ответы на дистанцолим по математике 11 класс 2 т

ВЫПОЛНИЛА
Фамилия Набиуллина
Имя
Индира
Отчество Римовна
Класс 11
Район Бураевский
Город с.Бураево
ОУ МОБУ Гимназия №2
ФИО учителя Гималтдинова Раузина Рашитовна
1. Найдите действительные корни уравнения (х + 2) 4 + х 4 = 82.
Решение: Обозначим х + 1 = у, тогда х + 2 = у + 1, х = у – 1. Исходное уравнение примет вид
(у + 1) 4 + (у – 1) 4 = 82.
у 4 + 6у 2 – 40 = 0, откуда у 2 = - 10 (это уравнение не имеет корней) или у 2 = 4. Тогда у
= - 2 или у = 2. Следовательно, х + 1 = - 2 или х + 1 = 2.
В итоге получаем корни 1 и – 3.
Ответ: - 3 и 1.
2. A+B+C делится на 6. Доказать, что A3+B3+C3 делится на 6.
Решение №1: Рассмотрим, какие остатки могут давать точные кубы по модулю 6. Рассматривая
всевозможные остатки, получаем, что каждое число сравнимо с собственным кубом по модулю 6
(легче проверить отдельно, что N сравнимо с N3 по модулю 2 и по модулю 3). Тогда сумма трех
чисел сравнима по модулю 6 с суммой их кубов. Первая сумма делится на 6, тогда и вторая
делится на 6, ч.т.д.
Решение №2: Воспользуемся тождеством: A3+B3+C3=(A+B+C)(A2+B2+C2-AB-AC-BC)+3ABC
(как его вывести, это отдельный алгебраический вопрос). Отсюда сразу следует, что если A+B+C
делится на 6, то A3+B3+C3 сравнимо по модулю 6 с 3ABC. Нам осталось доказать, что 3ABC
делится на 6, а это равносильно тому, что ABC четно. А ABC действительно четно: в противним
случае все три числа A, B и C были бы нечетными, и их сумма тоже была бы нечетной и не могла
бы делиться на 6?! ч.т.д.
2
3. Дискриминант квадратного уравнения x  2 x sin( xy)  1  0
Д= 4 sin2(xy) -4 = - 4 cos2(xy) < 0 , отсюда
(sin(xy) ) =1, х=+ 1
Обозначим искомое число за 1000a+100b+10c+d. По условию задачи имеем:
4. .
4(1000a+100b+10c+d)=1000d+100c+10b+a.
Так как левая часть – число четное, то и правая часть – число четное, поэтому a– четная
цифра. Тогда a=2, так как в других случаях получим в левой части пятизначное число. Так как
4d оканчивается на 2, то d=8. В итоге имеем:
4(1000·2+100b+10c+8)=1000·8+100c+10b+2.
Тогда 4(10b+c)+3=10c+b или 40b+4c+3=10c+b.
После упрощения получим: 13b+1=2c.
Решением данного уравнения будут: b=1,c=7. Тогда искомое число будет 2178.
Ответ: 2178
5. Среди сторон многоугольника в сечении параллелепипеда плоскостью найдутся параллельные,
а у правильного пятиугольника никакие две стороны не параллельны.
Доказать, что (4n + 15n - 1) делится на 9, если n N.
7.
Докажем, что (4n + 15n - 1) (1) делится на 9 с помощью метода математической индукции.
База индукции:
При n = 1, 4n + 15n - 1 = 4 + 15 - 1 = 18, которое делится на 9. Проверено.
Переход:
Пусть (1) выполняется при n = k. Докажем, что оно выполняется при n = k + 1:
4k +1 + 15(k + 1) - 1 = 4 · 4k + 15k - 14 = 4k + 15k - 1 + 3 · 4k + 15.
Согласно условию перехода 4k + 15k - 1 делится на 9, осталось показать, что 3 · 4k + 15 делится
на 9. Заметим, что 3 · 4k + 15 = 3(4k + 5) (2). К тому же
4
1 (mod 3);
k
4
1 (mod 3);
k
4 + 5 6 (mod 3), что означает, что 4k + 5 делится на 3, а (2) на 9.
Переход доказан, значит (4n + 15n - 1) делится на 9. Что и требовалось доказать.
8.
xy=1, если х=1 и у=1
значит соs^z=0. z = + π /2 + πn или при х=-1 и у=-1, то соs^z=4 нет решения так
как значение соs^z от -1 до 1.
9. а=1-2b. Тогда ab=b-2b^2 Производная равна нулю: (ab)’=1-4b=0 Откуда b=0.25 и a=0.5
Произведение ab=0.125
1 = a + 2b ≥ 2√(2ab)
ab(max) = 1/8
при a = 2b = ½
10.
Пусть x (м) – длина поезда, y (м/с) – его скорость. Тогда x/y=7 и (x+378)/y=25 , откуда
x=147 (м), y=21 (м/с). Скорость можно определить и сразу: для проезда мимо платформы поезду
потребовалось 25-7=18 (с). Следовательно, его скорость 378:18=21 (м/с), длина его 21· 7=147 (м).
Ответ: 21 м/с, 147 м.