Изопериметрические задачи

Èçîïåðèìåòðè÷åñêèå çàäà÷è
Â.À. Êèðè÷åíêî
êóðñ Âàðèàöèîííîå èñ÷èñëåíèå è îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå
Ôàêóëüòåò ìàòåìàòèêè
Íàöèîíàëüíûé èññëåäîâàòåëüñêèé óíèâåðñèòåò Âûñøàÿ øêîëà ýêîíîìèêè
âåñåííèé ñåìåñòð 2013 ã.
Êëàññè÷åñêàÿ èçîïåðèìåòðè÷åñêàÿ çàäà÷à
Çàäà÷à Äèäîíû
Ñðåäè âñåõ ïëîñêèõ ôèãóð îäèíàêîâîãî ïåðèìåòðà íàéòè
ôèãóðó íàèáîëüøåé ïëîùàäè.
Èñòîðèÿ
Äèäîíà äî÷ü òèðñêîãî öàðÿ, ëåãåíäàðíàÿ îñíîâàòåëüíèöà è ïåðâàÿ
öàðèöà Êàðôàãåíà. Îíà îòïëûëà èç ôèíèêèéñêîãî ãîðîäà Òèðà â
Àôðèêó âìåñòå ñ ñîêðîâèùàìè ñâîåãî ìóæà Àêåðáàñà, óáèòîãî
áðàòîì Äèäîíû. Íà ïîáåðåæüå Òóíèññêîãî çàëèâà Äèäîíà îñíîâàëà
êàðôàãåíñêèé êðåìëü Áèðñó, êóïèâ ó ìåñòíîãî âîæäÿ ó÷àñòîê çåìëè,
êîòîðûé ìîæíî îêðóæèòü âîëîâüåé øêóðîé. Äèäîíà
èçðåçàëà øêóðó íà ðåìåøêè, ñâÿçàëà âåðåâêó äëèíîé 22 ñòàäèÿ
(ïðèìåðíî 2 êì), è îõâàòèëà åþ öåëóþ ãîðó. Íà ÿçûêå ïóíèéöåâ
Áèðñà è îçíà÷àåò øêóðà.
Êëàññè÷åñêàÿ èçîïåðèìåòðè÷åñêàÿ çàäà÷à
Çàäà÷à Äèäîíû
Ñðåäè âñåõ ïëîñêèõ ôèãóð îäèíàêîâîãî ïåðèìåòðà íàéòè
ôèãóðó íàèáîëüøåé ïëîùàäè.
Èñòîðèÿ
Äèäîíà äî÷ü òèðñêîãî öàðÿ, ëåãåíäàðíàÿ îñíîâàòåëüíèöà è ïåðâàÿ
öàðèöà Êàðôàãåíà. Îíà îòïëûëà èç ôèíèêèéñêîãî ãîðîäà Òèðà â
Àôðèêó âìåñòå ñ ñîêðîâèùàìè ñâîåãî ìóæà Àêåðáàñà, óáèòîãî
áðàòîì Äèäîíû. Íà ïîáåðåæüå Òóíèññêîãî çàëèâà Äèäîíà îñíîâàëà
êàðôàãåíñêèé êðåìëü Áèðñó, êóïèâ ó ìåñòíîãî âîæäÿ ó÷àñòîê çåìëè,
êîòîðûé ìîæíî îêðóæèòü âîëîâüåé øêóðîé. Äèäîíà
èçðåçàëà øêóðó íà ðåìåøêè, ñâÿçàëà âåðåâêó äëèíîé 22 ñòàäèÿ
(ïðèìåðíî 2 êì), è îõâàòèëà åþ öåëóþ ãîðó. Íà ÿçûêå ïóíèéöåâ
Áèðñà è îçíà÷àåò øêóðà.
Áèðñà
Ðàçâàëèíû Áèðñû
â Òóíèñå
Ôîòîãðàôèÿ âçÿòà ñ ñàéòà
http://www.panoramio.com/photo/46844980
Âàðèàöèè çàäà÷è Äèäîíû
Çàäà÷à Äèäîíû íà áåðåãó
ìîðÿ
Âåðåâêîé ôèêñèðîâàííîé
äëèíû îòäåëèòü îò
ïîëóïëîñêîñòè ôèãóðó
íàèáîëüøåé ïëîùàäè.
