Демонстрационный вариант итоговой диагностической работы по математике в 10 классе.

Демонстрационный вариант итоговой диагностической работы
по математике в 10 классе.
Инструкция по выполнению работы.
На выполнение работы отводится 90 минут. Работа состоит из двух
частей и содержит 14 заданий.
Часть 1 содержит 12 заданий базового уровня (В 1—В12) по материалу
курса математики. К каждому заданию нужно дать краткий ответ,
представленный либо целым числом, либо конечной десятичной дробью.
Часть 2 содержит 2 более сложных задания (С 1 — С2). При их
выполнении надо записать подробное обоснованное решение и ответ.
За выполнение каждого задания обучающийся получает определённое
число баллов.
Таблица максимального числа баллов за одно задание
Часть 1
Часть
Задания, №
Задания, №
1-12
1-2
1
2
Суммарное
количество баллов
2
16
Таблица перевода тестовых баллов в школьные оценки
Тестовый балл
Школьная оценка
0 —5
6— 9
10—13
14—16
2
3
4
5
Вариант №1
Часть 1
В.1. Метр шёлковой ткани стоит 1500 рублей. Какое максимальное
целое число метров ткани можно купить на 10000 рублей после понижения
цены на 7%? Ответ запишите целым числом.
В.2. На графике показано изменение уровня воды в реке с
10 по 20 марта. На оси абсцисс отмечается день, на оси ординат —
значение уровня воды в сантиметрах. Определите по графику, сколько дней
уровень воды в реке был не выше 300 см.
h (см)*
500
400
300
200
100
10
12
14
16
ВЗ. Найдите значение выражения
log
1
(log 57  log 7 25 )
16
B4. Найдите площадь круга, изображённого на клетчатой бумаге с
размером клетки 1 см х 1 см. Ответ дайте в см2 (примите  =3,1)
В5. Молодая семья планирует купить однокомнатную квартиру не
ниже второго этажа общей площадью не менее 42 м2. Сколько тысяч рублей
предполагается заплатить за самую дешёвую покупку при условии, что к
моменту сдачи дома в эксплуатацию инфляция составит 15%, если
стоимость квартиры не превышает 1600 000 рублей, и 10%, если стоимость
выше этой суммы? Площадь и стоимость приведены в таблице.
Этаж
Площадь (м2)
1
Стоимость (руб. за 1 м2)
33000
45
2
40
36000
3
44
38000
4
41
36000
5
43
35000
В6. Найдите количество целочисленных решений неравенства |2х -13| ≤7
В7. Найдите наибольшее значение функции f(x) = Iog3(9sinx).
В8. Решите уравнение
3х  1 =
х  1 +2. (Если уравнение имеет
более одного корня, то в ответе запишите сумму корней.)
В9. Коэффициент полезного действия некоторого двигателя определяется
формулой η=
Т1  300
 100 %. При каком наименьшем значении
Т1
температуры нагревателя Т1 КПД этого двигателя будет не менее 70%,
если температура холодильника Т2 = 300°К?
В10. Найдите больший корень уравнения (3х2-х-3)( 3х2-х) + 2= 0
В11. Имеются два слитка, содержащие серебро. Масса первого
слитка на 2 кг больше, чем масса второго. Процентное содержание серебра
в первом слитке 40%, во втором слитке 10%. В сплаве этих двух слитков
содержание серебра 30%. Найдите массу (в кг) полученного сплава.
В12. Найдите площадь (в см2) полной поверхности правильной
четырёхугольной пирамиды со стороной основания 12 см и высотой 8 см.
С1. Сколько корней имеет уравнение (cosx - sinx) log3 (5 –х2) = 0 ?
С2. Решите уравнение
2
1
( ) Log5 ( x 9)  1
5
Решение варианта №1
В.1. После понижения цены на 7% метр ткани будет стоить
1500 -1500 •0,07 = 1395 рубля.
На 10000 рублей можно будет купить 10000 : 1395 ≈7,17 метров ткани.
