О разрешимости сингулярного линейного дифференциального уравнения с опережающим аргументом М

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика. Механика. Информатика
2015
Вып. 2(29)
МАТЕМАТИКА
УДК 517.929
О разрешимости сингулярного линейного
дифференциального уравнения
с опережающим аргументом
С. А. Гусаренко
Пермский государственный национальный исследовательский университет
Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15
sagusarenko@mail.ru; 89026393256
Цель данной работы – показать, что поведение решений некоторого класса сингулярных
функционально-дифференциальных уравнений в окрестности особой точки, определяется
асимптотическими свойствами некоторого дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом на полуоси.
Ключевые слова: сингулярные функционально-дифференциальные уравнения; устойчи-
вость дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом; функция Коши;
функция Грина.
Теория устойчивости дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом
развивается в настоящее время в значительной степени независимо от общей теории
сингулярных
функционально-дифференциальных уравнений. Между тем естественным
является рассмотрение дифференциальных
уравнений на полуоси как сингулярных уравнений с особенностью в бесконечно удаленной точке.

Рассмотрим дифференциальное уравнение c запаздывающим аргументом
уравнения (1) называется абсолютно непрерывная на каждом конечном промежутке
функция x :[a, ]  R , удовлетворяющая равенству (1) почти всюду. Как известно, общее
решение уравнения (1) представимо в виде
формулы Коши [1, с. 60]
x(t )  p(t ) x(h(t ))  f (t ), t  a,
x( )  0,   a,
C :   R ,   {(t , s)  R2 : a  s  t} называется функцией Коши. Асимптотические свойства решений уравнения (1) исследовались
методами теории устойчивости функционально-дифференциальных уравнений. В следующем утверждении сформулированы некоторые полученные результаты. Обозначим через
t
x(t )  U (t ) x(a )   C (t , s ) f ( s ) ds ,
a
где функция U :[a, )  R является решением соответствующего однородного уравнения
с начальным условием x(a)  1 , а функция
(1)
где функции p , f :[a, )  R локально суммируемы на каждом конечном промежутке,

причем
 p(s) ds   ,
p(t )  0 и
функция
a
h :[a, )  R измерима и h(t )  t . Решением
© Гусаренко С. А., 2015
 (t ) 

t

p( ) d ,
h* ( t )
Работа выполнена при финансовой поддержке
Российского фонда фундаментальных исследований 14-01-00338.
где
5
 h(t ), h(t )  a,
h* (t )  
h(t )  a.
 t,
С. А. Гусаренко
где Y :[ ,1]  R – это решение полуоднородной задачи, а W :[ ,1]  [ ,1]  R – функция
Грина краевой задачи [3, с. 79], при этом
W (t , s)  0 при s  t . Поэтому для удобства
равенством G(t , s)  W (t , s) определим функG :  R
цию
на
треугольнике
Тогда
  {(t , s)  (0,1]  (0,1]: 0  t  s  1} .
формула Грина примет вид
Теорема 1 [2, с. 66, с.108]
1
1) Если sup (t )  , то функция U неe
t a
отрицательна и монотонно стремится к нулю,
функция Коши C (t , s)  0 при всех a  s  t .
3
2) Если lim (t )  , или, если сущеt 
2
ствует lim (t ) 

, то существует такие кон2
станты N ,   0 , что
t 
t
U (t )  Ne

t
Отметим, что, функция G связана с функцией
Коши
уравнения
(1),
для
которого
h(t )   ln( g (et )) и p(t )  q(et ) , простым соотношением G(t , s)  C ( ln t ,  ln s) а функция
Y имеет вид Y (t )  U ( ln t ) . Таким образом,
поведение функций Y и G в окрестности
точки сингулярности определяются асимптотическими свойствами функций U и C соответственно. Отсюда и из утверждений теоремы 1 сразу получаем соответствующие результаты о поведении решения уравнения (3).
Положим
g* (t )
 g (t ), g (t )  1,
q( )
 (t )  
d , где g * (t )  
g (t )  1.

 t,
t
t
 p ( ) d
a
1
x(t )  Y (t )   G (t , s)v( s) ds.
C (t , s)  Ne
,

  p ( ) d
s
(2)
при всех a  s  t .
3
, то существует та2
N  0 , что
U (t )  N ,
3) Если sup (t ) 
t a
кая
константа
C (t , s)  N при всех a  s  t .
1 3 
,
,
в утверждениях
e 2 2
теоремы 1 точные, то есть не могут быть увеличены [2, с. 119].
Оказывается, что асимптотические
свойства уравнения (1) тесно связаны с поведением решений некоторого сингулярного
дифференциального уравнения с опережающим аргументом вида
Константы
q(t )
x( g (t ))  v(t ), t  [0,1],
t
x( )  0,   [0,1],
x(t ) 
Теорема 2
1
, то функция Y неe
t 0
отрицательна и монотонно стремится к нулю,
функция G(t , s)  0 при всех 0  t  s  1 .
3
2) Если lim  (t ) 
или, если сущеt 0
2
1) Если sup (t ) 
(3)
где функции q , v :[0,1]  R суммируемы,

ствует lim  (t ) 
, то существует такие кон2
станты N ,   0 , что
1
q( s)
ds   , функция g :[0,1]  R
q(t )  0 и 
s
0
измерима и g (t )  t . Отметим, что решение
краевой задачи, которая не является сингулярной
t 0
1
Y (t )  Ne


t
q ( )

s
d
, G(t , s)  Ne


t
q ( )

d
(4)
при всех 0  t  s  1 .
q(t )
x( g (t ))  v(t ), t  [ ,1], x( )  0,   [ ,1],
t
x(1)    R,
x(t ) 
3
2
3) Если sup  (t )  , то существует такая
t 0
константа N  0 , что Y (t )  N , G(t , s)  N
при всех 0  t  s  1 .
1 3 
Константы ,
,
в утверждениях
e 2 2
теоремы 2 не могут быть увеличены.
при каждом   (0,1) представимо в виде
формулы Грина
1
x(t )  Y (t )   W (t , s)v( s) ds,

6
О разрешимости сингулярного линейного дифференциального уравнения …
Приведем некоторые простые следствия
из теоремы 2.
Следствие 1. Если справедливы оценки
(4), то существует предел lim x(t )  0 любого
q(t )
x( g0 (t ))  v(t ), t  (0,1], x( )  0,   (0,1],
t
x(1)  0,
x(t ) 
представимо в виде формулы Грина
t 0
решения однородного сингулярного уравнения
q(t )
x( g (t )), t  [0,1],
t
x( )  0,   [0,1],
x(t ) 
1
x(t )   G0 (t , s )v( s ) ds.
t
(4)
Тогда оценки (4) справедливы, если существует такой опережающий аргумент g 0 , что
Более того, если функция q "отделена от нуля": inf q(t )  0 , то для решений уравнения (4)
1
sup 
t(0,1] t
t 0

справедлива степенная оценка x(t )  Nt ,
  0.
Следствие 2. Для уравнения (1) с постоянным коэффициентом p(t )  p  0 и постоянным запаздыванием h(t )  t   , критерий экспоненциальной оценки решений однородного уравнения U (t )  Ne (t  a ) , N ,   0 ,
имеет вид 0  p 

q
x(kt ), t  [0,1],
t
x( )  0,   [0,1],
где k  1 , решение имеет степенную оценку
x(t )  Nt  , N ,   0 тогда и только тогда, ко
гда 1  k q  e 2 .
Более общие результаты в теории
устойчивости возможно получить с помощью
так называемого W-метода [2, с. 58], когда
разрешимость некоторого уравнения в пространстве функций на полуоси эквивалентна
его устойчивости. Отсюда следует возможность его применения и для исследования
разрешимости
сингулярных
уравнений.
Сформулируем соответствующее утверждение. Как известно, для уравнения (1) справедливы оценки (2) тогда и только тогда, когда
существует такое "модельное" уравнение с
запаздывающим аргументом h0
x(t )  p(t ) x(h0 (t ))  f (t ), t  a,
(5)
x( )  0,   a,
t
h (t )
t a ] a
t a h (t )
0
что sup  C0 (t , s) p( s ) ds  sup

g (t )
q( s)
ds  1 .
s
g0 ( t )

Особый интерес в теории устойчивости
представляют результаты о связи между действием оператора Коши в различных функциональных пространствах на полуоси и асимптотическими свойствами функции Коши (так
называемые теоремы типа Боля–Перрона).
Аналогами этих теорем в общей теории сингулярных
функционально-дифференциальных уравнений являются теоремы о
связи между действием оператора Грина в
различных весовых пространствах и поведением функции Грина в окрестности особой
точки.
Чтобы применить к уравнению (1) одну
из простейших вариантов теоремы типа Боля–
Перрона потребуем ограниченность функции
 и условие ограниченности нормы оператора Коши в специальном весовом пространстве
. Следовательно, для
2
сингулярного уравнения
x(t ) 
q( s)
G0 (t , s) ds  sup
s
t(0,1]
t
на полуоси: sup  C (t , s ) p ( s ) ds   .
t a a
Тогда для уравнения (1) справедливы
оценки (2) [2, с. 135]. Отсюда получаем аналог этого утверждения для сингулярного
уравнения.
Теорема 4. Пусть функция  ограниче1
q( s)
G (t , s) ds   . Тогда для уравна и sup 
s
t(0,1] t
нения (3) справедливы оценки (4).
Следствие. Пусть t  g (t )  kt , где
k  1 . Решение уравнения (3) имеет степенную
оценку x(t )  Nt  , N ,   0 тогда и только тогда,
когда для каждой измеримой и ограниченной в
существенном на промежутке [0,1] функции
tv(t ) любое решение уравнения (3) ограничено.
Легко понять, что все приведенные выше рассуждения тривиальным образом обобщаются на более общую ситуацию. Рассмот-
p( s ) ds  1 , где
C0 (t , s ) – функция Коши уравнения (5). Аналогично: пусть решение полуоднородной
"модельной" задачи
7
С. А. Гусаренко
рим, например, сингулярное уравнения с распределенным опережающим аргументом
t
x(t )   x(t ) d s r ( w1 (t ), w1 ( s))  f (t ), t  0 . (7)
0
Действительно, функция Коши уравнения (7)
связана с функцией G уравнения (6) соотношением G(t , s)  C (w(t ), w(s)) , а функция Y
имеет вид Y (t )  U (w(t )) .
b
1
x(t ) 
x( s )d s r (t , s )  v(t ), t  [a, b],
 (t ) t
(6)
x( )  0,  [a, b],
где функция  :[a, b]  R непрерывна и по-
Список литературы
b
ds
;
ложительна при t  a ,  (a)  0 , и 
 (s)
a
функция r :[a, b]  [a, b]  R суммируема по
первому аргументу и имеет ограниченную вариацию по второму.
b
ds
Положим w(t )  
.
 (s)
t
Тогда поведение решения уравнения (5)
в окрестности точки a определяется асимптотическими свойствами дифференциального
уравнения с распределенным запаздыванием
[2, с. 69]
1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.:
Наука, 1991. 280 с.
2. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость
решений уравнений с обыкновенными производными. Пермь: Изд. Перм. ун-та, 2001. 230 с.
3. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории
функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. М.: Институт
компьютерных исследований, 2002. 384 с.
On the solvability of a singular linear
differential equations with advanced argument
S. A. Gusarenko
Perm State University, Russia, 614990, Perm, Bukirev st., 15
sagusarenko@mail.ru; 89026393256
Stability theory of differential equations with retarded argument devel indicates now largely independently of the general theory of singular-tion of functional differential equations. Meanwhile, the
natural is the consideration of differential equations on a half as a singular equations with a singularity at infinity. The purpose of this work - to show that the behavior of the solution of-a class of
singular functional differential equations in the vicinity of the singular point is determined by the
asymptotic properties of some-differential equation with a retarded argument on the half.
Key words: singular functional differential equations; the stability of differential equations with
retarded argument; the function of the Cauchy-Green's function on.
8