Решение логарифмических неравенств Определение: Логарифмическими называются неравенства, которые содержат переменную под знаком логарифма или в его основании. При решении логарифмических неравенств нахождение области определения исходного неравенства не является обязательным, а часто даже нецелесообразным, поскольку условия, задающие область определения неравенства, обычно подключают к тому неравенству, которое является следствием заданного логарифмического неравенства. Рассмотрим основные методы решения логарифмических неравенств: По определения логарифма Простейшие логарифмические неравенства записывается следующим образом: log a f ( x) b ( log a f ( x) b ). Их можно решать следующими способами: 1) log a f ( x) log a a b ( log a f ( x) log a a b ). Теперь делаем выводы: 1. Если a>1, то f(x)> a b , решаем это неравенство. 2. Если 0<a<1, то f(x)< a b , решаем это неравенство. Аналогично поступаем при решении неравенства log a f ( x) b . При выписывании ответа не забываем, что a>0, а 1и f(x)>0 (!). 2) Схема сравнения логарифмических неравенств. logа x > b 0<a<1 0 < x < ab logа x < b a>1 Рис 1. x > ab 0<a<1 x > ab a>1 Рис 2. 0 < x < ab Задания. 1) Решить неравенство: log 3 x 2 . Решение: Данное неравенство решим по второму способу. 3>1 x> 3 2 x>9. Ответ: x (9;) . 2) Решить неравенство: log 0,5 x 2 . 1 2 Решение: Число 0,5 = . Данное неравенство решим по второму способу. 0 1 1 1 0 x ( ) 2 , т.е. 0<x<4. 2 2 Ответ: x (0;4) . 3) Решить неравенство: log 0.7 x 1. Решение: Данное неравенство решим по второму способу 0<0,7<1 x (0,7)1 , т.е. x>0,7. Ответ: x (0,7;) . 4) Решить неравенство: log 2,5 x 2 . Решение: Данное неравенство решим по второму способу 2,5>1 0 x (2,5) 2 , т.е. 0<x<6,25 или 0<x< 25 . 4 Ответ: x (0; 25 ). 4 5) Решить неравенство: log 4 ( x 2) 2 . Решение: Данное неравенство решим по первому способу: log 4 ( x 2) 2 log 4 ( x 2) log 4 16 4>1 0 x 2 16 , т.е. 2<x<18 Ответ: x (2;18) . 6) Решить неравенство: log 5 (3x 1) 2 . Решение: Данное неравенство решим по второму способу 5 1 3x 1 5 2 , т.е. x>8. Ответ: x (8;) . 7) log 1 (3 2 x) 1 . 3 Решение: 0 Данное неравенство решим по второму способу 1 3 3 3 1 0 3 2 x 3 x 0 , т.е. получаем 0 x .Ответ: x (0; ) . 3 2 2 2 Большинство неравенств я, решала по второму способу, потому что считаю, что этот способ легче и понятнее. Метод потенцирования Суть метода в следующем: с помощью формул неравенство привести к виду log a f ( x) log a g ( x) . Решение неравенств вида log a f ( x) log a g ( x) основано на том, что функция y log a x (a>0, а 1и x>0) является убывающей при 0<a<1 и возрастающей при a>1. Таким образом, справедливы следующие утверждения: f ( x) g ( x), 1) log a f ( x) log a g ( x) f ( x) 0, g ( x) 0; при a>1. f ( x) g ( x), 2) log a f ( x) log a g ( x) f ( x) 0, g ( x) 0; при 0<a<1. Решение нестрогих неравенств отличается от решения соответствующих строгих неравенств включением во множество всех решений множества корней соответствующих уравнений. Задания. 1) Решить неравенство: log 0,3 (2 x 4) log 0,3 ( x 1) . Решение: Так как 0<0,3<1, то решаем неравенство по второй системе: 2 x 4 x 1, x 5, log 0,3 (2 x 4) log 0,3 ( x 1) 2 x 4 0, x 2, 2 x 5 . x 1 0; x 1; -1 2 5 Ответ: x (2;5) . 2) Решить неравенство: log 0,5 (4 x 7) log 0,5 ( x 2) . Решение: Так как 0 0,5 1 , то решаем данное неравенство по аналогии второй системы, только знак первого неравенства системы меняем. 4 x 7 x 2, log 0,5 (4 x 7) log 0,5 ( x 2) 4 x 7 0, x (3;) . x 2 0; Ответ: x (3;) . 3) Решить неравенство: lg( 3x 7) lg( x 1) . Решение: Так как lg – логарифм по основанию 10 и 10>1,то данное неравенство решаем по аналогии первой системы, только знак первого неравенства системы меняем на противоположный. x 4, 3 x 7 x 1, 7 7 lg( 3 x 7) lg( x 1) 3 x 7 0, x , x ( ;4] . 3 3 x 1 0; x 1; 7/3 4 7 3 Ответ: x ( ;4] . Покажем, как используются логарифмические неравенства для решения задач на нахождение области определения функции или множества значений данной функции. Для нахождения области определения логарифмической функции y log a f ( x) необходимо выполняется условие найти множество значений при которых f ( x) 0 . Решение заданий с дополнительными требованиями «указать длину промежутка, на котором функция определена», «при каком целом значении х функция определена» сводится к двум этапам: I этап – находят все значения х, при которых f ( x) 0 ; II этап – делают выборку значений х из полученного промежутка согласно дополнительному требованию. 4) Укажите длину промежутка области определения функции: y log 0,5 ( x 1) . Решение: а) Найдем значения х, при которых x 1 0 , x (1;) . б) Найдем область определения функции: log 0,5 ( x 1) 0 . Перепишем полученное неравенство так: log 0,5 ( x 1) log 0,5 1 . Так как основание логарифма 0 0,5 1, то решаем по системе 2). x 1 1 x 2 x ;2 в) Пересекая полученные промежутки, получаем x 1;2 . Таким образом, длина промежутка области определения данной функции равна 1. Ответ: 1. При нахождении области значений функции y log a f ( x) необходимо, прежде всего, найти множество значений функции f (x) , а затем на основании свойства логарифмической функции y log a t указать область значений y log a f ( x) . Если в задании есть дополнительные требования, то решение будет состоять из трех этапов: I этап – находим область значений f (x) ; II этап – находим область значений y log a f ( x) ; III этап – выполняем дополнительные требования. 5) Указать наименьшее значение функции: y log 2 ( x 2 4 x 12) . Решение: а) Определим множество значений функции: x 2 4 x 12 0 . Выделив полный квадрат, получим: x 2 2 2 x 4 8 0 ( x 2) 8 0 . 2 Так как ( x 2) 2 0 для всех действительных х, то x 2 4 x 12 8 . б) Таким образом, поскольку x 2 4 x 12 8 , а log 2 t - возрастающая функция, то log 2 ( x 2 4 x 12) log 2 8 log 2 ( x 2 4 x 12) 3 . в) Область значений функции представляет собой луч 3; . г) Наименьшее значение на этом луче равно 3. Ответ: 3. 6) Решить неравенство: log 2 ( x 2 1) 0 . Решение: Для наглядности решения построим график функции log 2 t . t 1 4 1 2 y -2 -1 1 0 2 1 4 2 8 3 Из рисунка видно, что функция принимает положительные значения при t 1. Далее, учитывая область определения функции y log 2 t , получим: 2 x 1 0, x 2 0 x (;0) (0;) . 2 x 1 1; Ответ: x (;0) (0;) . Рассмотрим задачи на отыскание геометрических точек, координаты которых задаются неравенствами с использованием логарифмических функций. 7) Изобразить на плоскости (х;у) множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству log ( x y ) ( x y) 1. Решение: Данное неравенство равносильно совокупности двух систем: y x, 0 x y 1, y x 1, 1 ) x y 0 , 1 ) y x; x y x 1; . y 0 x y 1, y x 11, 2) x y x y; 2) y 0; Сделаем рисунки, отвечающие системам 1) и 2), (рис 1 – 2) . Рис 1. Рис 2. Ответ: Рис 3. Рис 3 При решении логарифмических неравенств, содержащих несколько различных функций под знаком логарифмов, рекомендуется сначала найти область определения исходного выражения, и лишь затем совершать преобразования, в ходе которых область определения может сужаться или расширяться. 8) Решить неравенство: ( x 2 4 x 3 1) log 5 x 1 ( 8 x 2 x 2 6 1) 0 . 5 x Решение: Ключевым моментом в решении данного неравенства является поиск его области определения. x 2 4 x 3 0, x 0, x 1; x 3, x 3, x 0, x 1, x 0, x 1 1 x 3; x 3; 2 8 x 2 x 6 0; Выяснили, что область определения неравенства состоит только из двух точек. Осталось подстановкой выяснить, какие из этих точек удовлетворяют неравенству. При x 1логарифмическое неравенство принимает вид: 1 log 5 1 0 0 - истинно. 5 При x3 логарифмическое неравенство принимает вид: 1 log 5 3 3 1 3 1 3 1 - ложно. 0 log 5 5 3 3 5 3 5 3 5 5 5 Ответ: x 1. 9) Решить неравенство: log 2 ( x 2) x 1 . Решение: Функция f ( x) log 2 ( x 2) x монотонно возрастает при x 2 , как сумма двух монотонно возрастающих функций, кроме того f (0) 1 . Поэтому f ( x) 1 x 0 . Ответ: x (0;) . Метод подстановки Ищем в неравенстве некоторое повторяющееся выражение, которое обозначим новой переменной, тем самым, упрощая вид неравенства. В некоторых случаях, очевидно что удобно обозначить. Задания. 1) Решить неравенство: log 02,5 x log 0,5 x 2 0 . Решение: Сразу отметим, что x>0 . t 2, t 1. Заменяем log 0,5 x t . Тогда имеем t 2 t 2 0 , (t+2)(t-1) 0 , т.е. . Так как log 0,5 x t и 0 0,5 1 , то имеем: log 0,5 x log 0,5 0,5 2 , x 4, log 0,5 x 2, 1 log 0,5 x log 0,5 0,5; log 0,5 x 1; x 2 1 2 С учетом ОДЗ (x>0), получаем [ ;4] . 1 2 Ответ: x [ ;4] . 2) Решить неравенство: lg 2 x 2 lg x 3 . Решение: Заменяем lg x = t . Тогда получим: t 2 2t 3 0 (t 3)(t 1) 0 . + - + -3 t 3, t 1; 1 1 x , lg x 3, 1000 lg x 1; x 10. С учетом ОДЗ (x>0), получаем (0; 1 ) (10;) . 1000 Ответ: (0; 1 ) (10;) . 1000 3) Решить неравенство: 25log x x log x 30 . 2 5 5 Решение: Заменяем log 5 x t , x 5t . Тогда x log x (5t ) t 5t ;25log x (52 ) t (5t ) 2 . 2 5 2 5 2 2 Введем новое обозначение: 5t y, y 1 , так как t 2 0 , значит 5t 1 . 2 2 В итоге имеем: y 2 y 30 0 ( y 5)( y 6) 0 . + - + -6 5 y [6;5] . Так как y 1 , то y [1;5] . y 5t , значит 1 5t 5, 0 t 2 1, 0 t 1, 1 t 1. 2 2 Далее учитывая равенство log 5 x t , получим 1 log 5 x 1; 0,2 x 5 . Ответ: x [0,2;5] . Обычно замену (подстановку) производят преобразований данного неравенства. 4) Решить неравенство: 2 log 3 log 3 x log 1 log 3 (93 x ) 1. 3 Решение: Неравенство равносильно системе: после некоторых x 0, x 1, x 0 , x 1, log x 0, 3 9 x 1, 3 log 32 x 3. 3 log 3 (9 x ) 0, 2 1 log x log 32 x 3 log 3 3; 2 log log x log log (93 x ) 1; log 3 3 1 3 3 3 3 2 log 3 x 3 Заменяем log 3 x t >0, получим неравенство: t2 2 t 3 3 t 3 6 t t 2 t 6 0 (t 2)(t 3) 0 . + - + -2 t ;2 3; . 3 Вернемся к замене. Так как t>0, то рассматриваем только положительные значения: x 1, x 1, x 27 . log 3 x 3; x 27; Ответ: x (27;) . 5) Решить неравенство: x 2log 2 2 x log2 x 2 1 . x Решение: Отметим, что x>0. Неравенство запишем в виде: x 2log2 x log2 x x 1 . 2 2 1. Если 0 x 1 , то 2 log 22 x 2 log 2 x 1 log 22 x 2 log 2 x 3 0 . Заменяем log 2 x t . Тогда имеем t 2 2t 3 0 (t 3)(t 1) 0 . + -3 + 1 Так как log 2 x t , то имеем: x 2, log 2 x 1, 1 log x 3; x . 2 8 0 1 1 8 2 В первом случае получили: x (0; 1 ). 8 2. Если x>1, то 2 log 22 x 2 log 2 x 1. Заменяем log 2 x t . Тогда имеем: t 2 2t 3 0 (t 3)(t 1) 0 . + -3 + 1 x 2, log 2 x 1 Так как log 2 x t , то 1 log x 3 ; 2 x 8. 1 1 8 2 Во втором случае получили: x (1;2). Ответ: x (0; 1 ) (1;2) . 8 Метод приведения к одному основанию Обычно условие примера подсказывает, к какому основанию следует перейти. Как правило, метод приведения к одному основанию «работает» с методом подстановки. Задания. 1) Решить неравенство: log 4 (3 x 1) log 1 4 3x 1 3 . 16 4 Решение: Обозначим 3 x 1 y , тогда данное неравенство примет вид: y 3 . 16 4 4 log 4 y log 1 Приведем логарифмы к одному основанию: log 4 y (2 log 4 y ) 3 3 2 log 4 y log 24 y . 4 4 Заменяем log 4 y t . 3 4 3 2 1 2 Тогда имеем t 2 2t 0 (t )(t ) 0 . + 1 2 + 3 2 1 3 t (; ] [ ;) . 2 2 1. Так как t log 4 y , то имеем log 4 y 1 log 4 y log 4 2 , 2 Поскольку основание логарифма больше 1, то данное неравенство равносильно системе двух неравенств: y 0, 0 y 2. y 2; 3 2 y 0, y 8. y 8; 2. log 4 y log 4 y log 4 8 Так как y 3 x 1 , то имеем совокупность двух показательных неравенств: 0 3 x 1 2, 1 3 x 3, 0 x 1, x x x 2. 3 1 8; 3 9; Ответ: x (0;1] [2;) . 2) Решить неравенство: log 5 3x 4 log x 5 1. Решение: x 0, x 1. ОДЗ: Приведем логарифмы к одному основанию: log 5 3 x 4 1. log 5 x Домножим обе части неравенства на log 5 x 0 x 1 . Рассмотрим два случая: 1) log 5 x 0, 2) log 5 x 0. Решим первый случай, когда log 5 x 0 x 1 . log 5 3x 4 log 5 x (*) (Знак неравенства не меняется, т.к. log 5 x 0 ). Основание логарифма больше 1, значит неравенство (*) равносильно системе неравенств: x 1, x 1, 3x 4 x; ( x 1)( x 4) 0. + - + -1 x (1;4) . 4 -1 1 4 x (1;4) . В первом случае получаем: x (1;4) . Теперь рассмотрим второй случай, когда log 5 x 0 log 5 3x 4 log 5 x (**) (Знак неравенства изменился на противоположный). Неравенство (**) равносильно системе неравенств x 0, 0 x 1, x 1, ( x 1)( x 4) 0. 3x 4 x; -1 0 1 4 Как мы видим решение второго случая . Во втором случае получили: x . Ответ: x (1;4) . 3) Решить неравенство: 1 log 9 x log 3 5 x log 1 ( x 3) . 