356karpov petr paperx

УДК 537.633.9
Диэлектрическая восприимчивость мультиферроиков с магнитными вихрями
П.И. Карпов
Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС»
Аннотация
Исследована спиновая система на решетке в XY модели с определенным типом
взаимодействия типа мультиферроиков между векторами намагниченности и поляризации, при температуре ниже температуры Березинского-Костерлица-Таулесса. Посчитан вклад пар вихрь-антивихрь (которые образуют электрические диполи) в диэлектрическую восприимчивость системы.
Явления магнетизма и сегнетоэлектричества в настоящее время находят широкое
технологическое применение. Поэтому вещества, сочетающие в себе свойства и ферромагнетиков и сегнетоэлектриков, называемые мультиферроиками, представляют особый интерес, как с теоретической точки зрения, так и с точки зрения возможных технологических применений.
Мультиферроики очень интересны с точки зрения возможных технологических
приложений, например: создание магнитоэлектрической памяти RAM, запись информации с помощью вихрей, создание спинтронных устройств. Благодаря эффекту магнитоэлектрического контроля, в мультиферроиках возможен простой и быстрый способ
изменения электрических и магнитных свойств.
В данной работе мы исследуем тонкие пленки из мультиферроиков. Для описания
магнитной подсистемы мы используем классическую двумерную XY модель с взаимодействием между ближайшими соседями:
E =  J  M i M j =  JM 2  cos(i   j )
<i, j >
<i, j >
Здесь Mi – намагниченность на i-ом узле, Mi = M 0{cos i , sin i } . Если  меняется
плавно, можно рассмотреть непрерывный предел:
1
1
E = E0  JM 2  (i   j ) 2 = E0   s  ( ) 2 d 2 r
(1)
2
2
<i , j >
где s  JM 2 / r0 – спиновая жесткость системы, r0 – параметр решетки. Минимум
энергий достигается для конфигураций  (x) , таких что  = 0 . Одно из решений, дающих локальный минимум энергии, называется вихрем и имеет вид:
y
 ( x, y )  n arctg  0
x
Здесь n – целое число, называемое топологическим зарядом или силой вихря.
Конфигурацию с n  0 называют антивихрем. Вихрь с топологическим зарядом n имеет
энергию Ev = n 2  s ln( R / r0 ) , где R – длина порядка размера системы. Таким образом,
одиночные вихри не появляются в макроскопической системе из-за логарифмической
расходимости их энергии. Зато пара вихрь-антивихрь обладает конченой энергией (r –
расстоянием между центрами вихря и антивихря):
2
Eva = 2n 2  s ln
r
r0
(2)
Поэтому при любой температуре T < TKT благодаря тепловым флуктуациям имеется некоторое количество пар вихрь-антивихрь. При низких температурах образуются,
в основном пары с n  1 , которые и дают главный вклад в диэлектрическую восприимчивость системы, поэтому для простоты мы будем рассматривать только их.
Рассмотрим, какие изменения надо внести в XY модель при рассмотрении мультиферроика, т.е. если мы хотим учесть взаимодействие электрической и магнитной
подсистем. Плотность энергии мультиферроика равна [2]:
P2
w=
 P((M)M  M(M))   i M j   i M j ,
2e
(3)
где  e – затравочная диэлектрическая восприимчивость (про отсутствии вихрей),  –
константа взаимодействия электрической и магнитной подсистем, | M |= M 0 = const .
Минимизируя энергию по P , получим:
P = e ((M)M  M(M))
(4)
и энергия преобразуется в:
1
w = (M 02   2  e M 04 )( ) 2
2
(5)
Это выражение согласуется с выражением для энергии в обычной XY модели
(без PM взаимодействия) (1) с эффективной спиновой жесткостью  s = 2M 02   2  e M 04 .
Таким образом, при включении PM взаимодействия в XY модели перенормируется
константа связи. Поэтому и в XY модели с PM взаимодействием вихревые
конфигурации реализуют локальные минимумы энергии и являются устойчивыми
конфигурациями. РМ связь (2) приводит к появлению электрического заряда в коре
вихря [2]: q = 2ne M 02 . Мы видим, что электрический заряд вихря пропорционален его
топологическому заряду, а значит пара вихрь-антивихрь образует диполь.
Рассмотрим систему невзаимодействующих дипольных пар вихрь-антивихрь (при
температуре T < TKT ) на двумерной решетке в электрическом поле Е. Для простоты
будем полагать, что топологические заряды вихрей равны только n = 1 .
Электростатическая энергия такого диполя с зарядами q и  q (расположенными в
коре вихря и антивихря соответственно) во внешнем поле с расстоянием r между
вихрем и антивихрем равна  qrE . Электростатическая энергия взаимодействия вихря
и антивихря равна 2q 2 ln( r / r0 ) , энергия взаимодейстия вихря и анитвихря в XY модели
дается выражением (2). Таким образом, полная энергия такого диполя равна [1]:
r
U total = qrE  2q~ 2 ln  
(6)
r0
где q~ – это комбинация электрического и топологического зарядов вихря:
q~ 2 = q 2  n 2  s ,  < 0 – химический потенциал (т.е. |  | – это энергия создания диполя с
зарядами на соседних узлах решетки). Мы рассматриваем случай низкой концентрации
диполей, поэтому |  |
должен быть достаточно большим. Обозначим
2
~
U (r ) = qrE  2q ln( r / r0 ) . Тогда большая статсумма (в единицах k B = 1 ) :
 n 
 U (r1 )  ...  U (rn ) 
Z(E, T ) =  exp    exp  
=
T
 T configurations 

n
(7)
n
2
2
1 
d QCM d r
U (r )  

 exp ( ) 
=
exp  

2 
r02  r02
T  

n ( n!) 
Здесь мы заменили суммирование по всем вихревым конфигурациям интегрированием, QCM – координата центра масс диполя,  = 1 / T . Введем обозначение:
K = exp (  ) d 2QCM / r02 , тогда мы получим:

d 2r
 U (r )  
Z(E, T ) = I 0  2 K  2 exp  
 == I 0 (2 Z1 (E, T ) )

r
T

 
0

(8)
где Z1 (E, T ) – статсумма для одного диполя, I 0 ( z ) – модифицированная функция Бесселя первого рода. Вычислим Z1 :
2 q~ 2
1
r T
d r
 U (r )  K
 qrE cos  
Z1 ( E , T ) = K  2 exp  
exp 
(9)
 = dr d  

r0
T
 T  r0


 r0 
Теперь, используя (8) и (9), в приближении слабого поля E  0 мы можем посчитать диэлектрическую восприимчивость системы:
r02 q 2 K
T 2
I1 (2 )
(10)
=
ln Z
=
2
~
S E
2S  ( q 2  2) I 0 (2 )
E =0
2

K
.
~
q 2  1
Найдем асимптотическое поведение χ при малых температурах. В этом
q2
приближении: T  TKT 
, а значит q 2  2 , а также |  |  1 , поэтому K и δ
2
малы. Используя асимптотику модифицированной функции Бесселя [5]:
( z / 2)
I ( z ) 
(  1)
мы получим в нулевом приближении по E и T:
4e2 2
1
q2 
 =  exp ( ) ~ 2 = exp ( )
(11)
2
q
2
2/M 02   2  e (1  4e )
В заключение, мы вычислили вклад пар вихрь-антивихрь (образующих
электрические диполи) в диэлектрическую восприимчивость тонкопленочного
мультиферроика. Приближение невзаимодействующих диполей хорошо применимо
при низких температурах (когда exp ( )  1 ). В пределе низких температур решение
(10) дает активационную экспоненту (11). При температурах, приближающихся к
температуре TKT решение (10) дает расходящуюся χ, что отражает процесс
диссоциации пар вихрь-антивихрь.
Автор благодарен Фонду некоммерческих программ «Династия» за финансовую
поддержку.
где S – площадь системы,  = Z1 ( E = 0) =
Список литературы:
[1] J.M. Kosterlitz and D.J. Thouless, Ordering, metastability and phase transitions in
two-dimensional systems. J.Phys. C6, 1181 (1973)
[2] M. Mostovoy, Ferroelectricity in spiral magnets. Phys.Rev.Lett. 96, 067601 (2006)
[3] L.D.Landau, E.M.Lifshits, L.P. Pitaevskii. Electrodynamics of Continuous Media.
Vol. 8 (1rst ed.) (1984). Butterworth-Heinemann.
[4] P.M.Chaikin and T.C.Lubensky, Principles of condensed matter physics, Cambridge
University Press, 1995.
[5] Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972), Handbook of Mathematical
Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications.