Дискретная математика» Составитель

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра высшей математики
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ
к типовому расчету по курсу «Дискретная математика»
Составитель: В.Н. Скворцов
Липецк
Липецкий государственный технический университет
2014
1
Методические указания предназначены для студентов специальностей 010800
«Механика и математическое моделирование», 220100 «Системный анализ и
управление» и ряда других специальностей, изучающих дискретную
математику.
Представленные указания содержат варианты типовых задач по основным
темам дискретной математики, примеры их решений, экзаменационные
вопросы и список рекомендуемой литературы.
Вопросы для экзамена по дискретной математике.
1. Понятие множества. Операции над множествами. Диаграммы ЭйлераВена.
2. Мощность множества. Счетные множества.
3. Прямое произведение множеств. Понятие n-местного отношения.
4. Соответствия между множествами. Функции. Инъекция, сюръекция,
биекция.
5. Отношения. Бинарные отношения. Свойства отношений.
6. Отношение эквивалентности. Связь между отношением эквивалентности и
разбиением множества.
7. Отношения частичного и строгого порядка.
8. Булевы функции одной и двух переменных.
9. Булевы функции. Способы задания. Существенные и фиктивные
переменные.
10. Булевы формулы. Свойства логических операций.
2
11. Разложение булевой функции по переменным. Алгоритмы построения
совершенной дизъюнктивной нормальной фор-мы и совершенной
конъюнктивной нормальной формы.
12. Свойства суммы по модулю 2. Алгоритм построения полинома Жегалкина.
13. Замкнутые классы функций. Классы T0 , T1 , S , M, L.
14. Функционально полные системы. Теорема о функциональной полноте двух
систем функций. Теорема Поста.
15. Схемы из функциональных элементов.
16. Основные задачи комбинаторики. Правило суммы. Правило произведения.
17. Формулы числа перестановок, размещений и сочетаний без повторений и с
повторениями.
18. Графы. Основные понятия и определения. Изоморфизм графов.
19. Степени и полустепени вершин графа. Свойства.
20. Построение графа с заданным набором степеней вершин. Необходимое и
достаточное условие существования. Алгоритм построения.
21. Матрица смежности. Матрица инцидентности. Свойства.
22. Маршруты, цепи, циклы. Связность. Метрические характеристики графа.
23. Алгоритм отыскания кратчайших путей в графе (волновой метод).
24. Планарность графов. Формула Эйлера.
1. Множества и отношения
Множества. Операции над множествами
Объединением множеств А и В называется множество А  В = {x|x А
или х В}.
х В}.
Пересечением множеств А и В называется множество А  В = {x|x А и
Разностью множеств А и В называется множество А\В = {х|х А и х В}.
Декартовым или прямым произведением множеств А и В называется
множество А В всех пар вида (а, b), где а А, b В.
3
Задача 1. Найти пересечение, объединение, разность и прямое (декартово)
произведение множеств А и В.
а) А = {-1;0;3;4}, В = {0;4;6}
А  В = {-1;0;3;4;6}.
А  В = {0;4}.
А\В = {-1;3}; В\А={6}
A B = {(-1,0), (-1,4), (-1,6), (0,0), (0,4), (0,6), (3,0), (3,4), (3,6), (4,0), (4,4), (4,6)}.
б) А = [0;2], B=[1;5].
A  B = [0;5]
A  B = [1;2]
A\B = [0;1); B\A = (2;5]
A B = {(x;y)| x [0;2], y [1;5]}.
Задача 2. Из 100 студентов 28 изучают английский язык, 30 – немецкий язык,
42 – французский язык, 8 – английский и немецкий язык, 10 – английский и
французский язык, 5 – немецкий и французский язык и 3 студента – все 3
языка. Сколько человек не изучают ни одного языка? Сколько изучают только
французский язык?
Решение.
Пусть u – множество студентов. По условию мощность множества |u|=100.
Пусть А – множество студентов, изучающих английский язык, N – множество
студентов, изучающих немецкий язык, F – множество студентов, изучающих
французский язык.
По условию |A| = 28, |N| = 30, |F| = 42, |A N| = 8, |A F| = 10, |N F| = 5, |A N F| = 3.
Необходимо найти множество студентов, не изучающих ни одного языка, т.е.
|u\(A N F)| = |U| - (|A| + |N| + |F|) + |A N| + |A F| + |N F| - |A N F| = 20 и множество
студентов, изучающих только французский язык |F\(A N)| = |F| - (|A F| + |N F|) +
|A N F| = 30.
Отображения. Инъективные и сюръективные отображения
Если указан закон, сопоставляющий каждому элементу множества А
единственный элемент множества В, то говорят, что имеется однозначное
отображение f : А  В.
4
Отображение f : А  В называется инъективным, если разные элементы
множества A переходят в разные элементы множества B: если а  в, то
f (a)  f (b) .
Отображение f : А  В называется сюръективным, если каждый элемент
множества В имеет свой прообраз в множестве А.
Если отображение одновременно инъективное и сюръективное, то оно
называется биективным.
1. Пусть f: R  R задано формулой f(x) = x2-1. Определить, является ли
отображение f инъективным, сюръективным, биективным.
Область определения функции – R, область значений функции – [-1;+  ).
1.1. f – отображение. Если (х,у)  f и (х,z)  f , то y = z, так как (x,y) f, т.е.
y = x2-1, (x,z) f, т.е. z = x2-1.
1.2. Найдутся х1, х2 R, такие что х1  х2, но: f(x1) = f(x2), например, пусть х1
= 1, х2 = -1, тогда f(x1) = 0 и f(x2) = 0, т.е. х1  х2, а f(x1) = f(x2). Таким образом,
это неинъективное отображение.
1.3. Так как область значений функции [1;+  ) не совпадает с R, то
отображение несюръективно.
2. Пусть f: R  R задано формулой f(x) = x4. Является ли отображение
инъективным, сюръективным?
2.1 Поскольку х1=2 R, х2 = -2 R, f(2) = f(-2) = 16, т.е. х1  х2, а f(x1) = f(x2),
то отображение неинъективно.
2.2Для любого x R не существует f(х), такого что f(х) = -16, так как х4  16, поэтому отображение несюръективно.
3. Пусть отображение f: [0;+  )  [0;+  ) задано формулой f(x)=x2. Является
ли оно инъективным, сюръективным?
3.1Для любых х1, х2 [0;+  ), х1  х2, f(x1)=x12, f(x2)=x22, но f(x1)  f(x2), т.е
для каждого х существует единственное f(x), следовательно, f(х) - инъективное
отображение.
3.2.Для каждого значения f(x) [0;+  ) найдётся х [0;+  ), поэтому f(х)
- сюръективное отображение.
Из 3.1 и 3.2 следует, что отображение биективно.
5
Отношение эквивалентности
Всякое подмножество Г декартова произведения АхА называется отношением на
множестве А.
Отношение Г называют рефлексивным, если aГа для всех a  A.
Отношение Г называют симметричным, если аГb  bГа.
Отношение Г называют транзитивным, если аГb, bГа  аГс.
Если отношение рефлексивно, симметрично, транзитивно, то оно называется
отношением эквивалентности.
1. Проверить, является ли D отношением эквивалентности на R, если D={(x;y)|
sin x = sin y}.
1.1. D – рефлексивно, так как для любого a R ( a; a ) D, т.е. для любого x R
имеем sin x = sin x.
1.2. D – симметрично, так как для любой пары ( a , b ) D имеем ( b, a ) D, т.е. для
любых x, y  R из (x,y) D следует, что sin x = sin y, тогда и sin y = sin x,
следовательно, (y,x) D.
1.3.D – транзитивно, так как для любых а,b,c R из того что ( a, b ) D и ( b, c ) D
следует, что ( a, c ) D, т. е. если (x,y) D, то sinx=siny, если (y,z) D, то sin y = sin z, тогда
sin x=sin z, следовательно, (x,z)  D.
Из 1.1, 1.2, 1.3. следует, что D – отношение эквивалентности на R (где R –
множество действительных чисел).
2. Булевы алгебры. Элементы математической логики
Эквивалентность булевых формул
Булевы функции могут быть заданы либо с помощью таблиц истинности
(единственным образом), либо с помощью логических формул (неединственным
образом). Если таблицы истинности двух булевых формул совпадают, то эти
формулы эквивалентны и определяют одну и ту же булеву функцию.
Задача 1. Проверить эквивалентность булевых формул:
x  ( y  z)  ( x  y)  ( x  z)
6
Построим таблицу истинности для функции
f ( x, y )  x  ( y  z ) .
x
y
z
yz
x  ( y  z)
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
Построим таблицу истинности для функции
g ( x, y )  ( x  y )  ( x  z )
x
y
z
xy
xz
( x  y)  ( x  z)
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
Результирующие столбцы в таблицах истинности совпадают, следовательно,
формулы эквивалентны.
7
Существенные и фиктивные переменные
Переменная xi ( 1  i  n ) булевой функции f ( x1 ,..., xi1 , xi , xi 1 ,..., xn ) называется
фиктивной, если имеет место равенство
f ( x1 ,..., xi 1 ,0, xi 1 ,..., xn )  f ( x1 ,..., xi 1 ,1, xi 1 ,..., xn )
для любых значений переменных x1 ,..., xi1 , xi1 ,..., xn . В противном случае
переменная xi называется существенной. Наборы значений переменных в
последнем равенстве называются соседними по переменной xi .
Задача 2. Определить существенные и фиктивные переменные функции
(11110011).
Для удобства приведем таблицу истинности.
f ( x, y , z )
x
y
z
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
Проверим, является ли переменная x существенной или фиктивной.
Рассмотрим значения функции на наборах, соседних по переменной x :
f (0,0,0)  1 , f (1,0,0)  0 .
f (0,0,0)  f (1,0,0) . Значит, переменная x – существенная.
Рассмотрим теперь значения функции на наборах, соседних по переменной y :
f (0,0,0)  1 ,
f (0,0,1)  1 ,
f (1,0,0)  0 ,
8
f (0,1,0)  1 .
f (0,1,1)  1.
f (1,1,0)  1.
f (1,0,0)  f (1,1,0) . Следовательно, переменная y – существенная.
Рассмотрим значения функции на наборах, соседних по переменной z :
f (0,0,0)  1 ,
f (0,1,0)  1 ,
f (1,0,0)  0 ,
f (1,1,0)  1,
f (0,0,1)  1 .
f (0,1,1)  1.
f (1,0,1)  0 .
f (1,1,1)  1 .
На всех парах соседних по переменной z наборов значений переменных
функция принимает равные значения, следовательно, переменная z –
фиктивная.
Представления булевых функций разложениями по переменным
Алгоритм построения СДНФ.
1.
Построить таблицу истинности данной булевой функции.
2. Каждому единичному значению булевой функции будет соответствовать элементарная
конъюнкция x11 x2 2 ...xn n , где ( 1 ,  2 ,...,  n ) – соответствующий набор значений
перемен-ных. В конъюнкции мы записываем xi , если  i  1, и xi , если  i  0 .
Конъюнкции соединяются знаком  .
Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) для функции f ( x1 ,..., xn ) ,
отличной от тождественной единицы, имеет вид:
f ( x1 ,..., xn ) 

(1,..., n ):
f (1,..., n ) 0
( x11  ...  xn n ) .
Алгоритм построения СКНФ
1. Построить таблицу истинности данной булевой функции.
2. Каждому нулевому значению булевой функции будет соответствовать элементарная
дизъюнкция x11  x 2 2  ...  x n n , где ( 1 ,  2 ,...,  n ) - соответствующий набор значений
переменных. В дизъюнкции мы записываем xi , если  i  0 , и xi , если  i  1.
Дизъюнкции соединяются знаком  .
Всякая булева функция может быть представлена в виде полинома
Жегалкина:
f ( x1 , x 2 ,..., x n )  a0  a1 x1  ...  a n x n 
 a n 1 x1 x 2  ...  a
x x ...x n ,
2n 1 1 2
где a0 , a1 ,..., an ,..., a
2n 1
 0,1 , где знак  обозначает сумму по модулю 2.
9
Алгоритм построения полинома Жегалкина.
1. Построить таблицу истинности данной булевой функции.
2. Каждому единичному значению булевой функции будет соответствовать конъюнкция
x11 x2 2 ...xn n , где ( 1 ,  2 ,...,  n ) - соответствующий набор значений перемен-ных.
Конъюнкции соединяются знаком  .
3. Заменить выражения xi по формуле: xi  xi  1 . Раскрыть скобки и привести подобные
слагаемые по правилу: x  x  0 .
Задача
3.
Построить
СДНФ,
СКНФ
и
полином
Жегалкина
для
функции f ( x, y )  x  ( y  z ) (11110011).
СДНФ имеет вид:
f ( x, y, z )  x y z  x yz  x yz  x yz  xyz  xyz .
СКНФ имеет вид:
f ( x, y, z )  ( x  y  z )( x  y  z ) .
Построим полином Жегалкина:
f ( x, y, z )  x y z  x yz  x yz  x yz  xyz  xyz 
 ( x  1)( y  1)( z  1)  ( x  1)( y  1) z  ( x  1) y ( z  1) 
 ( x  1) yz  xy( z  1)  xyz 
 xyz  yz  xz  z  xy  x  y  1  xyz  xz 
 yz  z  xyz  xy  yz  y  xyz  yz 
 xyz  xy  xyz  xy  x  1.
Замкнутые классы функций.
1. Класс T0 функций, сохраняющих ноль.
T0  f  P2 (n) f (0,0,...,0)  0.
2. Класс T1 функций, сохраняющих единицу.
T1  f  P2 (n) f (1,1,...,1)  1.
3. Класс S самодвойственных функций составляют функции, на противоположных наборах
принимающие противоположные значения:
S  f  P2 (n) f ( 1 ,  2 ,...,  n )  f ( 1 ,  2 ,...,  n ) .


