Об оптимальных расширениях графов. Феоктистов А.В., студент Саратовский Государственный Университет Чернышевского им. Н.Г. Назовём граф G* = (V*, E*) вершинным (рёберным) расширением графа G = (V, E), если граф G можно вложить в каждый подграф графа G*, получающийся удалением из G* любой вершины (ребра) и связанных с ней рёбер. Граф G* = (V*, E*) называется минимальным вершинным расширением графа G =(V, E), если выполняются следующие условия: 1. граф G* является вершинным расширением графа G; 2. |V*| = |V| + 1; 3. G* имеет наименьшее количество рёбер среди всех вершинных расширений графа G. Граф G* = (V*, E*) называется неприводимым вершинным расширением графа G = (V, E), если выполняются следующие условия: 1. граф G* является вершинным расширением графа G; 2. |V*| = |V| + 1; 3. после удаления любого ребра из графа G* полученный граф не будет вершинным расширением графа G. Граф G* = (V*, E*) называется минимальным рёберным расширением графа G =(V, E), если выполняются следующие условия: 1. граф G* является рёберным расширением графа G; 2. |V*| = |V|; 3. G* имеет наименьшее количество рёбер среди всех рёберных расширений графа G. Граф G* = (V*, E*) называется неприводимым рёберным расширением графа G = (V, E), если выполняются следующие условия: 1. граф G* является рёберным расширением графа G; 2. |V*| = |V|; 3. после удаления любого ребра из графа G* полученный граф не будет рёберным расширением графа G. В результате вычислений, проведённых автором, были построены все, в том числе минимальные и неприводимые, расширения циклов с числом вершин не более десяти. Список литературы 1. Абросимов М.Б. Минимальные расширения циклов с числом вершин не более одиннадцати // Саратов: СГУ. – 2001. – 17с.; Деп. в ВИНИТИ 14.08.2001, №1869-B2001. 2. Салий В.Н. Доказательства с нулевым разглашением в задачах о расширениях графов // Вестник ТГУ. Приложение. – 2003. - №6. – С. 63-65. 3. Harary F., Hayes J.P. Edge fault tolerance in graphs // Networks. – 1993. – Vol. 23, №1, - P. 135-142. 4. Hayes J.P. A graph model for fault-tolerante computing systems //IEEE Trans. Comput.-1976. – Vol. C. 25, № 9. - P. 77-89. 5. Mukhopadhyaya K., Sinha B,P, Hamiltonian graphs with minimum number of edges for fault-tolerance topologies // Inform. Process. Lett. – 1992. – Vol. 44.- P. 95-99. 6. Wang J.J., Hung C.N., Tan J.J.M., Hsu L.H., Sung T.Y. Construction schemes for fault-tolerant Hamiltonian graphs // Networks. – 2000. – Vol. 35, №3. – P. 233-245.