УТВЕРЖДАЮ Директор Гимназия № 1526 _____________ /Т.Г. Болдина/

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ
ЮЖНОЕ ОКРУЖНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
Государственное образовательное учреждение гимназия № 1526
УТВЕРЖДАЮ
Директор Гимназия № 1526
_____________ /Т.Г. Болдина/
«___»_____________2006 г.
РЕКЛАМНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ
Мультимедийное пособие к уроку математики
по теме «Потеря и приобретение корней при решении
тригонометрических уравнений»
.32453246.00071-01 99 01
Листов 6
<пусто>
Москва
2006
2
.32453246.00071-01 99 01
Урок по алгебре и началам анализа по теме «Потеря и приобретение
корней при решении тригонометрических уравнений».
Автор проекта – Семчук И.М.
Руководитель – Шайда Н.М.
Урок с использованием этого пособия рассчитан на два урока (по 40
минут).
Учащиеся
должны
быть
знакомы
с
решением
простейших
тригонометрических уравнений и тригонометрических уравнений среднего
уровня.
Основной целью урока является определение источников потери и
приобретения корней при решении тригонометрических уравнений.
Вместо введения:
Математическая шарада.
Из чисел вы мой первый слог возьмите,
Второй из слова «голубцы»,
А третьим лошадей вы погоните,
Четвёртым будет блеянье овцы.
Мой пятый слог такой же, как и первый,
Последней буквой в алфавите является шестой.
А если отгадаешь ты всё верно,
То в математике раздел получишь ты такой…
Ответ: ТРИ-ГО-НО-МЕ-ТРИ-Я
Вначале урока необходимо вспомнить основные определения и термины.
3
.32453246.00071-01 99 01
1. Уравнение,
содержащее
неизвестную
величину
под
знаком
тригонометрической функции, называется тригонометрическим.
2. Общий вид простейших тригонометрических уравнений.
Найдём условие, при котором будут равны синусы двух углов. Пусть
sin a = sin b. Тогда sin a – sin b = 0, и по известной формуле разности синусов
имеем
Значит, либо
то есть
либо
то есть
Итак, sin a = sin b тогда и только тогда, когда либо a – b = 2πn,
либо a + b = (2n + 1)π,
Рассмотрим решение простейшего уравнения sin x = a. Если |a| > 1, то решений
нет, если |a| ≤ 1, то в силу периодичности синуса решений будет бесконечно
много. По определению обратных тригонометрических функций, одно из
решений − это arcsin a. Следовательно, наше уравнение можно переписать в виде
sin x = sin (arcsin a). Тогда либо x – arcsin a = 2πn,
x + arcsin a = 2(n + 1)π,
либо
Оба эти равенства могут быть объединены в одно:
Это равенство называется формулой общего решения уравнения sin x = a, |a| ≤ 1.
Аналогично можно показать, что формула общего решения уравнения cos x = a
при |a| ≤ 1 имеет вид
Формула общего решения уравнения tg x = a при любом действительном a имеет
вид
x = arctg a + πn,
Формула общего решения уравнения ctg x = a при любом действительном a
имеет вид
x = arcctg a + πn,
Рассмотренные уравнения называются простейшими тригонометрическими
уравнениями.
4
.32453246.00071-01 99 01
Некоторые случаи
Умножение,
деление на
одну и ту же
тригонометрич
ескую
функцию
Иррациона
льные
уравнения
Случаи
Разложение
на
множители
Применение
тригонометрически
х тождеств, левая и
правая часть
которых имеют
неодинаковые
области
определения
По
ОДЗ
По
определе
нию
Затем начинается основная часть урока, в которой рассматриваются
основные источники потери и приобретения корней при решении уравнений
конкретного типа.
В конце урока составляются выводы для каждого из типов уравнений:
 Формулы, выражающие тригонометрические функции через тангенс
половинного аргумента, очень полезны при решении тригонометрических
уравнений
(в высшей математике – при интегрировании
тригонометрических функций). Но, применяя эти формулы слева направо,
мы можем потерять корни. Как этого избежать?
5
.32453246.00071-01 99 01
 При решении следить, чтобы не нарушалась равносильность уравнения, то
есть не происходило сужение области определения.
 Лучше после решения выполнять проверку.
 При решении однородных уравнений, где а=0 делением на cosx или sinx (а
так же cos2x или sin2x) можно потерять корни, при которых sinx=0 или
cosx=0, следует воспользоваться методом разложения на множители.
 Решая уравнения способом универсальной подстановки можно потерять
корни типа x=π+2πn.
 При использовании вышеуказанных формул слева направо сужается
область определения, а значит мы можем потерять корни.
 Если при решении уравнений происходит сужение области определения,
то есть нарушение равносильности уравнения, возможна потеря корней.
 При решении тригонометрических уравнений, чтобы не приобрести
лишние корни, необходимо следить за равносильностью уравнения, то есть
следить за тем, чтобы не происходило расширение области определения.
 Чтобы избежать потери или приобретения корней, при решении
необходимо следить за соблюдением равносильности уравнения.
 Соблюдая это правило, у вас все будет ОК.
Для закрепления и усвоения материала учащимся предлагается задание
«Найди ошибку», самостоятельная работа тестового плана и самостоятельная
работа с взаимопроверкой.
6
.32453246.00071-01 99 01
Например:
I. Лишние корни возникают, когда в уравнение входят тригонометрические
функции, имеющие область определения не на всем множестве R.
 Иррациональное уравнение.
а) ctgx = 2 cos x
б) tgx = 2 sin x
в) 1  2 sin 4 x + b cos2x = 0
а) ctgx = 2 cos x
О.Д.З.
cosx  0
ctgx = 2cosx
cos x
= 2cosx
ctgx

x   n, n  Z
0
sin x
cosx – 2sinx ·cosx = 0
cosx (1-sinx) = 0
cosx = 0
1-2sinx = 0
x=

+
2
 n, n Z
sinx =

x = (-1)n +
6
1
2
 n,
n Z
Проверка:
x=
x=

+
2

+
6
 n, n Z
 m,
m Z
(0=0) — удовлетв.
3
=
 3
Ответ: х =

+
2
 n, n Z
=
2
3
2
2
— удовлетв.
3
2
— лишний