ES11AAx

УДК 621. 224
РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ПОТОКА В РАБОЧЕМ КОЛЕСЕ
ПОВОРОТНО - ЛОПАСТНЫХ ГИДРОТУРБИН ОСЕВОГО ТИПА
ЧАСТЬ 1 - МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ТЕЧЕНИЯ
С.Д.Косторной, проф.; А.К. Давиденко, асп.
С созданием и совершенствованием ЭВМ начинают развиваться различные
методы численного моделирования трехмерного течения жидкости в проточной
части гидромашин.
Одним из хорошо развитых и широко используемых методов расчета
гидродинамических характеристик различных объектов является метод дискретных
вихрей. Он позволяет определять стационарные и нестационарные, линейные и
нелинейные гидродинамические характеристики тел как при безотрывном, так и при
отрывном обтекании.
В [1] предложено решение методом дискретных вихрей прямой пространственной
задачи в проточной части гидравлической турбины с учетом влияния всех элементов.
Настоящая работа посвящена разработке алгоритма решения и численной
реализации данного подхода применительно к рабочему колесу.
1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим движение рабочего колеса с лопастями произвольной формы и
конечной толщины в вязкой несжимаемой среде с частотой вращения n и имеющей в
сечениях I и II нормальные скорости V1,V2=f(x,y,z,t) (рис.1).
Введем связанную с рабочим колесом правую систему координат ОXYZ,
поместив начало координат и направив ось ОY по оси вращения, а ось ОZ совместив
с осью поворота лопасти.
Пусть в некоторый момент времени t=0 граничные условия на рабочем колесе
начинают изменяться по произвольному закону, причем
Wn = f(x0 ,y0 ,z0 ,t).
(1.1)
Здесь W- нормальная составляющая относительной скорости в точке на
поверхности рабочего колеса с координатами x0,y0,z0; t - время; f(x0,y0,z0,t) - известная
функция координат и времени.
При обтекании лопасти вязким потоком течение будем делить на две области:
область невязкого течения вне лопасти и пограничного слоя и область вязкого
течения в пограничном слое.
Пусть в общем случае отрывного обтекания поток сходит с задней кромки
лопасти, а также с тыльной поверхности (рис.1). Это приводит к движению жидкости
с образованием поверхностей тангенциального разрыва скорости - вихревых пелен.
Пусть эти поверхности описываются уравнениями вида i(x,y,z,t)=0, (i=1,2,3, ...), а
уравнение поверхности лопасти имеет вид S (x0,y0,z0) = 0.
Предположим, что везде вне поверхности рабочего колеса, пограничного слоя и
вихревого следа течение является безвихревым. Тогда для потенциала возмущенных
скоростей  (x,y,z,t) справедливо уравнение Лапласа
 2  2  2


 0 вне S и i .
x 2 y 2 z2
(1.2)
На поверхности рабочего колеса и турбинной камере необходимо выполнить
условие непротекания
3
 
(   U)  n  0,
 x , y, z  S
(1.3)
или
 

 

 

 U x   cosn , x   
 U y   cosn , y  
 U z   cosn , z  0.

 x

 z

 y


  
Здесь  - оператор Гамильтона; U  {U x , U y , U z }  вектор скорости движения точек

рабочего колеса; n  {cos( n, x) , cos( n, y) , cos( n, z) }  орт внешней нормали к
поверхности рабочего колеса S в рассматриваемой точке.
При переходе через поверхности i вихревого следа должно соблюдаться условие
непрерывности давления и нормальной составляющей скорости
P  P ,
  n    n , x, y, z i .
(1.4)
Индексы (+) и ( ) обозначают разные стороны поверхностей i.
На задних кромках лопастей, с которых сходят вихревые пелены, должна
выполняться гипотеза Чаплыгина-Жуковского о конечности скоростей. Обозначив
через Ls линию схода потока кромок, запишем:
P  P ,
     ,
 x, y, z  LS .
(1.5)
Кроме того, поскольку рассматривается нестационарная задача, то в любой момент
времени должна выполняться теорема Томпсона о неизменности циркуляции
скорости по любому замкнутому контуру, проведенному через одни и те же частицы
жидкости.
Следовательно, расчет гидродинамических характеристик лопастей рабочего
колеса сводится к нахождению потенциала возмущенных скоростей (x,y,z,t),
удовлетворяющего всем перечисленным выше условиям, которые должны
выполняться в каждый расчетный момент времени для рассматриваемого
нестационарного движения рабочего колеса. Кроме того, в каждый расчетный
момент необходимо знать положение линии Ls отрыва потока с верхней поверхности
крыла (рис.1). Сформулированная задача является нелинейной. Для рабочего колеса
это означает, что на величину угла атаки , кривизну и толщину лопасти
ограничения не накладываются. При этом граничное условие (1.1) выполняется
непосредственно на поверхности рабочего колеса, а вихревой след за лопастью
может деформироваться.
Заменим поверхности S и i непрерывным вихревым слоем с напряженностью
(x,y,z,t) и с произвольным направлением осей. Тогда поле скоростей, индуцируемых
этим слоем, удовлетворяет уравнению Лапласа (1.2) и обеспечивает непрерывность
нормальной составляющей скорости на i. Для выполнения динамического условия
на следе последний рассматривается в виде свободной вихревой поверхности. Тогда
в соответствии с теоремой Жуковского "в малом" на этой поверхности отсутствует
перепад давлений, и она движется вместе с жидкостью.
Для определения (x,y,z,t) на S и i используются граничное условие (1.1),
гипотеза Чаплыгина-Жуковского (1.5), начальные условия задачи, а также теорема о
неизменности циркуляции по замкнутому жидкому контуру. Величины, входящие в
условия (1.2) - (1.5), зависят от формы поверхностей i .В свою очередь,
пространственная форма следа может быть определена, если известна напряженность
(x,y,z,t). Для определения линии Ls отрыва потока с тыльной поверхности лопасти
необходимо привлечь механизм вязкого взаимодействия.
4
2 МЕТОД РАСЧЕТА, ВЫЧИСЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ И ВЫПОЛНЕНИЕ
ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
В методе дискретных вихрей поверхность обтекаемого тела S и поверхность
вихревых пелен  моделируются системами вихревых отрезков, а потенциальность
поля скоростей вне S и  достигается построением гидродинамически замкнутых
вихревых систем в виде замкнутых вихревых рамок, каждая из которых моделирует
отдельный охватываемый ею элемент (ячейку) вихревых поверхностей S и  (рис.1).
Пусть N и N - общее число таких многоугольников на S и на  соответственно.


Тогда вектор скорости V(  , r ) определяется суммированием скоростей от всех этих
рамок.
N



1   
V(  , r )  
wi  , r  i   

4  i  1

N


 w  , r    .

i
(2.1)
i
i 1

Здесь скорости w i  , r  вычисляются по формуле Био-Савара


w i  , r  

  

 
dl 0 x 0  r  r1 
  2 ,
ri  r1
(2.2)
в которой   i - периметр вихревой рамки с заданным направлением обхода.
Интегралы в (2.2) по прямолинейным отрезкам ( сторонам рамки) вычисляются, и
в этом случае выражение для скорости имеет следующий вид:


W i  , r  




rk 1  rk rk  r 


2 
 2

 
k 1  r k  r   r k 1  r k    r k 1  r k  r k
m


 


 

 

 
r k 1  r k r k  r
 rk 1  r k rk 1  r






r k 1  r k
rk  r

  .

r

2

(2.3)


 


Здесь r1 , r2 , ..., rm
вихревого m( rm 1  r1) - радиусы-векторы вершин
угольника Si (i).
Для вихревого отрезка общего положения с точками M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) на
концах проекции индуцируемые им скорости на оси координат в точке М (x,y,z)
вычисляются по следующим формулам:
Wx  b x ,
Wy  b y ,
Wz  b z ,
где


 


ax  y y1 z2  z1  z  z1 y2 y1 ;
aó   z z1  x 2  x1    x  x1  z2 z1 ;
5
(2.4)
az   x x 1  y2  y1    y  y1  x 2 x 1 ;
b