4. Класс М монотонных функций. Для двоичных векторов
 n  1 ,  2 ,...,  n  , где  i ,  i  0,1 ,
 n  1 , 2 ,..., n 
и
i  1,..., n , вводится следующее отношение
частичного порядка. Считается, что  n   n , если  i   i для i  1,..., n . Класс M
определяется следующим образом:

   

M  f  P2 (n) f  n  f  n , если  n  n .
5. Класс линейных функций L составляют функции, которые представляются полиномом
Жегалкина первой степени.
10
Проверка принадлежности булевой функции замкнутым классам 1-4 осуществляется
по таблице истинности. Проверка принадлежности булевой функции классу L
осуществляется путем построения полинома Жегалкина. Здесь P2 (n) – множество всех
булевых функций n переменных.
Функциональная полнота
Система булевых функций называется функционально полной, если
любая булева функция представляется суперпозицией (сложной функцией)
функций данной системы.
Теорема Поста. Система булевых функций функционально полна,
если она не содержится целиком ни в одном из пяти замкнутых классов.
Для проверки функциональной полноты системы булевых функций строится
так называемая таблица Поста, в которой отмечается принадлежность функций
замкнутым классам. Если в каждом столбце таблицы Поста есть хотя бы один
минус, система полна, в противном случае – нет.
Задача 4. Проверить функциональную полноту системы булевых функций
A  x  y, x  y,1.
Проверим принадлежность замкнутым классам функции f ( x, y )  x  y .
Построим таблицу истинности данной функции.
x
y
x y
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
f (0,0)  0 , следовательно f ( x, y)  T0 .
f (1,1)  0 , следовательно f ( x, y)  T1 .
f (0,0)  f (1,1) , следовательно, f ( x, y )  S .
f (1,0)  1  0  f (1,1) , следовательно, f ( x, y )  M .
Функция представляет собой полином Жегалкина первой степени, следовательно,
f ( x, y )  L .
Результаты можно занести в первую строку таблицы Поста. Остальные
функции исследуются аналогично.
11
Построим таблицу Поста:
T0
T1
S
M
L
x y
+
-
-
-
+
x y
+
+
-
+
-
1
-
+
-
+
+
В каждом столбце таблицы имеется минус, следовательно, система A
функционально полна.
Минимальная функционально полная система называется базисом
пространства булевых функций.
4. Элементы теории графов. Оптимизация на графах.
Рассмотрим граф G , изображенный на рисунке 1. На примере этого
графа рассмотрим некоторые понятия теории графов.
Рис.1 граф G
Степенью (валентностью) вершины xi неориентированного графа G
называется число ребер  ( xi ) , инцидентных данной вершине.
12
Таблица степеней вершин данного графа имеет вид:
xi
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
 ( xi )
3
3
3
4
2
3
2
Матрицей смежности A(G ) неориентированного графа G называется
матрица размерности n n , элементы которой определяются следующим
образом:
1, если вершины xi и x j смежны,
aij  
0 в противном случае.
Матрица смежности для данного графа имеет вид:
0

1
0

1
1

0

0
1 0 1 1 0 0

0 1 1 0 0 0
1 0 1 0 0 1

1 1 0 0 1 0
0 0 0 0 1 0 
0 0 1 1 0 1

0 1 0 0 1 0 .
Матрицей инцидентности B (G ) неориентированного графа G с n вершинами
и m ребрами называется матрица размерности n  m , элементы которой определяются
сле-дующим образом:
1, если вершина xi инцидентна ребру a j ,
bij  
0 в противном случае или если a j - петля.
В графе G обозначим ребро, соединяющее вершины xi и x j , через a ij (два индекса
использовать удобнее). Так, напри-мер, ребро a 23 инцидентно вершинам x 2 и x 3 . Матрица
инцидентности для нашего графа имеет вид:
a12 a14 a15 a 23 a24 a 34 a37 a 46 a 56 a 67
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
x1 



1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
x2 


0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
x3 


0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
x4 



0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
x5


0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
x6 



13


0
x7
0
0
0
0
0
1
0
0
1
Обозначения вершин и ребер графа не включаются в матрицу
инцидентности, а записаны только для удобства.
Расстоянием d ( x, y ) между вершинами x и y в неориентированном графе G
называется наименьшее число ребер, соединяющих эти вершины. Условный радиус графа
G относительно вершины c определяется формулой:
r (c)  max d (c, x) .
xV (G )
Здесь V (G ) – это множество вершин графа G .
Радиус графа G определяется как наименьший из условных радиусов графа, а центр
графа составляют вершины, условные радиусы графа относительно которых совпадают с
радиусом графа.
Для данного графа таблица расстояний и условных радиусов вершин имеет
вид
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
r ( xi )
x1
0
1
2
1
1
2
3
3
x2
1
0
1
1
2
2
2
2
x3
2
1
0
1
3
2
1
3
x4
1
1
1
0
2
1
2
2
x5
1
2
3
2
0
1
2
3
x6
2
2
2
1
1
0
1
2
x7
3
2
1
2
2
1
0
3
Радиус графа G r (G )  2 , следовательно, центр графа – это множество вершин
x2 , x4 , x6 .
Задача 1. Найти кратчайший путь из А в В в смысле количества ребер (дуг).
Дан граф G (Рис.2).
14
Рис. 2 граф G
а) определить степени вершин А и В.
б) найти кратчайший путь из точки А в точку В (в смысле наименьшего
количества ребер).
Решение
а) используя определение степени вершины, выясним, какие степени имеют
вершины А и В. Вершина А имеет степень 3, так как 3 – число ребер, ей
инцидентных. Аналогично, и вершина В имеет степень 3.
б) используем алгоритм решения задачи о нахождении кратчайшего пути из А в
В в смысле наименьшего количества ребер:
1.
Вершине А припишем индекс 0.
2.
Всем вершинам, смежным с А, припишем индекс
3.
Всем вершинам, смежным с вершинами индекса 1 и не имеющим
индекса, припишем индекс 2 и т.д.
4.
Как только вершина В получит некоторый индекс, процесс
останавливаем (даже если остались непронумерованные вершины). Итак,
(Рис.3)
1
2
А
В
2
1
0
2
1
Рис.3 длина пути
15
Следовательно, n = 2 - длина кратчайшего пути. Построим этот путь.
5.
Среди вершин, смежных с В, обязательно найдется вершина с
индексом (n – 1) (одна или несколько), возвращаемся в эту вершину и
продолжаем этот процесс.
6.
Через n шагов придем в вершину с индексом 0, т.е. в А. Один или
несколько путей построены.
Итак, (Рис. 4).
1
2
В
1
А
0
2
1
2
Рис.4 кратчайший путь
Представление графов в памяти компьютера
Пусть дан орграф с n- пронумерованными вершинами, матрица А
размером n  n, матрица смежности орграфа.
Такая матрица определяет орграф однозначно вместе с нумерацией вершин.
Точно так же строится матрица смежности неориентированного графа. Она
обладает дополнительным свойством aij= aji, т.е. матрица симметрична
относительно главной диагонали. Поэтому достаточно хранить в памяти только
верхний треугольник матрицы смежности A’.
Пусть дан граф с n- вершинами. Пронумеруем вершины произвольно и
составим матрицу смежности А, поскольку граф не ориентированный, она
16
будет симметрична относительно главной диагонали, поэтому достаточно знать
ее верхний треугольник А’ (Рис.5).
A’
Рис. 5 матрица смежности
Расположим А’ в виде двоичной строки (слева направо, сверху вниз). Меняя
нумерацию вершин, мы получим другие двоичные строки. Сравним их между
собой как двоичные числа. Наибольшее из двоичных чисел называется кодом
Харари, а возникшая при этом нумерация вершин – канонической. Код Харари
определяет граф однозначно, но не всякое число может быть кодом Харари.
Задача 2. Найти код Харари графа G (Рис.6)
Рис.6 граф G
Решение.
Пронумеруем вершины графа, выпишем матрицу смежности и ее верхний
треугольник (Рис.7).
Рис.7 перенумерованный граф G
17
0

1
А
0

1
1
0
1
1
1

1
0

0  , верхний треугольник, записанный в виде строки, имеет вид
0
1
1
0
01010111002 = 34810.
Легко увидеть, что данная нумерация вершин не является канонической.
Действительно, сменим нумерацию вершин (Рис. 8).
Рис.8 граф G с другой нумерацией
1

