Сборник тренажеров по математике Составитель: учитель математики

Сборник
тренажеров по математике
Составитель: Изтлеуова Н.М.,
учитель математики
НИШ ФМН г. Актобе
Учитель математики
НИШ ФМН г. Актобе
Изтлеуова Н.М.
Предисловие
Данный сборник включает в себя тренажеры по некоторым разделам
математики:
 Аналитическая геометрия;
 Теория пределов;
 Непрерывные функции;
 Техника дифференцирования;
 Техника интегрирования;
 Уравнение касательной к графику функции;
 Общая схема исследования функции и построение его графика;
 Общие методы преобразования неопределенного интеграла
Под тренажером понимается набор заданий, предназначенных для
отработки конкретного алгоритма, для создания определенного (чаще
всего, вычислительного) навыка.
Данные тренажеры были успешно апробированы в 10-11 классах
математико-экономического направления СШЛ №23, г. Актобе в
течение последних 15 лет и с успехом могут применяться учащимися
старших классов и преподавателями НИШ.
Предел
Непрерывность функции.
I. Для каждой из следующих функций найти точки разрыва, если они
существуют; найти скачок функции в каждой точке разрыва и построить
график:
1
3)
2)
4)
II. При каких значениях a и b функция будет непрерывна в точке
5)
7)
6)
8)
Использую теорему Коши (о непрерывности функции) определить
корень уравнения
9)
10)
Использую теорему Коши (о непрерывности функции) показать, что
уравнение имеет
11)
, 3 вещественных корня
12) 2x -5x=0,
имеет 2 корня
Техника дифференцирования.
1)
2)
4)
5)
7)
8)
10) y
11)
13)
14)
16)
17) f (t) =
19)
20)
22)
23)
25)
26)
28)
31)
29)
32)
;
3)
6)
9)
12)
15)
18) f (s)
21)
24)
27)
30)
33)
;
34)
35)
36) y=t sint+cost;
37)
38)
39)
40)
41)
42)
43) y = lncosx;
44) y = lntgx;
45)
46) y=(tgx-1)cosx;
47)
49) y=sin(x+a)cos(x+a);
50) f(x)=sin(lnx);
52) f(x)=sin(cosx);
53) r
55)
56)
57)
59)
60)
61)
62) y=xlnx;
63)
64)
65) y=ln(lnx);
66)
67)
68)
70)
71)
72)
73)
74)
75)
76)
77)
79)
80)
58)
;
48)
51) f(x)=tg(lnx);
; 54)
69)
;
78)
81)
82)
83)
84)
85)
86)
87)
88)
89)
90)
91)
92)
93)
94)
95)
96)
97)
98)
99)
100)
101)
102)
103)
104)
106)
105)
;
Касательная к графику функции.
1) Напишите уравнение касательной к графику функции
в
точке с абсциссой =2.
2) Найти точки графика функции
+3x , в которых
касательная параллельна оси абсцисс.
3) Написать уравнение касательной к графику функции
, если касательная параллельна прямой у=-х+4.
4)
Написать
уравнение
касательной
с
кривой
,
перпендикулярной прямой
5) Под каким углом кривая
пересекается с осью Ох?
6)
Хорда
параболы
соединяет
точки
с
абсциссами
. Составить уравнение касательной к параболе,
параллельной хорде.
7) Найти уравнение касательной к графику функции
в
точке ее максимума.
8) Уравнение касательной к графику функции
в точке ее
пересечения с осью Оу имеет вид:
9) Если к параболе
и
проведена общая касательная,
то сумма абсцисс точек касания равна: 1)-2; 2)2; 3)-3; 4)3; 5)0.
10) В какой точке линии
касательная к ней
перпендикулярна прямой
? Составить уравнение
касательной.
11) Найти уравнение касательной и нормали к кривой
в
точке пересечения ее с осью Оу.
12) К графику функции
проведены две касательные:
первая – в точке с абсциссой ; вторая – в точке минимума этой
функции. Найти площадь треугольника, образованного этим
касательными и осью ординат .
13) Найти уравнение прямой, проходящей через точку (2;7),
касающейся графика функции
и пересекающей в двух
различных точках график функции
14) Найти уравнение касательной к функции
,
перпендикулярной прямой
15) Найти уравнение касательной к функции
параллельной
прямой
16) Найти уравнение касательной к функции
в точке
пересечения этой функции с функцией
17) Найти уравнение касательной к функции
18) Какой угол образует с осью абсцисс касательная к кривой
,
проведенная в точке с ординатой
.
Исследование функций на возрастание, убывание, экстремум.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
9)
11)
13)
15)
17)
19)
8)
;
;
10)
;
;
;
;
;
;
12)
14)
16)
18)
;
;
-3x;
20)
;
;
Исследование функции на экстремум с помощью второй
производной.
1)
3)
5)
7)
;
;
2)
4)
6)
8)
;
10)
;
;
9)
11)
13)
;
;
;
;
;
12)
;
Исследовать функцию и построить график.
1)
;
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
;
;
17)
Техника интегрирования
1.Способ разложения:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
28)
29)
31)
32)
27)
34)
Контрольные задания
1)
2)
3)
4)
5)
1)
2)
3)
4)
5)
30)
33)
1)
2)
3) 5) -ctgx+c;
4)
1)
2) tglnx+c;
3) -ctg
4) -
5)
Интегрирование по частям
1)
;
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен.
1)
2)
4)
5)
7)
8)
3)
;
;
6)
9)
Интегрирование способом подстановки
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
16)
15)
17)
18)
Самостоятельные работы
1)
4)
2)
5)
1)
4)
3)
2)
5)
3)
;
1)
2)
4)
3)
5)
Интегрирование тригонометрических функций
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
Интегрирование рациональных функций
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Аналитическая геометрия.
1) Даны 3 вектора: = 3 - 2 ,
вектора
по векторам и ;
2) Разложить вектор
,
.
Найти разложение
3) Разложить вектор
;
4) Описать линейными неравенствами множество точек треугольника
А(3; -2), B(1; 3), C(...)
5) Даны уравнения двух сторон прямоугольника
и
уравнения одной из его диагоналей
Составить уравнения
двух других сторон этого треугольника.
6) Изобразить на рисунке множество точек
удовлетворяют неравенствам:
координаты которых
7) На множестве неотрицательных решений системы линейных
неравенств:
найти максимум линейной функции
8)
При
каких
значениях
α
и
β
для
выполняется равенство α
векторов
?
9) Даны вершины
а) описать линейными неравенствами множество точек
б) найти уравнение высоты, проведенной из вершины В;
в) найти длину медианы, проведенной из вершины …
;
10) Даны вершины
а) описать линейными неравенствами множество точек
б) найти уравнение высоты, проведенной из вершины …;
в) найти длину медианы, проведенной из вершины С.
;
11) Найти уравнение прямой, проходящей через точку (2;-1) и
составляющей с осью ОХ угол, вдвое больше угла, составляемого с той
же осью прямой
12) Дан
Составить уравнение стороны АС и
высоты, опущенной из вершины В. Найти основание этой высоты.
13) Дан
1;2;3), B(4;-10;7), C(3;-1;9). Найти:
а) длины сторон АВ и АС
б) длину медианы, проведенной из вершины …
в) длину биссектрисы угла А.
14) Составить общее уравнение прямой α, проходящей через точки
Найти точку пересечения этой прямой с прямой
угол между этими прямыми.
Найти
Литература
1) Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для
втузов. Т.1, 2
2) Нахимсон, Л. М, Программированное обучение по разделу «Элементы
интегрального исчисления»
3) Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому
анализу
4) Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа