Логарифмические уравнения. Логарифмическим уравнением

advertisement
Логарифмические уравнения и неравенства.
Используемая литература:
1. Алгебра и начала анализа 10-11 под редакцией А.Н.Колмогорова
2. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 10-11 под
редакцией Е.П.Ершова
3. Алгебраический тренажер, авторы А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский
Пояснительная записка для родителей.
1. Для освоения этой темы ваш ребенок должен хорошо знать
определения и свойства логарифма числа.
2. Разобрать параграф 10 пункт 37 учебника и выполнить следующие
номера №477; 479; 481; 483; 485; 488; 489; 492; 495; 496.
3. Изучить определение и свойства логарифмической функции
(параграф 10, п. 38), разобрать предложенные задания учебника и
выполнить следующие номера №499; 500; 502; 505; 506. И только
потом приступать к решению логарифмических уравнений и
неравенств от простых к более сложным.
4. Разобрать все предложенные задания к параграфу 10, п.39 и
выполнить номера №513; 514; 515; 518; 519; 522; 523; 516; 517; 525528.
Пояснительная записка для учащихся.
1. Знать определения логарифма числа
2. Знать основные свойства логарифма числа и уметь применять
эти свойства при преобразовании логарифмических выражений.
3. Знать определение и свойства логарифмической функции.
4. Решать алгебраические, тригонометрические, показательные
уравнения и неравенства, методы, решения которых изучались
ранее в программе 6 – 10 классов.
Теоретический материал.
Логарифмическая функция.
Пусть а — положительное число, не равное 1.
Определение. Функцию, заданную формулой
(1)
y =logax,
называют логарифмической функцией с основанием а.
Перечислим основные свойства логарифмической функции.
1. Область определения логарифмической функции — множество всех положительных
чисел R+, т. е. D(loga)=R+.Действительно, как отмечалось в предыдущем пункте, каждое
положительное число х имеет логарифм по основанию а.
2. Область значений логарифмической функции — множество всех действительных
чисел. В самом деле, по определению логарифма любого действительного у справедливо
равенство
loga(ay) = y (2)
т. е. функция y= logax принимает значение у0 в точке x0=a у0
3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при а>1) или
убывает (при 0<а<1).
Докажем, например, что при а>1 функция возрастает (в случае 0<а<1 проводится аналогичное
рассуждение).
Пусть x1 и x2 — произвольные положительные числа и x2>x1. Надо доказать, что loga x2>loga x1.
Допустим противное, т. е. что
loga x2≤loga x1 (3)
Так как показательная функция у=ах при а>1 возрастает, из неравенства (3) следует:
aloga x2≤aloga x1. (4)
Но aloga x2=x2, aloga x1=x1 (по определению логарифма), т. е. неравенство (4) означает, что x2≤
x1. Это противоречит допущению x2 > x1.
Для построения графика заметим, что значение 0 логарифмическая функция принимает в точке
1; loga 1 =0 при любом а>0, так как а0 = 1.
Вследствие возрастания функции при а>1 получаем, что при х>1 логарифмическая функция
принимает положительные значения, а при 0<a<1—отрицательные.
Если 0<а<1, то y=logax убывает на R+, поэтому loga x>0 при 0<x<1 и logax<0 при х>1.
Опираясь на доказанные свойства, нетрудно построить график функции y = loga х при а>1 (рис.
1, а) и0<а<1 (рис. 1,6).
Справедливо следующее утверждение:
Графики показательной и логарифмической функций, имеющих одинаковое основание,
симметричны относительно прямой у = х (рис. 2).
Логарифмические уравнения.
Логарифмическим уравнением называют уравнение, в котором
неизвестная входит только в аргументы логарифмических функций при
некоторых постоянных основаниях.
Пример 1.
а) уравнение log 3 ( 2 + 2) + 2 log 5 ( 3 + 1) = 7 – логарифмическое.
б) уравнение log 3 ( 2 + 2) +  log 5 ( 3 + 1) = 7 – не является
логарифмическим.
Так как логарифмическая функция log   монотонна и ее область
значений (−∞; +∞), то простейшее логарифмическое уравнение log   =
 имеет единственный корень. Именно к виду   =  надо приводить
более сложные уравнения. Типы и способы решения логарифмических
уравнений схожи с показательными уравнениями.
1. Простейшие уравнения.
  (  −  − )= −



log
2
1 (2
Решение
1
− 2 − 1) = −
9
Пояснения
По определению логарифма получаем
уравнение
Получаем квадратное уравнение
2
1
1 −2
2
2 − 2 − 1 = ( )
9
2 2 − 2 − 1 = 3
 2 − -2=0
1 = −1 и 2 = 2
Преобразуем его
Корнями этого уравнения являются
Эти числа, также являются
решениями данного логарифмического
уравнения.
Ответ: -1; 2.

2.   (   ( −   )) = −




Решение:
Используя определение логарифма, получаем:
1
1
log 3 (2 − log 1 ) = 25−2
5
2
1
1
log 3 (2 − log 1 ) =
5
5
2
log 3 (2 − log 1 ) = 1
2
Вновь используем определение логарифма. Имеем:
2 − log 1  = 31
2
2 − log 1  = 3
2
log 1  = −1
2
Еще раз, применяя определение логарифма, находим
1 −1
=( )
2
 = 2.
Ответ: 2.
Особенностью логарифмических уравнений (в отличие от показательных)
является появление посторонних решений. Это связано с расширением
ОДЗ уравнения в ходе его преобразований. Поэтому полученные корни
необходимо проверять подстановкой или следить за изменением ОДЗ.
3.   ( − ) =   ( − )
Решение:
ОДЗ данного уравнения задается неравенствами
2
{ − 4 > 0
4 − 7 > 0
Решая эту систему неравенств, получаем:
 ∈ (−∞; −2) ∪ (2; ∞)
{
, откуда
7
 ∈ ( ; ∞)
4
 ∈ (2; ∞)
Так как в данном уравнении равны логарифмы двух величин, то равны
и сами величины. Получим квадратное уравнение:
 2 − 4 = 4 − 7
 2 − 4 + 3 = 0.
Очевидно, что ОДЗ этого уравнения  ∈ (−∞; ∞)
Т.е. произошло расширение ОДЗ по сравнению с первоначальным
уравнением.
Корни квадратного уравнения:
1 = 1 и 2 = 3
Однако в ОДЗ исходного уравнения попадает только число
X=3,
Которое и является его решением.
(Корень x=1 является посторонним и возник при расширении ОДЗ).
Ответ: 3.
Во многих случаях при решении логарифмического уравнения его
необходимо преобразовать, используя основные свойства
логарифмов.
4.    ( − ) −   ( −  +


)=
Решение:
ОДЗ уравнения определяется условиями
−2>0
28
{ 2
 − 4 +
>0
9
Решая эту систему неравенств имеем
 ∈ (2; ∞)
Сведем данное уравнение к простейшему.
28
log 3 ( − 2)2 − log 3 ( 2 − 4 + ) = 2
9
( − 2)2
log 3
=2
28
2
 − 4 +
9
2
( − 2)
= 32
28
 2 − 4 +
9
2
( − 2)
=9
28
2
 − 4 +
9
2
 − 4 + 3 = 0
Корни этого квадратного уравнения:
1 = 1 и 2 = 3
В ОДЗ данного уравнения входит только решение
X=3.
Ответ: 3.

