Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение
высшего профессионального образования
«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»
Кафедра «Теория вероятностей и математическая статистика»
П.Е. Рябов
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ
АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКИ
Рабочая программа учебной дисциплины
Для подготовки бакалавров направления 010400.62 «Прикладная
математика и информатика» по профилю «Математическое и
информационное обеспечение экономической деятельности»
Москва 2010
Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение
высшего профессионального образования
«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»
Кафедра «Теория вероятностей и математическая статистика»
УТВЕРЖДАЮ
Ректор
__________ М.А. Эскиндаров
_______ ___________ 2010 г.
П.Е. Рябов
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ
АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКИ
Рабочая программа учебной дисциплины
Для подготовки бакалавров направления 010400.62 «Прикладная
математика и информатика» по профилю «Математическое и
информационное обеспечение экономической деятельности»
Утверждено кафедрой «Теория вероятностей и математическая
статистика», протокол № ___ от ___ ___________ 2010 г.
Москва 2010
1
УДК 368:51(073)
ББК 22.17я 73
Р 98
Рецензент: А.В.Браилов, профессор кафедры «Теория вероятностей и математическая статистика»
Р 98 П.Е. Рябов
«Вероятностные модели актуарной математики». Программа дисциплины для студентов, обучающихся по направлению «Прикладная
математика и информатика» по профилю «Математическое и информационное обеспечение экономической деятельности» (программа подготовки бакалавров) – очная форма обучения.– М.:
ФГОБУ ВПО «Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации», кафедра «Теория вероятностей и математическая
статистика», 2010. - 23 с.
Дисциплина «Вероятностные модели актуарной математики» является специальной дисциплиной по выбору вариативной части дисциплин ФГОС
ВПО по направлению 010400.62 «Прикладная математика и информатика» по
профилю «Математическое и информационное обеспечение экономической деятельности». Программа содержит: программу дисциплины; рабочий план изучения дисциплины; тематику практических и самостоятельных занятий с указанием технологии их проведения; формы контроля за их выполнением.
УДК 368:51(073)
ББК 22.17я 73
Учебное издание
Павел Евгеньевич Рябов
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ
АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКИ
Рабочая программа учебной дисциплины
Компьютерный набор, верстка: П.Е. Рябов.
Формат 60х90/16. Гарнитура Times New Roman
Усл.п.л.1,1. Изд. № -2010. Тираж ___ экз.
Отпечатано в ФГОУ ВПО «Финансовый университет
при Правительстве Российской Федерации»
 П.Е. Рябов, 2010
 ФГОБУ ВПО «Финансовый университет при
Правительстве Российской Федерации», 2010
2
Содержание
1. Цели и задачи дисциплины………………………………………...4
2. Место дисциплины в структуре ООП……………………………..4
3. Требования к результатам освоения дисциплины………………..5
4. Объем дисциплины и виды учебной работы……………………..7
5. Содержание разделов дисциплины………………………………...8
6. Тематика и планы практических занятий…………………………11
7. Содержание самостоятельной работы и форма контроля
по темам дисциплины……………………………………………….14
8. Тематика текущих контрольных работ…………………………….16
9. Методические рекомендации по изучению дисциплины…………16
10.Формы текущего и промежуточного контроля и требования
при их проведении…………………………………………………..17
11.Учебно-методическое и информационное обеспечение
дисциплины…………………………………………………………..20
3
1. Цели и задачи дисциплины
Цель дисциплины –
1. Дать обзор современных теорий и эффективных методов оценивания и моделирования риска и принятия решений в условиях неопределенности.
2. Развитие понятийной теоретико-вероятностной базы и формирование уровня об основных понятиях, фактах и моделях актуарной математики.
Задача дисциплины –
В результате изучения дисциплины «Вероятностные модели актуарной математики» студенты должны овладеть основными понятиями и методологией расчета премий и резервов в страховании, уметь использовать
полученные знания для оценки платежеспособности страховой деятельности, уметь решать типовые задачи, иметь навыки работы со специальной
математической литературой.
2. Место дисциплины в структуре ООП
Дисциплина «Вероятностные модели актуарной математики» является специальной дисциплиной по выбору вариативной части дисциплин
ФГОС ВПО по направлению 010400.62 «Прикладная математика и информатика» по профилю «Математическое и информационное обеспечение
экономической деятельности».
Изучение дисциплины «Вероятностные модели актуарной математики» основывается на базе знаний, полученных студентами в ходе освоения
дисциплин «Алгебра и геометрия», «Математический анализ», «Дискретная математика», «Теория вероятностей и математическая статистика 1»,
4
«Теория вероятностей и математическая статистика 2» и является основой
для дальнейшего углубленного изучения современной актуарной теории
риска.
Дисциплина «Вероятностные модели актуарной математики» изучается на втором году обучения, закладывает фундамент для понимания основных теоретико-вероятностных методов решения задач профессиональной деятельности и является базовым теоретическим и практическим основанием для многих последующих математических и финансовоэкономических дисциплин подготовки бакалавра «Прикладная математика
и информатика» для профиля «Математическое и информационное обеспечение экономической деятельности».
3. Требования к результатам освоения дисциплины
В совокупности с другими дисциплинами базовой и вариативной части математического цикла ФГОС ВПО дисциплина «Вероятностные модели актуарной математики» обеспечивает инструментарий формирования
следующих общих и профессиональных компетенций подготовки бакалавра «Прикладная математика и информатика» по профилю «Математическое и информационное обеспечение экономической деятельности»:
- владение культурой мышления, умение аргументировано и ясно
строить устную и письменную речь (ОК-1);
- способность к интеллектуальному, культурному и профессиональному саморазвитию, стремление к повышению свей квалификации и мастерства (ОК-2);
- способность осознавать социальную значимость своей профессии,
обладание высокой мотивацией к выполнению профессиональной деятельности (ОК-9);
5
- демонстрация общенаучных базовых знаний естественных наук,
математики и информатики, понимание основных научных фактов, концепций, принципов теорий, связанных с прикладной математикой (ОК-10);
- умение использовать навыки поиска и работы с информацией из
различных источников, включая сетевые ресурсы сети Интернет, для решения профессиональных и социальных задач (ОК-15);
- умение приобретать новые научные и профессиональные знания,
используя современные и информационные технологии (ОК-16);
- способность собирать, обрабатывать и интерпретировать данные
современных научных исследований, необходимые для формирования выводов по соответствующим научным, профессиональным, социальным и
этическим проблемам (ПК-1);
- способность понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат (ПК-2);
- способность в составе научно-исследовательского и производственного коллектива решать задачи профессиональной деятельности (в
соответствии с профилем подготовки) (ПК-4);
- способность критически переосмысливать накопленный опыт, изменять при необходимости вид и характер своей профессиональной деятельности (ПК-5);
- способность осуществлять целенаправленный поиск информации о
новейших научных и технологических достижениях в сети Интернет и из
других источников (ПК-6);
- знание и следование в жизни кодексу профессиональной этики
(ПК-7);
- способность формировать суждения о значении и последствиях
своей профессиональной деятельности с учетом социальных, профессиональных и этических позиций (ПК-8);
6
- понимание сущности и значения информации в развитии современного общества; владение основными методами, способами и средствами
получения, хранения, переработки информации (ПК-9);
- способность решать задачи производственной и технологической
деятельности на профессиональном уровне (ПК-10);
- способность составлять и контролировать план выполняемой работы, планировать необходимые для выполнения работы ресурсы, оценивать
результаты собственной работы (ПК-12);
В результате освоения содержания дисциплины «Вероятностные модели актуарной математики» студент должен:
знать
- основы теории вероятностей, необходимые для решения математических и финансово-экономических задач;
уметь
- применять теоретико-вероятностные методы для решения задач
экономики и финансов;
владеть
- навыками применения современного математического инструментария для решения экономических задач;
- методикой построения, анализа и применения математических моделей для оценки состояния и прогноза развития экономических явлений и
процессов (в части компетенций, соответствующих понятиям и методам
теории вероятностей).
Минимальный удовлетворительный уровень знания предполагает
владение студентом основными понятиями дисциплины и умение решать
типовые задачи.
Высокий уровень освоения дисциплины предполагает овладение
студентом всеми понятиями дисциплины, умение решать типовые задачи,
готовность к изучению специальных разделов актуарной математики, уме7
ние проводить расчеты, связанные с оценкой платежеспособности страховой деятельности.
4. Объём дисциплины и виды учебной работы
Общая трудоёмкость дисциплины составляет 2 зачётные единицы.
Вид промежуточной аттестации – зачет.