2 3 Решение: x 3 0, x 0. x 0; ОДЗ: Все слагаемые приведем к одному основанию: 1 log 9 9 2 log 9 x log 9 25 x 2 log 9 ( x 3) 2 log 9 3 log 9 x log 9 25 x 2 log 9 ( x 3) 2 0 . Воспользуемся свойствами логарифма и получим: log 9 3x( x 3) 2 3x( x 3) 2 log 1 1. , т.к. , то 9 1 9 25 x 2 25 x 2 3x 2 7 x 27 0 , 3x 2 7 x 27 0 D<0, числитель дроби всегда >0, значит и 25 x знаменатель должен быть >0. Ответ: x (0;) . 4) Решить неравенство: 0,4log 2 2 x 1 6,252log2 x . 3 Решение: Приведем обе части неравенства к одному основанию 2 5 log22 x 1 2 5 2 log2 x 3 4 . 2 5 Так как основание степени 0 1 , то имеем: log 22 x 1 2 log 2 x 3 4 . Функция f ( x) log 2 x определена при x 0. Заменяем log 2 x t . Тогда имеем: t 2 6t 5 0 (t 5)(t 1) 0 . + 1 + t (;1) (5;) . 5 Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств: log 2 x 1, log 2 x log 2 2, log x 5; log x log 32. 2 2 2 Так как основание логарифма больше 1, то: x 0, x 2, 0 x 2, x 32. x 0, x 32; Ответ: x (0;2) (32;) . Метод логарифмирования При решении неравенств вида f ( x) ( x ) g ( x) h ( x ) обычно следуют следующей схеме: 1. Находят ОДЗ неравенства, исходя из того, что на ОДЗ функции f(x) и g(x) определены и положительны. 2. Логарифмируют равносильным ему неравенство, на ОДЗ при т.е. a заменяют > a 1 0, неравенство неравенством ( x) log a f ( x) h( x) log a g ( x) . 3. Решают полученное неравенство. Его решения и будут решениями исходного неравенства. Задания. 2 0,5 1) Решить неравенство: 2 log Решение: Заметим, что 2 log02 , 5 x x 2 log0 , 5 x log21 x 2 2 0,5 Пусть x log x y, y 0 . Так как 2 log 2 x В итоге получим неравенство: y 2,5 . 2 log2 ( 2 ) 1 x 2 log2 x (2 log2 x ) log2 x x log2 x . 2 x log2 x y , то x log ( 2 ) 1 x x log2 x 1 x log2 x 1 . y 1 5 . y 2 1 y , 5 Домножим обе части неравенства на y 0 . Получим: y y 1 0 2 2 y 2; 2 log2 x 1 x , 2 log x 2 2. x Теперь прологарифмируем полученные неравенства. log 2 x log 2 x log 2 2, log x log x log 2; 2 2 2 log 22 x 1, 2 log 2 x 1. Первое неравенство невозможно, т.к. квадрат числа не может быть отрицательным. Поэтому решаем второе неравенство: 1 x 2 , 1 1 0 x , log 2 x 1, log 2 x log 2 , x 0; 2 log 2 x 1 2 2 log 2 x 1; x 2. log 2 x log 2 2; x 2, x 0; 0 ½ 2 1 2 Ответ: x (0; ) (2;) . 2) Решить неравенство: 9 log x 2 x log 9 3x 2 log 3 . 6 6 x Решение: По формуле a log b b log a : 9 log x = x log 9 . c c 6 6 Тогда имеем: x log 9 + 2 x log 9 3x 2 log 3 3x log 9 3x 2 log 3 x log 9 x 2 log 3 . 6 6 x 6 x 6 x Теперь логарифмируем по основанию х полученные неравенства: log x x log6 9 log x x 2 logx 3 log 6 9 2 log x 3 . Воспользуемся формулой перехода к логарифму по основанию 6. log 6 9 2 log 6 3 (*), обе части умножим на log 6 x 0 . log 6 x (*) в левой части неравенства стоит число >0, значит и правая часть должен быть >0, т.к. log 6 3 0 , то и log 6 x 0 ( x 1;) . log 6 x log 6 9 2 log 6 3 log 6 x log 6 9 log 6 9 log 6 x 1 x 6 . Учитывая ОДЗ ( x 0) и ограничение x 1; , получаем x (1;6) . Ответ: x (1;6) . 3) Решить неравенство: x 0,5 log 0,5 x 3 0,5 3 2 , 5 log0 , 5 x . Решение: ОДЗ: x 0 . Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 0,5. log 0 ,5 x 0,5 log0 , 5 x 3 log 0 ,5 0,5 3 2 , 5 log0 , 5 x (0,5 log 0,5 x 3) log 0,5 x 3 2,5 log 0,5 x 0,5 log 02,5 x 0,5 log 0,5 x 3 0 . Заменяем log 0,5 x =t. Тогда имеем: 0,5t 2 0,5t 3 0 (t 3)(t 2) 0 . + -2 + 3 t 2, t 3. Поскольку log 0,5 x =t, то получаем: x 4, log 0,5 x 2, x 1 . log 0,5 x 3; 8 Учитывая ОДЗ ( x 0) , получаем x ;4 . 8 1 Ответ: x ;4 . 8 1 Рассмотрим несколько более сложных примеров, в которых x участвует и в основании и в подлогарифмическом выражении. 3 4) Решить неравенство: log x (2 x ) 2 . 4 Решение: Согласно способу (II) (схема сравнения логарифмических неравенств), заменим данное неравенство равносильной совокупностью: 0 x 1, 0 x 1, 1) 1) 3 2 1 x 3 ; 2x x 2 2 4 1 2 x 1, x 1, x 1, x 3 ; 3 3 2 2) x , 2)2 x 0, 4 8 3 1 3 2 2 x x ; x ; x 4 2 2 1 2 3 2 Ответ: x ( ;1) ( ;) . 5) Решить неравенство: log x1 0,5 0,5 . Решение: Так как log x1 0,5 0 , то 0 x 1 1 , то данное неравенство равносильно системе: x 1, 1 x 1 1, log x 1 0,5 log x 1 x 1 0 ,. 5 x 1, 0 x 2, 0,5 x 1 . 0 x 1, Так как x 1, то 0,25 x 1. Это утверждение можно переписать так: 0 x 1, 0 x 1, 0,25 1 x, x 0,75, 0 x 0,75, 1 x 2, 1 x 2, 1,25 x 2. 0,25 x 1; x 1,25; 0 0,75 1,25 2 Ответ: x 0;0,75 1,25;2. 6) Решить неравенство: log 1 log 2 log x 1 9 0 . 2 Решение: Неравенство имеет смысл, если log x1 9 0 , где х-1>0, то есть x>1 и x 2 (*). Из данного неравенства следует: 0 log 2 log x1 9 1 1 log x1 9 2 x 1 9 x 1 . 2 Решаем систему: x 1 9, x 1 9, x 1 3, (**) 2 x 1 9; x 1 3. x 10, 4 x 10 - это удовлетворяет условию (*). x 1 3 Так как x>1, то (**) Ответ: x 4;10. Решение логарифмических неравенств с параметрами Задания. 1) Найти все значения а, при каждом из которых неравенство log a ( x 2 4) 1 выполняется для всех х. Решение: Данное неравенство равносильно совокупности двух систем: 0 a 1, 1) 2 x 4 a; Система 1) не может выполняться ни при одном х (так a 1, 2) x 2 4 a. как: x 2 4 4 ), поэтому данную x 2 4 4 совокупность можно переписать так: 1), 2)a 1, x 2 a 4. Следовательно полученная совокупность равносильна системе: a 1, a 4, x R. Ответ: a (1;4) . 2) Решить неравенство log a 35 x 3 3 при а>1. log a 5 x Решение: Здесь должны быть выполнены условия: x 3 35 , 35 x 3 0, x 5, x 3 35. 5 x 0, log 5 x 0; 5 x 1; a Так как 3< 3 35 4 , то 5-x>1. Теперь воспользуемся log b x и в левой части данного неравенства log a x log b a формулой log a 35 x 3 получим: = log a 5 x log 5 x 35 x 3 . Таким образом, нужно решить неравенство: log 5 x 35 x 3 3 при условии 5-х>1, т.е. x<4. log 5 x 35 x 3 log 5 x 5 x 35 x 3 (5 x) 3 ( x 2)( x 3) 0 . 3 + - + x (2;3) . 2 3 2 3 3 35 Ответ: x (2;3) . 3) Решить неравенство: x log a x4 a 4 x , (0<a<1). Решение: ОДЗ: x 0 . Прологарифмируем обе части неравенства по основанию а. (log a x 4) log a x log a a 4 x log 2a x 4 log a x log a a 4 log a x log 2a x 3 log a x 4 0 . Заменяем log a x t . Тогда имеем: t 2 3t 4 0 (t 1)(t 4) 0 . + -4 + 1 4 t 1 Так как log a x t , то имеем: 1 log a x 4, log a x log a 4 , a log a x 1; log a x log a a. Так как по условии 0<a<1, то знак неравенств меняется на противоположный. 1 1 x 4 a , Поскольку 0<a<1, то 0<a< 4 . a x a. 0 a 1 a4 Ответ: x (a; 1 ). a4