5.   √ −  +   ( − ) = 

Решение:
ОДЗ уравнения задается условиями
−2>0
откуда
{
 − 11 > 0
 ∈ (11; ∞)
Запишем уравнение в виде:
1
1
log 6 ( − 2) + log 6 ( − 11) = 1
2
2
(
log 6 − 2) + log 6 ( − 11) = 2
log 6 ( 2 − 13 + 22) = 2
По определению логарифма получаем квадратное уравнение:
 2 − 13 + 22 = 36
 2 − 13 − 14 = 0
Корни этого уравнения:
1 = 14 и 2 = −1
2 = −1 не входит в ОДЗ
Ответ: 14.
Одним из распространенных преобразований является переход к
новому основанию в логарифмах.
6.    +    +    = , 
Решение:
В логарифмах перейдем к новому основанию:
log 2  log 2 
+
= 5,5
log 2 4 log 2 8
1
1
log 2  + log 2  + log 2  = 5,5
2
3
Чтобы избавиться от дробных множителей, умножим все члены
уравнения на число 6:
6 log 2  + 3 log 2  + 2 log 2  = 33
11 log 2  = 33
log 2  = 3
 = 23
=8
Ответ: 8.
log 2  +
7. log 2  + log 5  =
1
5
Перейдем в логарифмах к основанию 5 и получим:
log5 
log5 2
+ log 5 =log 5 10
log 5  ∙ (1 + log 5 2) = log 5 10 ∙ log 5 2
log 5  ∙ (log 5 5 + log 5 2) = log 5 10 ∙ log 5 2
log 5  ∙ log 5 10 = log 5 10 ∙ log 5 2
Так как log 5 10 ≠ 0, то, разделив обе части уравнения на эту величину,
имеем:
log 5  = log 5 2, откуда
=2
Ответ: 2.
Уравнения, решаемые разложением на множители.
8. √ −  ∙   ( − ) +  =   ( − ) + √ − 
Решение:
Перенесем все члены уравнения в левую часть, сгруппируем их и
разложим эту часть на множители. Получаем:
√ − 1 ∙ log 2 (3 2 − 5) + 2 − log 2 (3 2 − 5) − 2√ − 1 = 0
(√ − 1 ∙ log 2 (3 2 − 5) − log 2 (3 2 − 5)) + (2 − 2√ − 1) = 0
log 2 (3 2 − 5) ∙ (√ − 1 − 1) − 2(√ − 1 − 1) = 0
(log 2 (3 2 − 5) − 2) ∙ (√ − 1 − 1) = 0
Произведение множителей равно нулю, если один из множителей
равен нулю, а остальные множители имеют смысл.
log (3 2 − 5) − 2 = 0
√ − 1 − 1 = 0
{ 2
−1≥0
log 2 (3 2 − 5) = 2
√ − 1 = 1
{
≥1
2
−1=1
{3 − 5 = 4
≥1
2
 = 2,
{ = 3
≥1
для этого значения x первый
множитель определен.
1 = √3
{ = −√3(не подходит)
2
≥1
 = √3
Ответ: √3 ; 2.
Уравнения, решаемые с помощью замены неизвестной.
Этот способ широко используется при решении любых типов
уравнений.
9.  ( − ) +   ( − ) −  = 
Решение:
Сделаем замену  = log 2 (2 − 1).
Тогда получаем квадратное уравнение
2 +  − 2 = 0
Заметим, что ОДЗ исходного уравнения устанавливать нет
необходимости, так как если уравнение  2 +  − 2 = 0 имеет решения
(его корни 1 = −2, 2 = 1), то это означает, что
log 2 (2 − 1) существует, т.е. 2 − 1 > 0.
Таким образом, приходим к совокупности уравнений
log 2 (2 − 1) = −2
log 2 (2 − 1) = 1
2 − 1 = 2−2
2 − 1 = 21
2 − 1 =
1
4
2 − 1 = 2
Отсюда
=
=
5
8
3
2
5 3
Ответ: ;
8 2
10. √ , ( − ) +  + √ ,( − ) +  = 
Решение:
Установить ОДЗ этого уравнения достаточно трудно, так как
пришлось бы решать логарифмические неравенства, поэтому
отметим пока, что x>1.
Перейдем в первом логарифме к основанию 0,2:
log 0,2 (x − 1) 1
log 0,04 (x − 1) =
= log 0,2 (x − 1)
log 0,2 0,04
2
Введем замену  =  , ( − )
Тогда уравнение имеет вид:

√ + 1 + √ + 3 = 1
2
Определим ОДЗ этого уравнения из условий

+1≥0
{2
+3≥0
 ∈ [−2; +∞)
Решим это уравнение, перенеся один из радикалов в правую часть
уравнения