Вид учебной работы
Общая трудоёмкость дисциплины
Аудиторные занятия
Лекции (Л)
Практические занятия (ПЗ)
Самостоятельная работа
В семестрах
В сессию / форма
Часы
Семестры
(II курса)
4
72
72
34
34
17
17
17
17
38
38
38
38
-
зачет
5. Содержание разделов дисциплины
Тема 1. Экономика страхования
1.1.
Модель ожидаемой полезности. Классы функций полезности. Страхование и полезность.
1.2.
Оптимальное страхование. Оптимальность перестрахования стоплосс. Теорема Эрроу об оптимальном страховании.
8
1.3.
Принципы расчета премий.
Тема 2. Модель индивидуального риска (статические модели)
2.1.
Модели индивидуальных рисков на коротком интервале времени.
Распределения смешанного типа.
2.2.
Вероятность разорения в модели индивидуального риска. Классическая асимптотическая формула для страховых премий в статической
модели страхования.
Тема 3. Модели коллективного риска (динамические модели)
1.1.
Процессы риска Спарре–Андерсона. Классический процесс риска.
Момент разорения. Вероятность разорения на конечном и бесконечном промежутках времени.
1.1.
Распределение суммарных страховых выплат. Формулы Каца–
Панджера.
1.1.
Определение и простейшие свойства пуассоновского процесса. Информационные свойства пуассоновского процесса.
1.1.
Формула Поллачека–Хинчина–Бекмана для вероятности разорения в
классическом процессе риска.
1.1.
Теорема Крамера–Лундберга. Мартингальный подход к оценке вероятности неразорения. Неравенство Лундберга.
1.1.
Платежеспособность страховой компании с учетом инвестирования
на (B,S) – рынке.
Тема 4. Риски в страховании жизни
4.1.
Таблицы продолжительности жизни. Стандартные контракты страхования жизни. Инновационные контракты страхования жизни. Расчет премий инновационных контрактов жизни посредством хеджирования в среднеквадратическом.
4.2.
Формула Маргрейба и квантильное хеджирование контрактов страхования жизни.
9
Тема 5. Риски перестрахования
5.1.
Функция удержания и ее свойства. Основные виды перестрахования.
5.2.
Пропорциональное перестрахование с позиции оценки вероятности
неразорения.
5.3.
Непропорциональное перестрахование на примере контракта превышения потерь. Условия оптимальности эксцедентного перестрахования.
Тема 6. Системы бонус-малус
6.1 Определение системы бонус-малус. Оценка систем бонус-малус. Эластичность системы бонус-малус. Эффективность Лоймаранты. Пример системы бонус-малус.
Тема 7. Статистическое оценивание параметров страховой
деятельности
7.1.
Задача статистического оценивания распределения страховых выплат. Наиболее часто используемые дискретные распределения и
оценки их параметров. Выбор наилучшей модели. Модель Бюльмана-Штрауба.
6.
Тематика и планы практических занятий
Тема 1. Экономика страхования
1. Модель ожидаемой полезности. Классы функций полезности. Страхование и полезность.
Основная литература: [1], п. 1.2–1.3; [7], п. 3.1–3.2.
Дополнительная литература: [2], п. 1.2–1.3.
10
2. Оптимальное страхование. Оптимальность перестрахования стоп-лосс.
Теорема Эрроу об оптимальном страховании.
Литература: [1], п. 1.5; [7], 3.4.
Дополнительная литература: [2], п. 1.4.
3. Принципы расчета премий.
Дополнительная литература: [2], п. 5.1–5.6.
Тема 2. Модель индивидуального риска (статические модели)
4. Модели индивидуальных рисков на коротком интервале времени. Распределения смешанного типа.
Литература: [1], п. 2.1–2.5; [7], 7.2.
Дополнительная литература: [2], п. 2.1–2.6.
5. Вероятность разорения в модели индивидуального риска. Классическая
асимптотическая формула для страховых премий в статической модели
страхования.
Основная литература: [1], п. 2.1–2.5; [7], 7.2. [3], п. 5.2.
Дополнительная литература: [2], п. 2.1–2.6.
Тема 3. Модели коллективного риска (динамические модели)
6. Распределение
суммарных
страховых
выплат.
Панджера.
Основная литература: [1], п. 2.1–2.5; [7], 7.2; [3], п. 5.1.
Дополнительная литература: [2], п. 2.1–2.6.
