г. Страховская , Р.П. Федоренко. Об одной специальной разностной
схеме. // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск.1976.
T.7. № 4. C. 149-163.
5. А.Д. Климов, Л.Г. Страховская, Р.П. Федоренко. Метод конечных
суперэлементов и гомогенизация. // Ж. вычис. матем. и матем. физ. 2003, Т.
43, №5, с.695-710.
6. Fedorenko R.P., Strakhovskaya L.G. On Numerical Solution of the Lame
Equations. // Int. Journ. for Computational Civil and Structural Engineering.
2000. vol.1. No.1.
7. Г. Стренг, Дж. Фикс. Теория метода конечных элементов. // Мир. Москва.
1977.
8. Страховская Л.Г. Метод конечных суперэлементов для линеаризованных
уравнений Навье-Стокса на произвольной треугольной сетке. XIV
Всероссийская конференция "Теоретические основы и конструирование
численных алгоритмов решения задач математической физики"( Дюрсо,
18-22 сентября, 2002г.), Екатеринбург, УрО РАН, 2002, с.54-55.
9. Р. Темам. Уравнения Навье-Стокса. // Мир. Москва. 1981.
10. Р.П. Федоренко. Введение в вычислительную физику. М.: Изд-во МФТИ,
1994.
11. М.П. Галанин, Е.Б. Савенков. К обоснованию метода конечных
суперэлементов. // Ж. вычис. матем. и матем. физ. 2003, Т. 43, №5, с. 713729.
12. L.G.Strakhovskaya, High Order FSEM Schemes for Simulation of Viscous
Incompressible Flows. International Conference “Tikhonov and Contemporary
Mathematics.” Abstracts of session computational mathematics and informatics.
July 19-25, 2006, Moscow, Russia, p. 117-118.
13. L.G. Strakhovskaya. The high order finite superelement method for
incompressible Navier-Stokes equations. VI International Congress on
Mathematical Modeling.September 20-26, 2004, Nizhny Novgorod, Russia.
Book of abstracts, P.304.
14. Franca, L.P. and Nesliturk, A., On a Two-Level Finite Element Method for the
Incompressible Navier-Stokes Equations, // Int. J. Numer. Meth. Eng., 2001, vol.
52, issue 4, pp. 433-453.