Alyokhin_epps2013.abstract.rus

СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ГРАФЕНОВЫХ ЛИСТОВ
В.В. Алёхин, Б.Д. Аннин, А.В. Бабичев, С.Н. Коробейников
Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирский государственный университет, 630090, Новосибирск, Россия
С момента открытия возможности существования графенов в устойчивом состоянии (2004 г.), эти наноструктуры активно используются в нанотехнологиях. Для оценки
эксплуатационных характеристик графеновых листов большое теоретическое и практическое значение имеет определение как собственных частот и форм колебаний, так и
критических сжимающих нагрузок и форм выпучивания этих листов. В настоящей работе для этих целей используется метод молекулярной механики (ММ) [1], который авторы
использовали в [2-5] для решения задач о собственных колебаниях, устойчивости и контакте углеродных нанотрубок.
В рамках уравнений наномеханики векторное уравнение движения наноструктуры
имеет следующий вид [1]:
MU  F(U)  R U(0)  U 0  U(0)  V0 
(1)
Здесь F , R — векторы внутренних и внешних сил ансамбля атомов наноструктуры соответственно; U , U 0 , V0 — векторы перемещений и заданных начальных перемещений
и скоростей атомов наноструктуры соответственно; M 0 — диагональная матрица
масс с массами атомов на главной диагонали; точка над величиной обозначает частную
производную этой величины по времени t .
Вектор внутренних сил предполагается потенциальным:
V (U)
F(U) 

(2)
U
где V (U) — потенциальная энергия внутренних сил наноструктуры.
В рамках метода ММ уравнения (1) решаются численно с использованием неявной
схемы интегрирования Ньюмарка. При пошаговом интегрировании уравнений (1) методом Ньюмарка требуется определение симметричной матрицы касательной жесткости
наноструктуры
F  2V (U)
(3)
K


U UU
Вектор F и матрица K находятся с помощью операции ассемблирования [6] из векторов
внутренних сил F e и матриц касательных жесткостей K e (1  e  M ) всех элементов
наноструктуры (общее число этих элементов равно M ):
M
F(U)  mA1 F m (U m ),
M
K (U)  mA1 K m (U m ).
(4)
Здесь Ue — вектор перемещений элемента наноструктуры.
В настоящей работе имеем дело с элементами графена, обладающими N -частичными потенциалами (элемент состоит из N атомов), где N пробегает значения 2, 3 и
4 в соответствии с полем потенциальных сил DREIDING [7, 8]. Для взаимодействия ковалентных сил между атомами используем четыре типа потенциальных энергий:
 энергия центральных сил взаимодействия атомов (потенциал Морзе) (N = 2)
(5)
Vb (r )  D[e2 ( r re )  2e ( r re ) ]
 В.В. Алёхин, Б.Д. Аннин, А.В. Бабичев, С.Н. Коробейников, 2013
1
где D — глубина потенциальной ямы, re — расстояние между атомами в атомной паре,
соответствующее минимальному значению потенциальной энергии центральных сил
взаимодействия атомов,  — заданный параметр, определяющий форму потенциала;
 энергия изменения угла между соседними связями (N = 3)
1
V (  0 )  k (cos   cos 0 ) 2 / sin 2 0 
(6)
2
где  0 ,  — начальное и конечное значения угла между соседними связями, k — заданная константа;
 энергия двугранного угла, отвечающего за кручение ковалентной связи (N = 4)
1
(7)
Vda ( )  kda (1  cos 2 )
2
где  — текущее значение двугранного угла, k da — заданная константа;
 энергия угла инверсии (угла, соответствующего выходу атома из плоскости относительно трех соседних атомов) (N = 4)
(8)
Via ( )  kia (1  cos )
где  — текущее значение угла инверсии, kia — заданная константа.
Для определения частот и форм собственных колебаний наноструктуры решаем
обобщенную задачу по определению собственных значений и собственных векторов
(0 K   M )Φ  0
(9)
где 0 K — матрица касательной жесткости, определенная в момент времени t  0 . Формы собственных колебаний определяются из вектора Φ . Частоты круговых колебаний
находятся по формуле     2 и измеряются в ТГц. Задачи динамического выпучивания графенового листа решались прямым численным интегрированием уравнений движения (1) с возмущающими силами, приложенными к некоторым атомам листа.
Задачи о собственных колебаниях и выпучивании графеновых листов решались пакетом PIONER [9], в библиотеку конечных элементов которого добавлены элементы
наноструктуры. Векторы внутренних сил и матрицы касательных жесткостей этих элементов определялись из выражений потенциальных энергий (5)-(8). В настоящих расчетах силы нековалентного взаимодействия (силы Ван-дер-Ваальса) атомов [3] не учитывались.
Мы используем следующие значения констант потенциалов (5)–(8) (ma – масса
атома углерода) для решения задач о собственных колебаниях и выпучивании графеновых листов
re  0142нм   2625нм1 D  0603105аДж k  0876аДж
kda  0174аДж kia  0278аДж ma  0019927 нН  пс2  нм1
Рассмотрим лист графена, состоящий из 464 атомов (геометрические параметры листа выбраны такими, чтобы он был близок к квадрату, размеры сторон листа в направлениях осей x и y равны 3,433 нм и 3,266 нм) (рис. 1,а). Число атомов и структура их расположения соответствует листу, рассмотренному в [10], однако размеры листа в [10] (3,233
нм и 3,183 нм) отличаются от наших размеров, по-видимому, вследствие того, что в [10]
использовано значение параметра re , отличное от нашего (значение этого параметра в
[10] не приведено). При решении задачи о собственных колебаниях листа атомы вдоль
всех его сторон закреплены (также как в [10]). Найдены восемь нижних частот и форм
собственных колебаний, которые приведены в таблице. Здесь же для сравнения приведе2
ны соответствующие значения, полученные в [10] для пяти нижних частот. Формы колебаний соответствуют набору полуволн по каждой из координат. В таблице числа полуволн по осям x и y обозначены через m и n соответственно. На рис. 1,б-г приведены формы собственных колебаний для следующих значений параметров m и n: (1,1); (2,2); (3,2).
Сравнивая наборы частот собственных колебаний и соответствующих им форм, видим,
что они достаточно близки, несмотря на то, что в [10] использовалось другое поле потенциальных сил (MM3).
Рис. 1. Структура графенового листа (а) и его формы собственных колебаний (б)-(г).
Частоты и формы собственных колебаний графенового листа
Gupta, Batra [10]
форма (m,n)
частота (ТГц)
(1,1)
0.259
(1,2)
0.623
(2,1)
0.656
(2,2)
1.006
(1,3)
1.222
―
―
―
―
―
―
Настоящая работа
форма (m,n)
частота (ТГц)
(1,1)
0.222
(2,1)
0.533
(1,2)
0.566
(2,2)
0.878
(3,1)
1.043
(1,3)
1.132
(3,2)
1.387
(2,3)
1.437
Получены также решения задач о динамическом деформировании и выпучивании
этого же графенового листа, но при других условиях закрепления атомов на границе.
Атомы, расположенные на сторонах, параллельных оси y, свободны. Атомы, расположенные на одной из сторон, параллельной оси x, закреплены, а на другой заданы перемещения с постоянными скоростями сжатия листа. Для вывода листа из плоскости деформирования (x,y) задавались возмущающие силы величиной 0,001 нН постоянной по
времени величины, направленные вдоль оси z. Эти силы прикладываются к шести атомам, расположенным приблизительно в середине листа. В первом варианте расчета заданная скорость движения атомов составляла 0.05 нм/пс. Расчет проводился с шагом интегрирования t =0.01 пс. Лист начал выпучиваться при значении перемещений атомов
0.105 нм с числом полуволн вдоль оси y, равным трем. Формы послекритических деформаций листа представлены на рис. 2. Видно, что при дальнейшем деформировании форма
листа соответствует переходу из трех в две полуволны и далее в одну полуволну.
3
Рис. 2. Послекритические деформированные конфигурации сжатого графенового листа при его
деформировании заданными движениями атомов на границе со скоростями 0.05 нм/пс.
Во втором варианте расчета заданная скорость движения атомов составляла 0.005
нм/пс, т.е. в 10 раз меньше, чем в первом варианте. Расчет проводился с шагом интегрирования t =0.05 пс. Лист начал выпучиваться при значении перемещений атомов 0.03125
нм с одной полуволной вдоль оси y. Формы послекритических деформаций листа представлены на рис. 3.
Рис. 3. Послекритические деформированные конфигурации сжатого графенового листа при его
деформировании заданными движениями атомов на границе со скоростями 0.005 нм/пс.
Из сравнения результатов расчетов по динамическому выпучиванию графенового
листа следует, что как критические значения перемещений, так и формы выпучивания,
4
существенно зависят от скорости заданных перемещений края листа. При меньшей скорости заданных перемещений форма выпучивания листа близка к классической эйлеровой форме выпучивания упругого стержня в условиях статического деформирования, а
при сравнительно высокой скорости заданных перемещений в начальной стадии послекритического деформирования реализуются формы выпучивания с высшими гармониками, характерными для динамического выпучивания упругого стержня.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных
исследований (код проекта 12-08-00707), программы Президиума РАН № 25.8 и Федеральной целевой программы (контракт № 14.740.11.0355).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Korobeynikov S.N. Nonlinear equations of deformation of atomic lattices // Arch. Mech. 2005. V. 57, P. 435-453.
Аннин Б.Д., Коробейников С.Н., Бабичев А.В. Компьютерное моделирование выпучивания нанотрубки
при кручении // СибЖИМ. 2008. Т. 11, № 1. С. 3-22.
3. Аннин Б.Д., Алёхин В.В., Бабичев А.В., Коробейников С.Н. Компьютерное моделирование контакта
нанотрубок // Изв. РАН. МТТ. 2010. № 3. С. 56-76.
4. Аннин Б.Д., Алёхин В.В., Бабичев А.В., Коробейников С.Н. Применение метода молекулярной механики
к задачам устойчивости и собственных колебаний однослойных углеродных нанотрубок // Изв. РАН. МТТ.
2012. № 5. С. 65-83.
5. Korobeynikov S.N., Alyokhin V.V., Annin B.D., Babichev A.V. Using stability analysis of discrete elastic systems to study the buckling of nanostructures // Arch. Mech. 2012. V. 64. No. 4. P. 367-404.
6. Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000.
7. Mayo S.L., Olafson B.D., Goddard III W.A. DREIDING: A generic force field for molecular simulations // J.
Phys. Chem. 1990. V. 94. P. 8897-8909.
8. Wackerfuss J. Molecular mechanics in the context of the finite element method // Int. J. Numer. Meth. Engng.
2009. V. 77., No. 7. P. 969-997.
9. Korobeinikov S.N., Agapov V.P., Bondarenko M.I., Soldatkin A.N. The general purpose nonlinear finite
element structural analysis program PIONER // Proc. Int. Conf. on Numerical Methods and Applications. Sofia:
Publ. House of the Bulgarian Acad. of Sci., 1989. P. 228-233.
10. Gupta S.S., Batra R.C. Elastic properties and frequencies of free vibrations of single-layer graphene sheets // J.
Computat. Theoret. Nanoscience. 2010. V. 7. P. 1-14.
1.
2.
5