Введение - Л.Н.Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университеті

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН
Евразийский национальный университет имени Л.Н. Гумилева
МАТЕМАТИКА: НАУКА
МАТЕРИАЛЫ
Института теоретической математики и научных вычислений
ЕНУ им. Л.Н.Гумилева
I. Лаборатория теоретической математики
II. Лаборатория научных вычислений
по
ГОСУДАРСТВЕННОЙ ПРОГРАММЕ
развития образования Республики Казахстан
на 2011 – 2020 годы
Аннотированное оглавление
1240 страниц текста прямого применения
Астана 2011
Предисловие
Данный Сборник «Материалы - Наука» состоит из двух частей – Обзора 2011 объема порядка четверти тысячи страниц (ранее были опубликованы Обзор
1997 года на 54 страницах, затем Обзор-2010 года на 194 страницах) и
«Избранное: Математика. Наука» объема порядка трех четвертей тысячи
страниц.
Основное назначение – привлечение студентов всех уровней –
бакалавриата, магистратуры, Ph.D и молодых преподавателей РК к
научной работе.
Техническое исполнение представляется таким: в любом вузе РК
квалифицированный математик или специалист по информатике проводит
подготовку на начальном этапе, затем сотрудничество продолжается в рамках
Института теоретической математики и научных вычислений ЕНУ им. Л.Н.
Гумилева.
Вторым основным назначением является представление научного
потенциала нашей научной школы для грантового финансирования, как
составляющей базового финансирования исследовательского университета.
И, конечно, много других участков применений – составление программ
специальных курсов, использование при подготовке научных статей и т.д. и т.п.
В-третьих, организация научной работы требует большой учебной и
организационной работы на уровне государства.
Наши конкретные предложения по необходимому математическому
образованию в самом коротком исполнении изложены во Введении к Обзору 2011.
В организационной части, как нам представляется, здесь основной
структурной единицей должны быть исследовательские институты со своей
программой
исследований,
подтвержденных
публикациями
в
международнозначимых журналах.
Данный Сборник «Материалы - Наука» можно рассматривать как
конкретный образец исследовательской программы.
Н.Темиргалиев
29.V.2011
2
Л.Н. Гумилев атындагы Е¥У
математиктерінің ғылыми жетістіктеріне арналган
Арнайы шығарылым
Специальный выпуск
посвященный научным достижениям математиков
ЕНУ имени Л.Н. Гумилева
Н. ТЕМИРГАЛИЕВ
Компьютерный (вычислительный) поперечник. Алгебраическая теория
чисел и гармонический анализ в задачах восстановления (метод квази –
Монте Карло). Теория вложений и приближений. Ряды Фурье.
© Л.Н.Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетінің баспасы, 2011
Профессору Московского
государственного университета
им. М.В.Ломоносова
С.В. Конягину
Глубокоуважаемый Сергей Владимирович!
Евразийский национальный университет имени Л.Н.Гумилева издает Обзор,
посвященный научным результатам и перспективам их дальнейшего развития научной школы
Н.Темиргалиева «Компьютерный (вычислительный) поперечник. Алгебраическая теория
чисел и гармонический анализ в задачах восстановления (метод Квази-Монте Карло).
Теория вложений и приближений. Ряды Фурье», в серии «Специальный выпуск,
посвященный научным достижениям математиков ЕНУ им. Л.Н.Гумилева» журнала
Вестник ЕНУ.
В Казахстане Вас знают как одного из крупных математиков современности.
Только один факт Вашей докторской диссертации из двух глав, в каждый из которых
решены известные трудные проблемы – проблема Литтлвуда и проблема Лузина, относится к
центральным в вопросах аттестации.
Широко известна Ваша исключительная принципиальность в экспертных делах в ВАКе
России и в составе редколлегий международнозначимых математических журналов.
Ваши всегда неординарные научные статьи с новыми постановками задач и новыми
методами изучаются и становятся темами исследований математиков многих стран, в том
числе из Казахстана.
В Казахстане также изучается Ваш опыт выступления и организации Олимпиад –
школьных и вузовских.
Вы оказали бы большую поддержку нашему молодому университету, если взяли бы на
себя труд рецензирования названного Издания, если это возможно, с представлением
Предисловия.
Проректор по научно-исследовательской работе
и международному сотрудничеству
Ж.З. Уразбаев
Исп. Е.Е.Нурмолдин
тел. +7-701-524-11-30
5
Введение
Данный Обзор-2011 года выполнен на основе Обзора–2010, в свою очередь созданного
по материалам 613-страничного издания [1] и Международной конференции «Теория функций
и вычислительные методы» 2007 года [2] (и еще четырех публикаций 2010 года). Эти два
Обзора частично являются продолжением и развитием тем исследований, вошедших в Обзор
[3] 1997 года и изложенных на страницах 5-261 издания [1].
Цели Обзора - 2011 года остались теми же самыми, что и первого Обзора [3] 1997 года
и второго Обзора - 2010, т.е. следующими:
«Данная работа выполнена в соответствии с идеей опубликования в едином издании
всех значимых достижений школ, групп, отдельных математиков Казахстана (каковых у
каждого математика не так уж и много [4]:«Подавляющее большинство математиков годы и
годы, а иногда и десятилетия тратят на развитие одного математического сюжета,
создание некоей теории или решение какой-то отдельной задачи. Нередко на это уходит вся
жизнь - большинство математиков “специализируются” лишь в одной какой-то области.
Самые крупные меняют темы своих занятий два, три раза, величайшие, как Гильберт - чуть
больше (у Гильберта было восемь “сюжетов”)»), начиная с 1935 года, когда в одном из
ведущих математических журналов СССР - журнале “Математический сборник” была
опубликована статья Ибатуллы Акбергенова [5] - первая полновесная
научная
математическая работа казахского математика.
Очевидно, обзор достижений должен быть и замкнутым в себе - с необходимыми
определениями, постановками задач и комментариями к ним, и открытым в международную
математику - с иллюстрацией важнейших достижений в данной тематике, там же, где это
возможно, показом “родословной” отдельных задач и теорем, сопровождаемый историческим
обзором (в связи с этим отметим, что в математике понятия устаревания постановки задачи,
как и полученного результата, вообще говоря, нет - например, задача о квадратуре круга
решалась более двух тысяч лет - от древних греков до 1882 года, когда Ф. Линдеман сделал
последний шаг, доказав трансцендентность числа  , а проблема Ферма, известная как
Последняя теорема Ферма, поставленная в 1630 году, решена Уайлсом в 1995 году, - и
исследования могут продолжаться в любой момент времени до полного решения, причем в
процессе поиска решения от нее могут отпочковаться самостоятельные, порой более важные,
задачи) и на всем этом фоне, - значимые, по мере возможности ясные, узловые или носящие
иллюстративный характер, собственные результаты. Вместе с тем, такой обзор, при всей его
необходимости, не был бы полным, если бы он не был обращен на перспективу - с
формулировкой задач и возможных подходов к ним.
Таким образом, собранные в одном месте, такие обзоры имели бы несомненный
исторический интерес, они также необходимы для настоящего и будущего - позволят
оценивать современное состояние и перспективу математических исследований, выявить
актуальные, в свете общих тенденций развития науки и компьтерных технологий, разделы
математической науки, что, в свою очередь, будет способствовать организации качественного
преподавания математики в высшей и средней школах.
Решающая роль в государственной организации развития науки отводится качественной
экспертизе и аттестации: обзор значимых достижений в контексте международной науки
должен быть, в идеале, единственной основой формирования разного рода Советов по защите
диссертаций и Экспертных советов, назначения экспертов по разным научным делам (наше
видение этих и других проблем развития математики в Казахстане изложено в [6]).
И, безусловно, первой статьей в будущем сборнике должна быть работа
И. Акбергенова [5]».
Возвращаясь к теме экспертных заключений, отметим, что публикации в рейтинговых
журналах – только первый этап экспертизы (и абсолютно необходимый!), цель которой –
отсечь совсем непродуктивные работы и носителей степеней.
6
Авторитетное свидетельство тому [7,стр.155-161]:
Даже в те годы, когда количество научных журналов было во много раз меньше,
Ландау утверждал, что 90 % работ, публикуемых в «Physical Review», самом известном
физическом журнале в мире, относятся к разряду «тихой патологии» - тихо и ненужно
ковыряется в своей области.
Еженедельный - по четвергам ровно с 11 часов - семинар Л. Ландау работал с середины
30-ых гг. в Харькове до трагического 7 января 1962 года в Москве.
Л.Ландау сам отбирал статьи и назначал докладчиков на семинаре, никто не мог
сослаться на свою некомпетентность в каком-то вопросе для оправдания невозможности
прореферировать ту и или иную статью, что обеспечивала универсальная подготовка, которую
давал его (с Е.М. Лифшицем) знаменитый теоретический минимум,- состоящий из 10 книг
«Курс теоретической физики».
Оценки результатов статьи:
1. «Выдающаяся» - вносится в «Золотую книгу» семинара.
2. «Интересные вопросы для дальнейшего исследования» - записывалась в «Тетрадь
проблем».
3. «Патология» - нарушены принципы научного анализа либо в постановке задачи,
либо в ее решении.
4. «Тихая патология» - тихо и ненужно ковыряется в своей области, но «чужих
результатов не присваивает», «своих результатов не имеет», «лженаукой не
занимается».
5. «Бред», «бредятина».
6. «Эксгибиционизм!» - «Самореклама»!: «Псевдонаучные труды», «Агрессивная
претензия на научный результат».
7. «Эксгибиционист»: не умеет рассказывать свои (и чужие) работы, но готовый
делать доклады где угодно и невзирая ни на какие трудности.
О том же читаем у В.И.Арнольда [28, стр.137]:
4. ЦИТИРОВАНИЯ. Часто встречается странная форма ссылки: «Это открыл х (в статье
[у]), см. также [г]». Для себя я перевожу эту зашифрованную фразу в её исходную форму,
которую автор захотел почему-то скрыть: «Это открыл автор w статьи z, но я узнал его
результат из статьи у моего друга х».
Такие дезориентирующие читателя ссылки, как «см. также» выше, совершенно
аморальны.
Мои иностранные коллеги объяснили мне, что в наш век «все» ссылаются не на
первооткрывателей (вроде Колумба), а на того, кто последним использовал нужный факт
(как это было когда-то с Америго Веспуччи).
Этот обычай социально значим: он поощряет многочисленных эпигонов быстро
