177.63Kb - G

Структурная устойчивость математических моделей
национальной экономики
A.A. АШИМОВ, Б.Т. СУЛТАНОВ, Ю.В. БОРОВСКИЙ, Ж.М. АДИЛОВ,
Aс.A. АШИМОВ
Казахский Национальный Технический Университет им. К.И. Сатпаева,
г. Алматы, Республика Казахстан
Ключевые слова: математическая модель, структурная устойчивость, параметрическое
регулирование.
В работе на базе фундаментальной теории динамических систем на плоскости и условий слабой
структурной устойчивости динамических систем высокого порядка проверены грубость конкретных
динамических систем в компактной области плоскости и слабая структурная устойчивость одной
динамической системы высокого порядка в компактной области ее фазового пространства. Предложен
численный алгоритм проверки слабой структурной устойчивости динамических систем высокого порядка и
на его базе оценена слабая структурная устойчивость одной вычислимой модели общего равновесия.
1 Введение
Многие динамические системы, в том числе экономические системы стран [1, 2], после некоторых
преобразований могут быть представлены системами нелинейных обыкновенных дифференциальных
уравнений следующего вида.
𝒙̇ (𝒕) = 𝒇(𝒙(𝒕), 𝒖(𝒕), 𝜶)
,
(1)
с начальным условием
𝒙(𝒕𝟎 ) = 𝒙𝟎 .
(2)
Здесь t – время, 𝒕 ∈ [𝒕𝟎 , 𝒕𝟎 + 𝑻], 𝑻 > 𝟎 – фиксированное число;
𝒙 = 𝒙(𝒕) ∈ 𝑹𝒎 – функция состояния системы (1), (2);
𝒙𝟎 ∈ 𝑹𝒎 – начальное состояние системы, детерминированный вектор;
𝒖 = 𝒖(𝒕) ∈ 𝑹𝒒 – вектор управляемых параметров, предполагается, что функции 𝒖(𝒕) и их
производные равномерно ограничены;
𝜶 ∈ 𝑨 ⊂ 𝑹𝒔 – вектор неуправляемых параметров, 𝑨 - открытое связное множество.
Как известно, решение (эволюция) рассматриваемой системы обыкновенных дифференциальных
уравнений зависит как от вектора начальных значений 𝒙𝟎 , так от значений векторов управляемых (u) и
неуправляемых (𝜶) параметров. Поэтому результат эволюции (развития) нелинейной динамической системы
при заданном векторе начальных значений x0 определяется значениями векторов как управляемых, так и
неуправляемых параметров.
Также известно [3], что чтобы судить по решениям системы (1) об описываемом ею объекте, эта
система должна обладать свойством неизменяемости качественной картины траекторий при малых в
некотором смысле возмущениях правой части системы (1). Другими словами, система (1) должна обладать
свойством грубости, или структурной устойчивости.
На основании вышесказанного, в [4-7] предложена теория параметрического регулирования
развития рыночной экономики, состоящая из восьми компонентов, два из которых содержат методы оценки
условий грубости (слабой структурной устойчивости) математических моделей экономической системы
страны из библиотеки моделей без параметрического регулирования и с применением оптимальных законов
параметрического регулирования.
В работе приводятся результаты исследования грубости и слабой структурной устойчивости
конкретных математических моделей национальной экономики без и с параметрическим регулированием.
.
2. Методы исследования грубости (структурной устойчивости) математической модели
экономической системы страны
Методы исследования грубости (структурной устойчивости) математической модели
экономической системы страны базируется на:
- фундаментальных результатах теории динамических систем на плоскости. Известно [8], что
динамическая система, определенная в окрестности замкнутой области G на плоскости с границей – простой
замкнутой кривой является грубой только в том случае, если область G
1
1) содержит только грубые особые точки,
2) содержит только грубые предельные циклы,
3) не содержит сепаратрис, идущих из седла в седло.
- методах проверки условий принадлежности математических моделей к определенным классам
структурно устойчивых систем в частности к системам со слабой структурной устойчивостью.
Наряду с аналитическими возможностями исследования структурной устойчивости конкретных
математических моделей на базе указанных результатов теории динамических систем можно рассмотреть
подходы исследования структурной устойчивости математических моделей национального хозяйства с
помощью вычислительных экспериментов.
Ниже излагается возможность построения В работе используются результаты применения одного
вычислительного алгоритма оценки структурной устойчивости рассматриваемых математических моделей
экономической системы страны на базе теоремы Робинсона [9 теорема А]. Эта теорема в частности
утверждает, что если цепно-рекуррентное множество R( f , N ) потока f в некотором компакте N его
фазового пространства пусто, то этот поток слабо структурно устойчив в N. Аналогичное утверждение
справедливо и для случая каскада, задаваемого гомеоморфизмом f.
Для конкретной математической модели экономической системы в качестве компакта N можно
взять, например, параллелепипед ее фазового пространства, включающий в себя все возможные траектории
эволюции экономической системы для рассматриваемого промежутка времени.
Описание алгоритма локализации цепно-рекуррентного множества R( f , N ) состоит в следующем
[10].
1. Определяется отображение f, определенное в N и задаваемое сдвигом по траекториям
динамической системы для фиксированного промежутка времени.
2. Строится разбиение С компакта N на ячейки Ni. Задается ориентированный граф G, вершины
которого соответствуют ячейкам, а ребра, соединяющие ячейки Ni с Nj соответствуют условиям пересечения
образа одной ячейки f(Ni) с другой ячейкой Nj.
3. В графе G находятся все возвратные вершины (вершины принадлежащие циклам). Если
множество таких вершин пустое, то R( f , N ) – пустое и процесс его локализации завершается. Делается
вывод о слабой структурной устойчивости динамической системы.
4. Ячейки соответствующие возвратным вершинам графа G разбиваются на ячейки меньшего
размера, и по ним строится новый ориентированный граф G. (См. пункт 2 алгоритма).
5. Переход к пункту 3.
Пункты 3, 4, 5 повторяются до тех пор, пока диаметры ячеек разбиения не станут меньше
некоторого наперед заданного числа ε.
Последний набор ячеек и является оценкой цепно-рекуррентного множества R( f , N ) .
Разработанный метод оценки цепно-рекуррентного множества для компактного подмножества
фазового пространства динамической системы позволяет, в случае пустоты найденного цепнорекуррентного множества R( f , N ) , сделать вывод о слабой структурной устойчивости динамической
системы.
В случае если исследуемая дискретная динамическая система, априори, является полукаскадом f,
применению теоремы Робинсона A для оценки ее слабой структурной устойчивости должна предшествовать
проверка обратимости отображения f, заданного на N (поскольку в этом случае полукаскад, задаваемый f
будет являться каскадом).
Этот укрупненный алгоритм применим и для оценки слабой структурной устойчивости
t
непрерывной динамической системы (потока f), если в качестве линии L траекторию L  { f ( x 0 ), 0  t  T }
динамической системы, и пропустить пункт 2 укрупненного алгоритма. При этом в качестве отображения f в
t
пункте 3 можно использовать отображение f для некоторого фиксированного t (t>0).
3.Примеры оценок структурной
параметрическим регулированием
устойчивости
математических
моделей
без
и
с
3.1. Исследование структурной устойчивости математической модели неоклассической теории
оптимального роста без параметрического регулирования
Математическая модель экономического роста [11] представлена следующей системой из двух
обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащей производные по времени (t):
2
k   Ak   c  (n   )k ,

