Введение в Теорию струн и Конформную теорию поля.

Ââåäåíèå â Òåîðèþ ñòðóí è Êîíôîðìíóþ
òåîðèþ ïîëÿ.
Ëåêöèè íà Çèìíåé Øêîëå ÈÒÝÔ 2009.
À.À.Áåëàâèí, Ã.Ì.Òàðíîïîëüñêèé
Èíñòèòóò òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè èì. Ë.Ä. Ëàíäàó ÐÀÍ,
×åðíîãîëîâêà, 142432, Ðîññèÿ
1
Ïëàí Ëåêöèé
1. Íåêðèòè÷åñêèå ñòðóíû è Êîíôîðìíàÿ àíîìàëèÿ.
Ðåëÿòèâèñòñêàÿ ÷àñòèöà.
Ðåëÿòèâèñòñêàÿ ñòðóíà.
Ïîäõîä Ïîëÿêîâà.
Ôèêñàöèÿ êàëèáðîâêè.
j
- äèôôåðåíöèàëû è îïåðàòîðû Ëàïëàñà.
Ïðåäñòàâëåíèå
det ∆j
â âèäå ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðàëà.
Ðåãóëÿðèçàöèÿ äåòåðìèíàíòîâ.
ßäðî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè.
Àñèìïòîòèêà ÿäðà óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè.
Êîíôîðìíàÿ àíîìàëèÿ.
Êîíôîðìíàÿ òåîðèÿ ïîëÿ. Îïðåäåëåíèå
2. Êîíôîðìíûé Áóòñòðàï.
Ïîëÿ, Êîððåëÿòîðû è Îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå.
Òåíçîð ýíåðãèè-èìïóëüñà.
Òåíçîð ýíåðãèè-èìïóëüñà â Êîíôîðìíîé òåîðèè ïîëÿ â ïëîñêîì
ïðîñòðàíñòâå.
Òåíçîð ýíåðãèè-èìïóëüñà â ÊÒÏ â èñêðèâëåííîì ïðîñòðàíñòâå,
ïñåâäîòåíçîð.
Îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå äëÿ òåíçîðà ýíåðãèè-èìïóëüñà, Àëãåáðà
Âèðàñîðî.
Ïðèìàðíûå ïîëÿ è èõ ïîòîìêè.
Ñèíãóëÿðíûå âåêòîðà è ïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ.
Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ "âûðîæäåííûõ ïîëåé".
Îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå äëÿ "âûðîæäåííûõ ïîëåé".
3. Ìèíèìàëüíàÿ Òåîðèÿ Ñòðóí.
Ôóíêöèîíàëüíûé èíòåãðàë Ïîëÿêîâà â êîíôîðìíîé êàëèáðîâêå.
Ôîðìóëèðîâêà Äàâèäà - Äèñòëåðà - Êàâàè.
Ñïåêòð ãðàâèòàöèîííûõ ðàçìåðíîñòåé.
Ìèíèìàëüíàÿ 2-ìåðíàÿ Ãðàâèòàöèÿ Ëèóâèëëÿ.
1
Íåêðèòè÷åñêèå ñòðóíû è Êîíôîðìíàÿ àíîìàëèÿ.
Îñíîâíûì âîïðîñîì â ýòîé ëåêöèè áóäåò ïîñòðîåíèå êâàíòîâîé òåîðèè äëÿ
ðåëÿòèâèñòñêîé ñòðóíû. Ïîíÿòèå îá îäíîìåðíîì îáúåêòå, ñòðóíå, äâèæóùåìñÿ â
D-ìåðíîì
ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè, ÿâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì îáîáùå-
íèåì ïîíÿòèÿ î òî÷å÷íîì îáúåêòå, ÷àñòèöå. Åñòåñòâåííûé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ êëàññè÷åñêîé ðåëÿòèâèñòñêîé òåîðèè ñòðóíû ñîñòîèò â ãåîìåòðè÷åñêîì
2
îáîáùåíèè ðåëÿòèâèñòñêîé òåîðèè äëÿ ÷àñòèöû. Íàïîìíèì îñíîâíûå ìîìåíòû.
1.1
Ðåëÿòèâèñòñêàÿ ÷àñòèöà.
Ïîëîæåíèå òî÷å÷íîé ÷àñòèöû â
òîðîì
xµ (τ ),
ãäå
τ
d
èçìåðåíèÿõ îïèñûâàåòñÿ
d-ìåðíûì
âåê-
ïàðàìåòð, íàïðèìåð, ñîáñòâåííîå âðåìÿ. Ðàññìîòðèì
xµ0 = xµ (0) â êîíå÷µ
µ
íóþ òî÷êó x1 = x (1). Äëÿ äåéñòâèÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû âûáèðàåòñÿ
ïðîñòåéøàÿ èíâàðèàíòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ïóòè åãî äëèíà
çàäà÷ó î ðàñïðîñòðàíåíèè ÷àñòèöû èç íà÷àëüíîé òî÷êè
Z
S=m
Z
ds = m
1
p
(ẋµ )2 dτ.
(1)
0
Ïàðàìåòð
m
èìååò ðàçìåðíîñòü ìàññû, è ìîæíî ïîêàçàòü, äåéñòâèòåëüíî
ÿâëÿåòñÿ ìàññîé ÷àñòèöû. Äåéñòâèå (1) èìååò èíâàðèàíòíûé âèä, òî åñòü
íå çàâèñèò îò âûáîðà ïàðàìåòðèçàöèè ìèðîâîé ëèíèè ÷àñòèöû. Ðåøåíèå
êëàññè÷åñêîé çàäà÷è ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ ýêñòðåìàëüíîé òðàåêòîðèè,
èëè ìèíèìàëüíîãî ïóòè ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè.
Ïåðåéäåì ê êâàíòîâîé òåîðèè, â êîòîðîé ÷àñòèöà ìîæåò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ ïî ëþáûì òðàåêòîðèÿì, âåäóùèì èç íà÷àëüíîé òî÷êè â êîíå÷íóþ.
 ýòîì ñëó÷àå èìååò ñìûñë ãîâîðèòü ëèøü îá àìïëèòóäå, èëè âåðîÿòíîñòè
ïåðåõîäà èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ â êîíå÷íîå. Àìïëèòóäà ïåðåõîäà äàåòñÿ
õîðîøî èçâåñòíûì èíòåãðàëîì ïî ïóòÿì
A(x(0) → x(1)) =
X
µ
e−S[x
(τ )]
,
(2)
ãäå ñóììà áåðåòñÿ ïî âñåì âîçìîæíûì ïóòÿì, âåäóùèì èç íà÷àëüíîé òî÷êè
â êîíå÷íóþ, è êàæäûé ïóòü âõîäèò ñ âåñîì, îïðåäåëÿåìûì åãî äëèííîé.
Îñòàíîâèìñÿ ÷óòü ïîäðîáíåå íà ñèììåòðèÿõ äåéñòâèÿ. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî
äåéñòâèå èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ðåïàðàìåòðèçàöèè
τ → τ̃ (τ ).
Ðàññìîò-
ðèì òåïåðü àìïëèòóäó ïåðåõîäà
Z
A(x(0) → x(1)) =
Dx(τ )e−m
R1√
0
(ẋµ )2 dτ
.
(3)
Ýòîò èíòåãðàë ðàñõîäèòñÿ, òàê êàê îäíè è òå æå ïóòè ñ ðàçëè÷íûìè ðåïàðàìåòðèçàöèÿìè áóäóò ó÷èòûâàòüñÿ áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðàç. Êàê ìû óâèäèì,
òî÷íî òàêàÿ æå ïðîáëåìà âîçíèêíåò è â òåîðèè ñòðóí. Ìû íå áóäåì çäåñü èññëåäîâàòü ýòó ïðîáëåìó äàëåå, à òîëüêî îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ,
êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ èç òåîðèè ñ äåéñòâèåì (1) ìîæíî ïîëó÷èòü, èçó÷àÿ
äðóãóþ òåîðèþ ñ äåéñòâèåì
1
√
(ẋµ )2 gdτ,
(4)
g(τ )
p
g(τ )dτ èíâàðèàíòíûé
ãäå ïîëå g(τ ) ìåòðè÷åñêèé òåíçîð íà ïóòè,
µ 2
ýëåìåíò îáúåìà è âåëè÷èíà (ẋ ) /g(τ ) èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ðåïàðàS̃[xµ (τ ), g(τ )] =
Z
ìåòðèçàöèè ïóòè.
3
1.2
Ðåëÿòèâèñòñêàÿ ñòðóíà.
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ òåîðèè ðåëÿòèâèñòñêîé ñòðóíû áóäåì äåéñòâîâàòü ïî àíàëîãèè ñî ñëó÷àåì ÷àñòèöû. Ýâîëþöèÿ ñòðóíû â ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè õàðàêòåðèçóåòñÿ íàáîðîì
öèè
µ
1
2
X (x , x )
D
ôóíêöèé
X µ (x1 , x2 ),
ãäå
µ = 0, 1, ...D − 1.
Ôóíê-
çàäàþò îòîáðàæåíèå ìèðîâîé ïîâåðõíîñòè, â ïðîñòðàíñòâî-
âðåìÿ. Îñíîâíûì ïðèíöèïîì ïîñòðîåíèÿ òåîðèè ÿâëÿåòñÿ èäåÿ ðåïàðàìåòðèçàöèîííîé èíâàðèàíòíîñòè
xµ → x̃µ = f µ (x1 , x2 ).
(5)
Ãåîìåòðè÷åñêèì àíàëîãîì äëèíû ìèðîâîãî ïóòè ÷àñòèöû, ÿâëÿåòñÿ ïëîùàäü ìèðîâîé ïîâåðõíîñòè ñòðóíû, ò.å. ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè, êîòîðóþ çàìåòàåò ñòðóíà ïðè ñâîåé ýâîëþöèè â ïðîñòðàíñòâå âðåìåíè. Ïîýòîìó, ïðîñòåéøåå ðåïàðàìåòðèçàöèîííî èíâàðèàíòíîå äåéñòâèå èìååò âèä
SN G [X µ ] =
Z q
det(∂a X µ ∂b Xµ )dx1 dx2 ,
(6)
êîòîðîå èçâåñòíî êàê äåéñòâèå Íàìáó-Ãîòî. Ýòî äåéñòâèå ðåïàðàìåòðèçàöèîííî èíâàðèàíòíî ïî ïîñòðîåíèþ. Êðîìå òîãî, ýòî äåéñòâèå èíâàðèàíòíî
îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ ãðóïïû Ïóàíêàðå â
µ
X →
Aµν X ν
D-ìåðíîì
ïðîñòðàíñòâå
µ
+B .
(7)
Àìïëèòóäó ïåðåõîäà ñòðóíû èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ â êîíå÷íîå îïðåäåëèì êàê ñóììó ïî âñåì ïîâåðõíîñòÿì, ñîåäèíÿþùèì íà÷àëüíóþ è êîíå÷íóþ
êîíôèãóðàöèþ ñòðóíû
Z=
def
e−(ïëîùàäü) =
X
Z
µ
DX µ e−SN G [X ] ,
(8)
Ïî ïîâåðõíîñòÿì
SN G
ãäå
äåéñòâèå Íàìáó-Ãîòî, îïðåäåëÿåìîå âûðàæåíèåì (6).
Êîãäà ìû èñïîëüçóåì âûðàæåíèå äëÿ àìïëèòóäû â âèäå ñóììû ïî ïîâåðõíîñòÿì, îñíîâíûì òðåáîâàíèåì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî êàæäàÿ ïîâåðõíîñòü
âõîäèò â ñóììó òîëüêî îäèí ðàç, íî êîãäà ìû ïåðåïèñûâàåì àìïëèòóäó â
òåðìèíàõ ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðàëà, ó íàñ íåò íèêàêèõ îñíîâàíèé ñ÷èòàòü, ÷òî îäíà ïîâåðõíîñòü ó÷èòûâàåòñÿ òîëüêî îäèí ðàç, ïîñêîëüêó ðàçëè÷íûì êîíôèãóðàöèÿì
X µ (x)
ìîãóò ñîîòâåòñòâîâàòü îäèíàêîâûå ïîâåðõ-
íîñòè. Íåîáõîäèìî àêêóðàòíî âûäåëèòü âêëàä, ïðîèñõîäÿùèé îò ïåðåó÷åòà
ïîâåðõíîñòåé. Ïðåæäå ÷åì ïåðåõîäèòü ê ýòîìó âîïðîñó, íàäî êàêèì-íèáóäü
îáðàçîì îïðåäåëèòü ìåðó èíòåãðèðîâàíèÿ â ôóíêöèîíàëüíîì ïðîñòðàíñòâå.
Äëÿ ýòîãî, ìîæíî âûáðàòü ìåòðèêó â ôóíêöèîíàëüíîì ïðîñòðàíñòâå, ò.å.
ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ ôóíêöèÿìè, íàïðèìåð, â âèäå
kδX µ k2 =
1.3
Z
(δX µ )2 d2 x.
(9)
Ïîäõîä Ïîëÿêîâà.
Àíàëîãè÷íî, äåéñòâèå Íàìáó-Ãîòî ìîæíî ïåðåïèñàòü â äðóãîì, êëàññè÷åñêè
ýêâèâàëåíòíîì âèäå ñ èñïîëüçîâàíèåì äâóìåðíîé ìåòðèêè
gab ,
îïðåäåëåí-
íîé íà ìèðîâîé ïîâåðõíîñòè ñòðóíû.
SP [X µ , gab ] =
Z
√
g ab ∂a X µ ∂b Xµ gd2 x.
4
(10)
Èíûìè ñëîâàìè, ìû ââîäèì â òåîðèþ äâóìåðíóþ ãðàâèòàöèþ äëÿ îáåñïå÷åíèÿ îáùåêîîðäèíàòíîé èíâàðèàíòíîñòè. Òàêîå äåéñòâèå ñ òî÷êè çðåíèÿ äâóìåðíîé òåîðèè ïîëÿ ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèåì äëÿ D ñêàëÿðíûõ ïîëåé
X µ (x1 , x2 ), ìèíèìàëüíî ñâÿçàííûõ ñ ãðàâèòàöèåé gab . Äåéñòâèå (10), èçâåñòíîå êàê äåéñòâèå Ïîëÿêîâà, èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ðåïàðàìåòðèçàöèè
ìèðîâîé ïîâåðõíîñòè è äåéñòâèÿ ãðóïïû Ïóàíêàðå. Êëàññè÷åñêàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü äåéñòâèé (6) è (10) ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ïîñëå èñêëþ÷åíèÿ ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà
gab
ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ
δSp /δgab = 0,
êîòîðûå
ïðèâîäÿò ê ôîðìóëå
1
∂a X µ ∂b Xµ − gab g cd ∂c X µ ∂d Xµ = 0,
2
èç êîòîðîé íå òðóäíî ïîëó÷èòü, ââåäÿ îáîçíà÷åíèå
ñòâî
hab =
(11)
hab = ∂a X µ ∂b Xµ ,
ðàâåí-
1
gab g cd hcd .
2
(12)
Äàëåå, âû÷èñëÿÿ äåòåðìèíàíò îáåèõ ÷àñòåé ýòîãî óðàâíåíèÿ, ïîëó÷èì
det hab =
1 cd
g hcd det gab .
2
(13)
Èç ôîðìóë (12) è (13) ëåãêî íàõîäèì, ÷òî
g
hab
√ = √ab ,
g
h
(14)
ñâîðà÷èâàÿ îáå ÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ ñ ìåòðè÷åñêèì òåíçîðîì
gab ,
èìååì
√
2 h
g ab hab = √ ,
g
(15)
ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â äåéñòâèå Ïîëÿêîâà, ïîëó÷àåì äåéñòâèå ÍàìáóÃîòî ñ òî÷íîñòüþ äî êîýôôèöèåíòà.
Äåéñòâèå Ïîëÿêîâà (10) èíâàðèàíòíî òàêæå îòíîñèòåëüíî ëîêàëüíûõ
Âåéëåâñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé
gab → ρ(x)gab
(16)
Cèììåòðèÿìè êëàññè÷åñêîãî äåéñòâèÿ Ïîëÿêîâà ÿâëÿþòñÿ:
1. Ðåïàðàìåòðèçàöèÿ ìèðîâîé ïîâåðõíîñòè ñòðóíû
xa → f a (x1 , x2 ), ïðè-
÷åì
X µ → X̃ µ ,
(17)
c
gab (x1 , x2 ) → g̃ab (x1 , x2 ) =
d
∂f ∂f
gcd (f 1 (x), f 2 (x)).
∂xa ∂xb
(18)
2. Äåéñòâèå ãðóïïû Ïóàíêàðå
X µ → Aµν X ν + B µ .
(19)
3. Ïðåîáðàçîâàíèå Âåéëÿ
gab (x) → ρ(x)gab (x).
5
(20)
Èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé Âåéëÿ èãðàåò âàæíóþ
ðîëü. Ñëåäñòâèåì ýòîé èíâàðèàíòíîñòè ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî âåëè÷èíà
gab
íè-
êàê íå ó÷àñòâóåò â äèíàìèêå íà êëàññè÷åñêîì óðîâíå. Äåéñòâèòåëüíî, â
äâóõ èçìåðåíèÿõ ìåòðè÷åñêèé òåíçîð âêëþ÷àåò òðè ïðîèçâîëüíûå ôóíêöèè. Êðîìå òîãî, ìû èìååì ðîâíî òðè êàëèáðîâî÷íûå ñèììåòðèè
äâå
ðåïàðàìåòðèçàöèè è îäíî ïðåîáðàçîâàíèå Âåéëÿ.
Êâàíòîâàÿ òåîðèÿ ñòðóíû ñòðîèòñÿ â ôîðìàëèçìå èíòåãðàëà ïî ïóòÿì.
Ïî àíàëîãèè ñî ñëó÷àåì òî÷å÷íîé ÷àñòèöû, àìïëèòóäà ðàñïðîñòðàíåíèÿ
ñòðóíû èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ â êîíå÷íîå äàåòñÿ èíòåãðàëîì ïî âñåì
ìèðîâûì ïîâåðõíîñòÿì ñòðóíû. Ïîýòîìó, îñíîâíàÿ çàäà÷à çàêëþ÷àåòñÿ â
êîððåêòíîì îïðåäåëåíèè èíòåãðàëà ïî ðèìàíîâûì ïîâåðõíîñòÿì. Èäåÿ Ïîëÿêîâà [1, 2] çàêëþ÷àåòñÿ â èñïîëüçîâàíèè äåéñòâèÿ (10) äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ
ñòàòèñòè÷åñêîé ñóììû â âèäå
def
Z=
Z
Z
√ 2
ab
µ
DgDX exp − g ∂a X ∂b Xµ gd x .
µ
(21)
Ýòîò èíòåãðàë íóæäàåòñÿ â äàëüíåéøåì äîîïðåäåëåíèè. Ìåðû â ïðîñòðàíñòâå ïîëåé è ìåòðèê ñòðîÿòñÿ ïî ýëåìåíòàì îáúåìà è èìåþò âèä
kδX µ k2 =
kδgab k2 =
Z
Z
√
(δX µ )2 gd2 x,
√
(22)
gg ac g bd δgab δgcd d2 x.
(23)
Çàìåòèì, ÷òî òàêèì îáðàçîì îïðåäåëåííûå èíòåðâàëû ÿâíî èíâàðèàíòíû
òîëüêî îòíîñèòåëüíî äâóõ ñèììåòðèé:
1. îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé ãðóïïû Ïóàíêàðå
2. îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ ãðóïïû äèôôåîìîðôèçìîâ.
 ñèëó ëîêàëüíîé êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòè îòíîñèòåëüíî ãðóïïû
ðåïàðàìåòðèçàöèé, èíòåãðàë (21) ñîäåðæèò áåñêîíå÷íûé ôàêòîð, êîòîðûé
äîëæåí áûòü óñòðàíåí âûáîðîì ïîâåðõíîñòè â ïðîñòðàíñòâå âñåõ ìåòðèê,
êîòîðóþ îðáèòû ãðóïïû ðåïàðàìåòðèçàöèé ïåðåñåêàþò ïî îäíîìó ðàçó. Âîïðîñ, îñòàíåòñÿ ëè èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé Âåéëÿ íà
êâàíòîâîì óðîâíå îñòàåòñÿ îòêðûòûì è áóäåò âûÿñíÿòüñÿ ÿâíûì âû÷èñëåíèåì.
Îïðåäåëèì ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå äëÿ ïîëåé
Xµ
e
,gab ]
e−SX [gab ] =
Èíòåãðàë ïî
Xµ
Z
Dg X µ e−SP [X
µ
ïî ôîðìóëå
.
(24)
â ôîðìóëå (24) ÿâëÿåòñÿ ãàóññîâûì. Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ
ïî ÷àñòÿì, äåéñòâèå Ïîëÿêîâà ïðèîáðåòàåò âèä
µ
Z
SP [X , gab ] =
ãäå
√
X µ ∆0 X µ gd2 x,
1
√
∆0 = − √ ∂a g ab g∂b
g
(25)
(26)
îïåðàòîð Ëàïëàñà. Ââåäåì ïîëíûé íàáîð ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé ýòîãî îïåðàòîðà
∆0 Ψn = λn Ψn .
6
(27)
Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå íà ïðîñòðàíñòâå ôóíêöèé îïðåäåëèì ôîðìóëîé
(22), òî åñòü
√
Ψ̄Φ gd2 x.
Z
(Ψ, Φ) =
(28)
Òåïåðü ëåãêî âèäåòü, ÷òî îïåðàòîð Ëàïëàñà ÿâëÿåòñÿ ñàìîñîïðÿæåííûì
(Ψ, ∆0 Φ) = (∆0 Ψ, Φ).
(29)
Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî ñîáñòâåííûå ôóíêöèè îïåðàòîðà Ëàïëàñà ñ ðàçëè÷íûìè ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè, îðòîãîíàëüíû. Ïîýòîìó áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå
ôóíêöèé, ìîæíî âûáðàòü èç åãî ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé.
Ïóñòü âñå íàøè âû÷èñëåíèÿ ïðîõîäÿò â íåêîòîðîé ôèêñèðîâàííîé ìåòðèêå
gab .
Òîãäà ãàóññîâ èíòåãðàë ëåãêî âû÷èñëÿåòñÿ è â ðåçóëüòàòå ìû ïî-
ëó÷àåì
Z
ãäå èíäåêñ
[g]
µ
Dg X µ e−SP [X
íàä îïåðàòîðîì
∆0
,gab ]
[g]
= (det∆0 )−D/2 ,
(30)
óêàçûâàåò ìåòðèêó â êîòîðîé îí îïðåäå-
ëÿåòñÿ.
1.4
Ôèêñàöèÿ êàëèáðîâêè.
Ïðåæäå ÷åì äâèãàòüñÿ äàëüøå, îáðàòèìñÿ ê ôóíêöèîíàëüíîìó èíòåãðàëó
Ïîëÿêîâà
Z
Z=
Z
√ ab
gg ∂a X µ ∂b Xµ d2 x .
DgDg X µ exp −
(31)
Èç-çà ïàðàìåòðèçàöèîííîé èíâàðèàíòíîñòè, êàæäàÿ ïîâåðõíîñòü ó÷èòûâàåòñÿ â ôóíêöèîíàëüíîì èíòåãðàëå (31) ìíîãî, à òî÷íåå áåñêîíå÷íî ìíîãî
ðàç. Ýòî ñâÿçàííî ñ òåì, ÷òî îáúåì ãðóïïû äèôôåîìîðôèçìîâ áåñêîíå÷åí.
Íåîáõîäèìî âûäåëèòü ôàêòîð, ó÷èòûâàþùèé ýòîò ïåðåó÷åò ïîâåðõíîñòåé.
Äëÿ ýòîãî óäîáíî èñïîëüçîâàòü çàìå÷àòåëüíûé ãåîìåòðè÷åñêèé ôàêò, ñîñòîÿùèé â òîì, ÷òî ëþáàÿ ðèìàíîâà ìåòðèêà â ñëó÷àå òîïîëîãèè ñôåðû,
ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ñ ïîìîùüþ ñîîòâåòñòâóþùåé ðåïàðàìåòðèçàöèè ê
âèäó
eϕ(x) ĝab (x),
âàííîé ìåòðèêè
òî åñòü ê ìåòðèêå îòëè÷àþùåéñÿ îò íåêîòîðîé ôèêñèðî-
ĝab
ëîêàëüíûì ðàñòÿæåíèåì. Ïîýòîìó èíòåãðèðîâàíèå â
ïðîñòðàíñòâå ìåòðèê ìîæíî ïðîèçâîäèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âûáåðåì â
ïðîñòðàíñòâå ìåòðèê ïîâåðõíîñòü
Σ
(ðèñ. 1), íà êîòîðîé ìåòðèêè èìåþò
Ðèñ. 1: Ïðîöåäóðà ôèêñàöèè êàëèáðîâêè
âèä
eϕ ĝ ,
ãäå
ĝ
íåêîòîðàÿ (áýêãðàóíä) ìåòðèêà. Îñòàëüíûå ìåòðèêè ïîëó-
÷àþòñÿ èç ìåòðèê òàêîãî âèäà â ðåçóëüòàòå äåéñòâèÿ ãðóïïû ðåïàðàìåòðèçàöèé. Èäåÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïåðåéòè îò èíòåãðèðîâàíèÿ ïî âñåì
ìåòðèêàì ê èíòåãðèðîâàíèþ ïî ìåòðèêàì íà ïîâåðõíîñòè
Σ
è ïî ýëåìåí-
òàì ãðóïïû äèôôåîìîðôèçìîâ. À çàòåì, ïîëüçóÿñü èíâàðèàíòíîñòüþ ìåðû
è äåéñòâèÿ îòíîñèòåëüíî ðåïàðàìåòðèçàöèé, âûäåëèòü îáúåì îðáèòû ãðóïïû äèôôåîìîðôèçìîâ â êà÷åñòâå ôàêòîðà, êîòîðûé ìîæåò áûòü óñòðàíåí
ïåðåîïðåäåëåíèåì ìåðû â ïðîñòðàíñòâå ìåòðèê.
7
gab ,
Ïðîèçâîëüíóþ ìåòðèêó
ìû âñåãäà ìîæåì ïðåäñòàâèòü â âèäå
gab = [eϕ ĝ]fab = eϕ(f (x))
ãäå, êàê ìû óæå ãîâîðèëè âûøå,
ðàæàÿ âàðèàöèþ
δgab
ĝ
∂f c (x) ∂f d (x)
ĝcd (f (x)),
∂xa
∂xb
(32)
íåêîòîðàÿ ("áýêãðàóíä") ìåòðèêà. Âû-
÷åðåç âàðèàöèè
δϕ
è
δf ,
ìîæíî ïîëó÷èòü
δgab = [δϕeϕ ĝab + ∇a ωb + ∇b ωa ]f =
∂f c (x) ∂f d (x)
(δϕeϕ ĝab + ∇a ωb + ∇b ωa )(f (x)),
∂xa
∂xb
=
ãäå
ω a (x) = δf a (f −1 (x)).
Ïîä
∇a
(33)
ïîäðàçóìåâàåòñÿ ñòàíäàðòíàÿ êîâàðèàíò-
íàÿ ïðîèçâîäíàÿ âû÷èñëåííàÿ â ìåòðèêå
eϕ ĝ , à ñèìâîë f −1
îçíà÷àåò îáðàò-
íóþ ôóíêöèþ. Ôîðìóëó (33) ìîæíî ïåðåïèñàòü â ñëåäóþùåì âèäå
k
⊥
δgab = [δgab
+ δgab ]f ,
(34)
ãäå ìû ââåëè îáîçíà÷åíèÿ
k
δgab = [(δϕ + ∇c ωc )eϕ ĝ]ab ,
⊥
δgab
Îòìåòèì, ÷òî âàðèàöèÿ
(35)
ϕ
c
= [∇a ωb + ∇b ωa − e ĝab ∇ ωc ].
⊥
δgab
(36)
ÿâëÿåòñÿ áåññëåäîâûì ñèììåòðè÷íûì òåíçî-
ðîì 2 ðàíãà. Òåïåðü ïîäñòàâèì âûðàæåíèå (34) äëÿ âàðèàöèè ìåòðèêè â
ôîðìóëó äëÿ íîðìû (23), è ó÷èòûâàÿ, ÷òî òàê îïðåäåëåííûé ôîðìóëîé
(23) ýëåìåíò äëèíû â ïðîñòðàíñòâå ìåòðèê èíâàðèàíòåí ïî îòíîøåíèþ ê
ðåïàðàìåòðèçàöèÿì, â èòîãå íàõîäèì
kδgab k2 =
Z
eϕ
p ⊥
ĝ 2(δϕ + ∇c ωc )2 + (e−ϕ ĝ ac )(e−ϕ ĝ bd )δgab
δgñ⊥d d2 x =
k
⊥ 2
= kδgab k2 + kδgab
k .
Çäåñü íîðìû íà âàðèàöèÿõ
k
kδgab k2 =
⊥ 2
kδgab
k =
Z
Z
⊥
δgab
è
k
δgab
îïðåäåëåíû â ñëåäóþùåì âèäå
eϕ
p
eϕ
p −ϕ ac −ϕ bd ⊥ ⊥ 2
ĝ(e ĝ )(e ĝ )δgab δgcd d x.
ĝ[2(δϕ + ∇c ωc )2 ]d2 x,
×òîáû ïîíÿòü ñòðóêòóðó (39), âûáåðåì
íûå êîîðäèíàòû
(z, z̄).
(37)
ĝab = δab .
(38)
(39)
Óäîáíî ââåñòè êîìïëåêñ-
Îíè ñâÿçàííû ñ âåùåñòâåííûìè êîîðäèíàòàìè ôîð-
ìóëàìè
z = x1 + ix2 ,
z̄ = x1 − ix2 ,
 êîîðäèíàòàõ
1
∂
= ∂z = ∂ = (∂1 − i∂2 ),
∂z
2
∂
1
= ∂z̄ = ∂¯ = (∂1 + i∂2 ),
∂ z̄
2
∂1 = ∂z + ∂z̄ ,
(40)
∂2 = i(∂z − ∂z̄ ).
(41)
(z, z̄): gab dxa dxb = eϕ(z,z̄) dzdz̄ = ρ(z, z̄)dzdz̄ ,
òî åñòü ìåòðè-
÷åñêèé òåíçîð ïðèíèìàåò âèä
gab =
gzz
gz̄z
gzz̄
gz̄z̄
=
0
ρ/2
ρ/2
0
,
g ab =
g zz
g z̄z
g zz̄
g z̄z̄
=
0
2/ρ
2/ρ
0
(42)
8
.
Ýëåìåíò îáúåìà ïðè èíòåãðèðîâàíèè â êîîðäèíàòàõ (z, z̄ ) ñâÿçàí ñ ýëåìåí-
1
òîì îáúåìà â êîîðäèíàòàõ (x
√
, x2 )
ñëåäóþùåé ôîðìóëîé
gdx1 dx2 =
ρdzdz̄
,
2i
(43)
dzdz̄
2i . Âåðíåìñÿ ê
ôîðìóëå (39), â êîíôîðìíî ïëîñêîé ìåòðèêå â êîîðäèíàòàõ (z, z̄ ) èìååì
äëÿ êðàòêîñòè, â äàëüíåéøåì ìû áóäåì ïèñàòü
⊥ 2
kδgab
kg
Z
=
z z̄ z z̄
ρ(g g
⊥
⊥
δgz̄⊥z̄ δgzz
+ g z̄z g z̄z δgzz
δgz̄⊥z̄ )d2 z
Òåïåðü íàïèøåì â ÿâíîì âèäå âûðàæåíèÿ äëÿ
d2 z =
Z
1 ⊥ ⊥ 2
δg δg d z.
ρ zz z̄z̄
=8
⊥
δgzz
è
δgz̄⊥z̄ ,
(44)
ñëåäóþùèå èç
ôîðìóëû (36)
⊥
δgzz
= 2∇z ωz = 2(∂z ωz − Γzzz ωz ) = ρ∂ ω̄,
¯
δg ⊥ = 2∇z̄ ωz̄ = 2(∂z̄ ωz̄ − Γz̄ ωz̄ ) = ρ∂ω,
z̄ z̄
z̄ z̄
(45)
(46)
ãäå ìû ó÷ëè, ÷òî â êîíôîðìíî ïëîñêîé ìåòðèêå ñèìâîë Êðèñòîôåëÿ èìååò
òîëüêî äâå îòëè÷íûå îò íóëÿ êîìïîíåíòû
Γzzz = ∂z ρ/ρ,
à òàêæå ââåëè îáîçíà÷åíèÿ
Γz̄z̄z̄ = ∂z̄ ρ/ρ,
ω z = ω, ω z̄ = ω̄ .
(47)
Ïîýòîìó òåïåðü âûðàæåíèå
(44) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
⊥ 2
kδgab
kg = 2
Ââåäåì îïåðàòîð
Z
1
2
¯
(2ρ∂ ω̄)(2ρ∂ω)d
z=2
ρ
∆−1 = −4ρ−2 ∂ρ∂¯.
Z
2
¯
ρ2 ω̄(−4ρ−2 ∂ρ∂ω)d
z.
(48)
Âûáðàííûå çäåñü îáîçíà÷åíèÿ áóäóò
ïîÿñíåíû â ñëåäóþùåì ðàçäåëå. Òàêèì îáðàçîì ìû ìîæåì îêîí÷àòåëüíî
çàïèñàòü âèä íîðìû âàðèàöèè
⊥
δgab
⊥ 2
kδgab
k =2
Z
ρ2 ω̄∆−1 ωd2 z.
(49)
Òåïåðü îïðåäåëèì ìåðó è íîðìó â ïðîñòðàíñòâå äèôôåîìîðôèçìîâ. Ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ íîðìà, èíâàðèàíòíàÿ ïî îòíîøåíèþ ê ëåâîìó è ïðàâîìó óìíîæåíèþ. Îíà äàåòñÿ ñëåäóþùåé ôîðìóëîé
kδf k2g
Z
=
√
ggab (x)ω a (x)ω b (x)d2 x.
(50)
Ýòà ôîðìóëà îáëàäàåò äâóìÿ âèäàìè èíâàðèàíòíîñòè. Ðàññìîòðèì ñïåðâà
ïðàâîå óìíîæåíèå, à èìåííî çàìåíó
f → f ◦ α,
f (x) → f (α(x)).
(51)
(52)
Òîãäà èìååì
f −1 (x) → α−1 (f −1 (x)),
(53)
δf (x) → δf (α(x)),
ω(x) → δf (α(α
−1
9
(54)
(f
−1
(x)))) = ω(x).
(55)
Òàêèì îáðàçîì, óæå ñàìà ôîðìà
ω(x)
èíâàðèàíòíà ïðè ïðàâîì óìíîæå-
íèè íà äèôôåîìîðôèçì. Åñëè òåïåðü ðàññìîòðåòü ëåâîå óìíîæåíèå, ìû
ïîëó÷èì
f → β ◦ f,
a
(56)
a
f (x) → β (f (x)),
(57)
∂β a (f ) b
δf a (x) →
δf (x),
∂f b
∂β a (β −1 ) b −1 −1
δf a (f −1 (x)) →
δf (f (β (x))),
∂(β −1 )b
∂β a (β −1 ) b −1
ω a (x) →
ω (β (x)).
∂(β −1 )b
 èòîãå
ωa
(58)
(59)
(60)
ïðè óìíîæåíèè ñëåâà ïðåîáðàçóåòñÿ êàê îáû÷íûé (êîíòðàâàðè-
àíòíûé) âåêòîð. Ïåðåïèøåì òåïåðü òàêæå è ôîðìóëó (50) â êîîðäèíàòàõ,
ãäå ìåòðèêà êîíôîðìíî ïëîñêàÿ, ïîëó÷èì
Z
2
kδf k =
ρ2 ω̄ωd2 z.
(61)
Èñõîäÿ èç ýòîãî âûðàæåíèÿ è ôîðìóë (38), (49) è (61), ìû ïîëó÷àåì, ÷òî
[eϕ ĝ]
Dgab = det ∆−1 Dĝ ϕDeϕ ĝ f,
(62)
ãäå íîðìà â ïðîñòðàíñòâå âåéëåâñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé îïðåäåëåíà ïî ôîðìóëå
kδϕk2ĝ
à
Dĝ ϕ
=
Z p
ĝeϕ(x) (δϕ(x))2 d2 x,
(63)
ñîîòâåòñòâóþùèé ýëåìåíò îáúåìà. Ìû âèäèì, ÷òî ïðè ôèêñàöèè êà-
ëèáðîâêè, âîçíèêàåò èíòåãðàë ïî âñåì äèôôåîìîðôèçìàì, ïðè÷åì ìåðà
ýòîãî èíòåãðàëà çàâèñèò îò òî÷êè êàëèáðîâî÷íîé ïîâåðõíîñòè, òî åñòü îò
eϕ ĝ .
Çàìåòèì, ÷òî
Z
[Vol(di)]eϕ ĝ =
Z
Deϕ ĝ f =
Dg f,
(64)
g ëþáàÿ ìåòðèêà, ïîëó÷àþùàÿñÿ èç eϕ ĝ ïðè ïðîèçâîëüíîé ðåïàðàìåòðèϕ f
çàöèè, ò.å. g = [e ĝ] . Âòîðîå ðàâåíñòâî â ôîðìóëå (64) ñëåäóåò èç ñâîéñòâ
R
íîðìû (50) íà äèôôåîìîðôèçìàõ. Òàêèì îáðàçîì
Dg f åñòü ïî ñóòè îáúåì
ϕ
îðáèòû, ïåðåñåêàþùåé êàëèáðîâî÷íóþ ïîâåðõíîñòè â òî÷êå e ĝ . Ïîýòîìó,
äëÿ êîððåêòíîãî îïðåäåëåíèÿ ìåðû Dg â ôóíêöèîíàëüíîì èíòåãðàëå, íàì
ñëåäóåò ðàçäåëèòü ýëåìåíò îáúåìà â ïðîñòðàíñòâå ìåòðèê Dgab íà îáúåì
ãäå
îðáèòû
Dg =
Dgab
.
[Vol(di)]eϕ ĝ
(65)
Òåïåðü ó÷èòûâàÿ, ÷òî èç-çà èíâàðèàíòíîñòè äåéñòâèÿ Ïîëÿêîâà è ìåðû â
ïðîñòðàíñòâå ïîëåé
Xµ
ïî îòíîøåíèþ ê ðåïàðàìåòðèçàöèÿì, ìîæíî íàïè-
ñàòü
Z
Dg X µ e−SP [X
µ
,gab ]
Z
ϕ
f
D[eϕ ĝ]f X µ e−SP [Xµ ,[e ĝ]ab ] =
Z
ϕ
[eϕ ĝ]
= Deϕ ĝ Xµ e−SP [Xµ ,e ĝab ] = (det ∆0 )−D/2 .
=
10
(66)
 ðåçóëüòàòå ÷åãî äëÿ ïîëíîãî ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðàëà ìû ïîëó÷àåì
Z
Z=
1.5
DgDg X µ e−SP (X
µ
,gab )
Z
[eϕ ĝ]
[eϕ ĝ] −D/2
Dĝ ϕ det ∆−1 (det ∆0
=
)
.
(67)
j - äèôôåðåíöèàëû è îïåðàòîðû Ëàïëàñà.
Ðàíåå ôèêñèðîâàâ êîíôîðìíóþ êàëèáðîâêó, ìû ñâåëè ôóíêöèîíàëüíûé èíòåãðàë ê äâóì äåòåðìèíàíòàì îïåðàòîðîâ Ëàïëàñà
∆0
è
∆−1 .
Ïðåæäå ÷åì
ïåðåõîäèòü ê ïîÿñíåíèþ âîïðîñà î çàâèñèìîñòè ýòèõ äåòåðìèíàíòîâ îò ìåòðèêè, ââåäåì íåêîòîðîå îáîáùåíèå ýòèõ îïåðàòîðîâ Ëàïëàñà. Äëÿ ýòîãî
îïðåäåëèì ïîëÿ
Ψ(j) (z, z̄), Ψ̄(j) (z, z̄)
, êîòîðûå ïðè ãîëîìîðôíûõ ïðåîáðà-
çîâàíèÿõ
z → w(z),
z̄ → w̄(z̄)
(68)
ïðåîáðàçóþòñÿ ïî ïðàâèëàì
Ψ(j) (z, z̄) → Ψ0(j) (z, z̄) =
(j)
Ψ̄
0(j)
(z, z̄) → Ψ̄
(z, z̄) =
dw
dz
j
dw̄
dz̄
j
Ψ(j) (w(z), w̄(z̄)),
(69)
Ψ̄(j) (w(z), w̄(z̄)),
(70)
j -äèôôåðåíöèàëàìè. Ñëåäóþùèì øàãîì
Lj äåéñòâóþùèå íà ïðîñòðàíñòâå j èõ â (1 − j) äèôôåðåíöèàëû
òàêèå òåíçîðíûå ïîëÿ íàçûâàþòñÿ
íàì ïîòðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü îïåðàòîðû
äèôôåðåíöèàëîâ è ïåðåâîäÿùèå
Lj : Vj → V̄1−j ,
¯
Lj = 2ρ−j ∂.
Ïðèìåðîì òàêîãî îïåðàòîðà ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîð
(71)
(72)
1
2 L−1 â ôîðìóëå (46). Èñ-
ïîëüçóÿ ïðåîáðàçîâàíèå ìåòðèêè
ρ(z, z̄) → ρ0 (z, z̄) =
è çàêîí ïðåîáðàçîâàíèé
çîð
Lj Ψ(j)
Ψj ,
dw
dz
dw̄
dz̄
dw 2
ρ(w, w̄),
ρ(w, w̄) = dz (73)
îïðåäåëåííûé âûøå, ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî òåí-
ïðåîáðàçóåòñÿ êàê
(j)
Lj Ψ
(z, z̄) →
dw̄
dz̄
1−j
òî åñòü ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûì
Lj Ψ(j) (w, w̄),
(74)
(1−j)-äèôôåðåíöèàëîì. Òåïåðü
j -äèôôåðåíöèàëîâ, ïî
íàì ñëåäóåò îïðåäåëèòü ìåòðèêó íà ïðîñòðàíñòâå
ôîðìóëå
(j)
(Ψ
(z), Φ
(j)
Z
(z)) =
ρ1−j Ψ̄(j) (z̄)Φ(j) (z)d2 z.
(75)
Ýòî âûðàæåíèå èíâàðèàíòíî ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ (68). Ââåäåì ñîïðÿæåííûé îïåðàòîð ñ ïîìîùüþ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ
(1−j)
(L+
, Φ(j) ) = (Ψ(1−j) , Lj Φ(j) ),
j Ψ
11
(76)
òîãäà èç öåïî÷êè ðàâåíñòâ
(1−j)
(Ψ
Z
¯ (j) d2 z =
) = ρj Ψ̄(1−j) 2ρ−j ∂Φ
Z
Z
= − 2∂¯Ψ̄(1−j) Φ(j) d2 z = ρ1−j (−2ρj−1 ∂Ψ(1−j) )Φ(j) d2 z
, Lj Φ
(j)
(77)
ñëåäóåò, ÷òî
j−1
L+
∂,
j = −L̄1−j = −2ρ
è ýòîò îïåðàòîð äåéñòâóåò èç ïðîñòðàíñòâà òåíçîðîâ ðàíãà
ñòðàíñòâî òåíçîðîâ ðàíãà
j.
(78)
(1 − j)
â ïðî-
Îïðåäåëèì îïåðàòîð Ëàïëàñà ïî ôîðìóëå
∆j = L+
j Lj = −L̄1−j Lj .
(79)
Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî òàê îïðåäåëåííûé îïåðàòîð ÿâëÿåòñÿ ñàìîñîïðÿæåííûì è èìååò ñëåäóþùèé ÿâíûé âèä
¯
∆j = −4ρj−1 ∂ρ−j ∂.
(80)
Êðîìå òîãî, ñóùåñòâóåò îïåðàòîð
∆1−j = Lj L+
j = −Lj L̄1−j .
(81)
Òåïåðü îïðåäåëèì íàáîð ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé è ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé
ýòèõ îïåðàòîðîâ
(j) (j)
∆j Ψ(j)
n = λn Ψn ,
(82)
∆1−j Φ(1−j)
n
(83)
=
λ(1−j)
Φ(1−j)
.
n
n
Ïîêàæåì, ÷òî íàáîð íåíóëåâûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé îäèíàêîâ, òî åñòü
(j)
(1−j)
λn = λn
. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà, ïîäåéñòâóåì íà îáå ÷àñòè âûðàæåíèÿ
(j)
(j) (j)
L+
j Lj Ψn = λn Ψn ,
îïåðàòîðîì
Lj .
(84)
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì
(j)
(j)
(j)
(Lj L+
j )(Lj Ψn ) = λn (Lj Ψn ),
(85)
(j)
Ψn ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîé ôóíêöèåé îïåðàòîðà ∆j ñ
(j)
(j)
ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì λn , òî ôóíêöèÿ Lj Ψn áóäåò ÿâëÿòüñÿ ñîáñòâåííîé
ôóíêöèåé îïåðàòîðà ∆1−j ñ òåì æå ñàìûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì. Òàêèì
(j)
îáðàçîì, óòâåðæäåíèå äîêàçàíî. Ïóñòü òåïåðü Ψn ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ
+
îïåðàòîðà Lj Lj , êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ íîðìèðîâàííîé è ñ íåíóëåâûì ñîáñòâåí-
òî åñòü, åñëè ôóíêöèÿ
íûì çíà÷åíèåì. Ðàññìîòðèì
(j)
Lj Ψn
è âû÷èñëèì íîðìó ýòîé ôóíêöèè
+
(j)
(j)
(j)
(j)
(j)
(j)
(Lj Ψ(j)
n , Lj Ψn ) = (Ψn , Lj Lj Ψn ) = λn (Ψn , Ψn ).
(86)
Ýòà è äðóãèå ôîðìóëû, ïðèâåäåííûå âûøå, ïîòðåáóþòñÿ íàì â ñëåäóþùåì
ðàçäåëå.
12
1.6
Ïðåäñòàâëåíèå det ∆j â âèäå ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðàëà.
∆j ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåΨ è Φ ÿâëÿþùèõñÿ ñîîòâåòñòâåííî (1−j) è j -äèôôåðåíöèàëàìè.
Äåòåðìèíàíò îïåðàòîðîâ
ãðàëà ïî ïîëÿì
Âû÷èñëèì ÷åìó ðàâíî âûðàæåíèå, âèäà
Z
Z=
D(Ψ, Φ) exp 2πi(Ψ(1−j) , L̄j Φ(j) ) + 2πi(Ψ̄(1−j) , Lj Φ̄(j) ) ,
(87)
D(Ψ, Φ) = DΨDΨ̄DΦDΦ̄. Ðàçëîæåíèå ïîëåé Φ(j) è Φ̄(j) ïî ñîáñòâåí¯ j = −L1−j L̄j è ∆j = −L̄1−j Lj
íûì íîðìèðîâàííûì ôóíêöèÿì îïåðàòîðîâ ∆
ãäå ìåðà
ïðèíèìàåò âèä
Φ(j) =
X
φn Φ(j)
n ,
(j)
(Φ(j)
n , Φm ) = δmn ,
(j)
¯ j Φ(j)
∆
n = λ n Φn ,
(88)
φ̄n Φ̄(j)
n ,
(j)
(Φ̄(j)
n , Φ̄m ) = δmn ,
(j)
∆j Φ̄(j)
n = λn Φ̄n .
(89)
n
Φ̄(j) =
X
n
Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà, ìû ìîæåì ðàçëîæèòü ïîëå
Ψ(1−j)
ïî íîðìèðîâàííûì ôóíêöèÿì
Ψ(1−j) =
X
(1−j)
Ψn
=
L̄j Φ(j)
√ n , ñëåäîâàòåëüíî
λn
ψm Ψ(1−j)
,
m
(1−j)
Ψ(1−j)
,
Ψ
= δmn ,
n
m
(90)
ψ̄m Ψ̄(1−j)
,
m
(1−j)
Ψ̄(1−j)
,
Ψ̄
= δmn .
n
m
(91)
m
Ψ̄(1−j) =
X
m
Òàêèì îáðàçîì ëåãêî ïîëó÷èòü, ÷òî
!
(1−j)
(Ψ
, L̄j Φ
(j)
)=
X
ψm Ψ(1−j)
, L̄j
m
X
m
n
X
X
φn Φ(j)
n
=
Xp
λn ψn φn ,
(92)
n
!
(Ψ̄(1−j) , Lj Φ̄(j) ) =
ψ̄m Ψ̄(1−j)
, Lj
m
m
Ìåðû
Φ
DΨDΨ̄
è
DΦDΦ̄
φ̄n Φ̄(j)
n
=
n
Xp
λn ψ̄n φ̄n .
(93)
n
â ôóíêöèîíàëüíîì èíòåãðàëå ïðè ðàçëîæåíèè
Ψ
è
ïî ñèñòåìàì íîðìèðîâàííûõ îðòîãîíàëüíûõ áàçèñíûõ ôóíêöèé ïðîñòî
ïðåâðàùàþòñÿ â ïðîèçâåäåíèÿ
DΨDΨ̄ =
Y
dψn dψ̄n ,
n
DΦDΦ̄ =
Y
dφn dφ̄n .
(94)
n
Òàêèì îáðàçîì ìû ïîëó÷àåì äëÿ âûðàæåíèÿ (87) ñëåäóþùóþ ôîðìóëó
Z=
Z Y
p
dψn dφn dψ̄n dφ̄n exp(2πi λn (ψn φn + ψ̄n φ̄n )) =
n
1
=Q
= (det ∆j )−1 .
λn
n
13
(95)
ΨèΦ
Ψ è Φ áûëè áû ãðàññìàíîâû-
 òîëüêî ÷òî ïðèâåäåííîì âû÷èñëåíèè ìû ïðåäïîëàãàëè, ÷òî ïîëÿ
ÿâëÿþòñÿ êîììóòèðóþùèìè ïîëÿìè. Åñëè æå
ìè ïîëÿìè, òî
Z
D(Ψ, Φ) exp
det ∆j =
1
1
(1−j)
(j)
(1−j)
(j)
(Ψ
, L̄j Φ ) +
(Ψ̄
, Lj Φ̄ ) .
2π
2π
(96)
det ∆−1 çàïèøåòñÿ â âèäå
Z
1
¯ + B̄∂ C̄ d2 z ,
B ∂C
D(B, Ñ) exp −
2π
Èç ýòîãî â ÷àñòíîñòè ñëåäóåò, ÷òî
Z
det ∆−1 =
(97)
ãäå ìû ââåëè ñòàíäàðòíûå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ ãðàññìàíîâûõ ïîëåé
Φ
(−1)
, à èìåííî
(2)
B=Ψ
Ψ(2) ,
è
(−1)
=Φ
. Âåëè÷èíà
Z
1
¯ + B̄∂ C̄ d2 z
SGh =
B ∂C
2π
è Ñ
(98)
íàçûâàåòñÿ äåéñòâèåì äóõîâ.
1.7
Ðåãóëÿðèçàöèÿ äåòåðìèíàíòîâ.
Òåïåðü ïðèñòóïèì ê èññëåäîâàíèþ çàâèñèìîñòè
áàÿ âàðèàöèÿ ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà
gab ,
det ∆j
îò ìåòðèêè
g.
Ëþ-
êàê ìû çíàåì, ýêâèâàëåíòíà íåêî-
òîðîìó êîíôîðìíîìó ïðåîáðàçîâàíèþ è íåêîòîðîé ðåïàðàìåòðèçàöèè. Ïîñêîëüêó äåòåðìèíàíòû îïåðàòîðîâ Ëàïëàñà ÿâëÿþòñÿ èíâàðèàíòíûìè îòíîñèòåëüíî ðåïàðàìåòðèçàöèé, òî íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü òîëüêî, êàê îíè
ìåíÿþòñÿ ïðè ëîêàëüíîì ðàñòÿæåíèÿõ ìåòðèêè. Äåòåðìèíàíò ëþáîãî îïåðàòîðà ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ âñåõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ýòîãî îïåðàòîðà.
Ïîýòîìó ìû ìîæåì ôîðìàëüíî çàïèñàòü
log det ∆j =
X
log λ(j)
n .
(99)
n
Î÷åâèäíî, ÷òî ýòà ñóììà ðàñõîäèòñÿ ïðè áîëüøèõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèÿõ
(j)
λn
. Åñëè âû÷åñòü èç ýòîãî âûðàæåíèÿ ëîãàðèôì äåòåðìèíàíòà îïåðàòîðà
Ëàïëàñà
∆j0 ,
îïðåäåëåííîãî â êàêîé-òî äðóãîé ôèêñèðîâàííîé ìåòðèêå
ρ0 ,
òî ðàñõîäèìîñòü îñòàíåòñÿ, íî óìåíüøèòñÿ. Ýòó ðàçíîñòü ìîæíî çàïèñàòü
êàê
(j)
log det ∆j − log det ∆j0 =
X
log
(j)
λn0
(j)
=−
λn0
n
ãäå çà
λn
XZ
n
0
∞
(j)
e−λn
t
(j)
− e−λn0 t
dt,
t
ìû îáîçíà÷èëè ñîáñòâåííûå ÷èñëà îïåðàòîðà Ëàïëàñà
ýòîì âàðèàöèÿ âûðàæåíèÿ (100) ïî ìåòðèêå
ðèàöèåé âûðàæåíèÿ
log det ∆j .
ρ
(100)
∆j0 .
Ïðè
î÷åâèäíî ñîâïàäàåò ñ âà-
Çàìåíèì òåïåðü ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿ è
ñóììèðîâàíèÿ
(j)
X
n
log
λn
(j)
λn0
Z
=−
0
∞
(j)
dt X −λn(j) t
(e
− e−λn0 t ).
t n
(101)
Âûðàæåíèå â ïðàâîé ÷àñòè (101) ðàñõîäèòñÿ ïðè ìàëûõ t. Ýòà ðàñõîäèìîñòü
ýêâèâàëåíòíà ðàñõîäèìîñòè èñõîäíîé ñóììû ïðè áîëüøèõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèÿõ
(j)
λn
. Ìû ìîæåì ñäåëàòü ýòî âûðàæåíèå êîíå÷íûì, ââåäÿ îáðåçàíèe
14
t,
íà íèæíåì ïðåäåëå â èíòåãðàëå ïî
îïðåäåëèâ òåì ñàìûì ðåãóëÿðèçî-
âàííûå çíà÷åíèÿ äëÿ ðàçíîñòè ëîãàðèôìîâ äåòåðìèíàíòîâ, êàê
∞
Z
log det ∆j − log det ∆j0 = −
(j)
dt X −λn(j) t
(e
− e−λn0 t ).
t n
(102)
-îáðåçàíèå ýêâèâàëåíòíî îáðåçàíèþ íà áîëüøèõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèÿõ
(j)
λn . Ïîñêîëüêó òåïåðü ïðàâàÿ ÷àñòü (102) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàçíîñòü êîíå÷íûõ âûðàæåíèé, ìû ìîæåì ïðèíÿòü ôîðìóëó
(log det∆j ) = −
XZ
n
∞
(j)
e−λn t
dt = −
t
Z
∞
dt
−∆j t
Tre
,
t
(103)
êàê îïðåäåëåíèå äëÿ ðåãóëÿðèçîâàííîãî äåòåðìèíàíòà. Òàêîé ñïîñîá ðåãóëÿðèçàöèè íàçûâàåòñÿ ðåãóëÿðèçàöèåé ìåòîäîì ñîáñòâåííîãî âðåìåíè.
1.8
ßäðî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè.
Äëÿ ïîñëåäóþùèõ âû÷èñëåíèé óäîáíî âûðàçèòü ðåãóëÿðèçîâàííûé
÷åðåç òåïëîâîå ÿäðî
Kj (t, z, u),
−t∆j
e
ãäå
f (z, z̄)
det ∆j
îïðåäåëåííîå ñëåäóþùèì âûðàæåíèåì
Z
f (z, z̄) =
Kj (t, z, u)f (u, ū)d2 u,
(104)
ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ.
Íàáîð ñîáñòâåííûõ ôóíêöèÿ
ïîýòîìó ôóíêöèþ
f (z, z̄)
(j)
Ψn (z, z̄)
îïåðàòîðà
∆j
ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì,
ìû ìîæåì ïðåäñòàâèòü, êàê
f (z, z̄) =
X
an Ψ(j)
n (z, z̄),
(105)
n
ãäå êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ âûðàæàþòñÿ ôîðìóëàìè
Z
1−j
f (u, ū)Ψ̄(j)
(u, ū)d2 u.
n (u, ū)ρ
an =
(106)
 èòîãå ïîëó÷àåì
e−t∆j f (z, z̄) = e−t∆j
X
an Ψ(j)
n (z, z̄) =
X
(j)
an e−λn t Ψ(j)
n (z, z̄) =
n
Z Xn
(j)
(j)
1−j
e−λn t Ψ̄(j)
(u, ū)d2 u,
=
n (u, ū)Ψn (z, z̄)f (u, ū)ρ
(107)
n
îòêóäà âèäíî, ÷òî
Kj (t, z, u) =
X
(j)
(j)
1−j
e−λn t Ψ(j)
(u, ū) =
n (z, z̄)Ψ̄n (u, ū)ρ
n
=
X
(j)
e (j)
e−λn t Ψ(j)
n (z, z̄)Ψn (u, ū),
(108)
n
ãäå ìû ââåëè îáîçíà÷åíèå
ÿäðî
Kj (t, z, u)
(j)
1−j
e (j)
Ψ
(u, ū).
n (u, ū) = Ψ̄n (u, ū)ρ
Î÷åâèäíî, ÷òî
óäîâëåòâîðÿþò òåïëîâîìó óðàâíåíèþ
∂
+ ∆j Kj (t, z, u) = 0,
∂t
15
ïðè
t > 0,
(109)
ãäå äèôôåðåíöèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ ïî ïåðåìåííîé
ïðè
t=0
z . Òàêæå çàìåòèì, ÷òî
âûðàæåíèå (104) âûãëÿäèò êàê
Z
f (z, z̄) =
Kj (0, z, u)f (u, ū)d2 u,
(110)
ñëåäîâàòåëüíî
Kj (0, z, u) = δ (2) (u − z).
(111)
Çäåñü äåëüòà ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà êàê îáû÷íî
Z
f (z, z̄)δ (2) (u − z)d2 z = f (u, ū).
(112)
Òåïåðü âñïîìèíàÿ ôîðìóëó (103), è èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå (108), íàõîäèì
∞
Z
dt
Tre−∆j t = −
t
(log det ∆j ) = −
Z
∞
dt
t
Z
Kj (t, z, z)d2 z.
(113)
Êàê îáñóæäàëîñü âûøå, íàñ èíòåðåñóåò íå ñàìà ýòà âåëè÷èíà, à åå âàðèàöèÿ
ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ Âåéëÿ.
Ñíà÷àëà íàéäåì âàðèàöèþ ñàìîãî îïåðàòîðà Ëàïëàñà ïðè Âåéëåâñêèõ
ïðåîáðàçîâàíèÿõ, ó÷èòûâàÿ, ÷òî
∆j = −L̄1−j Lj ,
ïîëó÷èì
δρ
δρ
L̄1−j Lj + j L̄1−j Lj ,
ρ
ρ
(114)
δρ
δρ
−∆j t
−∆j t
+ j L̄1−j Lj e
.
dtTr (j − 1) ∆j e
ρ
ρ
(115)
δ∆j = −(j − 1)
ïîýòîìó
∞
Z
δ(log det∆j ) =
Ïîä çíàêîì ñëåäà âî âòîðîì ñëàãàåìîì ìîæíî ñäåëàòü öèêëè÷åñêóþ ïåðåñòàíîâêó, à ïåðâîå ñëàãàåìîå ëåãêî ïåðåïèñàòü â ýêâèâàëåíòíîì âèäå, ïîýòîìó èìååì
∞
Z
δ(log det∆j ) =
dtTr
δρ
∂
δρ
(j − 1) −
e−∆j t + jLj e−∆j t L̄1−j .
ρ
∂t
ρ
(116)
Äëÿ òîãî ÷òîáû çàïèñàòü â ïîäõîäÿùåì âèäå âòîðîå ñëàãàåìîå, èñïîëüçóåì
ôîðìóëó èç ëèíåéíîé àëãåáðû
AeBAt B = ABeABt
A, B − îïåðàòîðû.
ãäå
(117)
Ïîýòîìó âòîðîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè (116) ðàâíî
Z
∞
dtTr
δρ ∂ −∆1−j t
j e
,
ρ ∂t
(118)
è â ðåçóëüòàòå íàõîäèì
δ(log det∆j ) = Tr
δρ
(j − 1)e−∆j − je−∆1−j =
ρ
Z
δρ
=
((j − 1)Kj (, z, z) − jK1−j (, z, z)) d2 z.
ρ
Òàêèì îáðàçîì êîíôîðìíàÿ âàðèàöèÿ
ôóíêöèè
Kj (t, z, z)
det ∆j
ïðè ìàëûõ âðåìåíàõ.
16
(119)
îïðåäåëÿåòñÿ àñèìïòîòèêîé
1.9
Àñèìïòîòèêà ÿäðà óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè.
Ïðèñòóïèì òåïåðü ê âû÷èñëåíèþ àñèìïòîòèêè ÿäðà óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè â ïðåäåëå
t → 0.
Ýòî âû÷èñëåíèå ìîæíî ïðîäåëàòü â íàèáîëåå
ïðîñòîé ôîðìå, ðàçâèâ òåîðèþ âîçìóùåíèé ïî îòêëîíåíèþ ìåòðèêè
ρ(z) îò
òî÷êè ê òî÷êå. Êàê ìû çíàåì èç ôèçèêè, ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ òåïëà
â òåëå ïðîïîðöèîíàëüíà
√
t,
ïîýòîìó ïðè
t→0
ñóùåñòâåííûé âêëàä â
áóäóò âíîñèòü òî÷êè, îòñòîÿùèå îò íà÷àëüíîé íà ðàññòîÿíèè
Îáîçíà÷èì
ρ(z) = eσ(z)
è ðàçëîæèì
∂σ(z)
√
Kj
t.
â ðÿä Òåéëîðà
z2
z̄ 2
σzz + σz̄z̄ + z z̄σzz̄ + ...,
2
2
δσ(z) = σ(z) − σ(0) = zσz + z̄σz̄ +
à ðàçëîæåíèå äëÿ ïðîèçâîäíîé
σ(z)
∆z ∼
(120)
ïðèìåò âèä
∂σ(z) = σz + zσzz + z̄σzz̄ + ....
(121)
Ìû ðåøàåì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå
∂
+ ∆j Kj (t, z, u) = δ(t)δ (2) (z − u),
∂t
ãäå îïåðàòîð Ëàïëàñà â òåðìèíàõ
σ
(122)
èìååò âèä
¯
∆j = −4e−σ [∂ ∂¯ − j(∂σ)∂],
Ïðåäñòàâèì
∆j
êàê ñóììó îïåðàòîðà
(0)
∆j
(123)
è âîçìóùåíèÿ
Vj
(0)
∆j = ∆j + Vj ,
(124)
ïðè÷åì
(0)
∆j
Âîçìóùåíèå
¯
= −4e−σ(0) ∂∂.
(125)
(1)
(2)
Vj = Vj + Vj
(δσ(z))2
(1)
¯
Vj (z) = −4 −δσ(z) +
+ ... e−σ(0) ∂ ∂,
2
(2)
¯
V (z) = 4je−σ(0) (1 − δσ(z) + ...)(∂σ(z))∂.
Vj
óäîáíî ðàçáèòü íà äâå ÷àñòè
(126)
(127)
j
Äëÿ òîãî ÷òîáû èçáàâèòüñÿ îò íå î÷åíü óäîáíûõ ìíîæèòåëåé â âûðàæåíèÿõ äëÿ âîçìóùåíèÿ îïðåäåëèì
K̃j ,
êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ èç
Kj
ïðîñòûì
ïåðåìàñøòàáèðîâàíèåì âðåìåíè
K̃j (t, z, u) = Kj (
ρ(0)
t, z, u).
4
(128)
Ýòà íîâàÿ ôóíêöèÿ áóäåò óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèþ
∂
¯ + Ṽj K̃j (t, z, u) = δ(t)δ (2) (z − u),
− ∂∂
∂t
(129)
ãäå
(1)
Ṽj
(2)
Ṽj
=
(δσ)2
δσ −
2
¯
∂ ∂,
¯
= j(1 − δσ)(∂σ)∂.
17
(130)
(131)
Ïóñòü
K̃j0
ðåøåíèå íàøåãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè áåç âîçìóùåíèÿ
Ṽj ,
òî åñòü óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ
∂
¯
− ∂ ∂ K̃j0 (t, z, u) = δ(t)δ (2) (z − u).
∂t
(132)
Åãî ðåøåíèå âûãëÿäèò êàê
K̃j0 (t, z, u)
1
|z − u|2
=
exp −
.
πt
t
Áóäåì ïîðÿäîê çà ïîðÿäêîì âû÷èñëÿòü âåëè÷èíó
K̃j .
(133)
Èç óðàâíåíèÿ
(K̃j0 )−1 K̃j + Ṽj K̃j = I
(134)
K̃j = K̃j0 − K̃j0 Ṽj K̃j0 + K̃j0 Ṽj K̃j0 Ṽj K̃j0 + ....
(135)
ñëåäóåò, ÷òî
 ïåðâîì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé, â ÿâíîé çàïèñè, èìååì
K̃j0 Ṽj K̃j0
Zt
=
Z
dt1
d2 uK̃j0 (t − t1 , z − u)Ṽj (u)K̃j0 (u).
(136)
0
Kj òîëüz = 0. Òàêæå íóæíî íàéòè ëèøü òó ïîïðàâêó,
0
êîòîðàÿ íå èñ÷åçàåò ïðè t → 0, òî åñòü ïîïðàâêó ∼ t . Ïðîñòàÿ îöåíêà ïîêà-
Êðîìå òîãî, ñðàçó çàìåòèì, ÷òî íàì íåîáõîäèìî âû÷èñëÿòü ÿäðî
êî íà äèàãîíàëè, ïîýòîìó
çûâàåò, ÷òî â ýòó ïîïðàâêó âíîñÿò âêëàä òîëüêî ïåðâûé è âòîðîé ïîðÿäêè
òåîðèè âîçìóùåíèé. À òåïåðü îáðàòèìñÿ ñîáñòâåííî ê âû÷èñëåíèþ.
Ïåðâûé ïîðÿäîê òåîðèè âîçìóùåíèé.
Âêëàä
(1)
Ṽj
. Îöåíèì òåïåðü âêëàä ÷ëåíà
(1)
K̃j0 Ṽj K̃j0 .
Äëÿ íà÷àëà, ðàçëî-
æèì âîçìóùåíèå â ðÿä Òýéëîðà
(1)
Ṽj
=
X
(1)
¯
akl ūk ul ∂∂,
(137)
(k,l)>0,(k+l)>1
ãäå
(1)
akl
êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ âîçìóùåíèÿ â ðÿä Òåéëîðà, ñëåäóþùèå
èç ôîðìóëû (120). Ïîñëå ïîäñòàíîâêè â (136), ïåðâàÿ ïîïðàâêà òåîðèè âîçìóùåíèé äëÿ
(1)
Vj
ðàâíà
(1)
K̃j0 Ṽj K̃j0 =
Z
Z
1 X (1) t
dt1
ūu
ūu
2
k l ¯
= 2
akl
d u exp −
ū u ∂ ∂ exp −
.
π
t − t1
t1
0 t1 (t − t1 )
(138)
k,l
Äèôôåðåíöèðóÿ ýêñïîíåíòó ïîä èíòåãðàëîì
ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì
ūu
¯ − t1 = − 1 +
∂∂e
t1
ūu
t21
ūu
e− t1
, â
(1)
K̃j0 Ṽj K̃j0 =
Z
Z
1 X (1) t
dt1
1
ūu
t
= 2
akl
d2 u − + 2 uk ūl exp −uū
.
π
t1
t1
t1 (t − t1 )
0 t1 (t − t1 )
k,l
(139)
18
k
Ñäåëàåì îöåíêó çíà÷åíèé
∼ t0 .
l,
è
êîòîðûå íàì ïîòðåáóþòñÿ äëÿ ïîïðàâêè
Îáîçíà÷èì
t
Z
(1)
Ikl
Z
dt1
t1 (t − t1 )
=
0
1
ūu
d u − + 2
t1
t1
2
t
u ū exp −uū
t1 (t − t1 )
k l
.
(140)
Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé
Z
(141)
tk+1 δkl
t
= tk−1 δkl . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî k, l > 0 è
t2 ·
t
1, çàêëþ÷àåì, ÷òî íàì íóæíû ëèøü k = l = 1. Èòàê, ïîñìîòðèì,
Òîãäà î÷åâèäíî, ÷òî
k+l >
n ūu o
ūk ul = πk!t(k+1) δkl .
d2 u exp −
t
(1)
Ikl ∼
÷åìó ðàâíà ïåðâàÿ ïîïðàâêà ñ
k = l = 1.
1 (1)
a + O(t)
6π 11
(142)
1
¯ − ∂σ ∂σ
¯ + O(t).
∂ ∂σ
6π
(143)
(1)
K̃j0 Ṽj K̃j0 =
(1)
a11 ,
èëè, íàõîäÿ
èìååì
(1)
K̃j0 Ṽj K̃j0 =
Âêëàä
(2)
Ṽj
Ïîñëå âû÷èñëåíèé, ïîëó÷àåì
.
Ðàñêëàäûâàåì âîçìóùåíèå
(2)
Ṽj
(2)
Ṽj
â ðÿä Òýéëîðà
X
=j
(2)
¯
akl ūk ul ∂,
(144)
k,l>0
ãäå
(2)
akl
êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ. Òîãäà ïåðâàÿ ïîïðàâêà òåîðèè âîçìó-
ùåíèé äëÿ
(2)
Ṽj
(2)
K̃j0 Ṽj K̃j0 =
ðàâíà
Z
Z
ūu
j X (2) t
dt1
ūu
2
k l¯
d
u
exp
−
ū
u
.
a
∂
exp
−
kl
π2
t − t1
t1
0 t1 (t − t1 )
k,l
(145)
ūu
Äèôôåðåíöèðóÿ ýêñïîíåíòó ïîä èíòåãðàëîì
ūu
¯ − t1 = − u e− t1
∂e
t1
, â ðåçóëüòà-
òå ïîëó÷àåì
(2)
K̃j0 Ṽj K̃j0 = −
Z
Z
j X (2) t
dt1
t
2
k l+1
a
.
d
uū
u
exp
−uū
kl
2
π2
t1 (t − t1 )
0 t1 (t − t1 )
k,l
(146)
Ñíîâà ñäåëàåì îöåíêó çíà÷åíèé
ïðàâêè
∼ t0 .
k
è
l,
êîòîðûå íàì ïîòðåáóþòñÿ äëÿ ïî-
Îáîçíà÷èì
(2)
Ikl
Z
=
0
t
dt1
t21 (t − t1 )
Z
2
d uū u
k=1
è
l=
(2)
t
exp −uū
t1 (t − t1 )
.
(147)
(2)
t k+1
δk,l+1 = tk−1 δk,l+1 , ïîýòîìó
t3 t
0. Âû÷èñëÿÿ ïåðâóþ ïîïðàâêó, ïîëó÷àåì
Ó÷èòûâàÿ ôîðìóëó (141), íàõîäèì
íàì íóæíû òîëüêî
k l+1
Ikl ∼
K̃j0 Ṽj K̃j0 = −
j (2)
a + O(t),
2π 10
19
(148)
èëè ïîñëå âû÷èñëåíèÿ
(2)
a10 ,
èìååì
(2)
K̃j0 Ṽj K̃j0 = −
j
¯ − ∂σ ∂σ)
¯ + O(t).
(∂ ∂σ
2π
(149)
Ñîáèðàÿ âìåñòå ïîïðàâêè ïåðâîãî ïîðÿäêà òåîðèè âîçìóùåíèé, íàõîäèì,
÷òî
(1)
(2)
K̃j0 Ṽj K̃j0 = K̃j0 Ṽj K̃j0 + K̃j0 Ṽj K̃j0 = −
3j − 1 ¯
¯ + O(t).
(∂ ∂σ − ∂σ ∂σ)
6π
(150)
Âòîðîé ïîðÿäîê òåîðèè âîçìóùåíèé.
Âî âòîðîì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé, ìû áóäåì âû÷èñëÿòü
K̃j0 Ṽj K̃j0 Ṽj K̃j0 ,
è â ÿâíîé çàïèñè èìååì
K̃j0 Ṽj K̃j0 Ṽj K̃j0 =
t
Z
t1
Z
dt1
0
ZZ
dt2
d2 u1 d2 u2 K̃j0 (t − t1 , z − u1 )×
0
× Ṽj (u1 )K̃j0 (t1 − t2 , u1 − u2 )Ṽj (u2 )K̃j0 (t2 , u2 ).
Òàê êàê ìû âû÷èñëÿåì çíà÷åíèå ÿäðî íà äèàãîíàëè, òî
z = 0.
(151)
Ìû íå áóäåì
ïðèâîäèòü çäåñü âû÷èñëåíèÿ, ñêàæåì ëèøü, ÷òî îíè ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íû
âû÷èñëåíèÿì, ïðîâåäåííûì âûøå. È â èòîãå îòâåò ðàâåí
K̃j0 Ṽj K̃j0 Ṽj K̃j0 =
Òåïåðü ó÷èòûâàÿ, ÷òî
äî ÷ëåíîâ
∼t
K̃j0 (t, z, z) =
0
3j − 1 ¯
∂σ ∂σ + O(t).
6π
1
πt , ïîëó÷àåì, äëÿ
K̃j = K̃j0 − K̃j0 Ṽj K̃j0 + K̃j0 Ṽj K̃j0 Ṽj K̃j0 + ... =
K̃j (t, z, z)
(152)
ñ òî÷íîñòü
1
3j − 1 ¯
+
∂ ∂σ + O(t).
πt
6π
(153)
È ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî íåîáõîäèìî ïåðåéòè âî âñåõ âåëè÷èíàõ, êîòîðûå ìû âû÷èñëÿëè, îò
K̃j
ê
Kj ,
ïîëó÷àåì îêîí÷àòåëüíîå ðàçëîæåíèå
îïåðàòîðà ÿäðà óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè â ïðåäåëå ìàëåíüêèõ âðåìåí
Kj (t → 0, z, z) =
¯ ρ
2∂ ∂σ
1
1+
j−
t + O(t2 ) .
4πt
ρ
3
(154)
Òåïåðü âñïîìíèì, ÷òî ñêàëÿðíàÿ êðèâèçíà â êîíôîðìíî ïëîñêîé ìåòðèêå
gab dxa dxb = ρdzdz̄ ,
ãäå
σ = log ρ,
ðàâíà
¯
R = −4e−σ ∂ ∂σ,
(155)
è â èòîãå ïîëó÷èì
ρ
(3j − 1)R
2
1−
t + O(t ) .
Kj (t → 0, z, z) =
4πt
6
Òàêèì îáðàçîì ìû âû÷èñëèëè ïîâåäåíèå ÿäðà òåïëîïðîâîäíîñòè ïðè
(156)
t → 0.
Ýòîò ðåçóëüòàò ïîíàäîáèòñÿ íàì â ñëåäóþùåì ðàçäåëå, äëÿ âû÷èñëåíèÿ
ðåãóëÿðèçîâàííîãî ëîãàðèôìà äåòåðìèíàíòà Ëàïëàñà.
20
1.10
Êîíôîðìíàÿ àíîìàëèÿ.
Ìû ïîêàçàëè, ÷òî ÿäðî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè â ïðåäåëå
→ 0 èìååò
àñèìïòîòèêó
ρ
(3j − 1)R
2
Kj (, z, z) =
1−
+ O( ) .
4π
6
(157)
Âîçâðàùàÿñü ê ôîðìóëå äëÿ âàðèàöèè ðåãóëÿðèçîâàííîãî ëîãàðèôìà äåòåðìèíàíòà Ëàïëàñà
Z
δ(log det∆j ) =
δρ
((j − 1)Kj (, z, z) − jK1−j (, z, z)) d2 z,
ρ
(158)
è ïîäñòàâëÿÿ â íåå íàéäåííóþ àñèìïòîòèêó òåïëîâîãî ÿäðà, à òàêæå âñïîìèíàÿ, ÷òî
ρ = eσ ,
[g]
δ(log det∆j )
ïîëó÷èì
1
=−
4π
Z
aj
√
δσ(x) gd2 x −
24π
Z
√
δσ(x)R[g] (x) gd2 x,
(159)
çäåñü
aj = 6j 2 − 6j + 1.
Çàïèñü
R[g]
(160)
îçíà÷àåò, ÷òî êðèâèçíà ïðîñòðàíñòâà âû÷èñëÿåòñÿ â ìåòðèêå
g.
g = eσ(x) ĝ , òîãäà ôîðìóëà (159) ïðèìåò âèä
Z
Z
p
1
aj
√
[eσ ĝ]
δ(log det∆j ) = −
δσ(x)eσ(x) ĝd2 x −
δσ(x)R[g] (x) gd2 x.
4π
24π
Òåïåðü ïîëîæèì
(161)
Äëÿ âòîðîãî ÷ëåíà â ïðàâîé ÷àñòè âûðàæåíèÿ (161) âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùåé ôîðìóëîé
√
gR[g] (x) =
p
[ĝ]
ĝ(R[ĝ] (x) + ∆0 σ(x)),
ãäå
gab = eσ ĝab ,
p
1
[ĝ]
∆0 = − √ ∂a ĝ ab ĝ∂b .
ĝ
(162)
Òîãäà âûðàæåíèå (161) ìîæíî áóäåò ïðåäñòàâèòü â âèäå
Z
p
1
) = −
δσ(x)eσ(x) ĝd2 x−
4π
Z
Z
p
p
aj
aj
[ĝ]
−
δσ(x)R[ĝ] (x) ĝd2 x −
δσ(x)∆0 σ(x) ĝd2 x.
24π
24π
[eσ ĝ]
δ(log det∆j
(163)
Èíòåãðèðóÿ â ôîðìóëå (163) òðåòüå ñëàãàåìîå ïî ÷àñòÿì, ìû ïðèõîäèì ê
ñëåäóþùåìó âûðàæåíèþ
[eσ ĝ]
δ(log det∆j ) =
Z
Z p 2
p 2
aj
1 ab
[ĝ]
σ(x)
=δ −
ĝ ∂a σ(x)∂b σ(x) + R (x)σ(x)
ĝd x + ∆µ e
ĝd x ,
24π
2
(164)
ãäå ââåäåíî îáîçíà÷åíèå
1
∆µ = − 4π
. Ýòà âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ êîñìîëîãè÷å-
ñêîé ïîñòîÿííîé. Èíòåãðèðóÿ ýòî óðàâíåíèå, ìû ïðèõîäèì ê ñîîòíîøåíèþ,
21
êîòîðîå ïîêàçûâàåò êàê ìåíÿåòñÿ äåòåðìèíàíò îïåðàòîðà Ëàïëàñà ïðè êîíôîðìíîì ïðåîáðàçîâàíèè ìåòðèêè
[eσ ĝ]
log det∆j
Z
p
[ĝ]
eσ(x) ĝd2 x = log det∆j −
Z p
Z p 2
aj
1 ab
− ∆µ
ĝd2 x −
ĝd x.
ĝ ∂a σ(x)∂b σ(x) + R[ĝ] (x)σ(x)
24π
2
− ∆µ
×ëåíû â ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòè ïðîïîðöèîíàëüíûå
(165)
∆µ ìîãóò
óñòðàíåíû
R √ áûòü
∆µ
ĝd2 x ê èñõîäíîìó
ïðèáàâëåíèåì ñîîòâåòñòâóþùåãî êîíòð÷ëåíà âèäà
äåéñòâèþ òåîðèè. Ñ ó÷åòîì ýòîãî, äåòåðìèíàíòû îïåðàòîðà Ëàïëàñà â èñõîäíîé è ðàñòÿíóòîé ìåòðèêå ñâÿçàííû ñîîòíîøåíèåì
a
j
[ĝ]
W [σ, ĝ] det ∆j ,
= exp −
24π
[eσ ĝ]
det ∆j
(166)
W [σ, ĝ] äàåòñÿ âûðàæåíèåì
Z p 2
1 ab
W [σ, ĝ] =
ĝ ∂a σ(x)∂b σ(x) + R[ĝ] (x)σ(x)
ĝd x.
2
ãäå ôóíêöèîíàë
(167)
Òåïåðü ïîñìîòðèì, êàê ìåíÿþòñÿ ïðè ðàñòÿæåíèè ìåòðèêè, ýôôåêòèâíûå äåéñòâèÿ äóõîâ è ïîëÿ
D
2
[g]
log det ∆0
X µ,
ðàâíûå
e [g] = − log det ∆
SGh
−1
[g]
, è
e [g] =
SX
ñîîòâåòñòâåííî. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (166) èìååì
cGh
W [σ, ĝ],
48π
e [eσ ĝ] = S e [ĝ] − cX W [σ, ĝ],
SX
X
48π
e [eσ ĝ] = S e [ĝ] −
SGh
Gh
(168)
(169)
ãäå ÷èñëî cGh = −2a−1 = −26 íàçûâàåòñÿ äóõîâûì öåíòðàëüíûì çàðÿäîì, à
cX = Da0 = D öåíòðàëüíûì çàðÿäîì ïîëÿ X µ . Òàêèì îáðàçîì âûðàæåíèå
äëÿ ñòàòèñòè÷åñêîé ñóììû ñòðóíû (67) ïðè ó÷åòå ôîðìóë (168) è (169)
ïðèíèìàåò âèä
Z
Z=
Dĝ ϕ e
D−26
48π W [ϕ,ĝab ]
Z
Dĝ (B, C)e−SGh [ĝab ,B,C]
Z
Dĝ Xe−SP [ĝab ,X] .
Òåïåðü çàìåòèì, ÷òî âàðèàöèÿ ïî ìåòðèêå êàêîãî-ëèáî äåéñòâèÿ
(170)
S[φ, gab ],
ïî îïðåäåëåíèþ äàåòñÿ ôîðìóëîé
δS[gab ] =
ãäå
Tab
1
4π
Z
√
δgab T ab gd2 x,
(171)
òåíçîð ýíåðãèè-èìïóëüñà. È åñëè âàðèàöèÿ ìåòðèêè ÿâëÿåòñÿ ðàñ-
òÿæåíèåì
gab → (1 + δσ(x))gab ,
(172)
òî ìû ïîëó÷àåì
δS[gab ] =
1
4π
Z
√
δσ(x)Taa (x) gd2 x.
(173)
Ñ äðóãîé ñòîðîíû èç ôîðìóë (168) è (169) ñëåäóåò, ÷òî
δS e [gab ] = −
ñ
48π
Z
√
δσ(x)R[g] (x) gd2 x.
22
(174)
Èç ÷åãî ìîæíî ïîëó÷èòü
Taa (x) = −
c
R(x).
12
(175)
Ñîîòíîøåíèÿ (168), (169) è (175) ðàâíîñèëüíû óòâåðæäåíèþ î êîíôîðìíîé àíîìàëèè ñîîòâåòñòâóþùåé òåîðèè ïîëÿ.
1.11
Êîíôîðìíàÿ òåîðèÿ ïîëÿ. Îïðåäåëåíèå
Ñîîòíîøåíèÿ (168) è (169) è (175) áûëè ïîëó÷åíû íàìè êàê ñâîéñòâî òåîðèè
ñ äåéñòâèåì
Sj [φ] â ðåçóëüòàòå ïðÿìîãî âû÷èñëåíèÿ. Îäíàêî, îíè ìîãóò ðàñ-
ñìàòðèâàòüñÿ êàê îïðåäåëåíèå Êîíôîðìíîé Òåîðèè Ïîëÿ (CFT) â îáùåì
ñëó÷àå.
À èìåííî, ïóñòü ñóùåñòâóåò íåêîòîðàÿ òåîðèÿ ñ äåéñòâèåì
S[φ].
Ïîãðó-
çèì åå â êðèâîå ïðîñòðàíñòâî ñ Ðèìàíîâîé ìåòðèêîé, òîãäà äåéñòâèå ïðèìåò
âèä
S[φ, gab ].
Îïðåäåëèì ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå ïî ôîðìóëå
e−Se [g] =
Z
Dg φe−S[gab ,φ] .
 ñëó÷àå åñëè ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå ïðè ðàñòÿæåíèè ìåòðèêè
ðàçóåòñÿ êàê
Se [eσ gab ] = Se [gab ] −
(176)
gab ,
c
W [σ, gab ],
48π
ïðåîá-
(177)
Òàêàÿ òåîðèÿ íàçûâàåòñÿ Êîíôîðìíîé òåîðèåé ïîëÿ. Äðóãîå, ýêâèâàëåíòíîå îïðåäåëåíèå, îñíîâàííî íà ôîðìóëå (175), à èìåííî, åñëè ñëåä òåíçîðà
ýíåðãèè-èìïóëüñà íåêîòîðîé òåîðèè ñâÿçàí ñ êðèâèçíîé, ôîðìóëîé
Taa (x) = −
c
R(x),
12
(178)
òî ýòà òåîðèÿ ÿâëÿåòñÿ Êîíôîðìíîé òåîðèåé ïîëÿ.
Ñâîéñòâî (177) âìåñòå ñ äðóãèìè îáùèìè ñâîéñòâàìè ëîêàëüíîé Êâàíòîâîé Òåîðèè Ïîëÿ ÿâëÿþòñÿ âåñüìà æåñòêèìè è ïîçâîëÿþò ïîëó÷èòü âàæíûå
ñîîáðàæåíèÿ îá àëãåáðå Ëîêàëüíûõ ïîëåé è êîððåëÿòîðàõ â Êîíôîðìíîé
òåîðèè ïîëÿ [3, 4]. Ýòèì ìû çàéìåìñÿ â ñëåäóþùåé ëåêöèè.
2
Êîíôîðìíûé Áóòñòðàï.
Îñíîâíîé òåìîé ýòîé ëåêöèè ÿâëÿåòñÿ îáùàÿ ñòðóêòóðà äâóìåðíîé Êîíôîðìíîé òåîðèè ïîëÿ.
23
2.1
Ïîëÿ, Êîððåëÿòîðû è Îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå.
Îñíîâíûì îáúåêòîì Êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ ÿâëÿþòñÿ êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ëîêàëüíûõ ïîëåé
Aj (x)
hAj1 (x1 )...AjN (xN )i.
Íàáîð ëîêàëüíûõ ïîëåé
A = {A}
(179)
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíîå ïðî-
ñòðàíñòâî. Ýòîò íàáîð ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì, â òîì ñìûñëå, ÷òî ëþáîå ïîëå
ìîæåò áûòü ðàçëîæåíî ïî áàçèñó
{Aj (x)}.
Êðîìå òîãî ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü ñïðàâåäëèâîñòü Àêñèîìû îïåðàòîðíîãî ðàçëîæåíèÿ, êîòîðàÿ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ïðîèçâåäåíèå äâóõ îïåðàòîðîâ ìîæåò áûòü ðàçëîæåíî ïî áàçèñó
Ai (x)Aj (y) =
X
{Aj (x)}
k
Cij
(x, y)Ak (y).
(180)
k
Óðàâíåíèå (180) íóæíî ïîíèìàòü, êàê ñîîòíîøåíèå êîððåëÿöèîííûõ ôóíêöèé
hAi (x)Aj (y)Xi =
X
k
Cij
(x, y)hAk (y)Xi,
(181)
k
ãäå
X = Aj1 (y1 )...AjN (yN ). Ââèäó ïðåäïîëîæåíèÿ î âûïîëíåíèè (180), íàáîð
ëîêàëüíûõ ïîëåé îáðàçóåò íå òîëüêî ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî, íî è ÿâëÿåòñÿ
àëãåáðîé.
Ñîîòíîøåíèå (180) ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî, ÷òîáû âûðàçèòü
íûå êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ÷åðåç
òóðíûå ôóíêöèè
k
Cij
(x),
N −1
N
òî÷å÷-
òî÷å÷íûå. Ïîýòîìó, çíàÿ ñòðóê-
ìû â ïðèíöèïå ìîæåì íàéòè ëþáûå êîððåëÿöèîí-
íûå ôóíêöèè.
Îòìåòèì, ÷òî ñîîòíîøåíèå (180) ïðåäïîëàãàåòñÿ, êàê òî÷íîå ñîîòíîøåíèå, è êðîìå òîãî, ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ðÿä ñõîäèòüñÿ, åñëè ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè
x è y ìåíüøå, ÷åì ðàññòîÿíèå äî ëþáîãî äðóãîãî îïåðàòîðà. Äëÿ
áîëüøèõ ðàññòîÿíèé (180) ïîíèìàåòñÿ, êàê àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå ýòîãî ðÿäà.
Êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè (179) ÿâëÿþòñÿ îäíîçíà÷íûìè è èìåþò îñîáåííîñòè, êîãäà ïîëîæåíèÿ êàêèõ ëèáî ïîëåé ñîâïàäàþò. Àêñèîìà (180)
äîëæíà áûòü ñîãëàñîâàííà ñ âîçìîæíîñòüþ åå ïðèìåíåíèÿ â ëþáîì ïîðÿäêå
ê ïðîèçâîëüíîé ïàðå ëîêàëüíûõ ïîëåé â êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè.
Ðàññìîòðèì ïîäðîáíî ÷åòûðåõòî÷å÷íóþ ôóíêöèþ
hA1 (x1 )A2 (x2 )A3 (x3 )A4 (x4 )i.
(182)
Òîãäà, èñïîëüçóÿ îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå (180) âíóòðè êîððåëÿöèîííîé
A1 , A2 è A3 , A4 ïîëó÷èì
X
k
l
h(A1 (x1 )A2 (x2 ))(A3 (x3 )A4 (x4 ))i =
C12
(x1 − x2 )Dkl (x2 − x4 )C34
(x3 − x4 ),
ôóíêöèè (182) ìåæäó ïîëÿìè
k,l
(183)
ãäå
hAi (xi )Aj (xj )i = Dij (xi − xj ).
(184)
Ìû ïèøåì âåçäå ðàçíîñòè àðãóìåíòîâ, òàê êàê ïðåäïîëàãàåì òðàíñëÿöèîííóþ èíâàðèàíòíîñòü. Çàìåòèì, ÷òî ìîæíî ñïàðèòü ïîëÿ â äðóãîì ïîðÿäêå,
24
A1 , A 3
íàïðèìåð
A2 , A 4 .
è
Ïîñëå ÷åãî ïîëó÷èì
X
hA1 (x1 )A2 (x2 )A3 (x3 )A4 (x4 )i =
k
l
C13
(x1 − x3 )Dkl (x3 − x4 )C24
(x2 − x4 ).
k,l
(185)
Ðåçóëüòàòû ïðèìåíåíèÿ äâóõ ðàçíûõ ïîðÿäêîâ äîëæíû ñîâïàäàòü
X
k
l
C13
(x1 − x3 )Dkl (x3 − x4 )C24
(x2 − x4 ) =
k,l
=
X
l
k
(x3 − x4 ).
C12
(x1 − x2 )Dkl (x2 − x4 )C34
(186)
k,l
Óðàâíåíèå (186) íàêëàäûâàåò æåñòêèå óñëîâèÿ íà ñòðóêòóðíûå ôóíêöèè
àëãåáðû ëîêàëüíûõ ïîëåé. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî åñëè îíî âûïîëíåíî, òî ïðèìåíåíèå àêñèîìû (180) äëÿ ìíîãîòî÷å÷íîé ôóíêöèè òàêæå íå çàâèñèò îò
ïîðÿäêà â êîòîðîì îíî âûïîëíÿåòñÿ. Ýòî ñâîéñòâî îïåðàòîðíîãî ðàçëîæåíèÿ íàçûâàåòñÿ ñâîéñòâîì àññîöèàòèâíîñòè èëè êðîññèíã ñèììåòðèè îïåðàòîðíîé àëãåáðû.
2.2
Òåíçîð ýíåðãèè-èìïóëüñà.
Ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì àëãåáðû ëîêàëüíûõ ïîëåé â ëîðåíö-èíâàðèàíòíîé
Òåîðèè Ïîëÿ ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå òåíçîðà ýíåðãèè-èìïóëüñà
Tab ∈ A.
Åãî îïðåäåëåíèå çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðè áåñêî-
xa → xa + εa (x), îïðåäåëåíû è
áåñêîíå÷íî ìàëûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîëåé Aj (x) → Aj (x) + δε Aj (x). Òîãäà
ìû ïîñòóëèðóåì, ÷òî ñóùåñòâóåò ïîëå Tab (x), òàêîå, ÷òî
Z
1
δε hA1 (x1 )...AN (xN )i =
∂a εb (x)hT ab (x)A1 (x1 )...AN (xN )id2 x, (187)
2π R2
íå÷íî ìàëûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ êîîðäèíàò
ãäå âàðèàöèÿ êîððåëÿòîðà
δε hA1 (x1 )...AN (xN )i =
X
hA1 (x1 )...δε Ak (xk )...AN (xN )i.
(188)
k
Òàêæå ïîñòóëàòîì ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íîñòü òåíçîðà ýíåðãèè-èìïóëüñà
T ab (x) = T ba (x).
Âàðèàöèÿ
δε Aj (x)
íåêîãî ëîêàëüíîãî ïîëÿ
Aj
(189)
ïðè áåñêîíå÷íî ìàëîì ïðåîá-
ðàçîâàíèè êîîðäèíàò, âñëåäñòâèå ëîêàëüíîñòè ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ôóíêöèè
ε(x)
è êîíå÷íîãî ÷èñëà åå ïðîèçâîäíûõ, âçÿòûõ â òî÷êå
x.
Ýòî ìîæíî çàïèñàòü êàê
δε Aj (x) =
νj
X
(k−1)
Bj
k=0
ãäå
(k−1)
Bj
(x)
dk
ε(x),
dxk
ëîêàëüíûå ïîëÿ, ïðèíàäëåæàùèå ìíîæåñòâó
(190)
A
è
νj
íåêèå
öåëûå ÷èñëà. Èíòåãðèðîâàíèå â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (187) âåäåòñÿ ïî
âñåìó ïðîñòðàíñòâó
R2 .
Z
R2
Ýòîò èíòåãðàë ìîæíî ðàçáèòü íà äâå ÷àñòè
(...)d2 x =
N Z
X
k=1
(...)d2 x +
Dk
25
Z
D̄
(...)d2 x,
(191)
Ðèñ. 2: Êîîðäèíàòû ëîêàëüíûõ ïîëåé, îêðóæåííûå îáëàñòÿìè
Dk
xk
xk ∈ Dk è xi ∈
/ Dk , åñëè i 6= k . È D̄ îñòàâøàÿñÿ ÷àñòü ïðî2
2
ñòðàíñòâà R , òî åñòü D̄ = R −∪i Di . Òåïåðü âîñïîëüçóåìñÿ èíòåãðèðîâàíèåì
ãäå
Dk
ìàëåíüêèå îáëàñòè, êàæäàÿ èç êîòîðûõ îêðóæàåò òîëüêî òî÷êó
(ðèñ. 2), òî åñòü
ïî ÷àñòÿì è ïîëó÷èì, ÷òî
1
2π
Z
(...)d2 x = −
R2
1
2π
Z
εb (x)h∂a T ab (x)A1 (x1 )...AN (xN )id2 x−
D̄
−
Z
Z
N
N
X
X
1
1
(...)dx +
(...)d2 x.
2π ∂Dk
2π Dk
k=1
(192)
k=1
ε(x) = 0 âî
Dk , è ε(x) 6= 0 â D̄. Ñëåäîâàòåëüíî êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ
h∂a T ab (x)A1 (x1 )...AN (xN )i äîëæíà èñ÷åçíóòü, êîãäà x ∈ D̄, è òàê êàê ìû
ìîæåì âûáðàòü îáëàñòè Dk ïðîèçâîëüíî ìàëûìè, òî ïîëó÷àåì, ÷òî
Ìû ìîæåì âûáðàòü òàêóþ âàðèàöèþ êîîðäèíàò, ïðè êîòîðîé
âñåõ îáëàñòÿõ
h∂a T ab (x)A1 (x1 )...AN (xN )i = 0,
åñëè
x 6= x1 , ...xN .
(193)
Èç ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ ñëåäóåò óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè äëÿ òåíçîðà ýíåðãèèèìïóëüñà
∂a T ab (x) = 0,
åñëè
x 6= x1 , ...xN .
×òîáû íå îãîâàðèâàòü ïîñòîÿííî óñëîâèå òîãî, ÷òî
ïèñàòü
x 6= x1 , ..., xN ,
(194)
ìû áóäåì
∂a T ab (x) ' 0.
 èòîãå ìû ïîëó÷èëè
δε hA1 (x1 )...AN (xN )i =
N Z
1 X
(...)d2 x−
2π
D
k
k=1
I
N
X
dxa
−
εb (x)hT̃ab (x)A1 (x1 )...AN (xN )i,
Ck 2π
(195)
k=1
ãäå
T̃ab (x) = eac T cb (x),
è
eac
ñîâåðøåííî àíòèñèììåòðè÷íûé åäèíè÷íûé
òåíçîð âòîðîãî ðàíãà. Èíòåãðèðîâàíèå âî âòîðîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ ïðîâîäèòñÿ ïî êîíòóðàì
2.3
Ck = ∂Dk ,
â íàïðàâëåíèè ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè.
Òåíçîð ýíåðãèè-èìïóëüñà â Êîíôîðìíîé òåîðèè ïîëÿ â ïëîñêîì ïðîñòðàíñòâå.
Åñëè êîíôîðìíàÿ òåîðèÿ íàõîäèòñÿ â ïëîñêîì ïðîñòðàíñòâå ñ ìåòðèêîé
gab = δab ,
òî êðîìå òîãî, ÷òî äëÿ òåíçîðà ýíåðãèè èìïóëüñà âûïîëíÿåòñÿ
óñëîâèå íåïðåðûâíîñòè è ñèììåòðè÷íîñòè
∂a T ab (x) = 0,
T ab (x) = T ba (x),
(196)
èç ôîðìóëû (178) ñëåäóåò, ÷òî îí ñòàíîâèòñÿ áåññëåäîâûì
Taa (x) = 0.
26
(197)
 êîíôîðìíûõ êîîðäèíàòàõ
(z, z̄)
(ôîðìóëû (40),(41)) óðàâíåíèÿ (196) è
(197) çàïèøóòñÿ â ñëåäóþùåì âèäå
¯ zz̄ = 0, ∂Tz̄z + ∂T
¯ zz = 0,
∂Tz̄z̄ + ∂T
Tzz̄ = Tz̄z ,
(198)
Tz̄z + Tzz̄ = 0,
ãäå ñíîâà
Tzz =
∂ = ∂z , ∂¯ = ∂z̄ .
2
Tz̄z ,
ρ
Tz̄z̄ =
(199)
Òàêæå ìû ó÷ëè, ÷òî
2
Tzz̄ ,
ρ
T zz =
T z̄z̄ =
4
Tz̄z̄ ,
ρ2
4
Tzz ,
ρ2
T zz̄ =
Èç óðàâíåíèé (198),(199) ïîëó÷àåì, ÷òî
4
Tz̄z ,
ρ2
Tzz̄ = Tz̄z = 0.
T z̄z =
4
Tzz̄ .
ρ2
(200)
Ñëåäîâàòåëüíî åñëè
îïðåäåëèòü âåëè÷èíû
T (z, z̄) = Tzz (z, z̄),
(201)
T̄ (z, z̄) = Tz̄z̄ (z, z̄),
(202)
òî äëÿ íèõ áóäóò âûïîëíÿòüñÿ óðàâíåíèÿ
¯ (z, z̄) = 0,
∂T
(203)
∂ T̄ (z, z̄) = 0.
(204)
Òî åñòü, â äâóìåðíîé êîíôîðìíîé òåîðèè åñòü äâà ïîëÿ, ãîëîìîðôíîå è àíòèãîëîìîðôíîå. Ãîëîìîðôíîñòü
T = T (z) ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî êîððåëÿòîð
hT (z)Xi = hT (z)A1 (z1 , z̄1 )...A1 (zN , z̄N )i
z,
ÿâëÿåòñÿ îäíîçíà÷íîé ôóíêöèåé
òî÷êàõ
(205)
êîòîðàÿ èìååò ñèíãóëÿðíîñòè òîëüêî â
z1 , z2 , ..., zN .
Âíîâü âåðíåìñÿ ê âûðàæåíèþ (195), òàê êàê âàðèàöèè êîîðäèíàò
ìîãóò èçìåíÿòüñÿ íåçàâèñèìî â êàæäîé îáëàñòè
εa (x)
Dk , â ôîðìóëå (195) ìîæíî
ðàññìàòðèâàòü âàðèàöèè êàæäîãî ïîëÿ â îòäåëüíîñòè, ïîýòîìó èìååì
δε Ak (x) =
1
2π
Z
d2 y∂a εb (y)T ab (y)Ak (x) −
I
Ck
Dk
dy a
εb (y)T̃ab (y)Ak (x).
2π
(206)
Ðàññìîòðèì áåñêîíå÷íî ìàëûå ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò, óäîâëåòâîðÿþùèå ñîîòíîøåíèþ
∂a εb + ∂b εa = (∂c εc )δab .
(207)
Òàêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ íàçûâàþòñÿ êîíôîðìíûìè, ïîñêîëüêó ñîîòâåòñòâóþò ëîêàëüíûì ðàñòÿæåíèÿì èíòåðâàëà
(dxa )2 → (1 + ∂c εc )(dxa )2 .
Ïðè ýòîì
óãëû ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ëèíèé íå ìåíÿþòñÿ.
Taa (y) = 0,
Òàê êàê â ïëîñêîì ïðîñòðàíñòâå
òî ïåðâîå ñëàãàåìîå â âûðà-
æåíèè (206) ðàâíî íóëþ è ìû ïîëó÷àåì, ÷òî
I
δε Ak (x) = −
Ck
dy a
εb (y)T̃ab (y)Ak (x).
2π
(208)
Åñëè òåïåðü ïåðåéòè â êîíôîðìíûå êîîðäèíàòû ïî ôîðìóëàì
u = y1 + iy2
,
ū = y1 − iy2
27
z = x1 + ix2
.
z̄ = x1 − ix2
(209)
È ó÷åñòü, ÷òî â íèõ ñèìâîë Ëåâè-×èâèòû
T̃ab
èìååò êîìïîíåíòû
euū = −eūu = i/2,
euu = eūū = 0,
òî êîìïîíåíòû òåíçîðà
eab
(210)
ðàâíû
T̃uu = T̃ūū = 0,
T̃uū = 2iTuu ,
T̃ūu = −2iTūū .
(211)
 êîíôîðìíûõ êîîðäèíàòàõ ìàëûå âàðèàöèè âûãëÿäÿò êàê
u → u + εu (u),
ū → ū + εū (ū).
Âåëè÷èíû
ε(u) = εu (u)
è
ε̄(ū) = εū (ū)
(212)
ìû ìîæåì ñ÷èòàòü íå çàâèñèìûìè. Â
èòîãå èç ôîðìóë (208) è (210), (211) ñëåäóåò, ÷òî â ãîëîìîðôíûõ êîîðäèíàòàõ ìàëàÿ âàðèàöèÿ ïîëÿ èìååò âèä
I
du
ε(u)T (u)Ak (z, z̄),
Ck 2πi
I
dū
δε̄ Ak (z, z̄) = −
ε̄(ū)T̄ (ū)Ak (z, z̄),
2πi
Ck
δε Ak (z, z̄) =
(213)
(214)
ãäå êîíòóðíûå èíòåãðàëû áåðóòñÿ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè.
2.4
Òåíçîð ýíåðãèè-èìïóëüñà â ÊÒÏ â èñêðèâëåííîì
ïðîñòðàíñòâå, ïñåâäîòåíçîð.
 èñêðèâëåííîì ïðîñòðàíñòâå c ìåòðèêîé
gab
ôîðìóëà (187) çàïèøåòñÿ â
ñëåäóþùåì âèäå
δε hA1 (x1 )...AN (xN )i =
ãäå
1
2π
√
∇a b (x)hT ab (x)A1 (x1 )...AN (xN )i gd2 x,
Z
R2
∇a εb = ∂a εb − Γcab εc , Γcab
(215)
ñèìâîë Êðèñòîôåëÿ. Äåëàÿ àíàëîãè÷íûå
ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà, à òàêæå âñïîìèíàÿ ýêâèâàëåíòíîå
îïðåäåëåíèå êîíôîðìíîé òåîðèè ïîëÿ, ìû ïðèõîäèì ê ñëåäóþùèì óðàâíåíèÿì
g ab hTab i = −
c
R,
12
∇a T ab ' 0,
ãäå
R
(216)
(217)
ñêàëÿðíàÿ êðèâèçíà. Íàïîìíèì, ÷òî ïðè âûáîðå êîîðäèíàò, â êî-
òîðûõ ìåòðèêà êîíôîðìíàÿ ïëîñêàÿ
gab dxa dxb = ρ(z, z̄)dzdz̄ = eσ(z,z̄) dzdz̄ ,
ñèìâîë Êðèñòîôåëÿ èìååò òîëüêî äâå îòëè÷íûå îò íóëÿ êîìïîíåíòû
¯
¯
Γz̄z̄z̄ = ∂ρ/ρ
= ∂σ,
Γzzz = ∂ρ/ρ = ∂σ,
(218)
à ñêàëÿðíàÿ êðèâèçíà ðàâíà
¯
R = −4e−σ ∂∂σ.
28
(219)
Òàêèì îáðàçîì óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè â êîíôîðìíûõ êîîðäèíàòàõ çàïèøåòñÿ êàê
∇z̄ T z̄z̄ + ∇z T zz̄ = 0,
∇z̄ T
z̄z
+ ∇z T
zz
(220)
= 0.
(221)
Äàëåå áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî îäíó ôîðìóëó (220), ïðåîáðàçîâàíèÿ
äëÿ (221) àíàëîãè÷íû. Òåïåðü ó÷èòûâàÿ òî, ÷òî
Γbac T ca , ïîëó÷èì, ÷òî
∇a T ab = ∂a T ab + Γaac T cb +
∇z̄ T z̄z̄ + ∇z T zz̄ = ∂z̄ T z̄z̄ + 2Γz̄z̄z̄ T z̄z̄ + ∂z T zz̄ + Γzzz T zz̄ = 0.
(222)
 èòîãå ìû ïîëó÷èëè óðàâíåíèå
¯ z̄z̄ + 2∂σT
¯ z̄z̄ + ∂T zz̄ + ∂σT zz̄ = 0,
∂T
(223)
êîòîðîå ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðèâîäèòñÿ ê âèäó
¯ 2σ T z̄z̄ ) + eσ ∂(eσ T zz̄ ) = 0.
∂(e
Èñïîëüçóÿ òî, ÷òî
T ab = g ac g bd Tcd
g zz̄ = g z̄z = 2e−σ ,
è
(224)
èìååì
¯ zz + eσ ∂(e−σ Tzz̄ ) = 0.
∂T
(225)
Òàêæå ó÷èòûâàÿ ôîðìóëó (216), ïîëó÷èì äâà óðàâíåíèÿ
¯ zz + eσ ∂(e−σ Tzz̄ ) = 0,
∂T
¯
Tzz̄ = −α∂ ∂σ,
ãäå
c
.
α = − 12
(226)
(227)
Èç íèõ ñëåäóåò, ÷òî
α
∂¯ Tzz − {2∂ 2 σ − (∂σ)2 } = 0.
2
(228)
Òåïåðü âèäíî, ÷òî åñëè îïðåäåëèòü âåëè÷èíû
α
tzz ,
2
α
− tz̄z̄ ,
2
T = Tzz −
ãäå
tzz = 2∂ 2 σ − (∂σ)2 ,
(229)
T̄ = Tz̄z̄
ãäå
¯ 2,
tz̄z̄ = 2∂¯2 σ − (∂σ)
(230)
òî îíè áóäóò ñîîòâåòñòâåííî ãîëîìîðôíûìè è àíòèãîëîìîðôíûìè ïîëÿìè.
Ýòè ïîëÿ è íàçûâàþòñÿ ãîëîìîðôíûìè è àíòèãîëîìîðôíûìè êîìïîíåíòàìè ïñåâäîòåíçîðà ýíåðãèè-èìïóëüñà.
Ïðè ãîëîìîðôíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ
z → w(z),
z̄ → w̄(z̄)
(231)
êîìïîíåíòà
tzz = 2∂ 2 σ − (∂σ)2
(232)
tzz → (∂z w)2 tww − 2{w, z}.
(233)
ïðåîáðàçóåòñÿ êàê
29
Âåëè÷èíà
{w, z}
íàçûâàåòñÿ Øâàðöèàíîì è ðàâíà
wzzz
3
−
wz
2
{w, z} =
Êîìïîíåíòû òåíçîðà
Tzz
wzz
wz
2
.
(234)
ïðåîáðàçóåòñÿ ïî ôîðìóëå
Tzz → (∂z w)2 Tww .
(235)
Ïîýòîìó çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ äëÿ ãîëîìîðôíîãî ïñåâäîòåíçîðà
T (z)
âû-
ãëÿäèò êàê
T (z) → (∂z w)2 T (w) − α{w, z}.
T̄ (z̄)
Àíòèãîëîìîðôíûé ïñåâäîòåíçîð
2.5
(236)
ïðåîáðàçóåòñÿ àíàëîãè÷íî.
Îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå äëÿ òåíçîðà ýíåðãèè-èìïóëüñà,
Àëãåáðà Âèðàñîðî.
Çàìåòèì, ÷òî èç ôîðìóëû (236) ñëåäóåò, ÷òî ïðè ãîëîìîðôíîé âàðèàöèè
êîîðäèíàò
z → z + ε(z),
ïñåâäîòåíçîð
T (z)
ïðåîáðàçóåòñÿ ïî ñëåäóþùåìó
ïðàâèëó
T (z) → (1 + ∂z ε(z))2 T (z + ε(z)) − α∂z3 ε(z),
(237)
îòñþäà ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî åãî âàðèàöèÿ ðàâíà
δε T (z) = ε∂z T (z) + 2(∂z ε(z))T (z) − α∂z3 ε(z).
Èñïîëüçóÿ òî, ÷òî âàðèàöèÿ ïîëÿ â òî÷êå
z
(238)
âûðàæàåòñÿ ÷åðåç êîíòóðíûé
èíòåãðàë âîêðóã ýòîé òî÷êè
I
δε T (z) =
Cz
du
ε(u)Tzz (u)T (z)
2πi
è ó÷èòûâàÿ, ÷òî â îïåðàòîðíîì ðàçëîæåíèè òåíçîðà
(239)
tzz
ñ òåíçîðîì
T
íåò
ñèíãóëÿðíûõ ÷ëåíîâ, ÷òî ýêâèâàëåíòíî
I
Cz
du
ε(u)tzz (u)T (z) = 0,
2πi
(240)
ïðèõîäèì ê ôîðìóëå
I
δε T (z) =
Cz
du
ε(u)T (u)T (z).
2πi
(241)
È àíàëîãè÷íî äëÿ àíòèãîëîìîðôíîãî ïñâåâäîòåíçîðà
I
δε̄ T̄ (z̄) = −
Cz
dū
ε̄(ū)T̄ (ū)T̄ (z̄).
2πi
(242)
Èç ýòîãî, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (238), íå òðóäíî ïîëó÷èòü, îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå ãîëîìîðôíîãî ïñåâäîòåíçîðà ñ ñàìèì ñîáîé
2T (z)
∂z T (z)
c
+
+
+ ðåã.,
2(u − z)4
(u − z)2
u−z
c
2T̄ (z̄)
∂z̄ T̄ (z̄)
+
+
T̄ (ū)T̄ (z̄) =
+ ðåã.,
2(ū − z̄)4
(ū − z̄)2
ū − z̄
T (u)T (z) =
30
(243)
(244)
c
α = − 12
, à ”ðåã.” îçíà÷àåò ñëàãàåìûå, ðåãóëÿðíûå ïðè z →
÷òî òàê êàê δε̄ T = 0, òî ðàçëîæåíèå òåíçîðà T (u) ñ òåíçîðîì
ãäå ìû ó÷ëè, ÷òî
u. Î÷åâèäíî,
T̄ (z̄), ñîäåðæèò
òîëüêî ðåãóëÿðíûå ÷ëåíû
T (u)T̄ (z̄) = ðåã..
(245)
Íåîáõîäèìî áîëåå ïîäðîáíî èçó÷èòü ñâîéñòâà îïåðàòîðíîãî ðàçëîæåíèÿ,
÷òîáû óâèäåòü êàêèå âîçíèêàþò îãðàíè÷åíèÿ íà êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè
òåîðèè. Ðàññìîòðèì îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå ãîëîìîðôíîãî ïñåâäîòåíçî-
Aj ∈ A .
ðà ýíåðãèè èìïóëüñà ñ îäíèì èç ïîëåé
Êàê ñëåäñòâèå òîãî, ÷òî
òåíçîð ýíåðãèè-èìïóëüñà ãîëîìîðôíûé è êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè òåîðèè
îäíîçíà÷íû, âîçìîæíûå îñîáåííîñòè â ýòîì îïåðàòîðíîì ðàçëîæåíèè ìîãóò
èìåòü âèä
∞
X
T (u)A(z, z̄) =
(u − z)−n−2 An (z, z̄),
(246)
n=−∞
An (z) ïðèíàäëåæàò ïðîA. Ïîýòîìó óäîáíî èõ
ïðåäñòàâèòü êàê ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ íåêîòîðîãî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà Ln
ê ïîëþ A
An = Ln A.
(247)
ãäå
n
ïðèíèìàåò öåëûå çíà÷åíèÿ. Êîýôôèöèåíòû
ñòðàíñòâó ëîêàëüíûõ ïîëåé è ëèíåéíî çàâèñÿò îò
Òàêèì îáðàçîì
∞
X
T (u)A(z, z̄) =
(u − z)−n−2 Ln A(z, z̄).
(248)
n=−∞
Ýòî âûðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåíèåì îïåðàòîðîâ
â ïðîñòðàíñòâå ïîëåé
A.
Ln , n ∈ Z, äåéñòâóþùèõ
Àíàëîãè÷íî ôîðìóëà
∞
X
T̄ (ū)A(z, z̄) =
(ū − z̄)−n−2 L̄n A(z, z̄)
(249)
n=−∞
îïðåäåëÿåò îïåðàòîðû
Ln
è
L̄n
íà ïîëå
A
L̄n .
Òåïåðü íåòðóäíî íàïèñàòü äåéñòâèå îïåðàòîðîâ
â âèäå êîíòóðíîãî èíòåãðàëà
I
du
(u − z)n+1 T (u)A(z, z̄),
2πi
Cz
I
dū
L̄n A(z, z̄) = −
(ū − z̄)n+1 T̄ (ū)A(z, z̄).
2πi
Cz
Ln A(z, z̄) =
Âû÷èñëèì êîììóòàòîð
[Ln , Lm ]
îïåðàòîðîâ
ìåíèòü ïîî÷åðåäíî ýòè îïåðàòîðû ê ïîëþ
Ln
A,
è
Lm .
(250)
(251)
Äëÿ ýòîãî íàäî ïðè-
à çàòåì âû÷åñòü ðåçóëüòàò
ïðèìåíåíèÿ â äðóãîì ïîðÿäêå. Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà
I
Ln Lm A(z, z̄) =
C2
ãäå êîíòóð
ñàì êîíòóð
dv
(v − z)n+1 T (v)
2πi
I
C1
du
(u − z)m+1 T (u)A(z, z̄),
2πi
(252)
C1 îõâàòûâàåò òî÷êó z , à êîíòóð C2 îõâàòûâàåò è òî÷êó z è
C1 . Ïðèìåíåíèå îïåðàòîðîâ â äðóãîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè áóäåò
31
Ðèñ. 3: Âû÷èñëåíèå êîììóòàöèîííûõ ñîîòíîøåíèé â àëãåáðå Âèðàñîðî.
èìåòü òî÷íî òàêîé æå âèä, òîëüêî êîíòóð
C1
áóäåò îõâàòûâàòü êîíòóð
C2 .
Èíòåãðàëû â (252) áóäåì âû÷èñëÿòü èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî
I
I
I
I
I
=
C2
u
ãäå òî÷êà
C1
ëåæèò íà êîíòóðå
I
+
C1
C1 .
,
C2
C1
À êîíòóð
Cv
(253)
Cv
îõâàòûâàåò òî÷êó
u.
 ðå-
çóëüòàòå, ïðè âû÷èñëåíèè êîììóòàòîðà, ïåðâûé ÷ëåí ñîêðàùàåòñÿ, è îñòàåòñÿ òîëüêî ïîñëåäíèé. Òàêèì îáðàçîì
I
[Ln , Lm ]A(z, z̄) =
C1
du
(u−z)m+1
2πi
Êîíòóð, îõâàòûâàþùèé òî÷êó
z)n+1
u
I
dv
(v −z)n+1 T (v)T (u)A(z, z̄),
2πi
Cv
ìîæíî ñæàòü è ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ
íå èìååò îñîáåííîñòåé â òî÷êå
u,
(254)
(v −
òî ïðè âû÷èñëåíèè ýòîãî èíòåãðàëà
áóäóò äàâàòü âêëàä òîëüêî ñèíãóëÿðíûå ÷ëåíû èç îïåðàòîðíîãî ðàçëîæåíèÿ
T (v)T (u).
Ïîñëå ýòîãî ìîæíî âûïîëíèòü âòîðîå èíòåãðèðîâàíèå. Â ðåçóëü-
òàòå ïîëó÷èì
[Ln , Lm ] = (n − m)Ln+m +
c
n(n2 − 1)δn+m,0 .
12
(255)
L̄n ïîä÷èíÿþòñÿ àíàëîãè÷íûì êîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì.
Ln îáðàçóþò áåñêîíå÷íî ìåðíóþ àëãåáðó Ëè, ãåíåðàòîðàêîòîðîé ÿâëÿþòñÿ Ln è ýëåìåíò c öåíòðàëüíûé çàðÿä. Ýòà àëãåáðà
Îïåðàòîðû
Èòàê îïåðàòîðû
ìè
íàçûâàåòñÿ àëãåáðîé Âèðàñîðî. Ìû îáîçíà÷èì åå Vir. Îíà äåéñòâóåò íà
ïðîñòðàíñòâå ëîêàëüíûõ ïîëåé. Òàê êàê ïîëíàÿ àëãåáðà ñîñòîèò èç ãåíåðàòîðîâ
Ln
è
L̄n ,
äëÿ êîòîðûõ âåðíî
[Ln , L̄m ] = 0,
òî âñÿ àëãåáðà Âèðàñîðî åñòü Vir
(256)
× Vir.
Èçó÷èì íåêîòîðûå èíòåðåñíûå ïîäàëãåáðû àëãåáðû Âèðàñîðî. Âî-ïåðâûõ,
{Ln } è {L̄n } ñ n > −1. Ýòà ïîäàëãåáðà ñâÿçàíà áåñêîíå÷íîεn (u) = (u − z)n+1 è ε̄n (ū) =
n+1
(ū − z̄)
. Åùå îäíà âàæíàÿ êîíå÷íîìåðíàÿ ïîäàëãåáðà Sl(2) × Sl(2), ôîðìèðóåìàÿ îïåðàòîðàìè L−1 , L0 è L1 , à òàêæå L̄−1 , L̄0 è L̄1 , ïðè÷åì, êàê
åñòü ïîäàëãåáðà
ìàëûìè êîíôîðìíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè âèäà
íåòðóäíî âèäåòü
[L0 , L±1 ] = ∓L±1 ,
(L̄±1 ,
L̄0
[L1 , L−1 ] = 2L0 .
(257)
óäîâëåòâîðÿþò òàêèì æå ñîîòíîøåíèÿì). Ýòà ïîäàëãåáðà ñîîòâåò-
ñòâóåò ïîäãðóïïå ïðîåêòèâíûõ êîíôîðìíûõ ïðåîáðàçîâàíèé
w=
ãäå ìîæíî ïîëîæèòü, ÷òî
az + b
,
cz + d
w̄ =
āz̄ + b̄
,
c̄z̄ + d¯
ad − bc = ād¯ − b̄c̄ = 1.
(258)
Ïðîåêòèâíûå (äðîáíî-
ëèíåéíûå) ïðåîáðàçîâàíèÿ ÿâëÿþòñÿ ãîëîìîðôíûìè. Îíè òàêæå ÿâëÿþòñÿ
32
äèôôåîìîðôèçìàìè ñôåðû â ñåáÿ. Ïîýòîìó ýòè ïðåîáðàçîâàíèÿ åñòü ïîëíûå ñèììåòðèè òåîðèè, â òîì ñìûñëå, ÷òî îíè îñòàâëÿþò èíâàðèàíòíûìè
êîððåëÿòîðû ëîêàëüíûõ ïîëåé
hAj1 (z1 , z̄1 )...AjN (zN , z̄N )i = hÃj1 (z1 , z̄1 )...ÃjN (zN , z̄N )i,
ãäå
Ãji (zi , z̄i )
ïîëÿ ïîëó÷àþùèåñÿ èç ïîëåé
Aji (zi , z̄i )
(259)
ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ
(258). Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê áåñêîíå÷íî ìàëûå äðîáíî ëèíåéíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ÿâëÿþòñÿ, êàê óæå áûëî ñêàçàíî, ãîëîìîðôíûìè, òî, âñïîìèíàÿ
ôîðìóëó (215), ïîëó÷èì
δ hA1 (x1 )...AN (xN )i = 0.
Ïðî÷èå ïðåîáðàçîâàíèÿ, íàïðèìåð
(260)
z → z+z 3 , íå ÿâëÿþòñÿ äèôôåîìîðôèç-
ìàìè è èç íèõ íå ñëåäóåò íèêàêèõ óñëîâèé íà êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè.
Îäíàêî îíè îãðàíè÷èâàþò âèä îïåðàòîðíîãî ðàçëîæåíèÿ. Îòìåòèì òàêæå,
÷òî
L−1
è
L̄−1
ÿâëÿþòñÿ ãåíåðàòîðàìè ñäâèãîâ
ñ îïåðàòîðîì ñïèíà ïîëÿ
S,
z → z +a. À L0
è
L̄0
ñâÿçàíû
äåéñòâèå êîòîðîãî âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
I
SA(z, z̄) = (L0 − L̄0 )A(z, z̄) =
Cz
dū
du
(u − z)T (u) −
(ū − z̄)T̄ (ū) A(z, z̄),
2πi
2πi
(261)
÷òî ñîîòâåòñòâóåò áåñêîíå÷íî ìàëûì ïðåîáðàçîâàíèÿì âðàùåíèÿ.  ñâîþ
î÷åðåäü áåñêîíå÷íî ìàëîìó ïðåîáðàçîâàíèþ ðàñòÿæåíèÿ èëè êàê ýòî åùå
íàçûâàåòñÿ äèëàòàöèè, ñîîòâåòñòâóåò îïåðàòîð
D, êîòîðûé äåéñòâóåò ïî
ïðàâèëó
I
DA(z, z̄) = (L0 +L̄0 )A(z, z̄) =
Cz
dū
du
(u − z)T (u) +
(ū − z̄)T̄ (ū) A(z, z̄).
2πi
2πi
(262)
Aj
Áàçèñ ïîëåé
ìû ìîæåì âûáðàòü òàêèì îáðàçîì, ÷òî ýòè ïîëÿ ÿâëÿþòñÿ
ñîáñòâåííûìè äëÿ îïåðàòîðîâ
L0
è
L̄0
¯ j Aj (z, z̄),
L̄0 Aj (z, z̄) = ∆
L0 Aj (z, z̄) = ∆j Aj (z, z̄),
ãäå
∆j
è
¯j
∆
(263)
ñîáñòâåííûå ÷èñëà ýòèõ äâóõ îïåðàòîðîâ, êîòîðûå íàçûâàþòñÿ
¯ j = sj
∆j − ∆
¯
íàçûâàåòñÿ ñïèíîì ïîëÿ, à ∆j + ∆j = dj àíîìàëüíîé ðàçìåðíîñòüþ. Ôîðìóëà (263) îçíà÷àåò, ÷òî ïðè çàìåíàõ z → λ1 z è z̄ → λ2 z̄ , ïîëå ïðåîáðàçóåòñÿ
ïðàâîé è ëåâîé ðàçìåðíîñòÿìè ïîëÿ ñîîòâåòñòâåííî. Ïðè ýòîì
êàê
∆
¯
∆
Aj (z, z̄) → Ãj (z, z̄) = λ1 j λ2 j Aj (λ1 z, λ2 z̄).
Îäíîâðåìåííî ìû ìîæåì âûáðàòü áàçèñíûå ïîëÿ
L−1
è
L̄−1
Aj
(264)
òàê, ÷òî îïåðàòîðû
äåéñòâóþò äèôôåðåíöèðîâàíèåì íà íèõ, òî åñòü
L−1 Aj (z, z̄) = ∂z Aj (z, z̄),
à ïðè êîíå÷íûõ ñäâèãàõ
z → z + a1
L̄−1 Aj (z, z̄) = ∂z̄ Aj (z, z̄),
è
z̄ → z̄ + a2
(265)
ïîëÿ ïðåîáðàçóþòñÿ êàê
Aj (z, z̄) → Ã(z, z̄) = Aj (z + a1 , z̄ + a2 ).
(266)
Óæå îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî îäíîòî÷å÷íàÿ êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ áàçèñíîãî
ïîëÿ
Aj (z, z̄)
ðàâíà íóëþ, åñëè åãî ðàçìåðíîñòü íå ðàâíà íóëþ
hAj (z, z̄)i = 0,
åñëè
∆j 6= 0
33
èëè
¯ j 6= 0.
∆
(267)
Òåïåðü íàéäåì ôóíêöèîíàëüíóþ çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòîâ
k
C12
(z1 , z2 )
â
îïåðàòîðíîì ðàçëîæåíèè äëÿ ïîëåé
A1 (z1 , z̄1 )A2 (z2 , z̄2 ) =
X
k
C12
(z1 , z2 )Ak (z2 , z̄2 ).
(268)
k
Äëÿ ýòîãî âû÷èñëèì âûðàæåíèå âèäà
I
C
ãäå êîíòóð
C
du
T (u)A1 (z1 , z̄1 )A2 (z2 , z̄2 ),
2πi
z1
îêðóæàåò ñðàçó äâå òî÷êè
òî÷êàì è, ïîëüçóÿñü òåì, ÷òî åñëè
u
è
z2 .
C ê ýòèì
z1 èëè z2 , ìû ìîæåì
L−1 = ∂z , ïîëó÷èì
Ñòÿíóâ êîíòóð
íàõîäèòñÿ âáëèçè
èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó (248), à òàêæå ó÷èòûâàÿ, ÷òî
I
(269)
du
T (u)A1 (z1 , z̄1 )A2 (z2 , z̄2 ) = A2 (z2 , z̄2 )∂z1 A1 (z1 , z̄1 )+A1 (z1 , z̄1 )∂z2 A2 (z2 , z̄2 ) =
2πi
= (∂z1 + ∂z2 )A1 (z1 , z̄1 )A2 (z2 , z̄2 ). (270)
C
Àíàëîãè÷íóþ ïîëó÷àåì
I
X
X
du
k
k
T (u)
C12
(z1 , z2 )Ak (z2 , z̄2 ) =
C12
(z1 , z2 )∂z2 Ak (z2 , z̄2 ).
2πi
C
k
(271)
k
 èòîãå ìû èìååì ðàâåíñòâî
(∂z1 + ∂z2 )A1 (z1 , z̄1 )A2 (z2 , z̄2 ) =
X
k
C12
(z1 , z2 )∂z2 Ak (z2 , z̄2 ).
(272)
k
Òåïåðü ïîäñòàâëÿÿ â ëåâóþ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà ôîðìóëó (268) íàõîäèì,
÷òî
X
k
(∂z1 + ∂z2 )C12
(z1 , z2 )Ak (z2 , z̄2 ) =
k
X
k
C12
(z1 , z2 )∂z2 Ak (z2 , z̄2 ).
(273)
k
Îòêóäà ìîæíî ïîëó÷èòü îäíî èç ñâîéñòâ ñòðóêòóðíîé ôóíêöèè
k
(∂z1 +∂z2 )C12
(z1 , z2 ) = 0,
ñëåäîâàòåëüíî
k
k
C12
(z1 , z2 ) = C12
(z1 −z2 ).
(274)
Àíàëîãè÷íî íàõîäèì, ÷òî
I
C
du
uT (u)A1 (z1 , z̄1 )A2 (z2 , z̄2 ) =
2πi
= [(z1 ∂z1 + ∆1 ) + (z2 ∂z2 + ∆2 )]A1 (z1 , z̄1 )A2 (z2 , z̄2 ).
(275)
Ïðîäåëûâàÿ ïîäîáíûå îïåðàöèè â èòîãå ïîëó÷àåì åùå îäíî óðàâíåíèå íà
ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû
k
k
(z1 ∂z1 + z2 ∂z2 )C12
(z1 − z2 ) = (∆k − ∆1 − ∆2 )C12
(z1 − z2 ).
(276)
Ó÷èòûâàÿ òî, ÷òî àíàëîãè÷íûå ôîðìóëû ìîæíî íàïèñàòü ñ ïîìîùüþ àíòèãîëîìîðôíîãî ïñåâäîòåíçîðà, íàõîäèì âûðàæåíèå äëÿ ñòðóêòóðíûõ ôóíêöèé
¯
¯
¯
k
k
C12
(z1 , z2 ) = (z1 − z2 )∆k −∆1 −∆2 (z̄1 − z̄2 )∆k −∆1 −∆2 C12
,
34
(277)
k
ãäå C12 óæå ÿâëÿþòñÿ ñòðóêòóðíûìè êîíñòàíòàìè. Òåïåðü âñïîìíèì,
¯ k 6= 0. Ïîýòîìó î÷åâèäíî, ÷òî
hAk (z, z̄)i = 0, åñëè ∆k =
6 0 èëè ∆
hA1 (z1 , z̄1 )A2 (z2 , z̄2 )i =
(z1 − z2
D12
∆
+∆
1
2 (z̄
)
1
÷òî
(278)
¯ 1 +∆
¯2
− z̄2 )∆
Áàçèñíûå ïîëÿ, äëÿ êîòîðûõ
L1 Aj (z, z̄) = 0,
L̄1 Aj (z, z̄) = 0
(279)
íàçûâàþòñÿ êâàçèïðèìàðíûìè, â äàëüíåéøåì áóäåì îáîçíà÷àòü èõ êàê
φα (z, z̄).
Îíè îáëàäàþò, êàê ìû óæå âûÿñíèëè, ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè
L0 φα (z, z̄) = ∆α φα (z, z̄),
¯ α φα (z, z̄),
L̄0 φα (z, z̄) = ∆
L−1 φα (z, z̄) = ∂z φα (z, z̄),
L̄−1 φα (z, z̄) = ∂z̄ φα (z, z̄),
L1 φα (z, z̄) = L̄1 φα (z, z̄) = 0.
(280)
(281)
(282)
Âñïîìèíàÿ, ÷òî äðîáíîëèíåéíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ÿâëÿþòñÿ ñèììåòðèÿìè êîððåëÿòîðîâ (ôîðìóëà (259)), íàõîäèì, ÷òî
∆i = ∆j ,
¯i = ∆
¯ j,
∆
è
èíà÷å
ìû ïîëó÷èì íîëü. Òàêèì îáðàçîì ìîæíî çàïèñàòü â êîìïàêòíîì âèäå âûðàæåíèå äëÿ äâóõòî÷å÷íîé ôóíêöèè
hφ1 (z1 , z̄1 )φ2 (z2 , z̄2 )i =
ãäå
z12 = z1 − z2 ,
à òàêæå
D12
¯ 1 ,∆
¯2,
¯ δ∆1 ,∆2 δ∆
2∆1 2∆
z12 z̄12 1
δ∆1 ,∆2 = 1,
åñëè
∆1 = ∆ 2
è
δ∆1 ,∆2 = 0
(283)
èíà÷å.
Òåïåðü ïðèâåäåì ïðîñòî îòâåò äëÿ òðåõòî÷å÷íîé ôóíêöèè
γ3 γ2 γ1 γ̄3 γ̄2 γ̄1
hφ1 (z1 , z̄1 )φ2 (z2 , z̄2 )φ3 (z3 , z̄3 )i = C123 z12
z13 z23 z̄12 z̄13 z̄23 ,
¯i −∆
¯,
C123 êîíñòàíòà, γi = ∆i − ∆, γ̄i = ∆
¯1 + ∆
¯2 + ∆
¯ 3.
∆
ãäå
2.6
à
(284)
¯ =
∆ = ∆1 + ∆ 2 + ∆ 3 , ∆
Ïðèìàðíûå ïîëÿ è èõ ïîòîìêè.
Òåïåðü äàâàéòå âåðíåìñÿ ê îïåðàòîðíîìó ðàçëîæåíèþ (248). Òàê êàê ìû
ãîâîðèëè, ÷òî âàðèàöèÿ
δε A(z)
íåêîãî ëîêàëüíîãî ïîëÿ
A
ïðè áåñêîíå÷íî
ìàëîì ïðåîáðàçîâàíèè êîîðäèíàò ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ôóíêöèè
ε(z)
z , òî î÷åâèäíî ÷òî
nA , ïîýòîìó ìîæíî
è êîíå÷íîãî ÷èñëà åå ïðîèçâîäíûõ, âçÿòûõ â òî÷êå
ðÿä â ôîðìóëå (248) îáðûâàåòñÿ câåðõó ïðè íåêîòîðîì
çàïèñàòü
nA
X
T (u)A(z, z̄) =
(u − z)−n−2 Ln A(z, z̄).
(285)
n=−∞
Äàëåå, òàê êàê ïîëå
íîñòü ïîëÿ
A.
Ln A
¯ ,
(∆ − n, ∆)
âñåõ n > nA ,
èìååò ðàçìåðíîñòü
È òàê êàê
Ln A = 0
ïðè
¯ ) ðàçìåðãäå (∆, ∆
òî ìû âèäèì, ÷òî
ñïåêòð ðàçìåðíîñòåé îãðàíè÷åí ñíèçó. Îòñþäà ñëåäóåò ÷òî â ïðîñòðàíñòâå
ëîêàëüíûõ ïîëåé
A
ñóùåñòâóþò ñïåöèàëüíûå êîíôîðìíûå ïîëÿ, êîòîðûå
óíè÷òîæàþòñÿ îïåðàòîðàìè
Ln ,
ïðè
n > 0,
òî åñòü
Ln Φα = L̄n Φα = 0,
(286)
L0 Φα = ∆α Φα ,
(287)
35
n > 0,
¯ α Φα
L̄0 Φ = ∆
Òàêèå ïîëÿ íàçûâàþòñÿ ïðèìàðíûìè. Îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå òåíçîðîâ
ýíåðãèè èìïóëüñà ñ ïðèìàðíûì ïîëåì
∆α
1
Φα (z, z̄) +
∂z Φ(z, z̄) + ðåã.,
2
(u − z)
u−z
¯α
∆
1
Φα (z, z̄) +
∂z̄ Φ(z, z̄) + ðåã..
T̄ (ū)Φα (z, z̄) =
2
(ū − z̄)
ū − z̄
T (u)Φα (z, z̄) =
(288)
(289)
Îòñþäà ëåãêî ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ âàðèàöèè ïðèìàðíîãî ïîëÿ ïðè
z + ε(z)
è
z→
z̄ → z̄ + ε̄(z̄)
δε Φα (z, z̄) = ε(z)∂z Φα (z, z̄) + ∆α ε0 (z)Φα (z, z̄),
¯ α ε̄0 (z̄)Φα (z, z̄),
δε̄ Φα (z, z̄) = ε̄(z̄)∂z̄ Φα (z, z̄) + ∆
à äëÿ êîíå÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé
Φα (z, z̄) →
z → w(z), z̄ → w̄(z̄),
dw
dz
∆α dw̄
dz̄
(290)
(291)
ïîëó÷èì
∆
¯α
Φα (w, w̄).
(292)
L−n ê ïðèìàðíî¯ α ).
Φα (z, z̄), òî â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ïîëå ñ ðàçìåðíîñòüþ (∆α +n, ∆
Òàêèå ïîëÿ ìû áóäåì íàçûâàòü ïîòîìêàìè ïðèìàðíîãî ïîëÿ Φα (z, z̄). ×òîáû
Åñëè ìû ðàññìîòðèì ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ îïåðàòîðà
ìó ïîëþ
íå áûëî ÿâíîãî ïåðåó÷åòà ïîòîìêîâ, â ñëåäñòâèå êîììóòàöèîííîãî ñîîòíîøåíèÿ (255), èõ ìîæíî âûáðàòü â âèäå
L−n1 L−n2 ...L−nN L̄−m1 ...L̄−mM Φα ,
0 6 n1 < n2 6 ... 6 nN
ãäå
è
0 < m1 6 m2 6 ... 6 mM .
(293)
Âñå ýòî áåñêîíå÷-
íîìåðíîå ïðîñòðàíñòâî îáðàçóåò ïðåäñòàâëåíèå àëãåáðû Âèðàñîðî. Íàáîð
ïîëåé
[Φα ] ∈ A,
ñîñòîÿùèé èç âñåõ ïîëåé òèïà (293), ìû áóäåì íàçûâàòü
êîíôîðìíûì ñåìåéñòâîì. Êîíôîðìíîå ñåìåéñòâî ñîäåðæèò ñàìî ïðèìàðíîå
ïîëå
Φα (z, z̄),
à òàêæå âñå åãî ïîòîìêè, ïîëó÷àåìûå äåéñòâèåì îïåðàòîðîâ
àëãåáðû Âèðàñîðî. Ñäåëàåì âàæíîå ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî âñ¼ ïðîñòðàíñòâî
ïîëåé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó
A = ⊕α [Φα ].
Áîëåå òîãî, ïðåäïîëîæèì,
÷òî äðóãèõ ïîëåé íåò, õîòÿ ýòî è íå îáùàÿ ñèòóàöèÿ.
Ðàññìîòðèì òåïåðü êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè íåêîòîðûõ ïðèìàðíûõ ïîëåé è òåíçîðà ýíåðãèè-èìïóëüñà
hT (u)Φ1 (z1 , z̄1 )...ΦN (zN , z̄N )i.
(294)
u, ïðè ôèêñèðîâàízi . Êàê ìû çíàåì, ýòà ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ãîëîìîðôíîé, çà èñêëþ÷åíèåì
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ýòîò êîððåëÿòîð, êàê ôóíêöèþ
íûõ
òåõ òî÷åê, ãäå íàõîäÿòñÿ îñòàëüíûå ïîëÿ.  ýòèõ òî÷êàõ, èìåþòñÿ ñèíãóëÿðíîñòè â îïåðàòîðíîì ðàçëîæåíèè (288). Êðîìå òîãî, â ïðåäåëå
ôóíêöèÿ âåäåò ñåáÿ êàê
1/u4 .
u→∞
ýòà
×òîáû ýòî óâèäåòü, çàìåòèì, ÷òî â ýòîì ïðå-
äåëå, èñïîëüçóÿ îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå ìåæäó ïîëÿìè
Φ,
ìû, â êîíå÷íîì
èòîãå ïîëó÷èì äâóõòî÷å÷íóþ êîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèþ âèäà
T (u)Φ̃(z). Ìû
îïóñòèëè ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû è ñóììû ïî ïðîìåæóòî÷íûì ðàçìåðíîñòÿì. Òåïåðü çàìåòèì, ÷òî ðàçìåðíîñòü òåíçîðà ýíåðãèè èìïóëüñà ðàâíà
äâóì, ïîýòîìó, êàê ìû îáñóæäàëè âûøå, ðàçìåðíîñòü ïîëÿ
Φ̃
òîæå äîëæ-
íà áûòü ðàâíà äâóì.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå, êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ðàâíà
36
íóëþ. Åñëè æå ðàçìåðíîñòè ñîâïàäàþò, òî äâóõòî÷å÷íàÿ ôóíêöèÿ óáûâàåò êàê
1/(u)2∆ = 1/(u)4
ïðè
u → ∞.
Îïèðàÿñü íà ýòè ðàññóæäåíèÿ, ñðàçó
ìîæåì íàïèñàòü, êàêèì îáðàçîì ýòà ôóíêöèÿ çàâèñèò îò
u
hT (u)Φ1 (z1 , z̄1 )...ΦN (zN , z̄N )i =
N X
∆k
∂
1
=
+
hΦ1 (z1 , z̄1 )...ΦN (zN , z̄N )i
(u − zk )2
(u − zk ) ∂zk
(295)
k=1
Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîëó÷èòü, çíà÷åíèå êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè, ñîäåðæàùåé ëþáîå ÷èñëî îïåðàòîðîâ òåíçîðà ýíåðãèè-èìïóëüñà è ïðîèçâîëüíîå
êîëè÷åñòâî ïðèìàðíûõ ïîëåé. Ñëåäñòâèåì óðàâíåíèÿ (295) ÿâëÿåòñÿ âàæíûé ôàêò, ÷òî êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ïîòîìêîâ âûðàæàåòñÿ ïîñðåäñòâîì
ïðèìåíåíèÿ íåêîòîðîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà ê êîððåëÿöèîííîé
ôóíêöèè ïðèìàðíûõ ïîëåé. Äåéñòâèòåëüíî, êàê ìû çíàåì, ïîòîìêè ïðèìàðíîãî ïîëÿ ïîëó÷àþòñÿ ïðèìåíåíèåì íåêîòîðîé êîìáèíàöèè îïåðàòîðîâ
àëãåáðû Âèðàñîðî ê ïðèìàðíîìó ïîëþ
I
L−n Φ(z, z̄) =
Cz
du
(u − z)1−n T (u)Φ(z, z̄).
2πi
(296)
Ðàññìîòðèì òåïåðü êîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèþ, ñîäåðæàùóþ ýòî âòîðè÷íîå
ïîëå
h(L−n Φ(z, z̄))Φ1 (z1 , z̄1 )...ΦN (zN , z̄N )i =
I
du
=
(u − z)1−n hT (u)Φ(z, z̄)Φ1 (z1 , z̄1 )...ΦN (zN , z̄N )i.
2πi
Cz
Êîíòóð ìîæíî ïåðåêèíóòü íà òî÷êè
zk , k = 1, .., N ,
(297)
(ðèñ.4) è òàê êàê
Ðèñ. 4: Âû÷èñëåíèå êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè.
êîíòóð, îõâàòûâàþùèé âñå òî÷êè â ïðåäåëå áåñêîíå÷íî áîëüøîãî êîíòóðà,
íå äàåò âêëàäà, òî ïîëó÷àåì
h(L−n Φ(z, z̄))Φ1 (z1 , z̄1 )...ΦN (zN , z̄N )i =
N I
X
du
=−
(u − z)1−n hT (u)Φ(z, z̄)Φ1 (z1 , z̄1 )...ΦN (zN , z̄N )i.
2πi
Cz
k=1
(298)
k
Òåïåðü ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ îïåðàòîðíûì ðàçëîæåíèåì âíóòðè êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè, òàê êàê åäèíñòâåííûå ñèíãóëÿðíîñòè ïî
òî÷êå
z.
u
íàõîäÿòñÿ â
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì
h(L−n Φ(z, z̄))Φ1 (z1 , z̄1 )...ΦN (zN , z̄N )i =
N X
1
∂
(n − 1)∆k
−
=
hΦ(z, z̄)Φ1 (z1 , z̄1 )...ΦN (zN , z̄N )i.
(zk − z)n
(zk − z)n−1 ∂zk
k=1
(299)
Òàêèì îáðàçîì, ìû ÿâíî ïîêàçàëè, êàê êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ïîòîìêîâ
âûðàæàþòñÿ ÷åðåç êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ïðèìàðíûõ ïîëåé.
37
2.7
Ñèíãóëÿðíûå âåêòîðà è ïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ.
 ïðîøëîì ðàçäåëå ìû ïîñòóëèðîâàëè, ÷òî âñå ïðîñòðàíñòâî ïîëåé Êîíôîðìíîé òåîðèè ïîëÿ ìîæåò áûòü ðàçáèòî íà ïðÿìóþ ñóììó ïðåäñòàâëåíèé
àëãåáðû Âèðàñîðî ñî ñòàðøèì âåñîì
A = ⊕α [Φα ],
(300)
ãäå êîíôîðìíîå ñåìåéñòâî (êîíôîðìíûé áëîê)
ïîëÿ
Φα
è âñåõ åãî ïîòîìêîâ, ïîëó÷àþùèõñÿ èç
íèåì ê íåìó ãåíåðàòîðîâ
[Φα ] ñîñòîèò èç ïðèìàðíîãî
Φα ìíîãîêðàòíûì ïðèìåíå-
Ln , ñ n < 0. Ïðîñòðàíñòâî âåêòîðîâ ïðåäñòàâëåíèÿ
ÿâëÿåòñÿ ãðàäóèðîâàííûì ïðîñòðàíñòâîì. Óðîâíåì ìû áóäåì íàçûâàòü öåëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, íà êîòîðîå ðàçìåðíîñòü ïîëÿ ïîòîìêà îòëè÷àåòñÿ
îò ðàçìåðíîñòè ïðèìàðíîãî ïîëÿ. Íàïðèìåð, âñå ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé íà
Ðèñ. 5: Ïðîñòðàíñòâî ïðåäñòàâëåíèÿ àëãåáðû Âèðàñîðî.
ïåðâûõ íåñêîëüêèõ óðîâíÿõ ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé îáîëî÷êîé âåêòîðîâ
L−1 Φα
L2−1 Φα
L3−1 Φα
Íà ïðîèçâîëüíîì
íà ïåðâîì óðîâíå
L−2 Φα
L−1 L−2 Φα
íà âòîðîì
L−3 Φα
íà òðåòüåì (ðèñ.5)
N -îì óðîâíå, ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé áóäåò ëèíåéíîé îáî-
ëî÷êîé âåêòîðîâ âèäà
L−n1 L−n2 ...L−nN Φα ,
(301)
òàêèõ, ÷òî n1 + n2 + ... + nN = N . Áàçèñ ìîæíî âûáðàòü òàêèì îáðàçîì, ÷òî
n1 > n2 > ... > nN . ×èñëî áàçèñíûõ âåêòîðîâ ðàâíî êîëè÷åñòâó ðàçáèåíèé
÷èñëà N , â ñóììó íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
Ïðåäñòàâëåíèå ÿâëÿåòñÿ ïðèâîäèìûì, åñëè íà íåêîòîðîì óðîâíå ñóùå-
W (ðèñ. 6), òàêîé, ÷òî îí ñàì ÿâëÿåòñÿ ïðèìàðíûì ïîëåì,
Ln W = 0 äëÿ n > 0. Äåéñòâèòåëüíî, ïîäïðîñòðàíñòâî [Φα ], ñîñòîÿ-
ñòâóåò ïîòîìîê
òî åñòü
Ðèñ. 6: Ñèíãóëÿðíûé âåêòîð â ïðîñòðàíñòâå ïðåäñòàâëåíèÿ àëãåáðû Âèðàñîðî.
ùèå èç ïîòîìêîâ
W,
ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì. Òàêæå
W
ìû áóäåì íàçûâàòü îñîáûì âåêòîðîì.
Åñëè ðàçìåðíîñòü ïðèìàðíîãî ïîëÿ è öåíòðàëüíûé çàðÿä òåîðèè íàõîäÿòñÿ â îáùåì ïîëîæåíèè, òî îñîáûõ âåêòîðîâ íåò, îäíàêî ïðè ñïåöèàëüíûõ
çíà÷åíèÿõ ýòèõ ïàðàìåòðîâ îñîáûå âåêòîðà âîçíèêàþò. Îòâåò íà âîïðîñ, êîãäà âîçíèêàþò îñîáûå âåêòîðà äàåòñÿ òåîðåìîé Êàöà. Äëÿ òîãî, ÷òîá ñôîðìóëèðîâàòü ýòó òåîðåìó, ââåäåì äîïîëíèòåëüíûå îáîçíà÷åíèÿ. Âûáåðåì ïàðàìåòðèçàöèþ öåíòðàëüíîãî çàðÿäà
c = 1 + 6Q2 ,
38
(302)
ãäå
Q = b−1 + b.
(303)
Ðàçìåðíîñòü ïðèìàðíîãî ïîëÿ óäîáíî ïàðàìåòðèçîâàòü êàê
∆(a) = a(Q − a),
(304)
òîãäà ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òåîðåìó
Òåîðåìà Êàöà. Åñëè ïàðàìåòð
amn =
ãäå
m, n
a
ðàâåí ñïåöèàëüíîìó çíà÷åíèþ
(1 − m)b−1 + (1 − n)b
,
2
öåëûå ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà, òî íà óðîâíå
(305)
N = mn
íàõîäèòüñÿ
îñîáûé âåêòîð.
Ýòîò îñîáûé âåêòîð ÿâëÿåòñÿ ïîòîìêîì ïðèìàðíîãî ïîëÿ ñ ðàçìåðíîñòüþ
∆mn = ∆(amn ), êîòîðîå ìû áóäåì
èìååò âèä Wnm = Dmn Φmn , ãäå
îáîçíà÷àòü
Φmn .
Ñàì îñîáûé âåêòîð
mn−2
Dmn = Lmn
L−2 + ....
−1 + a1 L−1
(306)
Ïðîöåäóðà íàõîæäåíèÿ ñèíãóëÿðíîãî âåêòîðà ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Çàïèñûâàåì ñàìûé îáùèé âèä âåêòîðà íà óðîâíå
îïåðàòîðàìè
Ln , n > 0,
N.
Çàòåì, äåéñòâóÿ íà íåãî
ñìîòðèì, ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ ðåçóëüòàò ýòîãî äåé-
a1 , a2 , ....
Dmn . Îòìå-
ñòâèÿ ðàâåí íóëþ. Òàêèì ñïîñîáîì îïðåäåëÿþòñÿ êîýôôèöèåíòû
ßâíîå âû÷èñëåíèå îñîáûõ âåêòîðîâ ïîçâîëÿåò íàéòè îïåðàòîðû
òèì, ÷òî
Dnm ñâÿçàíû çàìåíîé b → b−1 . Ïðèâåäåì íåñêîëüêî ïåðâûõ
äëÿ Dmn
Dmn
âûðàæåíèé
è
D11 = L−1 ,
D12 = (L2−1 + b2 L−2 ),
D13 = (L3−1 + 4b2 L−2 L−1 + 2b2 (1 + 2b2 )L−3 ),
D41 = (L4−1 + 10b2 L−2 L2−1 + 2b2 (5 + 12b2 )L−3 L−1 + 9b2 (1 + 4b2 + 6b4 )L−4 ).
(307)
2.8
Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ "âûðîæäåííûõ
ïîëåé".
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïîëå
Φmn ,
ñîîòâåòñòâóþùåå ñèíãóëÿðíîìó âåêòîðó,
îáëàäàåò íóëåâîé íîðìîé, ïîýòîìó ìû áóäåì òðåáîâàòü ÷òîáû îñîáûå âåêòîðà áûëè ðàâíû íóëþ [4] . Âìåñòå ñ ñèíãóëÿðíûì âåêòîðîì áóäåì ïîëàãàòü íóëþ è âñåõ åãî ïîòîìêîâ. Â ðåçóëüòàòå ïðåäñòàâëåíèå
íåïðèâîäèìûì. Òàêîå ïîëå
Φmn
[Φmn ]
ñòàíåò
â ëèòåðàòóðå, âîçìîæíî íå î÷åíü óäà÷íî,
íàçûâàåòñÿ âûðîæäåííûì.
Èç ýòîãî òðåáîâàíèÿ îòùåïëåíèÿ îñîáîãî âåêòîðà ìîæíî ïîëó÷èòü èíòåðåñíûå ñëåäñòâèÿ äëÿ êîððåëÿöèîííûõ ôóíêöèé, à èìåííî, êîððåëÿöèîí-
39
íûå ôóíêöèè, ñîäåðæàùèå ïðèìàðíûå ïîëÿ
Φmn
óäîâëåòâîðÿþò îäíîðîä-
íûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì
hDmn Φmn Φ1 (z1 , z̄1 )...ΦN (zN , z̄N )i = D̂mn hΦmn Φ1 (z1 , z̄1 )...ΦN (zN , z̄N )i = 0,
(308)
ãäå
D̂mn
óæå íåêîòîðûé äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð. Ðàññìîòðèì, íàïðè-
ìåð, îñîáûé âåêòîð
D12 Φ12 .
Òîãäà êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ, ñîäåðæàùàÿ
ýòî ïîëå òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ
hD12 Φ12 Φ1 (z1 , z̄1 )...ΦN (zN , z̄N )i = 0.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âñïîìíèì, êàê äåéñòâóåò îïåðàòîð
I
Ln A(z, z̄) =
Cz
Ln
(309)
íà ïîëå
A(z, z̄)
du
(u − z)n+1 T (u)A(z, z̄).
2πi
(310)
Òîãäà, èñïîëüçóÿ òîæäåñòâà Óîðäà (295) èç ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà, ïîëó÷àåì
"
#
N X
∆k
d2
1
∂
2
+b
+
hΦ12 Φ1 (z1 , z̄1 )...ΦN (zN , z̄N )i = 0,
dz 2
(z − zk )2
z − zk ∂zk
k=1
(311)
òî åñòü, êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ óäîâëåòâîðÿåò îäíîðîäíîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ.
2.9
Îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå äëÿ "âûðîæäåííûõ ïîëåé".
Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî âîçíèêàåò îãðàíè÷åíèå íà îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå âûðîæäåííîãî ïîëÿ ñ äðóãèìè ïîëÿìè. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü
z → z1 .
Ðàñ-
ñìîòðèì îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå
Φ12 (z)Φ∆ (z1 ) =
X
˜
˜
∆
C12,∆
(z − z1 )∆−∆−∆12 (Φ∆
˜ (z1 ) + ...).
(312)
˜
∆
Îáîçíà÷èì
˜ − ∆ − ∆12 .
κ = ∆
Ïîäñòàâèì â äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå
(311) ïðàâóþ ÷àñòü îïåðàòîðíîãî ðàçëîæåíèÿ (312). Ïîëó÷èì, ÷òî íàèáîëåå
(z−z1 )κ−2 . Äëÿ òîãî ÷òîáû óðàâíåíèå
κ−2
âûïîëíÿëîñü, íåîáõîäèìî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû êîýôôèöèåíò ïðè (z − z1 )
ñèíãóëÿðíûå ÷ëåíû ïðîïîðöèîíàëüíû
áûë ðàâåí íóëþ. Îòñþäà ïîëó÷àåì êâàäðàòíîå óðàâíåíèå
κ(κ − 1) + b2 ∆ − b2 κ = 0.
Èñïîëüçóÿ ïàðàìåòðèçàöèþ
(313)
∆(a) = a(Q−a), ãäå Q = b+b−1 , ëåãêî ïîêàçàòü,
÷òî óðàâíåíèå (313) ñâîäèòñÿ ê âèäó
(ab − κ)(1 − ab + b2 − κ) = 0.
(314)
Ïîýòîìó äâà ðåøåíèÿ êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ ðàâíû
˜ − ∆ − ∆1,2 = ab,
∆
˜ − ∆ − ∆1,2 = 1 − ab − b2 .
∆
40
(315)
(316)
Òåïåðü ó÷òåì, ÷òî
ã(Q − ã),
∆1,2 = −3b2 /4 − 1/2,
à òàêæå ïàðàìåòðèçóåì
˜
∆(ã)
=
òîãäà ðåøåíèÿ ïðèîáðåòàþò âèä
(ã − a + b/2)(Q − a − ã + b/2) = 0,
(317)
(ã − a − b/2)(Q − a − ã − b/2) = 0.
(318)
Òåïåðü íåñëîæíî íàéòè
ã
ã = a ± b/2,
ã = Q − a ± b/2.
(319)
Ìû ïîëó÷èëè îãðàíè÷åíèå íà âèä îïåðàòîðíîãî ðàçëîæåíèÿ, òî åñòü ïðè
Φa = Φ∆(a)
˜ = ã(Q − ã), ãäå
∆
ðàññìîòðåíèè îïåðàòîðíîãî ðàçëîæåíèÿ ïðîèçâîëüíîãî ïîëÿ
ñ ïîëåì
ã
Φ12
ìîãóò ïîÿâëÿòüñÿ ïîëÿ ñ ðàçìåðíîñòüþ
óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèÿì (319). Ýòî óòâåðæäåíèå ñõåìàòè÷åñêè ìîæíî
çàïèñàòü òàê
Φ12 Φa = Φa+b/2 + Φa−b/2 .
Êðîìå ïîëÿ
Φ12
èìååòñÿ åùå ïîëå
Φ21 .
(320)
Êàê ìû îòìå÷àëè âûøå, ðàçíèöà
ìåæäó îñîáûìè âåêòîðàìè ýòèõ ïîëåé çàêëþ÷àåòñÿ â çàìåíå
b → b−1 .
Ïî-
ýòîìó èìååì
Φ21 Φa = Φa+1/2b + Φa−1/2b .
Àíàëîãè÷íî ìîæíî èçó÷àòü è îïåðàòîðíûå ðàçëîæåíèÿ ñ ïîëÿìè
ïðèìåð, äëÿ ïîëÿ
Φ13
(321)
Φmn .
Íà-
ìû ïîëó÷èì óðàâíåíèå òðåòüåé ñòåïåíè. Âìåñòî ýòîãî
ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ äðóãèì ïðèåìîì. Ïóñòü
a = a12 = −b/2.
Òîãäà èç
ôîðìóëû (320) ñëåäóåò
Φ12 Φ12 = Φa12 +b/2 + Φa12 −b/2 = [Φ11 ] + [Φ13 ] .
(322)
Ìîæíî òàêæå íàïèñàòü
Φ13 Φa = Φ12 (Φ12 Φa ) = [Φa+b ] + [Φa ] + [Φa−b ].
Äëÿ ïîëÿ îáùåãî âèäà
êàê
(Φ21 )m−1 (Φ12 )n−1 ,
Φmn ,
(323)
êîòîðîå ìû ìîæåì ïðåäñòàâèòü ñèìâîëè÷åñêè
ïîâòîðÿÿ ýòó ïðîöåäóðó ìîæåì ïîëó÷èòü
Φmn Φa =
X
Φa+λr,s ,
(324)
r,s
ãäå
λr,s =
à
r
è
s
rb + sb−1
,
2
(325)
ïðîáåãàþò çíà÷åíèÿ
r = m − 1, m − 3, ... , 1 − m,
s = n − 1, n − 3, ... , 1 − n.
(326)
(327)
È òàêæå ìîæíî íàéòè, ÷òî
Φn1 m1 Φn2 m2 =
min(mX
1 ,m2 )−1 min(n1 ,n2 )−1
X
k=0
ãäå
l=0
n0 = |n1 − n2 | + 1, m0 = |m1 − m2 | + 1.
41
[Φn0 +2l,m0 +2k ],
(328)
Âîçìîæíà ëè òåîðèÿ â êîòîðîé àëãåáðà ïîëåé èñ÷åðïûâàåòñÿ ïðîñòðàí-
AD =
∞
L
[Φmn ]? Äëÿ òîãî, ÷òîáû îòâåòèòü íà ýòîò âîïðîñ ñëåäóåò
n,m=1
îïðåäåëèòü ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû îïåðàòîðíîãî ðàçëîæåíèÿ è ïîêàçàòü,
ñòâîì
÷òî îíè óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ àññîöèàòèâíîñòè. Ýòà çàäà÷à áûëà ðåøåíà, äàâ íà ýòîò âîïðîñ ïîëîæèòåëüíûé îòâåò, íî åå òåìà âûõîäèò çà ðàìêè
íàøèõ ëåêöèé.
Êîíôîðìíàÿ Òåîðèÿ Ïîëÿ ñ òàêèì íàáîðîì ïîëåé è ìíèìûì ïàðàìåòðîì
b = iβ
íàçûâàåòñÿ Îáîáùåííîé Ìèíèìàëüíîé Ìîäåëüþ. Ñîáñòâåííî
æå Ìèíèìàëüíîé Ìîäåëüþ Êîíôîðìíîé Òåîðèè Ïîëÿ íàçûâàåòñÿ ñëó÷àé,
êîãäà ïàðàìåòð
β2
ÿâëÿåòñÿ ðàöèîíàëüíûì ÷èñëîì
β 2 = p/q .  ýòîì ñëó÷àå
öåíòðàëüíûé çàðÿä
ñ
=1−6
(p − q)2
,
pq
(329)
à çíà÷åíèå ðàçìåðíîñòåé
∆mn =
(pm − qn)2 − (p − q)2
.
4pq
(330)
Ìèíèìàëüíûå ìîäåëè Êîíôîðìíîé Òåîðèè Ïîëÿ îïèñûâàþò ðàçëè÷íûå òèïû êðèòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ïðè
d=2
òàêèõ ìîäåëåé Ñòàòèñòè÷åñêîé ôè-
çèêè, êàê äâóìåðíàÿ Ìîäåëü Èçèíãà, Ìîäåëè Ïîòòñà è äðóãèå.
3
Ìèíèìàëüíàÿ Òåîðèÿ Ñòðóí.
 ýòîé ëåêöèè ìû âîçâðàùàåìñÿ ê íåêðèòè÷åñêîé Òåîðèè ñòðóí. Àëüòåðíàòèâíàÿ ê èñõîäíîé ôîðìóëèðîâêà ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü ñòðóííóþ âîñïðèèì÷èâîñòü è ãðàâèòàöèîííûå ðàçìåðíîñòè íàáëþäàåìûõ â òåðìèíàõ öåíòðàëüíîãî çàðÿäà è ðàçìåðíîñòåé ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðèìàðíûõ ïîëåé êîíôîðìíîé ìàòåðèè [5].
3.1
Ôóíêöèîíàëüíûé èíòåãðàë Ïîëÿêîâà â êîíôîðìíîé êàëèáðîâêå.
Âñïîìíèì, ñ ÷åãî ìû íà÷èíàëè. Ìû îïðåäåëèëè àìïëèòóäó ïåðåõîäà ñòðóíû èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ â êîíå÷íîå, êàê ñóììó ïî âñåì ïîâåðõíîñòÿì
ñîåäèíÿþùèì íà÷àëüíóþ è êîíå÷íóþ êîíôèãóðàöèþ ñòðóíû
Z=
X
def
e−(ïëîùàäü) =
Z
DgDX µ exp(−SP [X µ , gab ]),
(331)
Ïî ïîâåðõíîñòÿì
ãäå
SP [X µ , gab ]
äåéñòâèå Ïîëÿêîâà. Íàì íóæíî ó÷èòûâàòü êàæäóþ ïî-
âåðõíîñòü ïî îäíîìó ðàçó, íî èç-çà ïàðàìåòðèçàöèîííîé èíâàðèàíòíîñòè,
êàæäàÿ ïîâåðõíîñòü âõîäèò â ôóíêöèîíàëüíûé èíòåãðàë (331) áåñêîíå÷íî
ìíîãî ðàç. Íåîáõîäèìî áûëî âûäåëèòü ôàêòîð, ó÷èòûâàþùèé ýòîò ïåðåó÷åò ïîâåðõíîñòåé. Äëÿ ýòîãî ìû ïðîâåëè ôèêñàöèþ êàëèáðîâêè. Âêðàòöå íàïîìíèì îñíîâíûå øàãè ýòîé ïðîöåäóðû. Âíà÷àëå ìû âûáðàëè â ïðîñòðàíñòâå ìåòðèê ïîâåðõíîñòü
Σ,
íà êîòîðîé ìåòðèêè èìåþò âèä
eσ ĝ ,
ãäå
ĝ
íåêîòîðàÿ ìåòðèêà. Îñòàëüíûå ìåòðèêè ïîëó÷àþòñÿ èç ìåòðèê íà ïîâåðõíîñòè
Σ
â ðåçóëüòàòå äåéñòâèÿ ãðóïïû ðåïàðàìåòðèçàöèé. Çàòåì ìû ïåðåøëè
42
îò èíòåãðèðîâàíèÿ ïî âñåì ìåòðèêàì, ê èíòåãðèðîâàíèþ ïî ìåòðèêàì íà
ïîâåðõíîñòè
Σ
è ïî ýëåìåíòàì ãðóïïû äèôôåîìîðôèçìîâ. Îáúåì îðáèòû
ãðóïïû äèôôåîìîðôèçìîâ è ÿâëÿåòñÿ ôàêòîðîì ïåðåó÷åòà ïîâåðõíîñòåé.
Ïîýòîìó ìû ïåðåîïðåäåëèëè ìåðó â ïðîñòðàíñòâå ìåòðèê, óñòðàíèâ ýòîò
ôàêòîð. È â èòîãå ïîëó÷èëè, ÷òî
Z
Z=
DP ϕDeϕ ĝ (B, C)Deϕ ĝ X µ exp(−SP [X µ , eϕ ĝab ] − SGh [B, C, eϕ ĝab ]),
(332)
DP ϕ, îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì
Z
p
2
kδϕkP = eϕ(x) (δϕ(x))2 ĝd2 x.
ãäå íîðìà íà ìåðå Ïîëÿêîâà
Ýòà ìåðà íå ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíîé ïðè çàìåíå
âûðàæåíèåì
ϕ(x) → ϕ(x) + η(x),
(333)
òî åñòü
íå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé. Äàëåå, èñïîëüçóÿ êîíôîðìíóþ àíîìàëèþ, ìû â èòîãå
ïðèøëè ê êîíå÷íîìó îòâåòó, êîòîðûé ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
Z
Z=
P
DP ϕDĝ (B, C)Dĝ X exp(−Stot
[B, C, X, ϕ, ĝab ]),
ãäå ïîëíîå äåéñòâèå ñòðóíû
ãàåìûõ
P
Stot
[B, C, X, ϕ, ĝab ],
(334)
ÿâëÿåòñÿ ñóììîé òðåõ ñëà-
P
Stot
[B, C, X, ϕ, ĝ] = SP [X µ , ĝ] + SGh [B, C, ĝ] +
26 − D
W [ϕ, ĝ].
48π
(335)
Ïîñëåäíèé ÷ëåí â ôîðìóëå (335), ïîÿâëÿþùèéñÿ èç-çà ó÷åòà êîíôîðìíîé
àíîìàëèè, îïèñûâàåò äèíàìèêó ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ. Çàâèñèìîñòü ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðàëà (334) îò
ĝ
ÿâëÿåòñÿ êàæóùåéñÿ, ïîñêîëüêó â èñõîä-
íîé ôîðìóëèðîâêå èíòåãðèðîâàíèå ïðîèñõîäèò ïî âñåì ìåòðèêàì è íèêàêàÿ
ìåòðèêà íå ÿâëÿåòñÿ âûäåëåííîé. Ýòî ìîæíî ïðîâåðèòü ÿâíûì âû÷èñëåíèåì.
Ôîðìóëó (334) ìîæíî îáîáùèòü, ïðåäïîëîæèâ, ÷òî ðîëü ìàòåðèè âìåñòî
D-ìåðíîãî ñêàëÿðíîãî áåçìàññîâîãî ïîëÿ X µ , èãðàåò íåêîòîðîå ïîëå, òàêæå
îáîçíà÷àåìîå X , äèíàìèêà êîòîðîãî îïèñûâàåòñÿ ïðîèçâîëüíîé Äâóìåðíîé
Êîíôîðìíîé Òåîðèè Ïîëÿ ñ äåéñòâèåì SM [X, g] è öåíòðàëüíûì çàðÿäîì
cM .
Èçìåíèâ íîðìèðîâêó ïîëÿ ϕ
r
24
ϕ→
ϕ,
(336)
26 − D
ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ äåéñòâèÿ ñòðóíû
P
Stot
[B, C, X, ϕ, ĝ] = SP [X µ , ĝ] + SGh [B, C, ĝ] + S̃L [ϕ, ĝ],
(337)
ãäå
Z h
ip
1
S̃L [ϕ̃, ĝ] =
ĝ ab ∂a ϕ∂b ϕ + Q̃R[ĝ] ϕ
ĝd2 x,
4π
r
r
26 − D
6
Q̃ =
, b̃ =
,
6
26 − D
(338)
(339)
à âûðàæåíèå äëÿ ìåðû (333) ïðèîáðåòåò âèä
kδϕk2P
Z
=
e2b̃ϕ(x) (δϕ(x))2
43
p
ĝd2 x.
(340)
3.2
Ôîðìóëèðîâêà Äàâèäà - Äèñòëåðà - Êàâàè.
Ñóùåñòâóåò àëüòåðíàòèâíàÿ ôîðìóëèðîâêà íåêðèòè÷åñêîé òåîðèè ñòðóí,
ïðèíàäëåæàùàÿ Äàâèäó-Äèñòëåðó-Êàâàè (DDK) [6], êîòîðàÿ ïðåäïîëàãàåòñÿ ýêâèâàëåíòíîé èñõîäíîìó ïîäõîäó Ïîëÿêîâà. Â ôîðìóëèðîâêå DDK
âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðàëà â êîíôîðìíîé êàëèáðîâêå
def
Z
Dĝ ϕDĝ (B, C)Dĝ X exp(−SM [X, ĝ] − SGh [B, C, ĝ] − SL [ϕ, ĝ])
Z=
îòëè÷àåòñÿ òåì, ÷òî ìåðà èíòåãðèðîâàíèÿ â ïðîñòðàíñòâå ïîëÿ
ëèíåéíîé
kδϕk2 =
à äåéñòâèå
SL [ϕ, ĝ],
SL [ϕ, ĝ] =
ãäå
µ
Z
(δϕ(x))2
p
ϕ
(341)
ÿâëÿåòñÿ
ĝd2 x,
(342)
íàçûâàåìîå äåéñòâèåì Ëèóâèëëÿ, ïðèíèìàåò âèä
1
4π
Z h
ĝ ab ∂a ϕ∂b ϕ + QR[ĝ] ϕ + 4πµe2bϕ
êîñìîëîãè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ, à
Q
è
b
ip
ĝd2 x,
(343)
íåêîòîðûå êîíñòàíòû. Îñ-
íîâíîå ïðåäïîëîæåíèå ñîñòîèò â òîì, ÷òî åäèíñòâåííûì ñëåäñòâèåì îò çàìåíû ìåðû èíòåãðèðîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íàÿ ïåðåíîðìèðîâêà ïàðàìåòðîâ
â
SL [ϕ, ĝ].
Ïåðåíîðìèðîâàííûå ïàðàìåòðû
Q
è
b
îïðåäåëÿþòñÿ èç óñëîâèÿ
íåçàâèñèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðàëà îò áýêãðàóíä ìåòðèêè
ĝ .
Òàê
êàê ïðè ðåïàðàìåòðèçàöèÿõ âûðàæåíèå (341) ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíûì, îñòàåòñÿ îáåñïå÷èòü èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé Âåéëÿ. Ïîñêîëüêó ìû çíàåì, ÷òî ïðîèñõîäèò ñ ôóíêöèîíàëüíûìè èíòåãðàëàìè, îïèñûâàþùèìè êîíôîðìíóþ ìàòåðèþ è äóõè ïðè ïðåîáðàçîâàíèè
eσ ĝab ,
ĝab → gab =
îñòàåòñÿ ðàññìîòðåòü êàê èçìåíÿåòñÿ ôóíêöèîíàëüíûé èíòåãðàë ïî
ëèóâèëëåâñêîìó ïîëþ
e [ĝ]
−SL
Z
e
=
Dĝ ϕe−SL [ϕ,ĝ] .
(344)
Äëÿ íà÷àëà îáðàòèìñÿ ê ñëó÷àþ, â êîòîðîì ýêñïîíåíöèàëüíûé ÷ëåí â
ôîðìóëå (343) îòñóòñòâóåò, òî åñòü
√
gR[g] (x) =
p
µ = 0.
Ó÷èòûâàÿ ôîðìóëó
[ĝ]
ĝ(R[ĝ] (x) + ∆0 σ(x)),
gab = eσ ĝab ,
ãäå
p
1
[ĝ]
∆0 = − √ ∂a ĝ ab ĝ∂b ,
ĝ
(345)
äëÿ äåéñòâèÿ (343) ïîëó÷àåì
1
SL [ϕ, e ĝ] =
4π
σ
Z h
ĝ ab ∂a ϕ∂b ϕ + QR[ĝ] ϕ + Qĝ ab ∂a σ∂b ϕ
ip
ĝd2 x,
(346)
ãäå ìû óæå ïðîèçâåëè èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì
Z
[ĝ]
Qϕ(x)∆0 σ(x)
p
Òåïåðü ïåðåéäåì ê íîâîìó ïîëþ
ôóíêöþ
Z
2
ĝd x =
Qĝ ab ∂a σ∂b ϕ
p 2
ĝd x.
(347)
ϕ̃(x), ñäâèãîì ïîëÿ ϕ(x) íà ôèêñèðîâàííóþ
Q
2 σ(x)
ϕ̃(x) = ϕ(x) +
44
Q
σ(x).
2
(348)
ϕ̃ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
Z
p 2
1
Q2 1 ab
σ
[ĝ]
ab
[ĝ]
SL [ϕ, e ĝ] =
ĝd x,
ĝ ∂a σ∂b σ + R σ
ĝ ∂a ϕ̃∂b ϕ̃ + QR ϕ̃ −
4π
2
2
Âûðàæåíèå (346) â òåðìèíàõ ïîëÿ
(349)
èëè, ÷òî ýêâèâàëåíòíî,
SL [ϕ, eσ ĝ] = SL [ϕ̃, ĝ] −
Q2
W [σ, ĝ],
8π
(350)
ãäå
Z W [σ, ĝ] =
p 2
1 ab
[ĝ]
ĝd x.
ĝ ∂a σ(x)∂b σ(x) + R (x)σ(x)
2
 ñèëó ëèíåéíîñòè ìåðû ïîëÿ
ϕ,
(351)
ìû èìååì
Deσ ĝ ϕ = Deσ ĝ ϕ̃.
(352)
Ó÷åò êâàíòîâîé àíîìàëèè â ìåðå ïðèâîäèò ê äîïîëíèòåëüíîìó ñëàãàåìîìó â ñîîòíîøåíèè ìåæäó ýôôåêòèâíûìè äåéñòâèÿìè òåîðèè Ëèóâèëëÿ â
ìåòðèêå
eσ ĝ
è
ĝ ,
â ðåçóëüòàòå ÷åãî ìû ïîëó÷àåì
SLe [eσ ĝ] = SLe [ĝ] −
1 + 6Q2
W [σ, ĝ].
48π
(353)
Òàêèì îáðàçîì ìû äîêàçàëè, ÷òî òåîðèÿ Ëèóâèëëÿ, çàäàâàåìàÿ (344) ïðè
µ=0
ÿâëÿåòñÿ Êîíôîðìíîé òåîðèåé ïîëÿ, â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ äàííîãî
â êîíöå ïåðâîé ëåêöèè, ñ öåíòðàëüíûì çàðÿäîì
cL = 1 + 6Q2 .
(354)
Òåíçîð ýíåðãèè-èìïóëüñà ýòîé òåîðèè â ïëîñêîì ïðîñòðàíñòâå èìååò âèä
Tab = −∂a ϕ∂b ϕ +
ĝab 2
ĝab
(∂a ϕ)2 + Q ∂a ∂b ϕ −
∂a ϕ .
2
2
(355)
Êàê îáû÷íî â Êîíôîðìíîé òåîðèè ïîëÿ ñóùåñòâóþò äâå êîìïîíåíòû òåíçîðà ýíåðãèè-èìïóëüñà
Tzz = T (z) = −(∂ϕ)2 + Q∂ 2 ϕ,
¯ 2 + Q∂¯2 ϕ,
Tz̄z̄ = T̄ (z̄) = −(∂ϕ)
(356)
(357)
êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ãîëîìîðôíûì è àíòèãîëîìîðôíûì ïîëÿìè ñîîòâåòñòâåííî.
Ïðèìàðíûìè ïîëÿìè â òåîðèè Ëèóâèëëÿ, ÿâëÿþòñÿ ïîëÿ
Va (x) =: e2aϕ(x) :.
Èõ îïåðàòîðíîå ðàçëîæåíèå ñ òåíçîðîì ýíåðãèè-èìïóëüñà ëåãêî ïîëó÷èòü,
ïîëüçóÿñü òåîðåìîé Âèêà
T (u)Va (z, z̄) =
ãäå
∆a = a(Q − a)
∆a
1
Va (z, z̄) +
∂z Va (z, z̄) + ðåã.,
(u − z)2
u−z
(358)
Va (z, z̄).
Va =: e2aϕ(x) : òðåáóåò äëÿ ñâîåãî îïðå-
ðàçìåðíîñòü ïîëÿ
Ñîñòàâíîå ýêñïîíåíöèàëüíîå ïîëå
äåëåíèÿ ðåãóëÿðèçàöèè è ïåðåíîðìèðîâêè. Â ðåçóëüòàòå ýòîãî âîçíèêàåò
çàâèñèìîñòü ïîëÿ
Va
îò ìåòðèêè
2
[e2aϕ(x) ]eσ ĝ = ea
45
σ(x)
[e2aϕ(x) ]ĝ .
(359)
Ïîýòîìó ïðè êîìáèíàöèè ïðåîáðàçîâàíèé
ïîëå
Va
ĝab → eσ ĝab ,
(360)
Q
ϕ(x) → ϕ(x) − σ(x),
2
(361)
òðàíñôîðìèðóåòñÿ ïî çàêîíó
Va (x) → e−∆(a)σ(x) Va (x).
Ïóñòü ïàðàìåòð
b
òàêîâ, ÷òî
∆(b) = 1,
(362)
÷òî ýêâèâàëåíòíî
Q = b + b−1 ,
(363)
Vb (x) → e−σ(x) Vb (x).
(364)
òîãäà ïîëå
Èíòåãðàë
Z
√
Vb gd2 x
(365)
îñòàåòñÿ èíâàðèàíòíûì ïðè (360) è (361). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî Êâàíòîâàÿ
òåîðèÿ Ëèóâèëëÿ [8] ñ äåéñòâèåì (343), â êîòîðîì ïðèñóòñòâóåò êîñìîëîãè÷åñêèé ÷ëåí ñ
µ 6= 0,
òàêæå ïðåîáðàçóåòñÿ ïî çàêîíó (353). Èíà÷å ãîâîðÿ,
ýòà òåîðèÿ ÿâëÿåòñÿ Êîíôîðìíîé òåîðèåé ïîëÿ ñ
cL = 1 + 6Q2 .
Ïîýòîìó òåîðèÿ ñòðóíû ÿâëÿåòñÿ ñóììîé òðåõ Êîíôîðìíûõ òåîðèé ïîëÿ ñ öåíòðàëüíûìè çàðÿäàìè ðàâíûìè
cM , cGh = −26
è
cL = 1 + 6Q2 .
Äëÿ äîñòèæåíèÿ íåçàâèñèìîñòè ñòàòèñòè÷åñêîé ñóììû ñòðóíû çàäàâàåìîé
ôóíêöèîíàëüíûì èíòåãðàëîì (341), òåïåðü äîñòàòî÷íî ïîòðåáîâàòü çàíóëåíèå ïîëíîãî öåíòðàëüíîãî çàðÿäà òåîðèè
ctot = cM + cGh + cL = 0.
(366)
Ýòî ñîîòíîøåíèå, êîòîðîå ýêâèâàëåíòíî ôîðìóëå
r
Q=
25 − cM
,
6
âûðàæàåò êîíñòàíòó ñâÿçè Ëèóâèëëÿ
b
(367)
÷åðåç öåíòðàëüíûé çàðÿä êîíôîðì-
íîé ìàòåðèè.
Êðîìå ñòàòèñòè÷åñêîé ñóììû â Òåîðèè ñòðóí îáúåêòîì èçó÷åíèÿ ÿâëÿþòñÿ òàêæå êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè íàáëþäàåìûõ. Íàáëþäàåìûå èëè
ôèçè÷åñêèå ïîëÿ òàêæå äîëæíû áûòü èíâàðèàíòíûìè îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé Âåéëÿ. Ïðîñòåéøèå ôèçè÷åñêèå ïîëÿ îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì
îáðàçîì. Ïóñòü
ñ ðàçìåðíîñòüþ
Φ∆ íåêîòîðîå ïðèìàðíîå ïîëå èç ìàòåðèàëüíîãî ñåêòîðà
∆M . Ïðè êîíôîðìíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ ìåòðèêè ïîëå Φ∆
ïðåîáðàçóåòñÿ êàê
Ïðîèçâåäåíèå ïîëÿ
[Φ∆ ]eσ ĝ = e−∆M σ [Φ∆ ]ĝ .
Φ∆
è îäåâàþùåãî ýêñïîíåíöèàëüíîãî ïîëÿ
(368)
Va
èç ëè-
óâèëëåâñêîãî ñåêòîðà
Ua = Φ∆ Va ,
(369)
∆M + ∆(a) = 1,
(370)
ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ
46
êîòîðîå ðàâíîñèëüíî ôîðìóëå
∆M + a(Q − a) = 1,
(371)
è ïðè ðàñòÿæåíèè ìåòðèêè è ñîîòâåòñòâóþùåì ñäâèãå ïîëÿ
ϕ,
òðàíñôîð-
ìèðóåòñÿ ïî çàêîíó
Ua = Φ∆ Va → e−σ(x) Φ∆ Va ,
à íàáëþäàåìûå âèäà
Z
Oa =
(372)
√
Φ∆ Va gd2 x
(373)
îñòàþòñÿ èíâàðèàíòíûìè. Òàêèì îáðàçîì ìû ïðèõîäèì ê îïðåäåëåíèþ êîððåëÿöèîííûõ ôóíêöèé
hOa1 ...OaN i,
(374)
êîòîðûå íå ìåíÿþòñÿ ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ Âåéëÿ, ïîýòîìó íå çàâèñÿò îò
áýêãðàóíä ìåòðèêè
3.3
ĝ ,
òî åñòü ÿâëÿþòñÿ êîððåêòíî îïðåäåëåííûìè.
Ñïåêòð ãðàâèòàöèîííûõ ðàçìåðíîñòåé.
Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê ìàñøòàáíîé çàâèñèìîñòè êîððåëÿòîðà (374). Îí âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
Z
hOa1 ...OaN i =
√ 2
ĝd x
ab
[ĝ]
2bϕ
1
Dĝ ϕe− 4π [ĝ ∂a ϕ∂b ϕ+QR ϕ+4πµe ]
R
×
N Z
Y
d2 xi e2
P
i
ai ϕ(xi )
×
hΦ1 (x1 )...Φn (xN )iM ,
(375)
i=1
ãäå
Oai =
R
√
Φ∆i Vai ĝd2 x,
à
hΦ1 (x1 )...Φn (xN )iM
ÿâëÿåòñÿ N-òî÷å÷íîé êîð-
ðåëÿöèîííîé ôóíêöèåé ìàòåðèàëüíîé òåîðèè.
 ôîðìóëå (375) åñòü òîëüêî îäèí ðàçìåðíûé ïàðàìåòð ýòî êîñìîëîãè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ
µ
µ.
Ïîýòîìó çàâèñèìîñòü êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè îò
è ïðåäñòàâëÿåò åå ìàñøòàáíóþ çàâèñèìîñòü. Ïîñìîòðèì, êàê èçìåíÿåòñÿ
êîððåëÿòîð (375) ïðè ðàñòÿæåíèè
µ
µ → eρ µ,
ãäå
ρ
(376)
êîíñòàíòà. Î÷åâèäíî, ÷òîáû êîìïåíñèðîâàòü ðàñòÿæåíèå â êîñìîëî-
ãè÷åñêîì ÷ëåíå, íàì íåîáõîäèìî ñäåëàòü ñäâèã ïîëÿ
ϕ(x) → ϕ(x) −
ϕ(x)
ïî ôîðìóëå
ρ
.
2b
(377)
Òàê êàê ìåðà â ôóíêöèîíàëüíîì èíòåãðàëå (375) ëèíåéíà
ρ
Dĝ ϕ −
= Dĝ ϕ,
2b
èçìåíåíèå äåéñòâèÿ
SL [ϕ, ĝ] ïðè
(378)
òàêîì ñäâèãå ïðîèçîéäåò ëèøü èç-çà ÷ëåíà
ñ êðèâèçíîé. Ó÷èòûâàÿ òåîðåìó Ãàóññà- Áîííå
1
4π
Z
R[ĝ]
p
ĝd2 x = χE = 2 − 2h,
47
(379)
χE
ãäå
ýéëåðîâà õàðàêòåðèñòèêà, à
íåíèå ïîëåé
eρ µ
e2aϕ
h
êîëè÷åñòâî ðó÷åê, à òàêæå èçìå-
ïðè ñäâèãå (377), ïîëó÷èì ñâÿçü ìåæäó êîððåëÿòîðîì îò
è êîððåëÿòîðîì îò
µ
“
χ Q P
ρ E
i
2b −
hOa1 ...OaN i(eρ µ) = e
ai
b
”
hOa1 ...OaN i(µ).
Èç ýòîé ôîðìóëû ñëåäóåò, ÷òî ìàñøòàáíàÿ çàâèñèìîñòü
hOa1 ...OaN i
(380)
äàåòñÿ
âûðàæåíèåì
“
hOa1 ...Oan i(µ) = µ
ãäå
χE Q P ai
i b
2b −
”
F (a1 , ..., aN , b),
(381)
F (a1 , ..., aN , b) ôóíêöèÿ êîòîðàÿ óæå íå çàâèñèò îò µ. Êîýôôèöèåíòû
δi = −
ai
b
(382)
íàçûâàþòñÿ ãðàâèòàöèîííûìè ðàçìåðíîñòÿìè. Îíè îïèñûâàþò âêëàä îò
ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîëåé
Oai
ïðè ìàñøòàáíîì ïðåîáðàçîâàíèè. Âåëè÷èíà
Γstr = 2 −
Q
b
(383)
íàçûâàåòñÿ ñòðóííîé âîñïðèèì÷èâîñòüþ è ïîêàçûâàåò, êàê èçìåíÿåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ ñóììà ïðè ìàñøòàáíîì ïðåîáðàçîâàíèè.
Âûïîëíèì ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè ôèçè÷åñêèõ ïîëåé (374) ïî êîñìîëîãè÷åñêîé ïîñòîÿííîé
Z
hOa1 ...OaN i =
∞
hOa1 ...OaN iA e−µA dA.
(384)
0
Îáðàç Ëàïëàñà
hOa1 ...OaN iA
ÿâëÿåòñÿ êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåé îò ïîëåé,
çàäàâàåìîé ôóíêöèîíàëüíûì èíòåãðàëîì ïî ïîâåðõíîñòÿì ñ ôèêñèðîâàííîé ïëîùàäüþ
hOa1 ...OaN iA =
Z
Z
p
= hOa1 ...OaN iM e−S0 [ϕ,ĝ] δ A − e2bϕ(x) ĝd2 x Dĝ ϕ,
à
S0 [ϕ, ĝ]
äåéñòâèå Ëèóâèëëÿ (343) áåç ýêñïîíåíöèàëüíîãî ÷ëåíà
1
S0 [ϕ, ĝ] =
4π
Z
p
[ĝ ab ∂a ϕ∂b ϕ + QR[ĝ] ϕ] ĝd2 x.
Çàâèñèìîñòü êîððåëÿòîðà (385) îò ïëîùàäè ïîâåðõíîñòåé
ñòåïåííîé
hOa1 ...OaN iA ∼ A−
3.4
(385)
P N ai
χE Q
i=1 b
2b −1+
(386)
A, òàêæå ÿâëÿåòñÿ
.
(387)
Ìèíèìàëüíàÿ 2-ìåðíàÿ Ãðàâèòàöèÿ Ëèóâèëëÿ.
Âàðèàíò íåêðèòè÷åñêîé Òåîðèè Ñòðóí, â êîòîðîé êîíôîðìíàÿ ìàòåðèÿ îïèñûâàåòñÿ îäíîé èçìèíèìàëüíûõ ìîäåëåé, óïîìÿíóòûõ â êîíöå âòîðîé ëåêöèè, íàçûâàåòñÿ Ìèíèìàëüíîé òåîðèåé ñòðóí èëè Ìèíèìàëüíîé ãðàâèòàöèåé Ëèóâèëëÿ (MLG) [7, 9, 10].
48
Çíà÷åíèå öåíòðàëüíîãî çàðÿäà êîíôîðìíîé ìàòåðèè â ýòîì ñëó÷àå
q = β −1 − β.
cM = 1 − 6q 2 ,
(388)
Âûðàæåíèå æå äëÿ êîíôîðìíîé ðàçìåðíîñòè ïðèìàðíîãî ïîëÿ
Φmn
â Îáîá-
ùåííîé Ìèíèìàëüíîé Ìîäåëè óäîáíî çàïèñàòü â âèäå
∆M
mn = αmn (αmn − q),
ãäå
αmn =
(389)
(n − 1)β − (m − 1)β −1
.
2
(390)
Ïîýòîìó òðåáîâàíèå çàíóëåíèÿ ïîëíîãî öåíòðàëüíîãî çàðÿäà ñòðóíû
cL + cM = 26,
ãäå
cL = 1 + 6(b−1 + b)2 ,
(391)
ýêâèâàåëåíòíî ñîîòíîøåíèþ
β = b,
à óñëîâèå áàëàíñà ðàçìåðíîñòåé
(392)
∆M + ∆L = 1,
òî åñòü
∆mn + a(Q − a) = 1,
(393)
ýêâèâàëåíòíî
a = am,−n ,
ãäå
ak,l =
(1 − k)b−1 + (1 − l)b
.
2
(394)
Òàêèì îáðàçîì ôèçè÷åñêèå íàáëþäàåìûå â Ìèíèìàëüíîé òåîðèè ñòðóí
çàäàþòñÿ âûðàæåíèåì
Z
Omn =
Φmn (x)e2am,−n ϕ(x) d2 x.
(395)
Èç ôîðìóë (382) è (383) òîãäà ñëåäóåò, ÷òî ñòðóííàÿ âîñïðèèì÷èâîñòü â
MLG(b)
Γstr = 1 −
1
,
b2
à ñïåêòð ãðàâèòàöèîííûõ ðàçìåðíîñòåé èìååò âèä
δmn =
(396)
δmn =
a
− m,−n
èëè
b
(m − 1) −2 n + 1
b −
.
2
2
(397)
Çàìå÷àòåëüíî, ÷òî â òî âðåìÿ êàê Ìèíèìàëüíûå Ìîäåëè Êîíôîðìíîé
òåîðèè ïîëÿ îïèñûâàþò ðàçëè÷íûå òèïû êðèòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ íà ïëîñêîñòè, Ìèíèìàëüíûå Ìîäåëè ãðàâèòàöèè Ëèóâèëëÿ îïèñûâàþò êðèòè÷åñêîå ïîâåäåíèå òåõ æå ñàìûõ ñèñòåì íà ñëó÷àéíûõ ïîâåðõíîñòÿõ. Ýòîò ôàêò
ïîäòâåðæäåí ñðàâíåíèåì ñ êîððåëÿòîðàìè íàáëþäàåìûõ â Ìàòðè÷íûõ Ìîäåëÿõ [11], êîòîðûå â îïðåäåëåííîì ñìûñëå äàþò ýêñïåðèìåíòàëüíóþ ðåàëèçàöèþ òàêèõ ñèñòåì.
Áëàãîäàðíîñòè
Ìû áëàãîäàðíû Î.Àëåêñååâó, êîòîðûé ïðåäîñòàâèë íàì ñâîè êîíñïåêòû
ëåêöèé, ïðî÷èòàííûõ îäíèì èç àâòîðîâ â ÍÌÓ. Òàêæå ìû ïðèçíàòåëüíû
Â.Àëüáå è Ì.Áåðøòåéíó çà ìíîãî÷èñëåííûå ïîëåçíûå îáñóæäåíèÿ.
Ðàáîòà áûëà ïîääåðæàíà ãðàíòàìè RFBR 07-02-00799 è SS-3472.2008.2.
49
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1] A.Polyakov, "Quantum Geometry of Bosonic Strings Phys.Lett.B103:207210,(1981).
[2] À.Ïîëÿêîâ. Êàëèáðîâî÷íûå ïîëÿ è ñòðóíû, Èçäàòåëüñêèé äîì Óäìóðòñêèé óíèâåðñèòåò, 1999.
[3] A.Belavin, A.Polyakov, A.Zamolodchikov, Innite conformal simmetry in
two-dimensional quantum eld theory, Nucl.Phys. B241, 333-380, (1984)
[4] À.Á.Çàìîëîä÷èêîâ, Àë.Á.Çàìîëîä÷èêîâ. Êîíôîðìíàÿ òåîðèÿ ïîëÿ è 2
- ìåðíûå êðèòè÷åñêèå ÿâëåíèÿ, Ìîñêâà, èçäàòåëüñòâî ÌÖÍÌÎ, 2009.
[5] V. G. Knizhnik, A. M. Polyakov and A. B. Zamolodchikov, Fractal
structure of 2d-quantum gravity, Mod. Phys. Lett. A 3 (1988) 819.
[6] F.David,
"Conformal
Field
Theories
Coupled
to
2D
Gravity
in
the
Conformal Gauge Mod.Phys.Lett.A3:1651,1988 ;
J.Distler, H.Kawai, "Conformal Field Theory and 2D Quantum Gravity Or
Who's Afraid of Joseph Liouville?"Nucl.Phys.B321:509,(1989)
[7] P.H.Ginsparg and G.W.Moore, "Lectures on 2-D gravity and 2-D string
theory arXiv:hep-th/9304011 ;
P.Di Francesco, P.H.Ginsparg, J.Zinn-Justin, "2-D Gravity and random
matrices Phys.Rep.254:1-133,(1995), hep-th/9306153
[8] A.Zamolodchikov
and
Al.Zamolodchikov,
Structure
constants
and
conformal bootstrap in Liouville eld theory, Nucl.Phys., B477 (1966) 577605, hep-th/9506136
[9] Al.Zamolodchikov,
"Three-point
function
in
the
minimal
Liouville
gravity Theor.Math. Phys.142:183-196,(2005)
[10] A.Belavin, Al.Zamolodchikov, Moduli integrals, ground ring and fourpoint function in minimal Liouville gravity, Theor.Math.Phys.147:729754,(2006); hep-th/0510214, pages 16-46
[11] A.Belavin, A.Zamolodchikov, On Correlation Numbers in 2D Minimal
Gravity and Matrix Models, arXiv:0811.0450v1 [hep-th] (2008)
50