публиковать свои маловажные работы (чего требуют и учёные советы, где защищаются
диссертации). Именно из-за этого публикуется в сотни раз больше статей, чем надо.
Я не стану приводить (слишком многочисленные) примеры, так, как опасаюсь за свою
жизнь. «Подкова Смейла» была опубликована Литтлвудом и Картрайт десятками лет
раньше замечательной работы не процитировавшего их Смейла.
Настоящая работа состоит из Введения и одиннадцати параграфов, в которых
представлены различные темы и направления, в разработке которых в той или иной мере
принимали участие автор, его ученики и коллеги.
Автор от С.Б.Стечкина на его семинаре в Математическом институте им. В.А. Стеклова
АН СССР вынес положение «Надо решать задачи, а не доказывать теоремы, которое я могу
доказать по десять в день» (которое потом было оформлено как завещание в форме «Теорема
– ничто, задача - все» (см. [8, стр. 356])).
Чтобы быть объективным, что называется, «до конца», от С.Б.Стечкина автор также
слышал «Слишком точно ставить задачу – ошибка молодости», что созвучно высказыванию
7
А.Н.Колмогорова «В каждый данный момент существует лишь тонкий слой между
тривиальным и недоступным. В этом слое и делаются математические открытия.
Заказная прикладная задача поэтому в большинстве случаев или решается тривиально,
или вообще не решается… Другое дело, если приложения подбираются (или подгоняются!)
под интересующий данного математика новый математический аппарат…» в его дневнике
[9, стр.52], что автор для себя воспринял как математическое откровение: четко поставленные
задачи не всегда поддаются решению в заявленной редакции.
Конечно, все сказанное нашло отражение в исполнении данного Обзора, - большое
внимание уделяется обоснованию постановок задач, комментариям полученных результатов и
их возможным продолжениям.
Как известно, Лев Ландау всегда стремился, по его же словам, «тривиализировать
проблему».
В той же книге [7, стр. 161-167] по теме «Преподавание математики по Ландау» с
эпиграфом «Меня интересует, - говорил Ландау своим ученикам, - сумеет ли человек
проинтегрировать уравнение. Математическая же лирика интереса не представляет (см.
[10, стр. 34])» читаем «Л.Д. Ландау отличался необыкновенной способностью, как он сам
говорил, «тривиализовать проблему». Тривиализовать означает здесь найти наиболее
простой способ объяснения, не отступая от истины. Он был врагом всякой туманности,
многозначности, часто скрывающей некомпетентность, умение или нежелание поискать
более простых объяснений. Иллюстрацией может послужить удивительный ответ,
который Ландау однажды дал на вопрос студента о том, является ли электрон корпускулой
или волной: «Электрон – не корпускула и не волна. С моей точки зрения, он – уравнение, в
том смысле, что лучше всего его свойства описываются уравнением квантовой механики,
и прибегать к другим моделям – корпускулярной или волновой – нет никакой
необходимости».
По – видимому, определение «Электрон – это уравнение», как это правильно
описывается там же «сбалансированное физическое соотношение фундаментальных
характеристик электрона в данных условиях: его энергии, импульса, заряда, спина, которое
проверяется на опыте», правда с иными выводами, все-же больше говорит об отношении
Ландау к математике, нежели как это можно понять из приведенного эпиграфа.
Ответ (или ответы) на поставленную задачу в математике оформляется в виде теорем,
которые бывают различного качества.
Приведем рассуждения Г. Харди по этому вопросу [11, стр. 80-81]:
«Под серьезной» принято понимать теорему, содержащую «значительные» идеи.
Два качества играют существенную роль: общность и глубина идеи, но ни одно из них
не поддается определению легко и просто.
Значительная математическая идея, серьезная математическая теорема должна
обладать «общностью» в каком-то следующем смысле. Идея должна быть составляющей
частью многих математических конструкций, используемых в доказательствах многих
теорем различного рода. Теорема должна быть такой, что даже если первоначально она
сформулирована в весьма частном виде (как теорема Пифагора), она должна допускать
существенное обобщение и быть типичной для целого класса теорем аналогичного рода.
Отношения, выявляемые в ходе ее доказательства, должны связывать многие различные
математические идеи. Все это очень смутно и требует многочисленных уточнений. Но, как
нетрудно видеть, теорема вряд ли может претендовать на роль серьезной теоремы, если в
ней явно недостаточно этих свойств».
В данном Обзоре также хотели показать примеры «тривиализации проблемы»,
«серьезности теорем» и «значительности идеи», разумеется, «… на почтительном
расстоянии», когда доказательства изначальных идей исследований, как скромных, так и очень
скромных, могут занимать соответственно 20, 16 и 7 строк (не страниц!).
Так, в статье [12] новый логарифмический эффект в пространствах Лоренца в
"близком" случае, который мой Учитель П.Л. Ульянов оценил как основной и достаточный, но
с близлежащими дополнениями для «массы», результат докторской диссертации, и из-за того,
8
что оставил эту тему, с небольшим перерывом после защиты по другой теме, журил меня всю
жизнь, и который с тех пор в различных вариациях составляет тему исследований ряда
авторов, занимает 20 строк (см. здесь п.3 §10).
Идея применения теории дивизоров в вопросах квадратур 1988 года в статье
[13] занимает 16 строк доказательного текста (см. здесь п.1 §3).
Доказательство общего равенства 2002 года, составляющего основу "метода Смоляка",
в статье [14] занимает 7 строк (см. здесь п.2 §3).
Разумеется, автор при написании данного обзора старался, по мере возможности,
придерживаться сформулированных выше общих принципов. Однако, с большим сожалением
недостаточно полно или же вовсе не упомянуты многие исследования по каждой из тематик,
поскольку это уже жанр тематической обзорной статьи, каковой данная (по замыслу) не
является.
Представленные здесь исследования вместе с сформулированными задачами могут
служить темами курсовых и дипломных работ, магистерских и Ph.D. диссертаций по
математике и информатике.
Здесь хотелось бы обратить внимание на следующее.
В математических исследованиях, разумеется, основная роль принадлежит
обоснованию постановки задачи, но, одновременно, как это показано (во всяком случае, такая
цель всегда не упускалась из виду) в наших Обзорах, не меньшее значение имеет и
содержательность (если угодно, и красота) ответа – формулировки соответствующих теорем
как иллюстративных результатов.
В связи с проблемой выбора темы исследования приведем отрывок из Предисловия
В.И.Арнольда к книге [15]:
«Москва давно славится своими математическими семинарами. Обычно в начале
семестра я формулирую десяток-другой задач. Анализ последующего показывает, что
среднее время полураспада задачи (после которого она обычно более или менее решена) —
порядка семи лет.
И. Г. Петровский, один из моих учителей в математике, учил меня, самое главное, что
ученик должен узнать от учителя — это что некоторый вопрос еще не решен. Дальнейший
выбор вопроса из нерешенных — дело самого ученика. Выбирать за него задачу — всё равно,
что выбирать сыну невесту» с эпиграфом: «Мир держится на детях, которые учатся.
Роже Пейрефит».
Наверное, нелишне также иметь ввиду, что, по мнению Г. Харди [11, стр. 64]:
«Если интеллектуальное любопытство, профессиональная гордость и амбиция –
доминирующие побудительные мотивы исследования, то, несомненно, ни у кого нет лучших
шансов удовлетворить им, чем у математика. Предмет его исследований –
прелюбопытнейший;
нет ни одного другого предмета, в которых истина откалывала бы
самые причудливые штуки. Математика обладает разработанным до тончайших деталей
увлекательнейшим аппаратом исследований и оставляет беспрецедентный простор для
проявления высокого профессионального мастерства. Наконец, как неоднократно
доказывает история, математическое достижение, какова бы ни была его внутренняя
ценность, обладает наибольшей «долговечностью» по сравнению с достижениями всех
других наук. Мы можем убедиться в этом даже на примере пполуисторических цивилизаций.
Вавилонская и ассирийская цивилизации пали; Хаммурапи, Саргон и Навуходоносор -ныне
пустые имена, тем не менее вавилонская математика и поныне представляет интерес, а
вавилонская шестидесятеричная система счисления все еще применяется в астрономии. Но
самым убедительным примером служит, конечно, Древняя Греция.
Древние греки были первыми математиками, чьи результаты актуальны для нас и
поныне…. Древние греки впервые_заговорили на языке. который понятен современному
математику…. Поэтому древнегреческая математика сохранила «непреходящее» значение
— более непреходящее, чем даже древнегреческая литература. Архимеда будут помнить,
даже когда забудут Эсхила потому, что языки умирают, тогда как математические идеи
9
бессмертны. Возможно, «бессмертны» — глупое слово, но, вероятно, математик имеет
лучший шанс, на бессмертие, что бы оно ни означало.
Математику нет необходимости всерьез опасаться, что будущее будет несправедливо
по отношению к нему…. Даже в математике_история иногда выкидывает странные трюки: Ролль фигурирует во всех учебниках математического анализа, как если бы он был
математиком того же ранга, как и Ньютон».
Завершим наши обширные цитирования следующими советами И. М. Виноградова:
«Надо пытаться решать важные задачи, не считаясь с их трудностью. Их решения навсегда
войдут в историю науки и принесут людям большую пользу. Так поступали наши великие
предшественники. Не следует увлекаться решением легких и малонужных задач только
потому, что они не требуют больших усилий. Учёные, которые это делают, могут увлечь на
тот же неправильный путь и своих учеников. Выбрав достойную тему, следует наметить
план работы и не оставлять его, пока теплится хоть малейшая надежда на успех
Важно знать работы классиков - содержащиеся в них идеи могут оказать решающее
действие на успех собственный».
Предварительные знания и необходимую, что называется, «математическую зрелость»,
требующиеся для понимания и продолжения представленных здесь задач и исследований,
можно, в частности, получить изучив [16-25].
В заключение сообщим, что у истоков всех выполненных здесь исследований (за качество
которых, разумеется, ответственность несем мы сами) находятся Учителя авторавыдающиеся советские русские математики академик РАН П. Л. Ульянов (1928-2006) и д.ф.м.н. С. М. Воронин (1946-1997), память которых с благодарностью еще раз почтим.
Список литературы к Введению
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Темиргалиев Н. Математика: Избранное. Наука // под ред. Б. С. Кашина. Астана:
Изд-во ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2009. 1-613 с.
Теория функций и вычислительные методы // Материалы Международной
конференции, посвященной 60-летию со дня рождения проф. Н.Темиргалиева. Издво ЕНУ. Астана-Боровое, 5-9 июня 2007. 1-233 с.
Темиргалиев Н. Теоретико-числовые методы и теоретико-вероятностный подход к
задачам Анализа. Теория вложений и приближений, абсолютная сходимость и
преобразования рядов Фурье // Вестн. Евразийского ун-та. 1997. № 3. С. 90-144.
Тихомиров В. М. Андрей Николаевич Колмогоров // Квант.1993. № 3-4. С. 3-10.
Акбергенов И.А. О приближeнном решении интегрального уравнения Фредгольма
и об определении его собственных значений // Матем. сб.1935. Т. 42. С. 679-697.
Темиргалиев Н. Математика: Избранное. Публицистика. 2010 (подготовлено к
изданию).
Горобовец Б.Г., Круг Ландау: Физика войны и мира. М.: ЛИБРОКОМ, 2009:
Стечкин С.Б. Избранные труды: Математика. М.: Наука, Физматлит.1998.
Колмогоров А.Н. Книга третья. Из дневников. М: Физматлит. 2003
Бессараб М.Я. Страницы жизни Ландау.М.: Московский рабочий, 1971.
Харди Г.Г. Апология математика. Пер. с англ. – М: Книжный дом ЛИБРОКОМ.2009.
H
Темиргалиев Н. О вложении классов p в пространства Лоренца // Сиб. матем.
журнал, 1983. Т. XXIV. № 2. С. 160-172.
Темиргалиев Н., C.С.Кудайбергенов, А.А.Шоманова. Применение тензорных
произведений функционалов в задачах численного интегрирования // Изв. РАН, сер.
матем., 2009. Т. 73. № 2. С. 183-224.
Темиргалиев Н.Тензорные произведения функционалов и их применения //
Докл.РАН, 2010. Т. 430. № 4. С. 460-465.
Задачи Арнольда. Москва ФАЗИС 2000.
Темірғалиев Н. Әубакір Б., Баилов Е., Потапов М. К., Шерниязов К. Алгебра және
анализ бастамалары, X-XI кластар. Алматы: Жазушы. 2002. 382 б .
10
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Темиргалиев Н., Аубакир Б., Баилов Е., Потапов М. К., Шерниязов К. Алгебра и
начала анализа, для X-XI классов. Алматы: Жазушы. 2002. 423 с.
Темірғалиев Н. Математикалық анализ. Т. I. Алматы: Мектеп, 1987. 288 б.
Темірғалиев Н. Математикалық анализ. Т. II. Алматы: Ана тiлi, 1991. 400 б.
Темірғалиев Н. Математикалық анализ. Т. III Алматы: Бiлiм, 1997.Б. 432 б.
Темиргалиев Н. Действительный анализ: мера и интеграл (готовится к изданию).
Темиргалиев Н. Теория вероятностей (готовится к изданию).
Темиргалиев Н. Математика: Избранное. Методология и методика. Казахстанская модель
образования и науки. (готовится к изданию).
Темірғалиев Н. Қазіргі математиканы және информатиканы оқу мен оның кейбір
бөлімдерін зерттеуге шақыру (жоғары кластар оқушылары мен бакалавриаттың
төменгі курс студенттері назарына) // Ғылым көкжиегінде: ғылыми-көпшілік жинақ.
– Алматы: Қазақ университеті, 2006. Б. 32-58 .
Темиргалиев Н. Приглашение к обучению и исследованиям в некоторых разделах
современной математики и информатики (вниманию школьников старших классов и
студентов младших курсов бакалавриата) // Наука: день сегодняшний, завтрашний
(научно-популярный сборник). Алматы: Қазақ университеті, 2005. С. 6-37.
Математика: Наука. Материалы Института теоретической математики и научных
вычислений ЕНУ им. Л.Н.Гумилева I Лаборатория теоретической математики II
Лаборатория научных вычислений по Государственной программе развития образования
Республики Казахстан на 2011 – 2020 годы. Астана 2011.
Математика: МЕТОДОЛОГИЯ и МЕТОДИКА Казахстанская модель образования и
науки. Материалы Института теоретической математики и научных вычислений ЕНУ им.
Л.Н.Гумилева III. Лаборатория математического образования в бакалавриате,
магистратуре и Ph.D докторантуре, IV. Лаборатория по школьной математике, V.
Лаборатория общих проблем образования и науки в РК по Государственной программе
развития образования Республики Казахстан на 2011 – 2020 годы. Астана 2011.
В.И. Арнольд «Истории давние и недавние (Издание второе, дополненное)» Москва 2005,
192 стр.
11
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение……………………………………...……………………………………………………...7
§1. Компьютерный (вычислительный) поперечник…...…………….………..………………12
1. Введение………………………………………………………………………………………….12
2. Поперечники как формулировки разных оптимизационных задач теории приближений
(аппроксимаций)………………………………………………..…………………………………...18
3. Идея Компьютерного (вычислительного) поперечника………...…………………………....18
4. Определение Компьютерного (вычислительного) поперечника по точной
информации…………………………………………………...……………………………………..19
5. Важнейшие примеры функционалов l  f  и операторов T  f  в определении
Компьютерного (вычислительного) поперечника…………...……………………………………21
6. О структуре наборов вычислительных агрегатов DN в определении Компьютерного
(вычислительного) поперечника……………………………...……………………………………23
7. Поперечник Колмогорова……………………………………...……………………………….23
8. Аппроксимативные возможности множества всех полиномов по данной системе линейно
независимых функций (Предпоперечник Колмогорова)……………………..…………………..24
9. Вычислительные агрегаты, построенные по линейным функционалам и линейным
алгоритмам…………………………………………………………………………………………...25
10. Пример поперечника, не вписывающегося в схему Компьютерного (вычислительного)
поперечника……………………………………………………………...…………………………..29
11. Общее определение Компьютерного (вычислительного) поперечника…………...………...32
12. Заключительные замечания к определению Компьютерного (вычислительного)
поперечника…………………………………………………………………………...……………..33
13. Иллюстративные результаты по теме Компьютерного (вычислительного) поперечника (по
точной информации)…………………………………………………………..…………………….35
14. Иллюстративные результаты по теме Компьютерного (вычислительного) поперечника предельная погрешность неточной информации при оптимальном восстановлении……….…37
15. Эффективизация поперечников…………………………………………….…..……………....40
16. Постановка задачи восстановления типа «информационного шума» (noisy
information)…………………………………………………………………………………………...41
17. Точные результаты по неточной информации (В.М.Тихомиров, Г.Г.Магарил – Ильяев,
К.Ю. Осипенко, А.Г.Марчук)…………………………………………...………………………….44
18. Задачи……………………………………………………………………...……………………..48
§2. Классы функций…………..…………………………………………………..………………..53
1. Классы функций как важнейшая составляющая постановки задач в непрерывной
математике……………………………………………...……………………………………………53
2. Классы Лебега и Орлича……………………………...………………………………………...53
3. Классы Соболева, Никольского и Бесова W, H и B (см. напр., [1], стр.48,59 и 6667, соответственно)………………………………………...……………………………………54
4. Классы функций с доминирующей смешанной производной……………………………..…56
5. Классы Ульянова U s  , , ;  (см. [6])………………...……………………………………57
6. Функциональные классы  sp D  (см. [8])………………………………………………………59
7. Весовые классы Коробова (см. [10])………………………………...…………………………60
8. Функциональные классы g , p ,s D  (см. [8])……………………………………………………60
9. Обобщенные классы Мори…………………………………………………………………...…62
10. Класс Н p (см [18]).......................................................................................................................65
§3. Алгебраическая теория чисел и тензорные произведения функционалов (в сочетании
с гармоническим анализом) в задачах восстановления…………………..………........…..68
1. Идея применения алгебраической теории чисел в задачах алгебры, геометрии
чисел и анализа..............................................................................................................................68
12
2. Тензорные произведения функционалов……………………………...……………………….69
3. Квадратурные формулы Смоляка………………………………………………………………71
§4. Равномерно распределенные сетки и задача эффективизации метода Монте-Карло..73
1. Равномерно распределенные сетки Коробова…………………………………………………74
2. Задача построения равномерно распределенных сеток Коробова (эффективизация
метода Монте-Карло)…………………………………………………………………………....75
3. Необходимые сведения из алгебраической теории чисел…………………………………….77
4. Метод сравнений в задаче построения равномерно распределенных сеток……...…………79
5. Алгоритм построения равномерно распределенных сеток…………………………………...80
6. Алгоритм построения решетки, близкой к критической……………………...……………...81
7. Алгоритм построения равномерно распределенных сеток Коробова в случае
размерности пространства s  18 ………………………………………………………….……83
§5. Алгебраическая теория чисел и гармонический анализ в задачах численного
интегрирования…………………..………………….……………………………………………..86
А. Квадратурные формулы
1. Постановка задачи численного интегрирования……...………..………………………………86
2. Уточнение постановок задачи (1-2)………………….…………………………..…………….88
В. Теоретико-числовые методы в задачах численного интегрирования.
Введение.……………………………………..……………………………..………………………..89
1. Краткий обзор теоретико-числовых методов в численном интегрировании………………..90
2. Теоретико - числовые алгоритмы приближенного интегрирования (случай
1  s   )……………………………………………………………………………...…………..92
3. Теоретико - числовые алгоритмы приближенного интегрирования (случай
2  s  18 )………………………………………………………………………………..………94
4. Об эквивалентных условиях равномерной распределенности сеток Коробова……………..95
5. Комментарии и замечания………………………………………………………………………..96
6. Построение равномерно распределенных сеток Коробова методом вычислительных
экспериментов……………………………………………………………………...………………..97
С. Построение равномерно распределенных сеток Коробова методом вычислительных
экспериментов…………………………………………………………………………..…………...98
D. Еще о теоретико-числовых методах
1. Комбинированные теоретико-числовые сетки…………………………….……………..……106
2. Метод квази-Монте Карло (КМК)……………………….….………...………………………107
Е. Численное интегрирование бесконечно дифференцируемых функций (теорема Е.
Нурмолдина)…………………………………………………….………………………………….107
Перспективы......................................................................................................................................109
§6. Применение тензорных произведений функционалов в задачах численного
интегрирования……..………………………………………………………….…………………113
Введение………………………………………………………………………………..…………...113
1. Конкретизация общего метода тензорного произведения функционалов для случая
квадратурных формул Смоляка………………………………...…………………………………116
  …………………...…………………..…117