Çàêðåïëåííûå êîíöû
 ïðåäûäóùåé çàäà÷å
äîïîëíèòåëüíî ïîòðåáîâàòü,
÷òîáû êîíöû âåðåâêè ëåæàëè â
ôèêñèðîâàííûõ òî÷êàõ ãðàíèöû
ïîëóïëîñêîñòè.
Âàðèàöèè çàäà÷è Äèäîíû
Ïðîèçâîëüíàÿ ôîðìà áåðåãà
Âìåñòî ïîëóïëîñêîñòè âçÿòü
äðóãóþ ôèãóðó, íàïðèìåð, êðóã.
Ðåëüåô
Âìåñòî ïëîñêèõ ôèãóð ìîæíî ðàññìîòðåòü ôèãóðû íà íåðîâíîé
ïîâåðõíîñòè (íàïðèìåð, íà ïîâåðõíîñòè ãîðû, êàê è áûëî â
ñëó÷àå Áèðñû).
Íåîäíîðîäíîñòü ïî÷âû
Ìîæíî ââåñòè ôóíêöèþ ïëîäîðîäíîñòè ïî÷âû è
ìàêñèìèçèðîâàòü íå ïëîùàäü, à èíòåãðàë ôóíêöèè.
Âàðèàöèè çàäà÷è Äèäîíû
Ïðîèçâîëüíàÿ ôîðìà áåðåãà
Âìåñòî ïîëóïëîñêîñòè âçÿòü
äðóãóþ ôèãóðó, íàïðèìåð, êðóã.
Ðåëüåô
Âìåñòî ïëîñêèõ ôèãóð ìîæíî ðàññìîòðåòü ôèãóðû íà íåðîâíîé
ïîâåðõíîñòè (íàïðèìåð, íà ïîâåðõíîñòè ãîðû, êàê è áûëî â
ñëó÷àå Áèðñû).
Íåîäíîðîäíîñòü ïî÷âû
Ìîæíî ââåñòè ôóíêöèþ ïëîäîðîäíîñòè ïî÷âû è
ìàêñèìèçèðîâàòü íå ïëîùàäü, à èíòåãðàë ôóíêöèè.
Âàðèàöèè çàäà÷è Äèäîíû
Ïðîèçâîëüíàÿ ôîðìà áåðåãà
Âìåñòî ïîëóïëîñêîñòè âçÿòü
äðóãóþ ôèãóðó, íàïðèìåð, êðóã.
Ðåëüåô
Âìåñòî ïëîñêèõ ôèãóð ìîæíî ðàññìîòðåòü ôèãóðû íà íåðîâíîé
ïîâåðõíîñòè (íàïðèìåð, íà ïîâåðõíîñòè ãîðû, êàê è áûëî â
ñëó÷àå Áèðñû).
Íåîäíîðîäíîñòü ïî÷âû
Ìîæíî ââåñòè ôóíêöèþ ïëîäîðîäíîñòè ïî÷âû è
ìàêñèìèçèðîâàòü íå ïëîùàäü, à èíòåãðàë ôóíêöèè.
Âàðèàöèè çàäà÷è Äèäîíû
Ïðîèçâîëüíàÿ ôîðìà áåðåãà
Âìåñòî ïîëóïëîñêîñòè âçÿòü
äðóãóþ ôèãóðó, íàïðèìåð, êðóã.
Ðåëüåô
Âìåñòî ïëîñêèõ ôèãóð ìîæíî ðàññìîòðåòü ôèãóðû íà íåðîâíîé
ïîâåðõíîñòè (íàïðèìåð, íà ïîâåðõíîñòè ãîðû, êàê è áûëî â
ñëó÷àå Áèðñû).
Íåîäíîðîäíîñòü ïî÷âû
Ìîæíî ââåñòè ôóíêöèþ ïëîäîðîäíîñòè ïî÷âû è
ìàêñèìèçèðîâàòü íå ïëîùàäü, à èíòåãðàë ôóíêöèè.
Âàðèàöèè çàäà÷è Äèäîíû
Ïðîèçâîëüíàÿ ôîðìà áåðåãà
Âìåñòî ïîëóïëîñêîñòè âçÿòü
äðóãóþ ôèãóðó, íàïðèìåð, êðóã.
Ðåëüåô
Âìåñòî ïëîñêèõ ôèãóð ìîæíî ðàññìîòðåòü ôèãóðû íà íåðîâíîé
ïîâåðõíîñòè (íàïðèìåð, íà ïîâåðõíîñòè ãîðû, êàê è áûëî â
ñëó÷àå Áèðñû).
Íåîäíîðîäíîñòü ïî÷âû
Ìîæíî ââåñòè ôóíêöèþ ïëîäîðîäíîñòè ïî÷âû è
ìàêñèìèçèðîâàòü íå ïëîùàäü, à èíòåãðàë ôóíêöèè.
Âàðèàöèè çàäà÷è Äèäîíû
Ïðîèçâîëüíàÿ ôîðìà áåðåãà
Âìåñòî ïîëóïëîñêîñòè âçÿòü
äðóãóþ ôèãóðó, íàïðèìåð, êðóã.
Ðåëüåô
Âìåñòî ïëîñêèõ ôèãóð ìîæíî ðàññìîòðåòü ôèãóðû íà íåðîâíîé
ïîâåðõíîñòè (íàïðèìåð, íà ïîâåðõíîñòè ãîðû, êàê è áûëî â
ñëó÷àå Áèðñû).
Íåîäíîðîäíîñòü ïî÷âû
Ìîæíî ââåñòè ôóíêöèþ ïëîäîðîäíîñòè ïî÷âû è
ìàêñèìèçèðîâàòü íå ïëîùàäü, à èíòåãðàë ôóíêöèè.
Èçîïåðèìåòðè÷åñêèå çàäà÷è
Îïðåäåëåíèå
Èçîïåðèìåòðè÷åñêîé
Z
íàçûâàåòñÿ âàðèàöèîííàÿ çàäà÷à
x1
f (x, y , ẏ )dx 7→ extr;
y (x0 ) = y0 , y (x1 ) = y1 .
x0
ñ äîïîëíèòåëüíûì îãðàíè÷åíèåì
Z x1
g (x, y , ẏ )dx = L.
x0
Ïðèìåð
Ôîðìàëèçàöèÿ çàäà÷è Äèäîíû ñ çàêðåïëåííûìè êîíöàìè â
âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè:
Z x1
Z x1 p
ydx 7→ max;
1 + ẏ 2 dx = L, y (x0 ) = y (x1 ) = 0.
x0
x0
Èçîïåðèìåòðè÷åñêèå çàäà÷è
Îïðåäåëåíèå
Èçîïåðèìåòðè÷åñêîé
Z
íàçûâàåòñÿ âàðèàöèîííàÿ çàäà÷à
x1
f (x, y , ẏ )dx 7→ extr;
y (x0 ) = y0 , y (x1 ) = y1 .
x0
ñ äîïîëíèòåëüíûì îãðàíè÷åíèåì
Z x1
g (x, y , ẏ )dx = L.
x0
Ïðèìåð
Ôîðìàëèçàöèÿ çàäà÷è Äèäîíû ñ çàêðåïëåííûìè êîíöàìè â
âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè:
Z x1
Z x1 p
ydx 7→ max;
1 + ẏ 2 dx = L, y (x0 ) = y (x1 ) = 0.
x0
x0
Èçîïåðèìåòðè÷åñêèå çàäà÷è
Ïðàâèëî ìíîæèòåëåé Ëàãðàíæà
Íåîáõîäèìîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà â èçîïåðèìåòðè÷åñèõ çàäà÷àõ
ñîâïàäàåò ñ íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ýêñòðåìóìà â çàäà÷å áåç
îãðàíè÷åíèé
Z
x1
L(x, y , ẏ )dx 7→ extr
x0
äëÿ èñïðàâëåííîãî ëàãðàíæèàíà L = λ0 f + λ1 g , ãäå
λ0 , λ1 ∈ R ìíîæèòåëè Ëàãðàíæà.
Ïðèìåð
 çàäà÷å Äèäîíû èñïðàâëåííûé ëàãðàíæèàí èìååò âèä
p
L = λ0 y + λ1 1 + ẏ 2
Èçîïåðèìåòðè÷åñêèå çàäà÷è
Ïðàâèëî ìíîæèòåëåé Ëàãðàíæà
Íåîáõîäèìîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà â èçîïåðèìåòðè÷åñèõ çàäà÷àõ
ñîâïàäàåò ñ íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ýêñòðåìóìà â çàäà÷å áåç
îãðàíè÷åíèé
Z
x1
L(x, y , ẏ )dx 7→ extr
x0
äëÿ èñïðàâëåííîãî ëàãðàíæèàíà L = λ0 f + λ1 g , ãäå
λ0 , λ1 ∈ R ìíîæèòåëè Ëàãðàíæà.
Ïðèìåð
 çàäà÷å Äèäîíû èñïðàâëåííûé ëàãðàíæèàí èìååò âèä
p
L = λ0 y + λ1 1 + ẏ 2
Çàäà÷à Äèäîíû
Èíòåãðàë ýíåðãèè
λ1
− λ0 y = const.
ẏ Lẏ − L = − p
1 + ẏ 2
Óïðàæíåíèå
Ïðîâåðüòå, ÷òî ýêñòðåìàëè ïðè λ0 = 0 íå äàþò ðåøåíèÿ çàäà÷è
Äèäîíû.
Óðàâíåíèå ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè
Ïîëîæèì λ0 = 1.
s
ẏ =
λ21
− 1.
(C − y )2
Çàäà÷à Äèäîíû
Èíòåãðàë ýíåðãèè
λ1
− λ0 y = const.
ẏ Lẏ − L = − p
1 + ẏ 2
Óïðàæíåíèå
Ïðîâåðüòå, ÷òî ýêñòðåìàëè ïðè λ0 = 0 íå äàþò ðåøåíèÿ çàäà÷è
Äèäîíû.
Óðàâíåíèå ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè
Ïîëîæèì λ0 = 1.
s
ẏ =
λ21
− 1.
(C − y )2
Çàäà÷à Äèäîíû
Èíòåãðàë ýíåðãèè
λ1
− λ0 y = const.
ẏ Lẏ − L = − p
1 + ẏ 2
Óïðàæíåíèå
Ïðîâåðüòå, ÷òî ýêñòðåìàëè ïðè λ0 = 0 íå äàþò ðåøåíèÿ çàäà÷è
Äèäîíû.
Óðàâíåíèå ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè
Ïîëîæèì λ0 = 1.
s
ẏ =
λ21
− 1.
(C − y )2
Ïîèñê ýêñòðåìàëè
1. Ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûå, ïîëó÷àåì
dx = r
dy
λ21
(C −y )2
.
−1
2. Èíòåãðèðóÿ, ïîëó÷àåì
Z
q
(C − y )dy
q
= λ21 − (C − y )2 + C1
x=
λ21 − (C − y )2
îòêóäà ýêñòðåìàëü ñîâïàäàåò ñ äóãîé îêðóæíîñòè
(x − C1 )2 + (y − C )2 = λ21 .
3. Êîíñòàíòû λ1 , C è C1 îäíîçíà÷íî íàõîäÿòñÿ èç óñëîâèé
Z x1 p
1 + ẏ 2 dx = L, y (x0 ) = y (x1 ) = 0.
x0
Ïîèñê ýêñòðåìàëè
1. Ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûå, ïîëó÷àåì
dx = r
dy
λ21
(C −y )2
.
−1
2. Èíòåãðèðóÿ, ïîëó÷àåì
Z
q
(C − y )dy
q
= λ21 − (C − y )2 + C1
x=
λ21 − (C − y )2
îòêóäà ýêñòðåìàëü ñîâïàäàåò ñ äóãîé îêðóæíîñòè
(x − C1 )2 + (y − C )2 = λ21 .
3. Êîíñòàíòû λ1 , C è C1 îäíîçíà÷íî íàõîäÿòñÿ èç óñëîâèé
Z x1 p
1 + ẏ 2 dx = L, y (x0 ) = y (x1 ) = 0.
x0
Ïîèñê ýêñòðåìàëè
1. Ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûå, ïîëó÷àåì
dx = r
dy
λ21
(C −y )2
.
−1
2. Èíòåãðèðóÿ, ïîëó÷àåì
Z
q
(C − y )dy
q
= λ21 − (C − y )2 + C1
x=
λ21 − (C − y )2
îòêóäà ýêñòðåìàëü ñîâïàäàåò ñ äóãîé îêðóæíîñòè
(x − C1 )2 + (y − C )2 = λ21 .
3. Êîíñòàíòû λ1 , C è C1 îäíîçíà÷íî íàõîäÿòñÿ èç óñëîâèé
Z x1 p
1 + ẏ 2 dx = L, y (x0 ) = y (x1 ) = 0.
x0
Ïî÷åìó ìàêñèìóì äîñòèãàåòñÿ íà ýêñòðåìàëÿõ?
Ôàêò
Ýêñòðåìàëè â çàäà÷å Äèäîíû äàþò àáñîëþòíûé ìàêñèìóì.
Îáîñíîâàíèå ñ ïîìîùüþ ìåòðèêè Õàóñäîðôà
Ìíîæåñòâî âñåõ êîìïàêòíûõ ôèãóð ìîæíî ïðåâðàòèòü â ìåòðè÷åñêîå
ïðîñòðàíñòâî ñ ïîìîùüþ ìåòðèêè Õàóñäîðôà (äåòàëè ñì. â [2, ï. 9.4]).
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â çàäà÷å Äèäîíû äîñòàòî÷íî ðàññìàòðèâàòü
âûïóêëûå ôèãóðû, è ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ âûïóêëûõ ôèãóð ôèêñèðîâàííîãî
ïåðèìåòðà êîìïàêò. Ïëîùàäü çàäà¼ò íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ íà
êîìïàêòå, ïîýòîìó ìàêñèìóì ñóùåñòâóåò. Èç åäèíñòâåííîñòè ýêñòðåìàëè
ñëåäóåò, ÷òî èìåííî íà íåé äîñòèãàåòñÿ ìàêñèìóì.
Çàìå÷àíèå
Êëàññè÷åñêàÿ èçîïåðèìåòðè÷åñêàÿ çàäà÷à ïðÿìî ñëåäóåò èç
èçîïåðèìåòðè÷åñêîãî íåðàâåíñòâà: ñðåäè âñåõ ïëîñêèõ ôèãóð îäèíàêîâîãî
ïåðèìåòðà íàèáîëüøóþ ïëîùàäü èìååò êðóã. Çàäà÷ó Äèäîíû ñ
çàêðåïë¼ííûìè êîíöàìè òîæå ìîæíî ñâåñòè ê èçîïåðèìåòðè÷åñêîìó
íåðàâåíñòâó ýëåìåíòàðíûìè ðàññóæäåíèÿìè (äåòàëè ñì. â [1, ï.1.1.1]).
Ïî÷åìó ìàêñèìóì äîñòèãàåòñÿ íà ýêñòðåìàëÿõ?
Ôàêò
Ýêñòðåìàëè â çàäà÷å Äèäîíû äàþò àáñîëþòíûé ìàêñèìóì.
Îáîñíîâàíèå ñ ïîìîùüþ ìåòðèêè Õàóñäîðôà
Ìíîæåñòâî âñåõ êîìïàêòíûõ ôèãóð ìîæíî ïðåâðàòèòü â ìåòðè÷åñêîå
ïðîñòðàíñòâî ñ ïîìîùüþ ìåòðèêè Õàóñäîðôà (äåòàëè ñì. â [2, ï. 9.4]).
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â çàäà÷å Äèäîíû äîñòàòî÷íî ðàññìàòðèâàòü
âûïóêëûå ôèãóðû, è ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ âûïóêëûõ ôèãóð ôèêñèðîâàííîãî
ïåðèìåòðà êîìïàêò. Ïëîùàäü çàäà¼ò íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ íà
êîìïàêòå, ïîýòîìó ìàêñèìóì ñóùåñòâóåò. Èç åäèíñòâåííîñòè ýêñòðåìàëè
ñëåäóåò, ÷òî èìåííî íà íåé äîñòèãàåòñÿ ìàêñèìóì.
Çàìå÷àíèå
Êëàññè÷åñêàÿ èçîïåðèìåòðè÷åñêàÿ çàäà÷à ïðÿìî ñëåäóåò èç
èçîïåðèìåòðè÷åñêîãî íåðàâåíñòâà: ñðåäè âñåõ ïëîñêèõ ôèãóð îäèíàêîâîãî
ïåðèìåòðà íàèáîëüøóþ ïëîùàäü èìååò êðóã. Çàäà÷ó Äèäîíû ñ
çàêðåïë¼ííûìè êîíöàìè òîæå ìîæíî ñâåñòè ê èçîïåðèìåòðè÷åñêîìó
íåðàâåíñòâó ýëåìåíòàðíûìè ðàññóæäåíèÿìè (äåòàëè ñì. â [1, ï.1.1.1]).
Ïî÷åìó ìàêñèìóì äîñòèãàåòñÿ íà ýêñòðåìàëÿõ?
Ôàêò
Ýêñòðåìàëè â çàäà÷å Äèäîíû äàþò àáñîëþòíûé ìàêñèìóì.
Îáîñíîâàíèå ñ ïîìîùüþ ìåòðèêè Õàóñäîðôà
Ìíîæåñòâî âñåõ êîìïàêòíûõ ôèãóð ìîæíî ïðåâðàòèòü â ìåòðè÷åñêîå
ïðîñòðàíñòâî ñ ïîìîùüþ ìåòðèêè Õàóñäîðôà (äåòàëè ñì. â [2, ï. 9.4]).
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â çàäà÷å Äèäîíû äîñòàòî÷íî ðàññìàòðèâàòü
âûïóêëûå ôèãóðû, è ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ âûïóêëûõ ôèãóð ôèêñèðîâàííîãî
ïåðèìåòðà êîìïàêò. Ïëîùàäü çàäà¼ò íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ íà
êîìïàêòå, ïîýòîìó ìàêñèìóì ñóùåñòâóåò. Èç åäèíñòâåííîñòè ýêñòðåìàëè
ñëåäóåò, ÷òî èìåííî íà íåé äîñòèãàåòñÿ ìàêñèìóì.
Çàìå÷àíèå
Êëàññè÷åñêàÿ èçîïåðèìåòðè÷åñêàÿ çàäà÷à ïðÿìî ñëåäóåò èç
èçîïåðèìåòðè÷åñêîãî íåðàâåíñòâà: ñðåäè âñåõ ïëîñêèõ ôèãóð îäèíàêîâîãî
ïåðèìåòðà íàèáîëüøóþ ïëîùàäü èìååò êðóã. Çàäà÷ó Äèäîíû ñ
çàêðåïë¼ííûìè êîíöàìè òîæå ìîæíî ñâåñòè ê èçîïåðèìåòðè÷åñêîìó
íåðàâåíñòâó ýëåìåíòàðíûìè ðàññóæäåíèÿìè (äåòàëè ñì. â [1, ï.1.1.1]).
Öåïíàÿ ëèíèÿ
Çàäà÷à î öåïíîé ëèíèè
Íàéòè ôîðìó íåðàñòÿæèìîé îäíîðîäíîé âåð¼âêè, êîíöû
êîòîðîé çàêðåïëåíû â äâóõ ôèêñèðîâàííûõ òî÷êàõ â
âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè.
Ôîðìàëèçàöèÿ
Ôîðìà âåð¼âêè ìèíèìèçèðóåò ñóììàðíóþ ïîòåíöèàëüíóþ
ýíåðãèþ âåð¼âêè. Ïîëó÷àåì èçîïåðèìåòðè÷åñêóþ çàäà÷ó
Z x1 p
Z x1 p
y 1 + ẏ 2 dx 7→ min;
1 + ẏ 2 dx = L, y (x0 ) = y0 , y (x1 ) = y1 .
x0
x0
Óïðàæíåíèå
Íàéäèòå ýêñòðåìàëè â çàäà÷å î öåïíîé ëèíèè.
Öåïíàÿ ëèíèÿ
Çàäà÷à î öåïíîé ëèíèè
Íàéòè ôîðìó íåðàñòÿæèìîé îäíîðîäíîé âåð¼âêè, êîíöû
êîòîðîé çàêðåïëåíû â äâóõ ôèêñèðîâàííûõ òî÷êàõ â
âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè.
Ôîðìàëèçàöèÿ
Ôîðìà âåð¼âêè ìèíèìèçèðóåò ñóììàðíóþ ïîòåíöèàëüíóþ
ýíåðãèþ âåð¼âêè. Ïîëó÷àåì èçîïåðèìåòðè÷åñêóþ çàäà÷ó
Z x1 p
Z x1 p
y 1 + ẏ 2 dx 7→ min;
1 + ẏ 2 dx = L, y (x0 ) = y0 , y (x1 ) = y1 .
x0
x0
Óïðàæíåíèå
Íàéäèòå ýêñòðåìàëè â çàäà÷å î öåïíîé ëèíèè.
Öåïíàÿ ëèíèÿ
Çàäà÷à î öåïíîé ëèíèè
Íàéòè ôîðìó íåðàñòÿæèìîé îäíîðîäíîé âåð¼âêè, êîíöû
êîòîðîé çàêðåïëåíû â äâóõ ôèêñèðîâàííûõ òî÷êàõ â
âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè.
Ôîðìàëèçàöèÿ
Ôîðìà âåð¼âêè ìèíèìèçèðóåò ñóììàðíóþ ïîòåíöèàëüíóþ
ýíåðãèþ âåð¼âêè. Ïîëó÷àåì èçîïåðèìåòðè÷åñêóþ çàäà÷ó
Z x1 p
Z x1 p
y 1 + ẏ 2 dx 7→ min;
1 + ẏ 2 dx = L, y (x0 ) = y0 , y (x1 ) = y1 .
x0
x0
Óïðàæíåíèå
Íàéäèòå ýêñòðåìàëè â çàäà÷å î öåïíîé ëèíèè.
Ññûëêè
•
Â.Ì.Àëåêñååâ, Â.Ì.Òèõîìèðîâ, Ñ.Â.Ôîìèí,
Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå. Òåîðèÿ. Ïðèìåðû. Çàäà÷è.
2-å,ïåðåðàá. è äîï. - Ì. : Ôèçìàòëèò, 2005.
•
Â.À.Òèìîðèí, Âûïóêëûå ìíîãîãðàííèêè,
, Èçä.
çàïèñêè ëåêöèé
http://www.hse.ru/data/2011/06/03/1212338172/convpoly.pdf
Ññûëêè
•
Â.Ì.Àëåêñååâ, Â.Ì.Òèõîìèðîâ, Ñ.Â.Ôîìèí,
Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå. Òåîðèÿ. Ïðèìåðû. Çàäà÷è.
2-å,ïåðåðàá. è äîï. - Ì. : Ôèçìàòëèò, 2005.
•
Â.À.Òèìîðèí, Âûïóêëûå ìíîãîãðàííèêè,
, Èçä.
çàïèñêè ëåêöèé
http://www.hse.ru/data/2011/06/03/1212338172/convpoly.pdf
Îáðàòíàÿ ñâÿçü
Âîïðîñû, èñïðàâëåíèÿ è êîììåíòàðèè ìîæíî ïðèñûëàòü
ïî àäðåñó
vkiritch@hse.ru