Целое число, удовлетворяющее условию, —7 метров.
Ответ: 7.
В2. По графику определяем, что уровень воды в реке был не выше 300 см в
течение трёх дней.
h (см)
500
400
300
200
100
10
12
14
16
Ответ: 3.
ВЗ. log
1
(log 57  log 7 25 ) = log
16
2
-4
(
1
1
 2 log 7 5) = log2-4 2 = - = -о,25
4
Log 7 5
Ответ: -0,25.
B4. Площадь круга находим по формуле S =
d 2
4
По рисунку d = 6 см, по условию  = 3,1
S =3,1  36/4=27,9.
Ответ: 27,9.
В 5. Условию задачи соответствуют две квартиры: на третьем и пятом
этажах. Определим стоимость каждой из них:
1) 38000-44= 1672 000 (руб.);
1672000 + 1672000 •0,10 = 1839200 (руб.) =1839,2 (тыс. руб.).
2) 35000-43 = 1505 000 (руб.);
1 505000 + 1 505000 •0,15 = 1 730750 (руб.) = 1730,75 (тыс. руб.).
За самую дешёвую покупку предполагается заплатить 1730,75 тыс.
рублей.
Ответ: 1730,75.
В 6. |2х -13| ≤7; -7 ≤ 2х - 13 ≤7; 6 ≤2х ≤ 20; 3 ≤ х ≤10.
Промежуток [3; 10] содержит 8 целых чисел, следовательно, исходное
неравенство имеет 8 целочисленных решений: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10.
Ответ: 8.
В7. Функция f(t) = log 3t возрастающая (3 > 1), следовательно,
принимает наибольшее значение при наибольшем значении аргумента t,
t = 9 sin х. Учитывая, что t > 0, имеем 0 < 9 sin х ≤9,
следовательно,
ʄ наиб =9,
ʄ наиб = ʄ(9) =log3 9 = 2.
Ответ: 2.
В8. 3х  1 =
х  1 +2
Возведём обе части уравнения в квадрат.
3х+ l = х-l + 4 х  1 + 4;
2х -2 = 4 х  1 ;
х -1 = 2 х  1 ;
Возведя обе части последнего уравнения в квадрат, получим
Х2 -2х + 1 =4(х -1);
Х2 -6х + 5 =0;
Х1=5, х2 = 1 — корни уравнения.
Проверка показывает, что каждое из чисел 5 и 1 является корнем
исходного уравнения.
Ответ: 1; 5.
В9. При Т2 = 300°К КПД двигателя будет не менее 70%, значит,
Т1  300
 100 %  70%,
Т1
(T1 -300) •100 -70T1  0,
lOO T1 -30000 -70T1  0,
30T1 > 30000,
T1 > 1000.
КПД двигателя будет не менее 70% при наименьшем значении
температуры нагревателя Т1= 1000° К.
Ответ: 1000.
В10. Обозначим Зх2 -х = t. Уравнение примет вид:(t -3) •t + 2 =0;
t 2 -3t + 2 =0; t1 =2, t2 = 1 —корни уравнения.
Вернёмся к исходной переменной.
1) Зх2 -х =2,
Зх2 -х -2 =0
Зх2 -х =1
Зх2 -х -1 =0,
Из найденных корней большим является х = 1.
Ответ: 1.
В11. Пусть масса второго слитка х кг, тогда первого — (х + 2) кг, а масса
сплава — (2х + 2) кг. В первом слитке содержится (х + 2) •0,4 кг серебра,
а во втором —0,1х кг, в сплаве —(2х + 2) •0,3 кг.
Составим уравнение:
0,1х + (х + 2) •0,4 =(2х + 2) •0,3;
0,5х + 0,8 =0,6х + 0,6;
0,1х =0,2;
х = 2.
Масса полученного сплава равна 2  2 +2 = 6 (кг).
Ответ: 6.
В12. По условию пирамида правильная, значит, ABCD —квадрат, РN —высота
1) SАВСД = АВ2= 122 = 144 (см2)
2) Sбок.=
.
1
РАВСД •PM, где PM — апофема.
2
1
АD = 6 (см).
2
3) В
АDС NM — средняя линия, NM =
4) В
PNM по теореме Пифагора имеем PM2 = РN2 + NM2,
PM= 82  62 = 100 (см); Sполн = бок +Sосн =240 см2 + 144 см2 = 384 см2
Ответ: 384.


tgx  1
cos x  sin x  0
cos x  sin x
 x   n, n  

4

 2
С1. 1. 5  x 2  0
x

5
x

5



 5  x  5

Система имеет единственное решение х =

4
2. Iog3(5-x2) = 0.
По определению логарифма имеем 5 —х2 = 1, х2 =4, х1 =2, х2= -2.
Следовательно, исходное уравнение имеет три корня.
Ответ: 3.
1
5
1
5
C2. ( ) Log ( x 9)  ( ) 0 , Log5(x2-9)=0. По определению логарифма имеем х2 -9 =5°;
2
5
 х  10

х2 -9 =1; х2=10;  х   10
Ответ: - 10 , 10