3. Квадратурные формулы    f  для классов  g ,p Ds  …………………...…………….………121
2. Квадратурные формулы    f  для классов
p
s D
4. Неэффективность квадратурных формул Смоляка при повышении гладкости до
бесконечной………………………………………………………...…………………..………122
5. К вопросу о влиянии начального параметра в квадратурной формуле Смоляка……….....123
6. О порядке дискрепанса сетки Смоляка…………………………………………………..….123
7. О качестве сеток в квадратурных формулах (задача Сарда)………………………...……...124
8. Численное интегрирование тригонометрических коэффициентов Фурье……….……….127
9. Применение тензорных произведений функционалов к квадратурным формулам
Коробова (Н.Темиргалиев, Д.Кулбаева)…………………………………………..………....131
10. Оценки погрешностей квадратурных формул по неточной информации для
13
классов  p Ds  и  g ,p Ds  ……………………………………..……………..……………………..134
11. Тензорные произведения функционалов относительно систем Чебышева……...………...135
12. Дальнейшее развитие темы……………………………………………………..…………….135
§7. Восстановление функций………………..…………………………………….………….…138
1. Задача восстановления функций из классов……………………………………………….…138
2. Эффективизация ранее известных теорем существования операторов восстановления
функций……………………………………………………………………………………………..141
3. Информативная мощность всех возможных линейных функционалов при восстановлении
функций из классов……………………………………………………………………………...…142
4. Метод К.Шерниязова (Применение квадратурных формул к восстановлению функций и
преобразованных рядов Фурье)……………………………………...……………………………145
5. Формула К.Шерниязова о восстановлении преобразованных рядов Фурье по
значениям
в точках суммы исходного ряда………………………………………..…………………………145
6. Восстановление функций и преобразованных рядов Фурье по значениям суммы исходного
ряда……………………………………………………………………….……………………...…147
7. Восстановление функций из классов методом тензорных произведений
функционалов……………………………………………………………...……………………….149
8. Операторы восстановления функций – перспективы дальнейших исследований……...…154
9. Восстановление преобразованных рядов Фурье по значениям суммы исходного
ряда…………………………………………………………………………………...……………..154
10. Восстановление бесконечно дифференцируемых функций……………..…………………155
§8. Дискретизация решений уравнений в частных производных……….……..…………..159
Введение……………………………………………………..……………………………………...159
1. Дискретизация решений уравнения теплопроводности (теоремы К.Шерниязова,
Ш.Ажгалиева, Е.Нурмолдина)…………………………………………………………...……162
2. Дискретизация решений волнового уравнения………………………………………………165
3. Дискретизация решений уравнения Пуассона…………………………...…………………..168
4. Дискретизация решений уравнения Клейна-Гордона…………...…………………………..171
5. Дискретизация решений уравнения Лапласа…………...……………………………………173
6. Информативная мощность всевозможных линейных функционалов при дискретизации
решений задачи Дирихле для уравнения Лапласа…………….……..…………………………..174
7. Дискретизация решений задачи Дирихле для уравнения Лапласа в бесконечной полосе и в
прямоугольнике………………………………………………………………..…………………...175
§9. Теоретико-вероятностный подход к задачам Анализа…………………………………..179
1. Теоретико-функциональный и теоретико-вероятностный подходы к задачам
Анализа……………………………………………………………………………………...……...179
2. Средние относительно вероятностных мер на функциональных классах погрешности
операторов восстановления………………………………………………….…………………….180
3. Средние погрешности метода интегрирования Монте-Карло………………………………180
4. Построение вероятностных мер на классах функций………………...……………………..181
5. Одно замечание относительно теоретико-функциональных и теоретико-вероятностных
постановок задач……………………………………………………………...……………………184
6. Средние погрешности детерминированных квадратурных формул………………………..185
7. Средние погрешности методов интегрирования Монте-Карло………………...…………..186
8. Дискретизация решений уравнений в частных производных в среднем………...………...187
9. Поперечники в среднем……………………………………………………..………………..188
10. Применение вероятностных мер к задаче вычисления экстремума функционала………...189
11. Дискретизация в среднем квадратичном относительно вероятностных мер решений
уравнения Клейна – Гордона……………………………………………………...……................190
12. Средние квадратические погрешности дискретизации решений уравнения Лапласа……192
Перспективы…………………………………………………………………...………………...…194
§10. Теория вложений и приближений………………….…………………………..………...198
1. Прямые и обратные задачи теории приближений (в одной метрике)…………...…………..198
14
2. Теоремы вложения (вокруг подхода П.Л. Ульянова)………………………..………………199
3. Критерий вложения классов H  в пространство Лоренца L,  …………..……………..209
p
4. Методы гармонического анализа ………………………………………………..……………213
5. Прямые и обратные задачи теории приближений (в разных метриках)………..………..…214
6. Новые задачи об аппроксимативных возможностях полиномов по ортогональным системам
с произвольным спектром ………………………………………………..……………………...217
7. Теорема М. Сихова об оптимальном приближении функций из классов в зависимости от
спектра приближающих тригонометрических многочленов (с комментариями)………..…...218
8. Классы типа Морри (иллюстративный результат – теорема Г.Т.Джумакаевой о вложении
s
классов Соболева-Морри в C 0,1 )……………………………………………………….……...225
9. Модули непрерывности переменного приращения и теоремы вложения (К. Сулейменов, Н.
Темиргалиев) ………………………………………………………………………………………228
§11. Ряды Фурье……………..…………………………………………………….……………...236
1. Преобразования коэффициентов рядов Фурье………………………………………………...236
2. Абсолютная сходимость рядов Фурье…………………………………...…………………….237
3. Критерии интегрируемости высших производных…………………………...………………239
4. Суммирование рядов Фурье…………………………………………………………………….240
15
КАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ
Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университеті
Н. Темірғалиев
ТАҢДАМАЛЫ. ҒЫЛЫМ
Н. Темиргалиев
ИЗБРАННОЕ. НАУКА
N. Temirgaliyev
SELECTED PUBLICATIONS. SCIENCE
АСТАНА
2009
16
Предисловие
Евразийский национальный университет им. Л. Н. Гумилева принял решение об издании
избранных научных трудов крупного казахского математика, профессора Нурлана
Темиргалиева. Профессор Темиргалиев - сам возглавляющий сегодня научную школу, активно
работающую в Казахстане – воспитанник московской школы метрической теории функций,
созданной выдающимися русскими учеными Д.Е. Меньшовым и П.Л. Ульяновым. Для всех
участников этой школы настоящее издание - знаменательное событие. Читатели получают
возможность оценить итоги исследований, о которых Н. Темиргалиев рассказывал нам на
протяжении более чем тридцати лет. И самое главное, что тематика этих исследований
полностью сохраняет свою актуальность, а, значит, книга представляет интерес для широкого
круга читателей. В статьях, включенных в настоящее издание, центральными являются две
крупные темы:
Исследование классов функций многих переменных и, в частности, теорем
вложения;
Квадратурные формулы, вопросы численного интегрирования и приближенного
восстановления функций по дискретным данным.
Исследование теорем вложения для классов функций многих переменных было начато Н.
Темиргалиевым в аспирантские годы, как продолжение исследований его учителя академика
П.Л. Ульянова (1928-2006), посвященных классам функций одной переменной. Уже в работах
основателей теории вложения функциональных классов С.Л. Соболева и С.М. Никольского
было выяснено, что многомерный случай требует развития новых, по сравнению с
одномерным случаем, методов, что проявилось и в исследованиях Н. Темиргалиева.
С середины 80-х годов прошлого века центральное направление в исследованиях
Н.Темиргалиева - многомерные кубатурные формулы и вопросы восстановления функций
многих переменных по дискретной информации. Первые работы по кубатурным формулам
были выполнены Н.Темиргалиевым совместно с выдающимся специалистом по теории чисел
профессором С.М.Ворониным (1946- 1997). В этой классической области анализа теоретикочисловые методы традиционно играют важную роль, поэтому не удивительно, что
сотрудничество специалистов по теории чисел и теории функций оказалось весьма
плодотворным. Под влиянием С.М.Воронина Нурлан Темиргалиев изучил и стал использовать
теорию дивизоров в полях алгебраических чисел в качестве основного аппарата для
эффективного построения оптимальных многомерных кубатурных формул. Эти исследования
составили основу докторской диссертации «Об эффективности алгоритмов численного
интегрирования и восстановления функций многих переменных», которую Н. Темиргалиев
защитил в Математическом институте им. В.А.Стеклова АН СССР в 1991 г. В последующие
годы теоретико-числовые и вероятностные методы исследований функций многих
переменных активно развивались Н.Темиргалиевым и его учениками. Следует отметить, что
это направление в анализе находит в последние годы все новые и новые приложения.
Надеюсь, что издание избранных трудов профессора Н.Темиргалиева даст новый
импульс развитию исследований по математическому анализу.
Заведующий кафедрой теории функций
и функционального анализа Московского
государственного университета
им. М. В. Ломоносова, член- корреспондент РАН
Б.С. Кашин
17
АННОТИРОВАННОЕ ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ………………………………………………………………………………………………….….……3
Слово об авторе ……………………………………………………………………………………………….…..….4
1. Некоторые теоремы вложения классов функций H p,m  многих переменных
(Изв. АН КазССР, сер. физ.-матем., 1970, №5, стр. 90-92)………………………………………….….……..……....5
1968 году на Республиканскую межвузовскую конференцию (КазГУ: Ректор А.З.Закарин,
Декан механико-математического факультета Х.И. Ибрашев) были приглашены молодые, но
уже заявившие о себе в математике, ученые с целью установления, как говорят, «научных
связей».
Среди них был и сорокалетний Ульянов Петр Лаврентьевич, который рассказал о, тогда еще
неопубликованной, знаменитой теореме ( 1  p  q   )

q
2
p
1
n
n 1
Наурызбаев Кабдуш Жумагазиевич, мой научный руководитель, запомнил что, как
сказал П.Л.Ульянов, статья по его докладу выйдет в 1968 году в журнале Изв. АН СССР, серия
матем., и дал мне задачу оттуда «… было бы небезынтересно изучить одномерные результаты
также в случае многомерном» в качестве дипломной работы.
В этой статье опубликованы результаты этой дипломной работы, которые также в 1969
году привели меня в аспирантуру Математического института им В.А.Стеклова АН СССР.
2. О связи теорем вложения с равномерной сходимостью кратных рядов Фурье
H p  L (0,1)   n

q
 q ( )   .
(Матем. заметки, 1972, т. 12, №2, стр. 139-148)………………………………………………………….…….....……8
A connection between inclusion theorems and the uniform convergence of multiple
Fourier series (Mat. zametki,1972, pp.518-523)……………………………………………………………….… …18
Л. Ульяновым (1967) в одномерном случае было установлено, что вложение H p  C
имеет место тогда и только тогда, когда каждая функция из H p раскладывается в равномерно
сходящихся тригонометрический ряд Фурье и была высказано предположение, что существует
аналогичная связь и в случае функций многих переменных.
В статье устанавливается справедливость гипотезы Ульянова при суммировании
тригонометрических рядов по Принсхейму, но не по сферам.
3. Об одной теореме вложения
(Изв. высш. учеб. завед. Математика, 1973, №7, стр. 103-111) ..…………………………………………….........23
Гипотеза Ульянова из предыдущей статьи была справедлива для классов H p ,m  в случае
m переменных при 1  p  m , где    - модуль непрерывности, но малосодержательна.
Замена в определении класса модуля непрерывности на модуль гладкости порядка m+1
повлекла получение нетривиальной теоремы.
4. Об условиях принадлежности высших производных классам φ (L)
( Матем. заметки, 1973, т.14, №4, стр. 479-486) ……………………... …………………………………….…….31
Conditions under which hinder derivatives belong to the classes φ (L)
(Mat. zametki,1973, Vol. 14, No 4, pp.832-836)………………………………………………. ………………...…...39
Известный критерий Ф.Рисса 1910 года принадлежности производной абсолютно
непрерывной функции пространству Lp, входящий во многие учебники, распространен на
самый общий случай в шкале классов Орлича.
5. Об интегральном модуле непрерывности
(ACTA SCIENTIARUM MATHEMATICARUM, 1974, т. 36, №. 1-2, 173-180 (совм. с П. Л.Ульяновым))….........44
В доказательстве ранее известного обобщения теоремы Хилла-Клейна-Издзуми
показана ошибка и дано верное доказательство.
6. О многомерном модуле непрерывности (2)
(Изв. АН КазССР, сер. физ.-матем. 1975, №5, стр. 89-90) .........................................................................................52
Получен многомерный аналог теоремы Хилла-Клейна-Издзуми -Ципсера.
7. О вложении некоторых классов функций
(Матем. заметки, 1976, т. 20, №6, стр. 835-841)……..................................................................................................54
18
The inclusion of certain classes of functions
(Mat. zametki, 1976, pp.1026-1030)…………………………………………………………………………………......61

