

МЕТОД АНАЛИЗА
СЕТЕЙ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
С ГРУППОВЫМИ ПЕРЕХОДАМИ ТРЕБОВАНИЙ
Ю. И. Митрофанов, Е. С. Рогачко, Е. П. Станкевич
Саратовский государственный университет, Саратов, Россия
Рассмотрим замкнутую сеть массового обслуживания N с L системами массового обслуживания S i , i  1,, L , H требованиями одного
класса и маршрутной матрицей   (ij ) , i, j  1,, L . Система S i включает H одинаковых обслуживающих приборов с интенсивностью обслуживания i . Длительность обслуживания имеет экспоненциальное распределение. Состояние сети определяется вектором s  ( si ) , где si – число требований, находящихся в системе S i . Обозначим через X множество состояний сети, c X  X – мощность множества X , B  {1,, c X } – множество номеров состояний, I  {1,, L} – множество номеров систем массового обслуживания.
Для синхронизации событий, реализуемых в сети в процессе ее
функционирования, используется последовательность интервалов времени
фиксированной длительности  , называемых слотами. Моменты начала и
окончания слота z обозначим соответственно через  и  . Предполагается, что изменение состояния сети происходит вследствие переходов между
системами групп требований и является результатом выполнения рассмотренной ниже последовательности действий.
В момент  определяется состояние сети s  ( si ) , в котором сеть
пребывает в течение слота z , si – число требований, находящихся в системе S i в течение z . В момент  формируется вектор d  (d i ) , i  1,, L ,
требований, выходящих после завершения обслуживания из систем. Здесь
d i  si – число требований, выходящих из системы S i . Вектор d затем
преобразуется в вектор a  ( ai ) , i  1,, L , требований, входящих в конце
слота z в системы обслуживания сети. В векторе a a i – число требований,
которые поступят в систему S i . Так как векторы d и a содержат одинаковое число требований, будет сформировано новое состояние s  s  d  a .
Все векторы d и a далее будут называться векторами перемещений.
В общем, в момент  выполняются следующие действия:
1) формируется вектор d ;
1
2) реализуется алгоритм маршрутизации требований из групп d i ,
i  1,, L , и формируются направляемые из S i в S j подгруппы требований d ij , i  I , j  K i , K i – множество номеров выходных смежных с S i систем;
3) из подгрупп требований d ij , j  1,, L , i  J j , J j – множество
номеров входных смежных с S j систем, формируются группы поступающих в S j требований – компоненты a j вектора a ;
4) группы требований a j направляются в системы S j ;
5) формируется очередное состояние сети s  s  d  a .
В течение слота z в S i , i  I , завершается обслуживание d i требований, которые до момента  будут занимать обслуживающие приборы.
Эти требования освободят приборы и перейдут в другие системы только в
момент  .
Входящий поток  j групп требований в систему S j является суммой потоков  ij , i  J j , групп требований в систему S j от входных смежных с S j систем S i . Все потоки  ij , i, j  I , будем считать пуассоновскими, тогда потоки  j 
  ij
также являются пуассоновскими. Интенсив-
i J j
ности потоков  ij и  j обозначим соответственно через  ij и  j .
Если сеть находится в состоянии s , с интенсивностью q( s, d ) формируется вектор d  (d i ) , который затем с вероятностью  da преобразуется в вектор a  ( ai ) , i  1,, L .
На множестве Y всех векторов перемещений определим маршрутную цепь Маркова W с вероятностями перехода [1]
 , если qs, d   0 для некоторого s,
 da   da
в противном случае.
  da ,
Так как невозможны переходы между векторами перемещений с различным числом требований, то в общем случае маршрутная цепь приводима. В множестве состояний Y цепи W должен существовать, по крайней
мере, один существенный класс состояний. Следовательно, существует, по
крайней мере, одно стационарное распределение марковской цепи W .
Стационарное распределение маршрутной цепи должно удовлетворять
уравнениям
 d    a da , d  Y ,
aY
таким, что
2
 d
 1.
d Y
Интенсивность перехода сети N из состояния s в состояние s
определяется выражением
qs, s    q(d , a) ,
d ,aY :
s d  a  s
где q(d , a) – интенсивность перехода маршрутной цепи W из состояния d
в состояние a .
Предположим, что интенсивности перехода q(d , a) могут быть представлены в виде
qd , a   q( s, d ) da ,
где q( s, d ) – интенсивность формирования вектора d при пребывании сети
в состоянии s .
Длительность обслуживания требования одним из приборов системы
S i в течение слота есть непрерывная случайная величина  . Вероятность
завершения обслуживания требования в данном слоте
P     1  e i  i  o( ) .
Если в начале слота z в системе S i пребывает si требований (в процессе
обслуживания), то вероятность завершения обслуживания в течение этого
слота d i требований определяется биномиальным распределением с параметром i , 0  i  1 .
Тогда для рассматриваемой сети N
L s 
i
qs, d     ( i ) d i (1  i ) si  d i ,
i 1  d i 
Пусть Ki – мощность множества K i номеров выходных смежных с
системой S i систем. Группа d i разбивается на Ki подгрупп d ij , i  I ,
j  K i , направляемых из системы S i в систему S j .
Вероятности преобразования вектора d в вектор a [2]
L 
di
 L dij
  ij , d , a  Y ,
 da    
d
,

,
d
dij G i 1  i1
iL  j 1
L


где G  d ij , i  1,  , L, j  K i :  d ij  a j  .
i 1


Обозначим через Q  (q( s, s)) , s, s  X , матрицу интенсивностей переходов сети N , через   ( (s)) , s  X , вектор стационарного распределения сети N . Вектор  находится как решение уравнения
Q  0
3
с условием
  (s)  1.
sX
Математическое ожидание (м. о.) числа требований в системе S i
si 
H
 k   ( s) ,
k  0 s X :
si  k
интенсивность входящего потока одиночных требований в систему S i
i   si i (s) ,
s X
интенсивность входящего в систему S j потока  j групп требований

j  j ,
aj
где a j – м. о. числа требований в группах требований, поступивших в систему S j .
В качестве примера приводятся результаты анализа сети N с групповыми переходами требований. Параметры сети N : L  3 , H  4 ,
  (0,1; 0,4; 0,3) ,   1, c X  15 , cY  35 ,
 0 0,3 0,7
  0,2 0 0,8 .


0,6 0,4 0 
В таблице приведены значения стационарных вероятностей состояний сети N .
Таблица
Стационарные вероятности состояний сети N
s  ( s1 , s2 , s3 )  (s )
(4, 0, 0)
(3, 1, 0)
(3, 0, 1)
(2, 2, 0)
(2, 1, 1)
0,126
0,128
0,225
0,047
0,150
s  ( s1 , s2 , s3 )  (s )
(2, 0, 2)
(1, 3, 0)
(1, 2, 1)
(1, 1, 2)
(1, 0, 3)
0,146
0,008
0,037
0,063
0,044
s  ( s1 , s2 , s3 )  (s )
(0, 4, 0)
(0, 3, 1)
(0, 2, 2)
(0, 1, 3)
(0, 0, 4)
0,000
0,003
0,008
0,010
0,005
Векторы м. о. числа требований в системах сети N s  ( s1 , s2 , s3 ) и
интенсивностей потоков требований   (1 , 2 , 3 ) равны
s  (2,398; 0,569; 1,033) ,   (0,240; 0,228; 0,310) .
4
Список литературы
1. Henderson W., Taylor P. G. Product form in networks of queues with
batch arrivals and batch services // Queueing Systems. 1990. Vol. 6. P. 71–88.
2. Boucherie R. J., Dijk N. M. Product forms for queueing networks with
state-dependent multiple job transitions // Adv. Appl. Probab. 1991. Vol. 23,
№ 1. P. 152–187.
5