11
Формулы
Каца–
7. Процессы риска Спарре–Андерсона. Классический процесс риска. Момент разорения. Вероятность разорения на конечном и бесконечном
промежутках времени.
Основная литература: [1], п. 12.1–12.5; [3], п. 7.1.
Дополнительная литература: [2], п. 3.1–3.10.
8. Формула Поллачека–Хинчина–Бекмана для вероятности разорения в
классическом процессе риска.
Основная литература: [3], п. 8.1.
9. Теорема Крамера–Лундберга. Мартингальный подход к оценке вероятности неразорения. Неравенство Лундберга.
Литература: [1], п. 13.1–13.5; [7], п. 10.1, [3], п. 8.6–8.7.
Дополнительная литература: [2], п. 4.1–4.9.
10.Платежеспособность страховой компании с учетом инвестирования на
(B,S) – рынке.
Дополнительная литература: [4], § 3; [6], п. 2.15.
Тема 4. Риски в страховании жизни
11.Таблицы продолжительности жизни. Стандартные контракты страхования жизни. Инновационные контракты страхования жизни. Расчет премий инновационных контрактов жизни посредством хеджирования в
среднеквадратическом.
Дополнительная литература: [4], § 4.
12.Формула Маргрейба и квантильное хеджирование контрактов страхования жизни.
Дополнительная литература: [5].
12
Тема 5. Риски перестрахования
13.Основные виды перестрахования. Пропорциональное перестрахование с
позиции оценки вероятности неразорения. Непропорциональное перестрахование на примере контракта превышения потерь. Условия оптимальности эксцедентного перестрахования.
Основная литература: [1], п. 14.1–14.5.
Дополнительная литература: [2], п. 4.6; [4], § 5.
Тема 6. Системы бонус-малус
14.Определение системы бонус-малус. Оценка систем бонус-малус. Эластичность системы бонус-малус. Эффективность Лоймаранты. Пример
системы бонус-малус.
Основная литература: [4], Гл. 1–6.
Дополнительная литература: [2], п. 6.1–6.3.
Тема 7. Статистическое оценивание параметров страховой
деятельности
15.Задача статистического оценивания распределения страховых выплат.
Наиболее часто используемые дискретные распределения и оценки их
параметров. Выбор наилучшей модели. Модель Бюльмана-Штрауба.
Основная литература: [3], п. 11.1.
Дополнительная литература: [2], п. 7.1–7.5.
7. Содержание самостоятельной работы и форма контроля
по темам дисциплины
13
№
п
Наименование Л,
/
п тем
ПЗ
1 Экономика
Содержание самостоятельной
Форма
работы
контроля
Л,
Работа с учебной литературой. Опрос, оценка
Страхования.
ПЗ
выступлений.
2 Модель инди-
Л,
Работа с учебной литературой. Опрос, оценка
видуального
ПЗ Решение задач.
выступлений,
риска (статиче-
проверка зада-
ские модели).
ний.
3 Модели
коллективного
Л,
Работа с учебной литературой. Опрос. Про-
ПЗ Решение задач. Вычисление
верка результа-
риска
свертки дискретных распреде-
тов вычисле-
(динамические
лений суммарных страховых
ний в програм-
модели).
выплат. Вычисление характе-
ме MS Excel.
ристик платежеспособности
Текущая кон-
страховой компании.
трольная работа № 1.
4 Риски в страховании жиз-
Л, Работа с учебной литературой. Проверка задаПЗ Расчет премий инновационных ний.
ни.
контрактов жизни посредством
хеджирования в среднеквадратическом, а также с помощью
квантильного хеджирования.
5 Риски
перестрахова-
Л,
Решение задач по теме «Риски Проверка зада-
ПЗ перестрахования».
ния.
14
ний.
6 Системы
бонус-малус.
Л, Расчет показателя эффективно- Проверка задаПЗ сти Лоймаранты на примере од- ний.
ной системы бонус-малус.
7 Статистическое
оценивание
Л,
Работа с учебной литературой Проверка зада-
ПЗ по
доверительной
теории ний. Текущая
оценки параметров.
параметров
контрольная
работа № 2.
страховой деятельности.
8. Тематика текущих контрольных работ
Контрольная работа №1. Модели индивидуальных рисков на коротком интервале времени. Распределения смешанного типа. Вероятность
разорения в модели индивидуального риска. Классическая асимптотическая формула для страховых премий в статической модели страхования.
Контрольная работа №2. Модели коллективного риска (динамические модели). Платежеспособность страховой компании с учетом инвестирования на (B,S) – рынке. Риски перестрахования.
9. Методические рекомендации по изучению дисциплины
Комплексное изучение предлагаемой студентам учебной дисциплины «Вероятностные модели актуарной математики» предполагает овладе-
15
ние материалами лекций по программе, а также систематическое выполнение тестовых и иных заданий для самостоятельной работы студентов.
В ходе лекций раскрываются основные вопросы в рамках рассматриваемой темы, делаются акценты на наиболее сложные и интересные положения изучаемого материала, которые должны быть приняты студентами
во внимание. Материалы лекций являются основой для подготовки студентов к практическим занятиям.
Основной целью практических занятий является контроль за степенью усвоения пройденного материала, ходом выполнения студентами самостоятельной работы и рассмотрение наиболее сложных заданий в рамках темы практического занятия. Ряд вопросов дисциплины, требующих
авторского подхода к их рассмотрению (например, вопросы, связанные с
инновационными системами «гибкого страхования», с оценкой эффективности систем «бонус-малус»), заслушиваются на практических занятиях в
форме подготовленных студентами сообщений (10-15 минут) с последующей их оценкой всеми студентами группы.
Для успешной подготовки устных сообщений на практических занятиях и заданий для самостоятельной работы в письменной форме по темам: «Риски в страховании жизни», «Системы бонус-малус», «Статистическое оценивание параметров страховой деятельности» студенты в обязательном порядке должны использовать публикации по изучаемой теме в
журналах таких, как, например, «Обозрение прикладной и промышленной
математики».
10. Формы текущего и промежуточного контроля и требования при их проведении
С целью контроля работы студентов на занятиях проводится опрос
студентов по выполнению домашних заданий и по усвоению лекционного
16
материала. Выполняются две текущие тематические контрольные работы.
Промежуточная форма контроля – зачет.
Структура зачета
На зачете предлагается выполнить следующие три задания (в скобках указывается максимальный балл за соответствующее задание).
1. Дать развернутый ответ на теоретический вопрос (25 баллов).
2. Вывести указанную формулу с необходимыми пояснениями и обоснованием (25 баллов).
3. Решить типовую задачу (30 баллов).
Уровень требований и критерии оценок
Текущий контроль осуществляется в ходе учебного процесса и консультирования студентов, по результатам выполнения текущих контрольных работ.
Промежуточный контроль проводится в форме письменного зачета в
виде ответов на вопросы билета. При этом оценка знаний студентов осуществляется в баллах в комплексной форме с учетом:
 оценки по итогам текущего контроля, за выполнение контрольных
работ (аттестация);
 оценки за работу в семестре, написание курсовой работы;
 оценки итоговых знаний в ходе зачета.
Распределение максимальных баллов по видам отчетности представлено в таблице.
N п/п
Виды отчетности
1
Оценка по итогам текущего контроля, за выполнение
Баллы
10
текущих контрольных работ (аттестация)
2
Оценка: за работу в семестре
17
10
3
Результаты зачета
80
Итого
100
Оценка знаний по 100-балльной шкале в соответствии с критериями
Финансовой академии реализуется следующим образом:
 менее 51 балла
– "не зачтено"
 от 51 и более
– "зачтено"
Перечень типовых задач к зачету
1.
Расчет премий и вероятности неразорения в модели индивидуального риска.
2.
Вычисление распределения суммарных страховых выплат в модели коллективного риска. Формулы Каца–Панджера.
3.
Расчет вероятности разорения в модели коллективного риска.
4.
Расчет платежеспособности страховой компании с учетом инвестирования на (B,S) – рынке.
5.
Расчет вероятности разорения в различных контрактах перестрахования.
6.
Расчет эффективности Лоймаранты на примере системы бонусмалус.
7.
Доверительная оценка параметров в различных моделях страхования.
Примерный перечень теоретических вопросов и практических заданий
для подготовки к зачету
1.
Модель ожидаемой полезности. Классы функций полезности. Страхование и полезность.
2.
Оптимальное страхование. Оптимальность перестрахования стоплосс. Теорема Эрроу об оптимальном страховании.
3.
Принципы расчета премий.
18
4.
Модели индивидуальных рисков на коротком интервале времени.
Распределения смешанного типа.
5.
Вероятность разорения в модели индивидуального риска. Классическая асимптотическая формула для страховых премий в статической
модели страхования.
6.
Процессы риска Спарре–Андерсона. Классический процесс риска.
Момент разорения. Вероятность разорения на конечном и бесконечном промежутках времени.
7.
Распределение суммарных страховых выплат. Формулы Каца–
Панджера.
8.
Формула Поллачека–Хинчина–Бекмана для вероятности разорения в
классическом процессе риска.
9.
Теорема Крамера–Лундберга. Мартингальный подход к оценке вероятности неразорения. Неравенство Лундберга.
10.
Платежеспособность страховой компании с учетом инвестирования
на (B,S) – рынке.
11.
Расчет премий инновационных контрактов жизни посредством
хеджирования в среднеквадратическом.
12.
Формула Маргрейба и квантильное хеджирование контрактов страхования жизни.
13.
Основные виды перестрахования. Пропорциональное перестрахование с позиции оценки вероятности неразорения. Непропорциональное перестрахование на примере контракта превышения потерь.
14.
Условия оптимальности эксцедентного перестрахования.
15.
Определение системы бонус-малус. Оценка систем бонус-малус.
Эластичность системы бонус-малус. Эффективность Лоймаранты.
16.
Модель Бюльмана-Штрауба.
11. Учебно-методическое
и информационное обеспечение дисциплины
19
Рекомендуемая литература
а) основная:
1. Актуарная математика: Пер. с англ. под ред. В. К. Малиновского / Н.
Бауэрс, Х. Гербер, Д. Джонс и др. – М.: Янус-К, 2001.
2. Голубин А.Ю. Математические модели в теории страхования: построение и оптимизация. – М.: Анкил, 2003. – 160 с.
3. Математические основы теории риска: учеб. пособие/ В.Ю. Королев
В.Е. Бенинг., С.Я. Шоргин. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.
4. Лемер Ж. Системы бонус-малус в автомобильном страховании
/Пер.с англ. В. К. Малиновского.-2-е изд. – М.: Янус-К, 2003.
5. Мак Т. Математика рискового страхования. – М.: ЗАО «ОлимпБизнес», 2005. – 432 с.
6. Рябов П.Е. Тексты лекций по актуарной математике. Учебнометодическое пособие. – М.: Финакадемия, кафедра «Математика и
финансовые приложения», 2009. – 64 с.
7. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. – М.:
ФАЗИС, 1998. – В 2-х т.
8. Шоломицкий А. Г. Теория риска. Выбор при неопределенности и моделирование риска. – М.: Изд. дом ГУ ВШЭ, 2005. – 400 с.
б) дополнительная:
1. Бойков А.В. Страхование и актуарные расчеты. – М.: РОХОС, 2004. –
96 с.
2. Каас Р., Гуверт Ж., Дэне Ж., Денут М. Современная актуарная теория риска. – М.: Янус-К, 2007. – 376 с.
3. Мельников А.В. Квантильное хеджирование и его применение к расчетам контрактов страхования жизни, основанных на рисковых активах финансового рынка // Обозрение прикладной и промышленной
математики, том 13, выпуск 6, 2006. – с. 993–1004.
20
4. Мельников А. В., Бойков А. В. Элементы страхового риск–
менеджмента. – М.: Изд-во АФЦ, 2000. – 87 с.
5. Мельников А.В., Романюк Ю.В., Скорнякова В.С. Формула Маргрейба и квантильное хеджирование контрактов страхования жизни //
Доклады Академии наук, 2005, том 400, № 2, с. 153–156.
6. Мельников А.В., Попова Н.В., Скорняков В.С. Математические методы финансового анализа. – М.: Анкил, 2006.
7. Ротарь В.И., Бенинг В.Е. Введение в математическую теорию страхования // Обозрение прикладной и промышленной математики, том
1, выпуск 5, 1994. – с. 699–779.
8. Dickson, David C.M. Insurance Risk and Ruin. – Cambridge University
Press, 2005.
9. Klugman S. A., Panjer H. H., Willmot G. E. Loss Models: From Data to
Decisions. – 2nd Edition, John Wiley & Sons, 2004.
10.Rolski T., Schmidli H., Schidt V., Teugels J. Stochastic Processes for Insurance and Finance. – Wiley, 1999.
21