Тема : «Тригонометрические задачи в школьном курсе математики» Оглавление

2
Тема : «Тригонометрические задачи в школьном курсе математики»
Оглавление
Введение............................................................................................................................................................ 3
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ ....................................................................................................................................... 7
Тема и цели урока ............................................................................................................................................ 7
Заключение ..................................................................................................................................................... 14
Список литературы : ...................................................................................................................................... 16
Приложения .................................................................................................................................................... 18
3
Введение
Решение задач является важнейшим видом учебной деятельности, в
процессе которой учащимися
усваивается
математическая
теория и
развиваются логическое мышление и творческие способности, а особенно при
решении тригонометрических задач.
В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями
астрономии, землемерия и строительного дела, то есть носила чисто
геометрический характер и представляла главным образом «исчисление хорд».
Со временем в нее начали вкрапляться некоторые аналитические моменты. В
первой половине 18-го века произошел резкий перелом, после чего
тригонометрия
математического
приняла
анализа.
новое
направление
Именно
в
это
и
сместилась
время
в
сторону
тригонометрические
зависимости стали рассматриваться как функции. Это имеет не только
математико-исторический, но и методико-педагогический интерес. В настоящее
время изучению тригонометрических задач уделяется большое внимание в
школьном курсе алгебры и начал анализа. Существует несколько различных
подходов к преподаванию данной темы в школьном курсе, и учитель, особенно
начинающий, легко может запутаться в том, какой подход является наиболее
подходящим. А ведь тригонометрические функции представляют собой
наиболее удобное и наглядное средство для изучения всех свойств функций (до
применения производной), а в особенности такого свойства многих природных
процессов как периодичность.
Тригонометрические задачи из года в год
встречаются среди заданий ЕГЭ, а именно базовый уровень: найти значение
одной тригонометрической функции через другую; профильный уровень:
решить тригонометрическое уравнение. Все выше сказанное и обуславливает
актуальность выбора темы для данной итоговой аттестационной работы.
4
Тригонометрические задачи одна из самых сложных тем в школьном
курсе математики. Тригонометрические уравнения возникают при решении
задач по планиметрии, стереометрии, астрономии, физики и в других областях.
Самое важное отличие тригонометрических уравнений от алгебраических
состоит в том, что в алгебраических уравнениях конечное число корней, а в
тригонометрических - бесконечное, что сильно усложняет отбор корней. Еще
одной спецификой тригонометрических уравнений является не единственность
формы записи ответа. Тригонометрические уравнения занимают одно из
центральных мест в курсе математики средней школы, как по содержанию
учебного материала, так и по способам учебно-познавательной деятельности,
формируемым при их изучении, которые применяются к решению большого
числа задач теоретического и прикладного характера.
Изучению темы
«Решение тригонометрических уравнений» часто предшествует изучение таких
тем как «Преобразование тригонометрических выражений» и «Основные
свойства и графики тригонометрических функций» [1], [2].
Анализ научно-методической литературы показывает, что осознание
важности изучаемого материала приходит к ученикам не в процессе его
изучения, а в процессе его применения при решении других заданий, т.е. тогда
когда данный материал становится средством для решения других задач. При
изучении тригонометрических задач школьники могут наблюдать пользу от
изучения формул тригонометрии. С их помощью не решаемое на первый взгляд
уравнение принимает достаточно простой и, главное, знакомый вид. При таком
подходе изучения тригонометрии, когда уравнения изучаются после формул
преобразования тригонометрических выражений, место тригонометрических
уравнений
определяется
через
систематизацию
знаний
по
темам
«Преобразование тригонометрических выражений» и «Основные свойства и
графики
уравнения
тригонометрических
изучаются
до
функций».
темы
Если
же
тригонометрические
«Преобразование
тригонометрических
выражений», то место их изучения определяется иным образом [3]. Здесь на
5
изучение тригонометрических уравнений отводится больше времени: как
только появляется новая формула, она сразу же используется для решения
уравнений. В данном случае не формула преобразования является средством
для решения тригонометрического уравнения, а уравнение выступает как
средство закрепления тригонометрических формул. Следует отметить, что
тригонометрические задачи занимают важное место в процессе обучения
математике. Решение тригонометрических задач создаёт предпосылки для
систематизации знаний учащихся, связанных со всем учебным материалом по
тригонометрии (например, свойства тригонометрических функций, приёмы
преобразования тригонометрических выражений и т.д.), и даёт возможность
установить метапредметные связи с изученным материалом по алгебре
(уравнения,
равносильность
алгебраических
выражений
уравнений,
и
т.д.).