c

 1
c   1   (Ak  (  p)).

(3)
Здесь k(t) - отношение капитала (K) к труду (L), то есть фондовооруженность труда. В этой модели не
различается население страны и рабочая сила (труд);
c(t) - среднее душевое потребление;
n - уровень роста (или уменьшения) населения: L(t )  L0 e nt ;
 - уровень амортизации капитала,   0 ;
p - уровень дисконтирования;
e  pt - функция дисконтирования ( p  n );
A и  - параметры производственной функции вида y   (k )  Ak  , где y - отношение ВВП к труду,
то есть средняя производительность труда ( 0    1, A  0 );
 - параметр функции социальной полезности, характеризующей среднее благосостояние населения:
U (c)  Bc  ( 0    1, B  0 ).
Несложно проверить, что Система (3) в области
R 2 имеет единственную особую точку
1
 A  1
(n   )(1   )  p  n 
 , c *  k * 
k  
 и эта точка является седловой точкой системы (3) при



  p 
любых значениях входных параметров модели. В этом случае модель (3) не имеет циклических траекторий в
R 2 , и является грубой в любой области G принадлежащей R 2 (если только особая точка ( k * , c * ) не лежит
на ее границе),
*
3.2. Исследование структурной устойчивости математической модели Цикла Кондратьева без
параметрического регулирования
Модель описывается следующей системой уравнений включающей в себя два дифференциальных и
одно алгебраическое уравнение [12].
n(t )  Ay (t ) a ,

 x (t )  x(t )( x(t )  1)( y 0 n0  y (t )n(t )),

 y (t )  n(t )(1  n(t )) y (t ) 2 ( x(t )  2    l 0 ),

n0 y 0


n0  Ay 0 .
(4)
Эндогенные переменные: x(t) - эффективность новшеств; y(t) – капиталоотдача; соответствующая
равновесной траектории; n(t) - норма накопления. Экзогенные параметры модели: y0 - капиталоотдача; n0 норма накопления, соответствующая равновесной траектории; µ - коэффициент выбытия фондов; l0 - темп
роста занятости, соответствующий равновесной траектории; A и a – некоторые постоянные.
Предварительная оценка параметров модели была проведена по статистическим данным
Республики Казахстан за 2001-2005 годы, при этом отклонения наблюдаемых статистических данных от
расчетных значений эндогенных переменных в указанном промежутке времени не превышала 1,9%.
В результате применения алгоритма оценки цепно-рекуррентного множества для прямоугольной
области N  [1,7; 2,3] [0,066; 0,098] фазовой плоскости Oxy системы (4) была получена следующая оценка
цепно-рекуррентного множества R(f,N) (см. рис. 1). Поскольку множество R(f,N) не пусто, то на основании
теоремы Робинсона нельзя сделать вывод о слабой структурной устойчивости модели цикла Кондратьева в
N. Однако, поскольку в N находится негиперболическая особая точка – центр с координатами (
  l0
x0  2 
, y0 ) [12], то система (4) не является слабо структурно устойчивой в N.
n0 y0
3
Рис. 1. Цепно-рекуррентное множество для модели цикла Кондратьева.
2.3. Исследование слабой структурной устойчивости математической модели экономической
системы страны с учетом влияния доли государственных расходов и ставки процента по
государственным займам на экономический рост без параметрического регулирования
Математическая модель экономической системы страны для исследования влияний доли
государственных расходов во внутреннем валовом продукте и ставки процента по государственным займам
экономический рост, предложенная в [1], после соответствующего преобразования, имеет вид системы из13
алгебраических и 4 дифференциальных уравнений, из которых выделим следующее:
dp
Q
(5)
 
p.
dt
M
Эндогенными переменными модели являются: p(t) – уровень цен, Q(t) – общий запас товаров на
рынке относительно некоторого состояния равновесия; М(t) – суммарная производственная мощность; LG(t)
– общий объем государственного долга.   0 – некоторая постоянная.
Справедливо следующее утверждение.
Утверждение. Пусть N – компактное множество лежащее в области ( M  0, Q  0, p  0) или
( M  0, Q  0, p  0) , фазового пространства системы дифференциальных уравнений полученных модели,
т.е. четырехмерного пространства переменных ( M , Q, p, LG ) ; замыкание внутренности N совпадает с
N. Тогда поток f определяемый моделью слабо структурно устойчив на N.
В
качестве
N
можно
выбрать,
например,
параллелепипед
M  M min , M  M max , Q  Qmin , Q  Qmax , p  pmin , p  pmax , LG  LG min , LG  LG max .
с
границами
Здесь
0  M min  M max , Qmin  Qmax  0 или 0  Qmin  Qmax , 0  p min  p max , LG min  LG max .
Доказательство. Проверим вначале, что полутраектория потока f начинающаяся в любой точке
множества N при некотором значении t (t>0) выходит из N.
Рассмотрим любую полутраекторию, начинающуюся в N. Для нее при t  0 возможны два случая:
все точки полутраектории остаются в N, или для некоторого t точка полутраектории не принадлежит N. В
первом случае из уравнения (5) системы следует, что переменная p(t) для всех t  0 имеет производную,
большую некоторой положительной константы при Q  0 для или меньше некоторой отрицательной
константы при Q  0 , то есть p(t) неограниченно возрастает или стремится к нулю при неограниченном
увеличении t, поэтому первый случай не возможен, орбита любой точки из N выходит из N.
Поскольку любое цепочно-рекуррентное множество R( f , N ) , лежащее внутри N является
инвариантным множеством этого потока то, в случае его непустоты, оно состоит только из целых орбит.
Следовательно, в нашем случае R( f , N ) пусто. Утверждение следует из теоремы A [9].
2.4. Исследование слабой структурной устойчивости вычислимой модели общего равновесия с
сектором знаний без параметрического регулирования
4
Рассматриваемая модель [13] представляется с помощью 67 разностными и 631 алгебраическими
уравнениями, с помощью которых рассчитываются значения ее 698 эндогенных переменных. Эта модель
также содержит 2045 оцениваемых экзогенных параметров. По результатам параметрической
идентификации и просчета модели для промежутка времени 2000-2015гг. была получена траекторию L
модели в фазовом пространстве X и выбран компакт N  X , содержащий эту траекторию.
На основе выше приведенного алгоритма проверена обратимость отображения f в N. С помощью
численного алгоритма оценки слабой структурной устойчивости дискретной динамической системы для
выбранного компакта N, была получена оценка цепно-рекуррентного множества R( f , N ) как пустого
множества. Это означает, что CGE модели отраслей экономики оценивается как слабо структурно
устойчивая в указанном компакте N.
В конце отметим, что рассмотренные модели исследованы также с параметрическим
регулированием.
References
[1] Petrov, A.A., Pospelov, I.G., & Shananin, A.A. (1996). Experience of mathematical modelling of the
economics. Moscow: Energoatomizdat (in Russian).
[2] Turnovsky, S.J. (2000). Methods of Macroeconomic Dynamics. Cambridge: MIT Press.
[3] Arnold, V.I. (1988). Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations, New York:
Springer-Verlag.
[4] Ashimov, A., Iskakov N., Sultanov B., Borovskiy Yu., Ashimov As. (2009). Parametrical regulation of
economic growth on the basis of one-class mathematical models. Systems Science, 35(1), 57-63.
[5] Ashimov, A.A., Sultanov, B.T., Adilov, Zh.M., Borovskiy, Yu.V., Borovskiy, N.Yu., & Ashimov, As.A.
(2010). Development of the parametric regulation theory based on one class of computable general equilibrium
models. Systems Science, 36(2), 2010, 5-10.
[6] Ashimov, А.А., Sagadiyev, К.А, Borovskiy, Yu.V., Iskakov, N.A., & Ashimov, As.А. (2008). On the
market economy development parametrical regulation theory. Kybernetes, The international journal of cybernetics,
systems and management sciences, 37(5), 623-636.
[7] Ashimov, A.A., Sultanov, B.T., Adilov, Zh.M., Borovskiy, Yu.V., Novikov, D.A., Nizhegorodtsev, R.M.,
& Ashimov, As.A. (2010). Macroeconomic Analysis and Economic Policy Based on Parametric Regulation.
Moscow: Publishing house of physical and mathematical literature (in Russian).
[8] Bautin N.N., & Leontovich E.A. (1990). Methods and techniques for qualitative analysis of the dynamic
systems on the plane. Moscow: Nauka (in Russian).
[9] Robinson, C. (1980). Structural Stability on Manifolds with Boundary. Journal of differential equations,
(3), 1-11.
[10] Petrenko, E.I. (2006). Development and realization of the algorithms for constructing the symbolic set.
Differential Equations and Control Processes (electronic journal), (3), 55-96. (in Russian)
[11] Yanovskiy, L.P. (2002) Controlling chaos in models of economic growth. Economy and mathematical
methods, 38(1), 16-23. (in Russian).
[12] Dubovskiy S.V. The Kondratiev cycle as the simulation object // Mathematical modelling 1995. V. 7.
No. 6. P. 65-74. (in Russian).
[13] Makarov, V.L., Bahtizin, A.R., & Sulakshin, S.S. (2007). Application of computable models in state
administration. Moscow: Nauchniy ekspert (in Russian).
5