В Е С Т

2010
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
М атем ати ка. М е хан и ка. Ин форма тик а
Вып.3(3)
УДК: 539.12
Инфляционная космологическая модель
В. Ф. Панов, О. В. Сандакова, Е. В. Кувшинова
Пермский государственный университет, Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15
panov@psu.ru; (342) 239-65-60
Получено инфляционное решение уравнений Эйнштейна для метрики типа IX по Бьянки с
источниками гравитации: идеальная жидкость, несопутствующая пыль и скалярное поле.
Составлено уравнение Уиллера–де Витта, найден ВКБ-коэффициент туннеллирования Вселенной с данной метрикой при заданных источниках гравитации.
Ключевые слова: уравнения Эйнштейна; космологическая модель; волновая функция.
I. Решение уравнений Эйнштейна
Источниками гравитации являются вакуумоподобная жидкость, несопутствующая
пыль, а также скалярное поле.
Тензор энергии-импульса идеальной
жидкости имеет вид
Для метрики типа IX по Бьянки, ранее
рассматриваемой в работе [1], получено инфляционное космологическое решение уравнений Эйнштейна
2
ds = η ,  = 0,3 ,
T
(1)
 (   )u u   .
(2)
Тензор энергии-импульса несопутствующей пыли имеет вид
1 0 0 0 


0 1 0 0 
где η= 
, – ортонор0 0 1 0 


 0 0 0  1


Т 
u~ 
( 2)
 u~ u~ .
(3)
Полагаем, что
 ( 1  u12 ,u1 ,0,0 ), u  ( 1,0,0,0 ),    ( 0,1,0,0 ).
мированные 1-формы, выражающиеся следующим образом:
θ0 = dt – R νA eA, θ1= R K1 e1, θ2 = R K2 e2,
θ3 = R K3 e3,
R = R(t), а KA, νA = const, причем KA > 0,
при A = 1, 2, 3.
e1 = cos y cos z dx – sin z dy,
e2 = cos y sin z dx + cos z dy,
e3 = – sin y dx + dz.
(1)
.
Тензор энергии-импульса скалярного
поля имеет вид
Т АВ
(3)

1

 (  ,  ,   ,k  ,l g kl  U (  ) g  )еА е В ,
2

(4)

где e A – Лоренцева тетрада.
При этом скалярное поле удовлетворяет
уравнению
Мы используем с = 1, ħ = 1, 8πG = 1, где
G – ньютоновская гравитационная постоянная.
В нашем случае ненулевыми компонентами являются K 1 , K 2 , K 3 , 1 , связанные
между собой соотношением
K 12  K 22   12 , K 2  K 3 .
1
g
i


 g g ik ,k 
dU
 0.
d
(5)
Потенциал скалярного поля, следуя работе [2], выбран в виде
U (  )  A(  0   ( t )) 2 .
(6)
Запишем уравнения Эйнштейна в тетрадной форме:
© В.Ф.Панов, О.В.Сандакова, Е.В.Кувшинова, 2010
64
Инфляционная космологическая модель
G  T ,
T
u1 
(7)
1
G  R   g  R ,
2
(1)
(2)
(3)
 T  T  T .
R  R 0 eQt ,
1
 2 H 2 K 22
  2 2Qt 2  2 Ht 2 ,
2 R0 e K 2
e K1
Также заранее предполагаем, что идеальная жидкость "вакуумоподобна", т.е.
   .
В результате получим систему уравнений
G00–
2
2
2
2
2
II. Получение уравнения
Уиллера–деВитта
Пространство-время с данной метрикой
можно расщепить на пространство и время
согласно стандартной процедуре. Для этого
метрику можно представить в виде
2
ds 2 
2
 R  R   R   1
 K 2  21
 2
=
 2  +3 2
4
2 +
2
R K1
4R K 2
 R R 
 21
 2
2
  u1 
(1  2 )  U (  ) ,
(9)
2
K1
2
 R  R   

 2    1  1 2
K1
 R R 
2
2
G22 G33   2
2
+
 K1   1
2
4R K 2
4
2
= 
  2 K 22
2 K 12
  N 2 dt 2  g ab ( dx a  N a dt )( dx b  N b dt ),
перный индекс,  – координатный индекс);
ea0  0, eab   ab ( a ,b  1,2,3 ); единичный времениподобный нормальный вектор к трехмерной пространственноподобной гиперповерхности постоянного параметра t = const
имеет вид
n  (  N ,0,0,0 ),   0,1,2,3.
(15)




Как известно,  – волновая функция
Вселенной – удовлетворяет уравнению Уилера–деВитта
(16)
T   0
и уравнениям суперимпульсов
Ta   0.
(17)
Согласно литературе [3], уравнения связей можно записать в виде
2
(11)
Уравнение для скалярного поля (5) имеет вид
K 2 dU (  )
R
3       12
0.
R
K 2 d
(14)
а нормальный базис на гиперповерхностях
постоянного параметра t = const определяется
триадой касательных векторов e a ( a – ре-
 U (  ) , (10)
 R  R   1
 2 
G01 2  
+
R
K
R

 1
K 1 1
2
2 1
.
2 = u1 1 u 1   
2
K1
2 R K 2 K 3 
K 22
1
 2 H 2 K 22 A 2



.
K 21 4 R02e 2Qt K 24 2e 2 HtK12 e 2 Ht
 3Q 2
G11–
2
(13)
   
 R  R    1
2K  K
R
=  2
 2  2 +3 2 + 1 2 42 =
R
4R K 2
 R R  K1
2
 2
   ( u1 2  1 ) 
( 1  12 )  U (  ) , (8)
2
K1
2
1
,
K2
T 
  0 Gabcd  ab cd  g 1 / 2 3 R  2 0 g 1 / 2  T  0,
Ta  2 g ac cd |d  2 g 1 / 2  Ta  0. (18)
(12)
Решая совместно систему уравнений
Эйнштейна с уравнением скалярного поля,
получим
 (t )  0  e  Ht ,
Здесь
 ab   g 1 / 2 ( K ab  g ab K ),
K ab  na ;b ,


(19)


T  T n n , Ta   0 n ea T ,
65
В. Ф. Панов, О. В. Сандакова, Е. В. Кувшинова
При этом, чтобы избежать сингулярно-
 0  1, T -– ТЭИ источников гравитации
данной модели.
В результате вычислений получим для
нашей метрики
T  
сти, потребуем:
Очевидно, что данная функция равна
нулю в двух точках:
~
R0 ( 1 )  0 ,
 
cos yRK 2
( 12 R  2 K 24  R 2 ( 3  2 K 24  4
2 K 12
 VK 22 K 12  4K 24 u 02  4 K 14  4K 12 v12 )  3K 12 ),
 
~
R0
T1  2 cos 2 y cos zR 4 K 22 v1 K 1 (    )  0 ,
T2  2 cos y cos zR 4 K 22 v1 K 1 (    )  0 ,
T3  0.
Канонический импульс
48 2 RR K 24
.
K1
(21)
1 d
d2
;  R2   2 .
i dR
dR
(22)
.
Список литературы
1. Kuvshinova E.V., Panov V.F., Sandakova O.V.
Quantum birth of a rotating universe // Тр. Российской летней школы-семинара "Современные проблемы гравитации и космологии".
GRACOS-2007,
9–16
сентября
2007.
г.Казань–Яльчик. Казань: Изд-во "Фолиантъ", 2007. С.100–104.
2. Червон С.В. Нелинейные поля в теории гравитации и космологии. Ульяновск, 1997.
3. Кувшинова Е.В., Панов В.Ф. Квантовое
рождение вращающейся Вселенной / Изв.
вузов. Физика. 2003. Т.46, №10. С.40–47.
(23)
Подставив ранее найденные значения
параметров жидкостей, получим
U( R ) 
2H
Q
384 4 R 4 K 28 
2
2
2  R0 


6Q   H 

2

K1
 R 

(25)
H
~
Выразим R  из условия (21) и подставим в (20).
Составляем уравнение Уиллера–деВитта. В нашем случае оно будет иметь вид
 d2

 d R 2  U ( R ) ( R )  0.


Q
 R0

D  exp  2  U ( R )dR   (21)


0


(26)
2
4
3 3
 8 6 K 2 H R0 
.
 exp 


9
K
1


Определим в духе минисуперпространственного квантования
R 
(2)
 H 

 R0 

6
Q


Коэффициент туннеллирования Вселенной (ВКБ коэффициент прохождения через потенциальный барьер) вычисляем в следующем виде:
(20)
R  
H
< 2.
Q

.


(24)
Тне inflationary cosmological model
V. F. Panov, O. V. Sandakova, E. V. Kuvshinova
Perm State University, Russia, 614990, Perm, Bukireva st., 15
panov@psu.ru; (342) 239-65-60
We have an inflationary solution of Einstein's equations for the metric of Bianchi type IX with
such a source of gravity, as an ideal fluid, dust and scalar field. Compiled by the Wheeler-DeWitt
equation is found WKB factor of Universe with this metric for given sources of gravity.
Key words: Einstein's equations; the cosmological model; the wave function.
66