тождественные
Данная
тема
преобразования
представляет
теоретический, так и практический интерес. Тригонометрические
как
задачи
занимают одно из центральных мест в курсе математики средней школы, как по
содержанию учебного материала, так и по способам учебно--познавательной
деятельности, которые могут и должны быть сформированы при их изучении и
применены к решению большого числа задач теоретического и прикладного
характера. Тригонометрия представляет собой математический аппарат для
решения широкого круга задач астрономии, геодезии, картографии.
Цель работы:
-изучение и закрепление основных тригонометрических понятий, а также
методов
решений
различных
тригонометрических
задач;
-систематизация, обобщение, расширение знаний и умений, связанных с
решением тригонометрических задач.
Задачи:
· изучить дополнительную информацию о применении тригонометрии в
школьном курсе математики;
· провести анализ и систематизацию собранной информации;
6
· разработать план-конспект урока по теме «Тригонометрические задачи ЕГЭ».
Объект исследования: триногометрические задачи ЕГЭ
Предмет исследования: методика решения тригонометрических задач
ЕГЭ.
Цель исследования: изучить различные методические подходы к
решению тригонометрических задач ЕГЭ.
Гипотеза
исследования: оптимальный
тригонометрических задач
подход
к
решению
будет способствовать развитию аналитического,
логического, конструктивного мышления учащихся и формированию их
математической зоркости, позволит развить творческие способности учащихся
и подготовить их к успешной сдаче ЕГЭ и вступительным экзаменам в вузы.
Методы исследования: наблюдение, анализ, сравнение, репродуктивный
и частично – поисковый, научный.
Задачи исследования:
-Глубоко изучить тригонометрический материал в курсе средней школы;
- Рассмотреть различные методы решения тригонометрических задач ЕГЭ;
- Проверить гипотезу.
7
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
Тема и цели урока
Предмет: алгебра и начала математического анализа ( УМК А.Н. Колмогорова
и др.)
Класс : 11
Тема «Тригонометрические задачи ЕГЭ»
Цели урока:
Образовательные:
Обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала по теме
«Тригонометрические задачи»; создать условия для подготовки к ЕГЭ.
Развивающие:
способствовать формированию умений применять приемы
сравнения,
обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию;
развитию математического кругозора, мышления, математической речи
, внимания и памяти, навыков самоконтроля.
Воспитательные:
содействовать воспитанию интереса к математике, воспитывать активность,
мобильность, умение общаться, общую культуру.
Задачи урока: проверить знания учащихся по освоению основных приемов
решения тригонометрических задач; научить творчески применять свои знания
при решении заданий из ЕГЭ.
Тип урока: урок повторения. Подготовка к ЕГЭ.
Формы работы: коллективная, индивидуальная, групповая
Методы:
- репродуктивный – демонстрационные карточки;
8
- исследовательский – составление алгоритма решения для каждой
группы тригонометрических уравнений;
- аналитико – синтетический – из множества уравнений выбрать
однотипные уравнения, имеющие общую схему решения;
- интерактивный – использование компьютера
Оборудование:
мультимедийный проектор, компьютер, презентация, карточки с заданиями.
Содержание учебного материала
Ход урока:
1.Организационный вопрос.
Задания, содержащие тригонометрические задачи, являются одними из самых
сложных для выпускников. Обилие тригонометрических формул – одна из
основных причин затруднения. Этих формул более полусотни, и каждая может
понадобиться. При этом если их заучивать бессистемно, то можно просто не
увидеть, когда и какую формулу можно применить. Нужно твердо помнить
только несколько основных формул, а остальные можно легко восстановить в
памяти или вывести из основных. Поэтому сегодня предстоит повторить
формулы, с их помощью решать тригонометрические задачи (после введения
учитель ориентирует учеников в работе с оценочными листами).
Накануне были выбраны 2 команды учеников по 6 человек. Они получили все
задание на дом: решить 3 уравнения повышенной сложности. Класс разбит на 3
группы:2 команды игроков и 1 команда болельщиков.
Учитель: Добрый день, ребята. До экзаменов осталось совсем немного времени.
Мы
сегодня подведем итоги, чему научились в течение учебного года. А
решать мы будем задания, связанные с тригонометрическими задачами ЕГЭ.
Мы с вами поиграем в математические игры, но самое главное начнется в
9
середине урока, когда команды покажут свое искусство и изящество в решении
задач.
2.Устный счет.
От каждой команды вызываются к доске по ученику и ваша задача: Собрать
математическое домино из формул.(Выдаются 14 карточек на знание формул
тригонометрии)(слайд3)
2 болельщиков в режиме онлайн решают задания ЕГЭ на ноутбуках.(20мин)
В это же время все остальные учащиеся работают с учителем. Решают устно.
1. Может ли синус угла быть равным:
2
а) -3,7; б) 3,7; в) 3 ; г)
30
6 ?
2. Может ли косинус угла быть равным:
а) 0,75;
2
б) 2 ; в) -0,35;
г)

3 ?
3. При каких значениях а и bсправедливы следующие равенства:
cos

a
7
sin
sin   a


a
ctg   b
tg

b
10
cos x  a
4. Является ли число π корнем уравнения:
а)
sin 2 x  tg ( x 

4
)0
;
sin x
0
б) 1  cos x
?
3.Мозговой штурм.
Кто первым начнет рассказывать решение задач- зависит от капитанов команд.
Капитаны получают задание на доске.
Решить уравнения:
1. sin х = 0
1. cos х = 1
10
2. cos х =
1
2
2. sin х =
√3
2
3. tg х = √3
3. tg х = − 1
√2
4. sin х =
2
4. sin х =
5. cos х = −1
5. cos х =
𝜋
𝜋
𝜋
3
3
2
Ответы:1) πn,nϵZ;2)± +2πn, nϵZ; 3) + Ответы:1) +2πn,
πn,nϵZ;
1
2
√2
2
nϵZ;
𝜋
2)(−1)𝑛 +
3
πn,nϵZ;
𝜋
4)(−1)𝑛 + πn,nϵZ; 5)π+ πn,nϵZ.
4
𝜋
𝜋
4
6
3) + πn,nϵZ; 4)(−1)𝑛 + πn,nϵZ; 5)
𝜋
± +2πn, nϵZ;
4
Кто из капитанов быстрее и правильно решит пять уравнений, та команда
начнет первый ход.
4.Математический бой.
Решение уравнений из ЕГЭ. Команда может предложить противнику показать
решение одной из 3 задач.(правила матбоя в приложении).
Решить уравнения:
𝜋
1. а)Решите уравнение соs2x=sin(x+ ).
2
б)Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-2π; -π]
Решение.
а)Преобразуем уравнение, применим формулы двойного аргумента и
формулы приведения, получим 2cos2x-1=cosx
2cos2x-cosx-1=0
Пусть cosx=t, где -1≤ t≤1,тогда уравнение примет вид
2 t2-t-1=0
D=(-1)2-4*2*(-1)=9
1
t1 = 1 или t2 = - .
2
11
Значит, соsx=1 , х=2πn,nϵZ;
1
2𝜋
2
3
или cosx=- , х=±
б)Отберем
с
+ πn,nϵZ.
помощью
единичной
окружности
корни
уравнения,
принадлежащие промежутку
4𝜋
[-2π; -π]: -2π;- .
3
1
2. а) Решите уравнение
𝑡𝑔2 х
-
1
sin х
-1=0
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-3π; −
3𝜋
2
].
Решение. Учитывая, что соsx≠0 и sinx≠0, получаем
1
=
𝑡𝑔2 х
1−sin2 𝑥
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
=
1
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
- 1
Уравнение примет вид
1
Пусть
sin х
1
−
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
1
sin х
-2=0
1−3
= 𝑡, где − 1 ≤ 𝑡 ≤ 1, тогда t2-t-2=0, D=(-1)2-4*1*2=9, t=
2
=-1;
1+3
t=
2
=2.
Получим,
1
sin х
= −1 или
1
sin х
= 2, откуда sin х = −1 или sin х =
1
2
1
sin х = −1 не удовлетворяет условию соsx≠0, отсюдаsin х = ;
2
𝜋
5𝜋
6
6
х = + 2𝜋𝑘, 𝑥 =
+ 2𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍.
б)Отберем с помощью единичной окружности корни, принадлежащие
промежутку [-3π; −
х=-
11𝜋
6
3𝜋
2
].
.
𝜋
5𝜋
6
6
Ответ :а) х = + 2𝜋𝑘, 𝑥 =
+ 2𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍. ;б) х=-
11𝜋
6
.
3.а)Решите уравнение 10sin х = 2sin х ∗ 5−cos х
5𝜋
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [- ;- π].
2
Решение.
а) Преобразуем исходное уравнение 10sin х = 2sin х ∗ 5−cos х
2sin х *5sin х =2sin х ∗ 5−cos х ; 2sin х >0;
12
5sin х =5− cos х ;
sin х = − cos х;
tg х=-1;
х=−
𝜋
4
+ 2𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍.
5𝜋
б) Отберем корни, принадлежащие промежутку [- ;- π].
2
Получим числа Ответ: а) х=−
𝜋
4
9𝜋
4
5𝜋
;- .
4
+ 2𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍; б) -
9𝜋
4
5𝜋
;- .
4
5.Физкультминутка.
6.Блиц-турнир.
Учитель: Обе команды и болельщики получают задание .Время 10 минут.
Проверка решения с помощью проектора.
Решите уравнение (6 sin2 х + 5 sin х -4) √−7cos х =0
𝜋
5𝜋
2
6
(ответ : х= +πn, nϵZ,x= +2πk, kϵZ)
7.Подведение итогов.
Выставление оценок.
8.Рефлексия.
1. Сегодня я узнал…
2. Было интересно…
3. Было трудно…
4. Меня удивило …
5. Урок дал мне для жизни…
9. Задание на дом :
13
Из открытого банка заданий ЕГЭ найти тригонометрические задачи , решить
и оформить на листе А4. Приготовиться к защите работы.
14
Заключение
Тригонометрические задачи занимают важное место в процессе обучения
математике. Решение тригонометрических задач
создаёт предпосылки для
систематизации знаний учащихся, связанных со всем учебным материалом по
тригонометрии (например, свойства тригонометрических функций, приёмы
преобразования тригонометрических выражений и т.д.), и даёт возможность
установить метапредметные связи с изученным материалом по алгебре
(уравнения,
равносильность
уравнений,
тождественные
преобразования
алгебраических выражений и т.д.).
В ходе работы над проблемой - решение тригонометрических задач были
изучены объект и, предмет исследования, которые показали необходимость
осознанности работы над такими задачами. В ходе исследования выяснено, что
рациональное решение тригонометрических задач ЕГЭ является одной из
самых
актуальных
в
современной
методике.
Так
как
тригонометрия
традиционно является одной из важнейших составных частей школьного курса
математики, представляет собой его целостный и самостоятельный раздел.
Решение тригонометрических задач способствует развитию аналитического и
логического мышления, что необходимо в современной жизни. Установлено,
что
систематическая
работа
по
формированию
навыков
решения
тригонометрических задач способствует развитию общего интеллектуального
развития учащихся, их творческих способностей, потенциала школьника,
умению разбираться в создавшейся ситуации, делать нужные умозаключения.
Основным средством развития творческих способностей ученика является
решение задачи, при этом главная цель - не получение результата решения
задачи, а само решение задачи, как совокупность логических шагов,
приводящих к получению ответа. Очень важно научить ученика использовать
оптимальные методы решения тригонометрических задач.
15
Цель итоговой аттестационной работы достигнута: изучены различные
методические подходы к решению тригонометрических задач . Таким образом,
подтвердилась
выдвинутая
тригонометрических задач
гипотеза, оптимальный
подход
к
решению
будет способствовать развитию аналитического,
логического, конструктивного мышления учащихся и формированию их
математической зоркости.
16
Список литературы :
1. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений
/Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. – 15 изд. – М.:
Просвещение, 2007. – 384 с.
2. Алгебра
и
начала
математического
анализа:
Учеб.
для
10-11
общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов,
кл.
Ю. П.
Дудницын и др.; под редакцией А. Н. Колмогорова. – 17-е изд. – М.:
Просвещение, 2008. – 384 с.
3. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб. пособие для
учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Н. Я. Виленкин, О. С. ИвашевМусатов, С. И. Шварцбурд. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 1998. – 288 c.
4. ЕГЭ 2015 Математика .Материалы для подготовки ЕГЭ. alexlarin.net
5. Единый государственный экзамен: математика: Сборник заданий /
[Л.О.Денищева, Г.К Безрукова, Е.М.Бойченко и др.] М-во образования и науки
Рос.Федерации, Федерал. служба по надзору в сфере образования и науки –
М.:Просвещение, 2014, 2015.
6. Единый государственный экзамен: математика: Контрольные измерительные
материалы: 2015. – М.:Просвещение, 2015.
7. Математика: реальные варианты: ЕГЭ 2007 /В.В.Кочагин и др. – М.:АСТ:
Астрель, 2007.
8. В.Б.Некрасов Школьная математика. Пособие для базового и профильного
обучения «Авалон» «Азбука-классика» Санкт-Петербург 2006
9. А.Л.Семёнов, И.В.Ященко Математика. Типовые тестовые задания. Москва
«Экзамен» 2013
17
10. А.Г.Корянов, А.А.Прокофьев Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников.
Москва Педагогический университет «Первое сентября» 2012
11. Э.Н.Балаян Практикум по решению задач. Тригонометрические уравнения,
неравенства и системы. Ростов-на-Дону «Феникс» 2006
12. Открытый банк задач ЕГЭ по математике http:// www.mathege.ru
13. Образовательный портал для подготовки к ЕГЭ. reshuege.ru
18
Приложения
Тест.
- Проверьте свои знания способов решения тригонометрических уравнений.
Учащимся предлагается выполнить маленький тест по карточкам на 2 варианта.
- Приёмы решения уравнений.
1 – приведение к квадратному уравнению, замена переменной
2 – приведение к однородному уравнению
3 – введение вспомогательной переменной
4 – применение формул понижения степени
5 – разложение на множители
1 вариант
1
4 cos2x – sinxcosx – 1 = 0
4 cos2x – sin x – 1 = 0
2
3
4
5
+
+
2 sinx + cosx = 2
+
cost + cos3x = 0
+
sin2x + sin22x + sin23x = 1,5
+
2 вариант
1
sin2x – 3sinxcosx – 4 cos2x = 0
2
3
4
+
sin7x – sin3 x – cos5x = 0
cos2 x - 2cos x = 0
+
+
cos22 x + sin2 x = cos23x + 0,5
4cosx + 3sinx = 2
5
+
+
19
Что такое математический бой?
Бой начинается с конкурса капитанов. Победивший капитан принимает
решение по поводу того, желает ли его команда вызывать соперник на
первый раунд или, наоборот, быть вызванной.
Вызванная команда может поступить двояко. Первый способ – принять
вызов. Тогда она выставляет докладчика, а вызывавшая команда
оппонента. Если оппонент не соглашается с докладчиком, то решение
принимает жюри. В случае согласия оппонент меняется ролями с
докладчиком.
Если же вызов не был принят, то происходит проверка корректности
вызова. Идея в том, что вызванная команда отказывается рассказывать
решение задачи, а вместо этого проверяет, решила ли эту задачу
вызвавшая её команда. В таком случае вызвавшая команда выставляет
докладчика, а вызванная – оппонента.
Далее бой идёт по уже известным нам правилам. Если вызов корректный,
(то есть вызвавшая команда представила решение, и оппонент согласился с
ним), то следующий вызов, согласно порядку очерёдности, делает
вызванная команда. Это одно из самых важнейших правил
математического боя, которое заставляет капитанов осторожно относиться
к вызовам и карает тех, кто вызывает противника на задачи, которые сам
не умеет решать.
Победителем боя считают команду, набравшую больше очков. При этом,
как правило, заранее устанавливают некую разницу баллов (обычно 2 или
3), которую надо преодолеть для победы.
Таковы основные правила. Математические бои – прекрасная школа для
приобретения навыков не только решения задач и работы в творческом
коллективе, но и (что не менее важно!) внятного изложения своих мыслей,
умения спорить, замечать свои и чужие ошибки. Особенно ответственна роль
капитана команды: он не только сам решает задачи, но и распределяет усилия
своих товарищей, чтобы было решено как можно больше задач и все решения
были тщательно проверены.