1
По аналогии с критерием Ульянова H 1  L2    2     для класса функций,
n
n 1
определенного скоростью убывания наилучших приближений тригонометрическими
многочленами установлен критерий

E1 { n }  L2   2n   .
n 1
8. О вложении некоторых классов функций в С ( [0,2 ]m )
(Изв. высш. учеб. завед. Математика, 1978, т.20, № 8, стр. 88-90)….….. …………………………………...….....66
On imbedding classes of function into C([0, 1]m)
(Izvestiya Vuz. Matematika 1978, Vol.22, No.8, pp.69-71 ) ………………………………..……….…………….…....69
Показан, что многомерный аналог теоремы вложения Конюшкова – Стечкина классов
функций, определяемых мажорантой на наилучшие приближения, для случая вложения в С
неусиляем.
9. О вложении в некоторые пространства Лоренца
(Изв. высш. учеб. завед. Математика, 1980, №6, стр. 83-85)………………………………………………….……..72
On Embeddinic into some Lorentz spaces
(Izvestiya Vuz. Matematika 1980, Vol. 24, No.6, pp.101-103)…………………………………………………………69
10. О вложении классов H p в пространства Лоренца
(Сиб. матем. журнал, 1983,т. XXIV, №2, стр. 160-172)…………………………………..……………...……….....78
Embeddings of the classes H p in Lorentz spaces
( Sibirskii matematicheskii zhurnal, Vol.24, No.2, 1983, pp.287-298)……………………… …..……………………..91
В [9-10] обнаружен новый эффект в случае вложения классов H p в пространства
Лоренца L,  , заключающейся в установлении различия случаев p   и p   .
11. О некоторых задачах численного интегрирования
(Вестник АН КазССР, 1983, №12, стр. 15-18)…………..………………………………………...…..……….....102
А.В. Сульдин (1959 год) первый поставил и решил задачу оценки качества
вычислительного агрегата «в среднем» относительно вероятностной меры (Винера).
Последующие работы (включая и работу С.М.Воронина и В.И. Скалыги) были
выполнены относительно гауссовских мер.
Здесь, по видимому, впервые
введена вероятностная мера на конкретном
r
E
функциональном классе (Коробова
s ), стало быть, негауссовская и относительно ее
вычислены «средние квадратические погрешности» общих квадратурных формул и метода
Монте-Карло.
12. О некоторых приложениях меры Банаха
(Изв. АН КазССР, сер. физ.-матем., 1984, №5, стр. 8-11(совм. с С.М. Ворониным))………………...………..105
В силу равенства Парсеваля (теоремы Пифагора) меровведение на L2 - пространствах
Соболева, Никольского-Бесова сводится к построению мер на весовых пространствах
числовых последовательностей из коэффициентов Фурье.
При этом, если на классах типа Коробова речь шла об условиях на индивидуальные
коэффициенты Фурье, то здесь – на взвешенные ряды из коэффициентов Фурье.
Как оказалось, такого сорта меры ранее введены С.Банахом, техническую часть
построения берет на себя теорема Колмогорова о меровведении на бесконечномерных
пространствах.
В статье дана конкретизация построения мер на указанных выше L2 -классах и их
применения в вопросах квадратур.
Другим, и, быть может, в смысле новизны более важным, является определение
поперечника Колмогорова «в среднем»:
19

d n ( F , Lp , X )  inf   inf f  g
Tn
gT
F  n
1
p
 d ( f )
 .
F


p
Х
Исследования этого поперечника впоследствии производились в ряде статей (см., напр,
Creutzig J., Dereich S., Müller-Gronbach T., Ritter K. Infinite-Dimensional Quadrature and
Approximation of Distributions // Found Comput Math (2009) 9: 391 - 429)
13. Об одном примере из теории меры
(Доклады расшир. засед. семинара Института прикл. математики им. И.Н. Векуа, 1985, т.1, №2, Тбилиси, стр.
140-143) ………………………………………………………………………………………….…….........................109
В 1985 году, в один из приездов в Алматы, В.М. Тихомиров поставил вопрос о
«гибкости» погрешностей вычислительных агрегатов «в среднем», - каков диапозон их
изменения при различном выборе вероятностей меры.
В статье на примере одномерного класса Коробова показана «абсолютная гибкость»
относительно вероятностного меровведения: погрешности могут убывать с любой наперед
заданной скоростью.
14. Об одном приложении меры Банаха к квадратурным формулам
(Матем. заметки, 1986, т. 39, №1, стр. 52-59 (совм. с С.М. Ворониным)) …………………………………...……112
Application of Banach measure to quadrature formulas
(Mat. zametki, 1986, Vol.39, No.1, pp.30-34)………………………………………………………………………....119
Найдены среднеквадратические погрешности детерминированных квадратурных
формул и метода Монте-Карло относительно меры Банаха.
15. Об одном подходе к оценке качества интегрирования методом Монте-Карло
(Изв. АН КазССР, сер. физ.-матем.,1987, №1, стр. 16-20 (совм. с С.М. Ворониным)) …………………………..123
Для метода Монте-Карло определена вероятностная характеристика качества
численного интегрирования, позволяющая в одних и тех же терминах сравнивать ее (метода
Монте-Карло) эффективность с неслучайными алгоритмическими методами.
16. О вычислении экстремума функционала
(Изв. АН КазССР, сер.физ.-матем., 1987, №3, стр. 23-26 (совм. с С.М. Ворониным))…………….....……….....127
На основе введения борелевской меры на функциональном компакте предложен метод
приближенного вычисления на том же компакте максимума модуля непрерывного
функционала.
17. On an application of infinitely divisible distributions to qudrature problems
(Analysis Mathematica 14, 1988, №3, рр. 253-258)……………………………….………………………................130
Найдены среднеквадратические погрешности детерминированных квадратурных
формул и метода Монте-Карло относительно мер, определенных безгранично делимыми
распределениями.
18. О квадратурных формулах, связанных с дивизорами поля гауссовых чисел
(Матем. заметки, 1989, т. 46, №2, стр. 34-41 (совм. с С.М. Ворониным))
……………………………..........….135
Quadrature formulas associated with divisors of the field of Gaussian numbers
(Mat. zametki, 1989, Vol.46, No2, pp.597-602)………….……………………...……………………….............…….143
Предложен способ построения квадратурных формул, основанный на теории дивизоров
поля гауссовых чисел.
19. Применение теории дивизоров к приближенным восстановлению и интегрированию
периодических функций многих переменных
(Докл. АН СССР, 1990, т. 310, №5, стр.1050-1054).………………………………………………………………..149
Соответственно анонсировано и даны доказательства применения теории дивизоров в
задачах численного интегрирования и восстановления функции.
Дано в определенном смысле полное решение известной проблемы построения
эффективных алгоритмов для нахождения сеток Коробова в квадратурных формулах с
равными весами.
Сочетание теоретико-вероятностного подхода к задаче численного интегрирования с
теоретико-числовым методом построения квадратурных формул.
20. Применение теории дивизоров к численному интегрированию периодических
функций многих переменных
20
(Матем. сб., 1990, т. 281, №4, стр. 490-505)……………......................................................................................…..154
Application of divisor theory to the numerical integration of periodic functions of several
variables (Matem. sbornik, 1990, pp. 527-542)…………..…………….… ………………….…............................170
Дано в определенном смысле полное решение известной проблемы построения
эффективных алгоритмов для нахождения сеток Коробова в квадратурных формулах с
равными весами.
Сочетание теоретико-вероятностного подхода к задаче численного интегрирования с
теоретико-числовым методом построения квадратурных формул.
21. Средние квадратические погрешности алгоритмов численного интегрирования,
связанных с теорией дивизоров в круговых полях
(Изв. высш. учеб. завед. Математика, 1990, №8, стр. 90-93)………………...………………………………….....186
Соответственно анонсировано и даны доказательства применения теории дивизоров в
задачах численного интегрирования и восстановления функции.
22. Восстановление в среднем квадратическом относительно меры Банаха решений
задачи Дирихле для уравнения Пуассона
(Международ. Конф. "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", посвящ. 90летию академика С.М. Никольского, Москва, 27 апреля-3 мая 1995 г., Тез. докл., стр. 269-270)………….……189
В одном докладе соединены мера Банаха, уравнение Пуассона и алгебраическая теория
чисел.
23. Об оптимальном восстановлении решений классических уравнений математической
физики
(Тезисы докладов 1-Съезда математиков Казахстана (11-14 сентября 1996 г.), Шымкент, 1996,
стр. 151-152)..……………………………………………………………………………………………………….…191
Первые результаты по теме «Компьютерного (вычислительного) поперечника»,
показывающие её содержательность.
24. Об эффективности алгоритмов численного интегрирования, связанных с теорией
дивизоров в круговых полях
(Матем. заметки, 1997, №2, стр. 297-301)………………………………………………….……..………………….192
Efficiency of Numerical Integration Algorithms Related to Divisor Theory in Cyclotomic Fields
(Mat. notes, 1997, Vol. 61, No 2, pp. 242-245)………………………………………………….………..196
Предложен способ построения квадратурных формул, основанный на теории дивизоров
поля гауссовых чисел в круговых полях для функций производной и классов Никольского с
доминирующей смешанной разностью.
25. О построении вероятностных мер на функциональных классах
(Труды Матем. инст. им. В.А.Стеклова РАН, 1997, т. 218, стр. 397-402)……………………………………..…...200
On the Construction of Probability Measures on Functional Classes
(Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 1997, Vol. 218, pp.396-401)……………………………….....206
Представлен общий метод построения вероятностных мер на классах числовых
последовательной. Даны их применения к классам Соболева, Никольского и Бесова.
26. Теоретико-числовые методы и теоретико-вероятностный подход к задачам Анализа.
Теория вложений и приближений, абсолютная сходимость и преобразования рядов
Фурье (Вестник Евразийского университета, 1997, №3, стр.90-144)…………………………………......……212
Реализация выдвинутой в статье «Қазаққа математика керек пе?» идеи (подробности во
Введении), выполненной по результатам исследований нашей научной школы до 1997 года
включительно (стр.5-210 настоящего сборника).
27. Классы U s  , ,  ;  и квадратурные формулы
(Докл. РАН. 2003, т.393, №5, стр. 605-608.)................................................................................................................263
U s  ,  ,  ; 
Classes
and quadrature formulas
(Dockland mathematics 2003,vol.68, no.3, pp.414-415). ............................................................................................. 267
На основе результатов П. Л. Ульянова (1990г.) определены новые классы функций,
представляющие классификацию функций в широком диапазоне от предельно малой
гладкости через известные классы Коробова до аналитических и их подклассов.
В качестве применения новой шкалы классов даны оценки погрешностей в них
квадратурных формул Смоляка, полученных применением тензорных произведений
функционалов.
21
28. Об информативной мощности линейных функционалов
(Матем. заметки, 2003, т.3, №.6, стр. 803-812. (совм. с Ш.Ажгалиевым))………………… ……………….....…271
Informativeness of Linear Functionals
(Mathematical Notes, Vol. 73, No 6, 2003, pp. 759-768.)………………………………….……………………….....281
Показана действенность нового понятия «Информативной мощности данного набора
функционалов» в случае всех возможных линейных функционалов в задаче восстановления
функций из классов Соболева, Никольского и Бесова.
29. Тензорные произведения функционалов и их применения к задачам восстановления
(Вестник Евразийского национального университета, 2003, №4, стр. 67-73)…….…………….………………....291
От тензорных произведений классов функций С.А.Смоляка (1962 г.) к тензорным
произведениям функционалов.
30. О задаче восстановления по неточной информации
(Вестник Евразийского национального университета, 2004, №1, стр. 202-209)…..…………………… ………..298
31. Предельная нечувствительность операторов восстановления по неточной
информации (Тезисы докладов 10-ой Межвузовской конференции по математике и механике: Алматы,
ЭВЕРО, т. 29, 2004, стр. 252-253)…………………………………………………………………...………………..307
Завершающий этап развития определения «Компьютерного (вычислительного)
поперечника» в [30] и [31].
32. О дискретизации решений уравнения Пуассона
(Журнал вычислительной математики и математической физики, 2006, т. 46, №9, стр. 1594-1604 (совм. с
Е.А.Баиловым)).……………………………………………………………………………………………………..…309
Discretization of the solutions to Poisson's equation
(Computational mathematics and mathematical physics, Vol. 46, No. 9, 2006, pp. 1515-1525 )…………..…………320
Берется результат из знаменитой монографии профессора МГУ Н.М. Коробова
«Теоретико - числовые методы в приближенном анализе», опубликованной в 1963 году в
серии «Библиотека прикладного анализа и вычислительной математики» и улучшается «в
квадрат раз» (это же самое, если вместо затрат в $1000000 ту же работу выполнили за $1000) и
на языке Компьютерного (вычислительного) поперечника» показываем, что дальше улучшить
полученное нельзя.
33. О вложении классов H , p в пространства Лоренца
(Analysis Mathematica, 32, 2006, стр. 283-317 (совм. с. К.М.Сулейменовым))………………………………..….331
Американские математики Дитциан и Тотик ввели новый параметр в старое
определение (модуля непрерывности).
В известном международном журнале (советско – венгерском, теперь российско –
венгерском) «Analysis mathematicа» было исследовано влияние этого параметра. Статья
оказалось с ошибками, что в международных журналах бывает крайне редко, да ещё и
неокончательной.
Мы исправляем ошибки, решение задачи доводим до окончательного. Тем самым
показываем, что в Астане критически читаем научные статьи и правильное решение
публикуем в том же журнале на 35 страницах текста.
34. Информативная мощность всех линейных функционалов при восстановлении
функций из классов H p
(Матем. сб., 2007,т. 198, №11, стр. 3-20 (совм. с Ш.Ажгалиевым))…..…….……………………..….…..………365
Informativeness of all the Linear Functionals in the recovery of functions in the classes H p
(Mathematical sb., 2007, pp.1535-1551)…………………...………………..……………..……………………….…..383
В математике объект, описывающий что-то реальное, понимается как сложный и его с
заданной точностью заменяют в том или ином смысле простым.
В зависимости от поставленных целей такие задачи образуют разделы математики,
именуемые «Численный анализ» и «Теория приближений», к основным понятиям которых
относится, в частности, понятие «поперечника».
Разные поперечники решают разные задачи, мы предложили «Компьютерный
(вычислительный) поперечник», нацеленный на отыскание наилучших вычислительных
агрегатов для реализации на компьютерах.
22
Долго, порядка десяти лет, в математическом мире наши идеи, как и все новое,
воспринималось с настороженностью, но указанные публикации в разных ведущих журналах
есть свидетельство того, что признание пришло и мы на правильном пути ( как нам сказал
один профессор МГУ «Верной дорогой идете, товарищи!»).
35. Об общем алгоритме численного интегрирования периодических функций многих
переменных (Докл. РАН, 2007, т. 416, №2, стр. 169-173 (совм. с Е. А. Баиловым и А.Ж. Жубанышевой))....400
General algorithm for the numerical integration of Periodic function of several variables
(Dockland Mathematics, 2007, pp. 681-685)……………………………………………… …………………………..405
Ю. И. Манин: «К основным математическим моделям относится понятие интеграла –
одна из центральных и постоянно повторяющихся тем в истории математики за последние два
тысячалетия». При выполнении Проекта «Манхеттен» по созданию атомной бомбы в США
возникла проблема вычисления интегралов высокой кратности и построения равномерно
распределенных сеток (впоследствии оформленного в «метод Монте-Карло»), занимался
Иохим фон Нейман.
То же повторилось при создании китайского ядерного оружия, занимались Вицепрезидент АН КНР Хуа Ло-Кен и академик АН КНР Вань Юань.
В СССР исследования проводились в научной школе Н.М.Коробова, по-видимому,
самой успешной как в теоретическом, так и в вычислительном аспектах.
И так можно продолжить, например, большое количество статей выдающегося
математика Эдмунда Хлавки и его школы (Австрия, ФРГ).
И все – же, несмотря на тысячи и тысячи статей и десятки монографий проблема
решена не была, так в американском журнале «Contemporary Mathematics» Вань Юань писал
(1988 год):
«По-видимому, одной из центральных проблем в численном интегрировании является
нахождение прямых методов для получения оптимальных коэффициентов».
В статье [22] мы даем полное теоретическое решение, а в [24] – вычислительные
результаты. В последнее время этот раздел математики называют «Научные вычисления».
Для сравнения: вычислительные результаты знаменитой школы Н.М.Коробова,
опубликованные в знаменитом Институте общей физики АН СССР (1990 г.) мы существенно
улучшаем в [24]: миллион точек и точность 10-12 школы Коробова мы снижаем до
полумиллиона точек, одновременно повышая точность до 10-13 (для ориентировки 10-9 метра
есть нанометр).
Теперь по всему миру ищем опубликованные таблицы вычислений, чтобы проверить
мощь нашего метода – сидим в Астане и уверены, что в том же смысле улучшим.
36. Теоретико-числовые методы и теоретико-вероятностный подход к задачам Анализа.
Теория вложений и приближений, абсолютная сходимость и преобразования рядов
Фурье (Продолжение 1)(Вестник ЕНУ, 2002, №3-4, стр.222-272)…………………………………….….....410
Подготовлен к 75-летию выдающегося аналитика академика РАН П.Л.Ульянова
(3.V.1928-13.XI.2006).
37. ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ (доклад,
представленный на Всемирном Конгрессе математиков 2006 года в Мадриде)
(Вестник Евразийского национального университета, 2007, №2, стр. 19-51)………………….............................426
Развернутое изложение на родине, как это принято, 40-минутного одноименного
доклада на Всемирном Конгрессе математиков 2006 года в Мадриде.
38. Об информативной мощности всех возможных линейных функционалов при
дискретизации решений уравнения Клейна-Гордона в метрике L2,
(Дифференциальные уравнения, 2008, т. 44, № 4, стр. 491-506 (совм. с И.Ж. Ибатулиным))……….…..………459
On the informative power of all possible linear functionals for the discretithation of the
solutions of the Klein-Gordon equation in the metric of L2,
(Differential equation, vol.44, No.4, 2008, pp. 510-526)…………………………………….………………………...480
39. Применение теории дивизоров к построению таблиц оптимальных коэффициентов
квадратурных формул
(Журнал вычислительной математики и математической физики, 2009,
т.49, №1, стр. 14-25 (совм. с
А.Ж.Жубанышевой и Ж.Н.Темиргалиевой))…………………………………………………………………….…..497
23
Application of divisor theory to the construction of tables of optimal coefficients for quadrature
formulas
(Computational mathematics and mathematical physics, 2009, Vol. 49, No1, pp. 12-22).............................................509
Практический оптимальный алгоритм из [35], когда p узлов находятся за  ln ln p
элементарных арифметических операций при больших размерностях не поддается
компьютерной реализации. В статье предложен и реализован метод вычислительных
экспериментов нахождения оптимальных коэффициентов.
40. Применение тензорных произведений функционалов в задачах численного
интегрирования
(Изв. РАН, сер. матем., 2009, т. 73, №2, стр. 183-224 (совм. c C.С.Кудайбергеновым и
А.А.Шомановой))…………………………………………………………………………………………………..….519
An application of tensor products of functionals in problems of numerical integration
(Izvestiya: Mathematics, 2009, Vol. 73, No 2, pp. 393-434)…………………………………………………….…… 560
41. О порядке дискрепанса сетки Смоляка
(Матем. заметки, 2009, т. 85, № 6, 947-950 (совм. c Н.Ж.Наурызбаевым ))………………………….…………..602
Оn the Order of Discrepancy of the Smolyak Grid
(Mathematical Notes, 2009, Vol. 85, No 6, pp. 897-901)………..………………..……………………………………606
В 1963 году в Докл. АН СССР была опубликована статья, повлекшая много
публикаций; эта тема на Западе именуется как «Метод Смоляка». Нами был вскрыт механизм
действия этого метода и на 42 страницах текста дано полное исследование одной самой
популярной его реализации в виде квадратурной формулы.
Публикация [41] о очень плохом распределении сетки Смоляка, вместе с [40] закрывает
эту тему.
42. Тензорные произведения функционалов и их применения
(Докл.РАН, 2010, т. 430, № 4, с. 460-465.)………………………………………………………………..611
Tensor Products of Functionals and Their Application
(Docklandy Mathematics, 2010, Vol. 81, No.1, pp. 78-82….………..……………………………………617
Введено новое понятие «Тензорные произведения функционалов», на основе которой
получены новые квадратурные формулы и операторы восстановления. Показаны их
вычислительные применения в соответствии с результатами из [39].
43. Применения квадратурных формул Смоляка к численному интегрированию
коэффициентов Фурье и в задачах восстановления
(Изв. ВУЗов. Математика. 2010, №3. С.52-71.)……………………………………………………...…..622
Applications of Smolyak quadrature formulas to the numerical integration of Fourier
coefficients and in function recovery problems
(Russian Mathematics (Iz VUZ) 54:3 (2010), 45-62 (совм. с C.С.Кудайбергеновым, А.А.Шомановой))...606
Получены точные порядки численного интегрирования коэффициентов Фурье и
показаны их применения в задачах восстановления.
44. О точном порядке информативной мощности всех возможных линейных
функционалов при дискретизации решений волнового уравнения
(Дифф. уравн., т. 46, № 8, 2010, стр. 1201-1204(совм. с Ш.К.Абикеновой))……………………..602
On the sharp order of informativeness all posibble linear functionals in the discretization of
solutions of the wave equation
(Differential equations, 2010, V. 46, №8, pp.1201-1204)….………………………………..……………641
Найдены точные порядки дискретизации в Lq - метрике решений уравнения
теплопроводности с начальными условиями из классов Соболева вычислительными
агрегатами, построенных по информации, полученных от всех возможных линейных
функционалов.
45. Об алгоритме построения равномерно распределенных сеток Коробова // Матем.
замет., 2010, том 87, №6 стр.948-950 (совм. с. М. Сиховым)
On an algorithm for construction uniformly distribution Korobov grids // Mathematical notes,
2010, vol. 87, No. 6, pp. 916-917.
24
Дополнение
Статьи, выполненные при консультативном участии Н. Темиргалиева
1. Алшынбаева Е. О преобразованиях коэффициентов Фурье некоторых классов
функций //Докл. АН СССР.1977. Т.236, №6.С. 1293-1295.
2. Алшынбаева Е. О преобразованиях коэффициентов Фурье некоторых классов
функций //Матем. заметки.1979.Т.25,№5.С.645-651.
Получен критерий замкнутости пространств Орлича относительно преобразований Харди
и Беллмана тригонометрических рядов Фурье – сама и дополнительная N функция в
определении пространств Орлича должны удовлетворять  2 - условию соответственно.
3. Джумакаева Г.Т. Критерий вложения класса Соболева - Морри Wpl ,Ф в пространство С
// Матем. заметки. 1985.Т. 37, № 3.С. 399-406.
Иллюстративный результат по теме «Морри», в свое время, в бытность Главным
редактором С.Б.Стечкина, получивший из «Математических заметок» денежную премию как
перспективная статья (в то время как известный математик по теме дал отрицательный отзыв).
4. Сихов М.Б. О прямых и обратных теоремах теории приближений с заданной
мажорантой // Analysis Mathematica. V.30. №2. 2004. С. 137-146.
Впервые получен, по-видимому, точный порядок «Предпоперечника Колмогорова».
5. Нурмолдин Е.Е. Восстановление функций, интегралов и решений уравнения
теплопроводности из U 2  классов Ульянова // Сиб. журн. вычисл. математики, 2005. – Т.8,
№4. – С. 337-351.
Определение нового класса Ульянова привело к новому по звучанию результату.
6. Ковалева И.М. Восстановление и интегрирование функций из анизотропного класса
Коробова // Сибирский журнал вычислительной математики. Т. 5. № 3. С. 255-266.
Теоремы существования из знаменитой монографии снабжены эффективными
алгоритмами.
7.
Жайнибекова М.А. О соотношениях между модулями непрерывности и
наилучшими приближениями в разных метриках и некоторые многомерные теоремы
вложения. Кандидатская диссертация. КазГУ. Алматы.1985. Фрагмент кандидатской диссертации
(Об одной теореме вложения, Ред.ж. «Вестник АН Каз.ССР», Деп. в ВИНИТ И 22 ноября
1984 г. № 7476-84 ДЕП., 31с.)
8. Сихов М.Б. О некоторых соотношениях между модулями гладкости и наилучшими
приближениями тригонометрическими полиномами в разных метриках. Кандидатская
диссертация. КазГУ. Алматы.1988. Фрагмент кандидатской диссертации.
В дополнение к соотношению Потапова – Симонова (в одной и той же метрике p ,
1 p   ;   0)
1