√ + 1 = 1 − √ + 3
2
Возведем обе части уравнения в квадрат

+ 1 = 1 − 2√ + 3 +  + 3
2
Тогда
4 √ + 3 =  + 6
Еще раз, возведя в квадрат, получим
16 + 48 =  2 + 12 + 36
 2 − 4 − 12 = 0
Корни этого уравнения
 = −,  =  входят в ОДЗ исходного
уравнения.
Однако проверка показывает, что  =  исходному уравнению не
удовлетворяет.
подставив в уравнение значение  = 6, имеем
(
6
√ + 1 + √6 + 3 ≠ 1
2
)
Итак, получаем простейшее логарифмическое уравнение:
log 0,2 ( − 1) = −2,
Откуда
 − 1 = 0,2−2
 − 1 = 25
 = 26
Ответ: 26.
В случае однородных уравнений приходится вводить две новые
переменные.
11.  ( − ) =    ( − ) ∙   ( − ) −  ( − )
Решение:
ОДЗ уравнения задается условиями
10 − 3 > 0
, откуда
{
4− >0
10
<
3
Введем две новые переменные
 = log 2 (10 − 3) и  = log 2 (4 − )
И получим однородное уравнение:
2 = 3 − 2 2
2 − 3 + 2 2 = 0
Решим это квадратное уравнение относительно a:
2 − 3 + 2 2 = 0
 = (−3)2 − 4 ∙ 1 ∙ (22 )
 = 2
1 = 
2 = 2
Вернемся к старой переменной. Получаем два уравнения:
log 2 (10 − 3) = log 2 (4 − )
10-3x=4-x
X=3 (входит в ОДЗ)
log 2 (10 − 3) = 2 log 2 (4 − )
log 2 (10 − 3) = log 2 (4 − )2
10 − 3 = (4 − )2
 2 − 5 + 6 = 0
1 = 3 и 2 = 2 (оба корня входят в
ОДЗ)
Ответ: 3; 2.
Уравнения, решаемые с помощью их специфики.
Встречаются задачи, решение которых основано на свойствах входящих в
них функций.
12.    +    =   
Решение:
Рассмотрим функции
1 = log 3  + log  3
и
2 = 2 cos 4
И найдем их области значений.
−1 ≤ cos 4 ≤ 1
Представим первую функцию
в виде
1
−2 ≤ 2 cos 4 ≤ 2
1 = log 3  +
log 3 
Предположим, что    > 0, Поэтому область значений второй
и используем неравенство
функции
(2 ) = [−2; 2]
между средним
Поэтому рассмотрим два случая:
арифметическим и средним
геометрическим. Получим:
1
1
(log 3  + log ) ≥
2
3
1
√log 3  ∙ log =1
3
log 3  +
1
log3 
≥ 2, т.е.
=3
{
2 = 2 cos 4
=3
{
1 = cos 4
cos 12 = 1(верно)
1
{
3
2 = 2 cos 4
1

=
{
3
cos 4 = 1
4
cos  ≠ 1
3
=
1 ≥ 2
При этом равенство
достигается, если числа
равны, т.е.
1
log 3  =
log 3 
Т.е.
log 3  = 1
X=3
Аналогично рассматривается
случай    < 0
1 ≤ −2 и равенство
1
достигается при  =
3
Получили, что
(1 ) = (−∞; −2] ∪ [2; ∞)
Итак, данное уравнение имеет единственное решение x=3
Ответ: 3.
13.    = √ − 
Решение:
Исследуем монотонность функций, входящих в уравнение. Функция
1 = log 2  – возрастающая, функция 2 = √8 −  – убывающая.
Очевидно, если данное уравнение имеет корень, то он единственный
(по теореме о корне уравнения). Далее этот корень надо подобрать
(угадать). Подбором находим x=4.
Ответ: 4.
В ряде случаев встречаются уравнения, содержащие логарифмы
неизвестных, но не являющиеся логарифмическими. Тогда
используются специальные приемы, суть которых станет понятна
из примеров.

14.  =  
Решение:
Найдем логарифм по основанию 3 от обеих частей данного
уравнения и используем свойства логарифмов. Получаем:
2
log 3 (3) = log 3 ( log3  ), или
log 3 3 + log 3  = log 3  2 ∙ log 3 ,
1 + log 3  = 2 log 3  ∙ log 3 
1 + log 3  = 232 .
Введем новую переменную  =    и получим квадратное уравнение:
1 +  = 2 2
2 2 −  − 1 = 0
1
Его корни: 1 = 1 и 2 = − .
2
Вернемся к старой неизвестной x:
Имеем два уравнения:
log 3  = 1
 = 31
=3
log 3  = −
1
 = 3−2
1
=
√3
1
2
Ответ: 3;
1
√3
15.  ∙   +   = 
Решение:
Используя основное логарифмическое тождество, запишем
основание степени в виде
 = 5log5  = (2log2 5 )
log2 5∙log5 
Тогда данное уравнение имеет вид:
3 ∙ 2log2 5∙log5 2 + 2log5  = 64
3 ∙ 2log5  + 2log5  = 64
4 ∙ 2log5  = 64
2log5  = 16
log 5  = 4
 = 54
 = 625
Ответ: 625.
Уравнения, решаемые графически.
При решении уравнений и исследовании их корней часто используется
графический подход.
16.   = − +  − 

определить число корней уравнения и найти меньший из них.
Решение:
Запишем уравнение в виде
log 1  = −( − 1)2
2
И построим графики функций
1 = log 1  (сплошная линия)
2
2 = −( − 1)2 (штрихпунктирная линия)
y

A
1
x
B
-1

Видно, что графики этих функций пересекаются в точках A и B .
Следовательно, уравнение имеет два решения.
Абсцисса точки A меньше абсциссы точки B. Поэтому меньший корень
уравнения x=1.
При решении логарифмических уравнений возможно не только появление
посторонних корней (что обусловлено расширением ОДЗ уравнения при
его преобразованиях), но и потеря решений (что связано с сужением ОДЗ).
Если в первом случае посторонний корень исключается его проверкой, то
во втором случае корень может быть утрачен безвозвратно.
17.    =    − 

Решение:
ОДЗ уравнения определяется условиями
>0

{ ≠ 1 , откуда
2
2 ≠ 1
1
1
 ∈ (0; ) ∪ ( ; 2) ∪ (2; ∞)
2
2
Перейдем к логарифмам по основанию x. Получаем:
log  
log  2
=
 log (2) − 1

log 
2
1
log  2
=
−1
1 − log  2 log  2 + 1
Введем новую переменную  = log  2. Имеем уравнение:
1
1−
=

+1
− 1, или
 + 1 = (1 − ) − (1 − )( + 1)
 + 1 =  − 2 − 1 + 2
1 = −1 (равенство неверно).
Получили, что уравнение решений не имеет. Вместе с тем подстановка
значения x=1 показывает, что это корень исходного уравнения.
Потеря корня связана с сужением ОДЗ при преобразовании уравнения.
Переход к основанию x в логарифмах возможен при  ≠ . Поэтому
значение x=1 надо проверять отдельно (например, подстановкой этого
значения в исходное уравнение).
Более предпочтительным является переход к основанию, не зависящему
от x.
Например, если перейти к основанию 2, то получим:
log 2 
log 2 2
=
 log (2) − 1
2
log 2
2
log 2 
1
=
−1
log 2  − 1 1 + log 2 
Введем новую переменную  = log 2 
Имеем уравнение:

1
=
−1
−1 1+
(1 + ) =  − 1 − ( − 1)(1 + )
 +  2 =  − 1 −  2 + 1, откуда
2 = 0
t=0.
Получаем, что    = 
X=1 (потери корня не происходит).
Ответ: 1.
Задания для самостоятельной работы
Определите графически число корней уравнения:
1.1  x  log 2 x
Решите уравнения:
2
2.2 log3 x  5 log3 x  400
3. log 22 x  3 log 2 x  5  3log3 9
4. log 3 x  log x 9  3
5. log 6 x  1  log 6
 1 
1
2
 3 log 6  3   0,5 log 6 2 x  4
16
 x
6. log 4 xx  5  log 4
x5
0
x
7. log 12 x 3  1  0
x
8. log 16 2  log 2 3  x   0


9. log 2 x 2  4 x  11  log 0,5 0,125


10. log x 1 3 x  2 x  1  2
11. log 3

2

2  x  5 
1
log 4 81
12. log 1 27  log 3 2 x  3  log 1 2 x  3
3
13.x
9
log5 log5 x
log5 x
14.5 x  8
x 1
x
 log 5 14
 500
log 2 x  log  2   1


3
 y
15. 3
4 x  y  1
log 2 x  log 4 y  0
16.
log 4 x  log 2 y  1
 x  log 2 y  y  log 2 x
17.
 x log 2 32  log 2 x  2 x  log 2 y
log 4 x  y  1
18. x 6
x  4
Скачать