1
А1  
0

0
1
0
1
1
0
1
0
1
0

1
1

0  , верхний треугольник, записанный в виде строки, имеет
вид 11000110102 = 79410.
Можно убедиться, что при всех других способах нумерации вершин
получаются числа, меньшие 794. следовательно, последняя нумерация вершин
является канонической, а кодом Харари данного графа является число 794.
18
4. Варианты заданий типового расчета
Задание 1. Используя таблицы истинности, проверить эквивалентность
булевых формул. Определить существенные и фиктивные переменные.
1.1. ( x  y )  ( x  y ~ ( x  y ))  x  y  x   y .
( x  y  z )  (( x  y )  (( y  z )  x )) 
1.2.  ( x  y )  ( y  x ).
1.3. ( x  y  z )  ( x  ( y  z ))  x  (( y  z )  x) .
1.4. x  ( y ~ z )  ( x  y ) ~ ( x  z ) .
1.5. x  ( y ~ z )  ( x  y ) ~ ( x  z ) .
1.6. x  ( y ~ z )  (( x  y) ~ ( x  z )) ~ x .
1.7. x  ( y  z )  ( x  y)  ( x  z ) .
1.8. x  ( y  z )  ( x  y )  ( x  z ) .
1.9. x  ( y  z )  ( x  y )  ( x  z ) .
1.10. x  ( y  z )  ( x  y )  ( x  z ) .
Задание 2. Для булевой функции, заданной вектором значений, определить: 1)
СДНФ, 2) СКНФ, 3) полином Жегалкина.
2.1. (10110011).
2.4. (00110011). 2.7. (10100011).
2.2. (00100111).
2.5. (00110001). 2.8. (11100001).
2.3. (10101011).
2.6. (01100011). 2.9. (11100011).
2.10. (11101011).
Задание 3. Выяснить, является ли система функций A функционально полной.
3.1. A  xy, x  y, x  y, xy  yz  zx.
3.2. A  x, x( y ~ z) ~ yz, x  y  z.
3.3. A  xy, x  y, x  y  z  1.
3.4 A  x  y  z, x  y,0,1.
19
3.5. A  1, x, x( y ~ z)  x ( y  z), x ~ y.
3.6. A  0, x  y, x  y, xy ~ xz.
3.7. A  0, x, x( y  z)  yz.
. A  xy  xz, x, x  y,0, x  yz.
3.8
3.9. A  xy  z, x  y  1, xy, x.
3.10. A  x, x( y ~ z) ~ ( y  z), x  y  z
Задание 4. В таблице для каждого варианта заданы декартовы координаты
вершин графа и перечислены ребра графа. Граф неориентированный. Следует
построить граф на плоскости xOy и найти:
1) таблицу степеней вершин;
2) матрицу смежности;
3) матрицу инцидентности;
4) таблицу расстояний в графе;
5) определить радиус и центр графа;
6) найти кратчайший путь из вершины x1 в вершину x8 .
4.1
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
(1;3)
(3;5)
(6;5)
(2;2)
(3;3)
(1;0)
(3;0)
(6;2)
( x1 ; x 2 ),( x 2 ; x5 ),( x 2 ; x 3 ),( x 2 ; x 4 ),( x1 ; x 6 ),( x 2 ; x 7 ), ( x 6 ; x 7 )
4.2
(4;6)
(2;4)
(4;4)
(6;4)
(2;0)
(4;1)
(6;0)
(9;2)
( x1 ; x 2 ),( x 2 ; x5 ),( x 2 ; x 3 ),( x1 ; x 4 ),( x 4 ; x 7 ),( x 6 ; x 7 ),( x1 ; x 3 ),
( x 3 ; x 4 ),( x5 ; x 6 ),( x 3 ; x 6 )
4.3
(2;3)
(2;6)
(3;7)
(3;5)
(5;6)
(5;4)
(6;6)
( x1 ; x 2 ),( x 2 ; x 3 ),( x 4 ; x 6 ),( x 3 ; x 4 ),( x5 ; x 6 ),( x 3 ; x5 ),( x5 ; x 7 )
20
(4;1)
4.4
(1;1)
(2;2)
(2;4)
(2;5)
(3;5)
(5;5)
(3;2)
(5;2)
( x1 ; x 2 ),( x 2 ; x 3 ),( x5 ; x 6 ),( x 3 ; x5 ),( x 6 ; x8 ),( x 2 ; x 7 ),( x 7 ; x8 ),
( x5 ; x 7 )
4.5
(1;4)
(3;5)
(5;4)
(1;2)
(5;2)
(1;0)
(5;0)
(7;1)
( x1 ; x 2 ),( x 2 ; x 4 ),( x 2 ; x5 ),( x 2 ; x 3 ),( x 4 ; x5 ),( x 6 ; x 7 ),( x5 ; x 7 ),
( x4 ; x6 )
4.6
(1;7)
(2;7)
(6;7)
(8;5)
(6;2)
(2;2)
(6;5)
(4;5)
( x 2 ; x 3 ),( x 2 ; x 6 ),( x 2 ; x8 ),( x 3 ; x 4 ),( x 3 ; x 7 ),( x 3 ; x8 ),( x 4 ; x5 ),
( x 4 ; x 7 ),( x5 ; x 6 ),( x5 ; x 7 ),( x 6 ; x8 )
4.7
(1;5)
(2;4)
(4;4)
(5;5)
(4;2)
(2;2)
(1;1)
(3;3)
( x1 ; x 2 ),( x 2 ; x5 ),( x 2 ; x 3 ),( x1 ; x 4 ),( x 4 ; x 7 ),( x 6 ; x 7 ),( x1 ; x 3 ),
( x 3 ; x 4 ),( x5 ; x 6 ),( x 3 ; x 6 )
4.8
(1;2)
(2;4)
(3;5)
(4;4)
(4;3)
(2;2)
(2;3)
(4;2)
( x1 ; x 2 ),( x 2 ; x 3 ),( x 2 ; x5 ),( x 3 ; x 4 ),( x 3 ; x5 ),( x 4 ; x5 ),( x 4 ; x8 ),
( x5 ; x 7 ),( x 7 ; x8 )
4.9
(0;2)
(1;4)
(2;5)
(3;6)
(4;5)
(5;4)
(6;2)
(3;2)
( x1 ; x 2 ),( x 2 ; x 3 ),( x 2 ; x 6 ),( x5 ; x 6 ),( x 3 ; x5 ),( x1 ; x8 ),( x 7 ; x8 ),
( x 3 ; x 7 ),( x 6 ; x 7 )
4.1
0
(2;2)
(2;5)
(3;6)
(5;6)
(3;4)
(4;5)
(4;4)
(5;4)
( x1 ; x 2 ),( x 2 ; x 3 ),( x 3 ; x 4 ),( x 3 ; x5 ),( x 3 ; x 6 ),( x 4 ; x 6 ),( x 4 ; x8 ), ( x5 ; x 6 )
21
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Основная
1. Кузнецов, О.П. Дискретная математика для инженера [Текст] /
О.П. Кузнецов. - Изд. 3-е, Санкт Петербург. Лань, 2004. - 394 с.
2. Спирина, М.С. Дискретная математика [Текст]: учебник /
М.С. Спирина, П.А. Спирин. - Москва: ACADEMIA, 2004. - 367 с.
3. Асеев, Г.Г. Дискретная математика [Текст]: учебное пособие/
Г.Г. Асеев, О.М. Абрамов, Д.Э. Ситников. - Ростов ; Харьков: Феникс: Торсинг,
2003. - 141 с.
Дополнительная
1. Яблонский, С.В. Введение в дискретную математику [Текст]: учеб.
пособие для вузов/ С.В. Яблонский. - 3-е изд., стер. - Москва: Высшая школа,
2001. - 384с.
2. Белоусов, А.И. Дискретная математика [Текст ]: учебник/
А.И. Белоусов, С.Б. Ткачев; под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. - Москва:
МГТУ им Н.Э. Баумана, 2001. - 743с.
3. Горбатов, В.А. Основы дискретной математики [Текст ]: учеб. пособие
для вузов/ В.А. Горбатов. - М.: Высшая школа, 1986. - 310 с.
4. Горбатов, В.А Дискретная математика [Текст ]: учебник для студентов
втузов/ В.А. Горбатов, А.В. Горбатов, М.В. Горбатова - Москва: АСТ, Астрель,
2003. - 447 с.
Примечание. При составлении типового расчета
использовались следующее учебные пособия:
1. Гаврилов, Г.П. Задачи и упражнения по курсу дискретной математики
[Текст] /Г.П. Гаврилов, А.А. Сапоженко.- Москва : Наука, 1992-368 с.
22
2. Кобзев, В.М. Математика. Дискретная математика [Текст]: метод. указ.
для самостоятельной работы студентов очной формы обучения /В.М.
Кобзев.- Брянск: БГТУ, 2008. – 35 с.
23