; f   En ( f ) p  n  S n( )  f  ( n  1,2,... ) ,
p
n
p
из которых при   1 следуют существенные улучшения и уточнения неравенств Джексона и
 
Бернштейна
En  f  p 
S n  f 
n
p
 E n  f  p  c1  p  p  1n ; f 
и
25
Sn f 
1 
c 2 p ω p  ; f   E n (f) p 
n
n 
p
 c3  p 
n
1
 Ek  f
n  1 k 0
p .
соответственно, в случае разных метрик неусиляемые теоремы получены М. Жайнибековой и
М.Сиховым
H p  E q ( n)  

 n
q
2
p
 q    Oqn  ,
 
1
и
1
q
1
q
q 

n
  2 


q



1
 1
q
q


k  f ;    m 1 qk  p 2  Em
f p   
m  p  Em
f p 
 n  q n k m0

mn1





- прямые и обратные теоремы теории приближений в разных метриках соответственно.
9. Даркенбаев С.З. О сходимости рядов из тригонометрических коэффициентов Фурье
//Изв. АН Каз.ССР. Сер. физ.-мат.1985.№5.С.22-27.
10. Даркенбаев С.З. О сходимости рядов из коэффициентов Фурье по
мультипликативным системам // Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат.1990. №5.С.14-17.
В теме абсолютной сходимости тригонометрических рядов Фурье, где классические
результаты принадлежат С.Н. Бернштейну и С.Б. Стечкину, в дополнение найден
неисследованный случай с новым логарифмическим эффектом (впервые в случае теории
вложений установленный – Н.Темиргалиевым, в случае «Морри» - К.Ж. Наурызбаевым и Г.Т.
Джумакаевой).
26