 

 


1  x  x 1 x 2  x 1  y  y1 y2  y1  z  z1 z2  z1


r 01
a2 

 x  x 2  x 2  x 1    y  y2  y2  y1    z  z2  z2  z1  ,


r 02
a2  ax2  ay2  az2 ,
r 01 
x  x1 2  y  y1 2  z  z1 2 ,
r 02 
x  x 2 2  y  y2 2  z  z2 2 ,
а проекции индуцируемой скорости от вихревой рамки определяются
суммированием одноименных составляющих от каждого отрезка рамки. Граничное
условие непротекания для расчетных точек Ti c радиусами- векторами r0i (i=1,2,...,N
), расположенных в середине вихревой рамки и обозначенных на рис.1 крестиками,
записывается следующим образом:
 
 
V  , r    n  , r    Vxi cos n i , x   Vyi cos n i , y   Vzi cos n i , z 


 4Vn*  , r0i ,
(2.5)
где косинусы углов с осями координат, которые определяют в любой расчетной
точке нормаль к плоскости, проходящей через три точки M0(x0, y0, z0), M1(x1, y1, z1),
M2(x2, y2, z2), определяются следующими выражениями:
A
cos n , x  
,
2
A  B 2  C2
B
cos n , y 
,
2
A  B 2  C2
C
.
cos n , z 
2
A  B 2  C2
(2.6)
A   z2  z0  y1  y0    z1  z0  y2  y0  ,
B   x 2  x 0  z1  z0    x1  x 0  z2  z0  ,
C   y2  y0  x1  x 0    y1  y0  x2  x 0  ,

Vn  , r0i   0 на неподвижной поверхности S,

 
 
Vn  , r0i   u , r   n , r  на поверхности,
 
скоростью u , r  ,
6
вращающейся
с
переносной



Vn  , r0i  = Vâõ  , r0i  или Vâû õ  , r0i  во входном и выходном сечениях проточной
части.
Если ввести матрицы:
  
 W  , r ,
W  Wn j  , r 0i ,
i  1, N  ,
j  1, N  ,
W
i  1, N  ,
j  1, N 
n j
0i
(2.7)
и векторы:
 1 
 
2 
  
,
  


N  

 4Wn  , r 01  



4Wn  , r 02  

B 
,






*
4Wn  , r 0 N   
  1 
 
2 
  
,
  


N  
(2.8)
тогда (2.5) запишется в матричном виде:
WГ + W Г = B
(2.9)
WГ =B - W Г .
(2.10)
или в эквивалентном виде:
Равенство (2.10) рассматривается как система линейных алгебраических
уравнений и используется для определения циркуляций Г1, Г2, ..., ГN на S.
Условие Чаплыгина-Жуковского на заданных участках L выполняется
следующим образом. В случае, если  сходит с поверхности S, точка отрыва, на
которой определяется по методу Труккенброта соответствующая циркуляция Г,
принимается равной разности циркуляций соответствующих вихревых рамок,
примыкающих к линии схода (рис.1) :
Г = Г Г
(2.11)
которые берутся из предыдущего расчетного шага. При сходе  с кромки S
циркуляции Г присваивается значение соответствующей примыкающей Г, также
получаемой из предыдущего расчетного шага. Для стационарных задач вихревые
отрезки на кромке взаимно уничтожают друг друга. В этом случае ближайшей к
кромке оказывается расчетная точка Т, что и соответствует условию ЧаплыгинаЖуковского в методе дискретных вихрей [2].
Граничные условия на пелене , как обычно, удовлетворяются тем, что вихревые
отрезки перемещаются с местной скоростью жидких частиц.
SUMMARY
This article describes simulation for three-dimensional fluid flow in the runner of the axial-flow hidro
turbine. Simulation is performed via single vortex method.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Косторной С.Д. и др. Моделирование течения жидкости в проточной части гидравлической турбины //
Гидравлические машины, Выпуск 24, 1990. -С.10-16.
2. Белоцерковский С.М.,Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их
применение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике.-М.:Наука, 1985.-256 с.
Поступила в редколлегию 26 февраля 1996 г.
7