Мартынович_С_ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ ПРОБЛЕМЫ

ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ:
ПРОБЛЕМЫ, МЕТОДЫ, КОНЦЕПЦИИ
С. Ф. Мартынович
Саратовский государственный университет
имени Н. Г. Чернышевского
Философия математики развивается во взаимосвязи с историографией
математики. Историография и философия математики как части
историографии
и
философии
науки
являются
предметами
профессионального образования. Понимание соотнесённости их содержания
в системе образования значимо для профессионального становления
бакалавра, специалиста, магистра. Оно имеет особое значение для аспиранта,
докторанта, соискателя ученых степеней, для педагогической деятельности
преподавателей. Прояснение проблем, методов и концепций философии
математики в ее истории составляет задачу статьи.
Соотношение историографии математики и философии математики
имеет свою историю. Философия математики без историографии математики
пуста, историографии математики без философии математики слепа.
Выявление реального соотношения историографии математики и философии
математики дополняется необходимостью понимания их отношения к
эмпирическим наукам и к научно инициированным технологиям.
Являясь аспектом философии науки, философия математики
конкретизирует её положения применительно к задачам осмысления
феномена математики, её изменчивости и удивительно эффективной
применимости в естествознании, социальных науках, практике. В контексте
философии математики формулируются проблемы, применяются методы их
систематического решения, выстраиваются концепции, принципы которых,
претендуют на статус принципов философии науки.
В историческом опыте этой традиции были реализованы возможности
трёх способов (архетипов) мышления бытия: объективность, субъективность,
интерсубъективность. Для архетипа объективности характерно вопрошание о
природе вещей, о природе в себе всеобщего, о том, что такое знание само по
себе, истина сама по себе, справедливость сама по себе, благо само по себе.
В архетипе субъективности очевидна констатация: я мыслю: вне меня
существуют вещи. При этом не природа вещей, а природа я мыслю
становится предметом философского интереса. Интерсубъективность как
архетип философствования определяет стратегию мышления бытия,
центрируя внимание на исследовании соотношения моего я и Я другого
сознания, то есть на феномене интерсубъективности. Здесь осознается
предпосылочность, несамодостаточность моего мышления. Моё мышление
понимается как обусловленное родовой сущностью человека, его социальноисторической практикой, языком, историей, культурой. В контексте архетипа
интерсубъективности разрабатываются возможности антропологического
философствования, осуществляется лингвистический поворот в философии,
2
который
активизирует
аналитический
проект.
Развивается
психоаналитическая программа философских исследований. В центре
внимания оказываются феномены коммуникации многих Я.
Философия математики в современных условиях реализуется
преимущественно в контексте архетипа интерсубъективности, однако
история философии математики представляет опыты реализации
возможностей архетипа объективности и субъективности1. Философия
математики в качестве части философии является процессом и результатом
применением всего интеллектуального потенциала философии к освоению
феномена математического познания. Она возникает там и тогда, где и когда
философия относится к осмыслению исторического опыта математики
систематически как к уникальной сфере опыта бытия человека-в-мире.
В современной развитой культуре философского освоения математики
соответственно исторически сформировавшемуся философствованию можно
выделить такие относительно самостоятельные области философии
математики, как метафизику математического знания, сопоставленную с
антиметафизической установкой, онтологию и методологию математики,
эпистемологию, аксиологию и праксиологию математического познания и
знания.
Любая концепция философии математики предполагает ответы на
вопросы о природе, целях и ценностях математического познания, о его
предметных мирах и способах их существования, о методах овладения этими
мирами, о структуре и генезисе математического знания, об основаниях его
концептуальных изменений и эффективности в других сферах деятельности.
Это определяет сопряженность философии математики не только с
культурой философствования в целом, но и с направлениями науковедения, с
историографией и социологией математики, с психологией математического
творчества и с логикой математики.
Объективная история математики есть объект историографии
математики, которая понимается как описание, объяснение и предсказание
явлений истории математики. Историография математики опирается на
определённое понятие математики, которое является предпосылкой
историографии математики, предлагаемой философией математики.
Социально-исторически
ориентированная
философия
математики
рассматривает математику как свой эмпирический (исторический) объект.
Это обстоятельство определяет их когнитивную взаимосвязь, спецификация
которой определяется структурой философского вопрошания о математике.
Взаимоотношения
философии
математики
и
историографии
математики конкретизируются посредством выявления эпистемологических,
аксиологических и онтологических аспектов их связи. Философия
математики и историография математики соотнесены в контекстах
понимания их предмета и метода, в характере формулировки проблем и
Гутнер Г. Б. Философия математики // Новая философская энциклопедия в 4-х тт. Т. 4. М.: Мысль, 2010. С.
216-218.
1
3
концепций. Эпистемологический анализ показывает, что философия
математики и историография математики есть специфические виды знания,
характеризующиеся отношениями сходства и различия. Выявление статуса
оценок и ценностей, идеалов и норм в этих областях позволяет понять
характер их аксиологической определенности. Прояснение онтологических
аспектов соотношения философии математики и историографии математики
предполагает сравнительный анализ объектов языка философии математики
и объектов языка историографии математики, а также обсуждение проблемы
выяснения специфики их существования. Осмысление оснований
достоверности математических смыслов – важнейшая задача исследований.
Выбор единицы методологического анализа математики – языка,
теории, исследовательской программы, парадигмы – соотносится с
различными способами концептуализации фактов и тенденций реальной
объективной истории математики.
Основные вопросы философии математики, по мнению P.M.S.Hacker,
могут быть сформулированы так: «Что такое число?», «Какова природа
необходимости, которую мы связываем с математической истиной?»,
«Каково отношение математической истины к доказательству?»2. С этими
вопросами связаны разнообразные проблемы. Должен ли аксиоматический
метод основываться на той или иной концепции интуиции? Может ли теория,
сконструированная посредством аксиоматического метода, быть нейтральной
по отношению к интуитивным импульсам математика? Могут ли
формальные инструменты математического рассуждения освободиться от
интуитивных моментов? Существует ли так называемая «чистая интуиция»?
Могут ли логика и математика освободиться от психологии, если интуиция
есть психологический феномен? Существует ли связь между пониманием
логики и пониманием необходимости обращения к интуиции в ходе
прояснения оснований арифметики и геометрии? Каковы возможности
логики и феноменологии в осуществлении интерпретаций теории интуиций
пространства и времени?
Последователь Пифагора, Филолай, принимая одно (единое) за основу
противоположности предела и беспредельного, полагал, что число есть
контроль и самоорганизация связи вечного пребывания вещей в космосе3.
Филолай, отмечает Л. Я. Жмудь, не считал что «всё есть число» (как
интерпретировал Аристотель). «Его (Филолая – С.М.) число – это не
онтологическое начало, а функция «предела», который вносит
определенность в этот мир, делая его тем самым познаваемым»4. Для
Платона числа и фигуры есть начала вещей, которые (начала) определяют
«причастность» вещей бытию. По Аристотелю, числа и фигуры есть
абстракции от чувственно воспринимаемых тел. Математика, изучая
2
Hacker, P.M.S. Analytic philosophy: what, whence, and whether? // Biletzki A., Marat A. (eds.) The story of
analytic philosophy. Plot and heroes. London, New York: Routledge, 2002. P. 10.
3
Huffman, C. Philolaus of Croton. Pythagorean and presocratic. New York, Cambridge university press, 1993. Pp.
347, 355.
4
Жмудь Л. Я. Филолай // Новая философская энциклопедия в 4-х тт. Т. 4. М.: Мысль, 2010. С. 191.
4
сущность вещей, абстрагирует числа и величины как их количественные
феномены.
Новоевропейская философия сознания, философия субъективности,
философия субъект-центрированного разума осмысливала математическое
знание с позиций рационализма и эмпиризма. По мнению Р. Декарта,
математика есть достоверное основание познания протяженности, которая
истолковывалось как атрибут телесной субстанции, понятие о котором
недоступно анализу и опосредованному представлению. Интуиция, ясное и
непосредственное интеллектуальное созерцание, истолковывалась как
основание прямого усмотрения истины. Геометрия как наука о протяжении
становится основанием эмпирических исследований протяженности.
Геометрическая интуиция как созерцание протяженных величин
истолковывается как основание математики. Посредством отношений
величин вводятся числа и числовые отношения. Алгебраические выражения
осмысливаются геометрически как выражения для линии. Метод
геометризации познавательных задач претендовал на универсальную
применимость. «Истины математики, пишет исследователь философии
Декарта, не могут быть извлечены из другого интеллекта (person): либо мы
их видим сами для себя, либо мы их вообще не видим»5. Сложные
математические истины (например, 2+3=5), состоящие из более чем одной
идеи, можно в непрерывном движении мысли привести к интуитивно целой
идее, как если бы она была простой.
Понимание дедукции проясняет определенность математического
познания. Декарт различает отношения принципов и следствий дедукции так,
что «первые могут быть познаны без последних, но не наоборот»6.
Отрицание взаимности Р. Дэвис оценивает как знак того, что понимание
дедукции Декартом отличается от понимания, свойственного современной
логике. Он должен отрицать, что отношение высказывания к самому себе
характеризуется выводимостью. Принципы не могут быть выведены из
вещей так же, как они были созданы в настоящий момент. Принципы –
единственный источник знания. Поэтому «то, что может быть выведено из
истинных принципов философии, не может быть известно, если оно не
выводится из них»7. Тезис априоризма в понимании знания выражен так:
знание принципов существует до знания всех других вещей; ничто не может
быть известно, если оно не выведено из первых принципов.
Декартов образ философии как древа познания (корни – метафизика,
ствол – физика, плодоносящие ветви – медицина, механика, мораль) не
включает чистой математики. Можно дополнить этот образ: математика есть
сок древа, обеспечивающий его жизнь8, формирующий стандарты
рационального получения знания из первых принципов и опыта.
5
Davies, R. Descartes Belief, scepticism and virtue. London, New York: Routledge, 2001. 371 pp.
Davies, R. Descartes Belief, scepticism and virtue. P. 233.
7
Davies, R. Ibid.
8
Davies, R. Descartes Belief, scepticism and virtue. P. 239.
6
5
Дж. Беркли исходит из того, что математика – ветвь спекулятивного
знания9. Ясность и определенность демонстраций, тем не менее, не
освобождает её от ошибок. Её первые принципы ограничены рассмотрением
количества. Источник возможных ошибок предполагается в положениях
более общих, чем количественные абстракции математики. Понимание
общих абстрактных идей и статуса существования объектов вне сознания
связывается с осмыслением природы математических ошибок. Арифметика
имеет дело с абстрактными идеями числа. Если при осмыслении природы
теорий арифметики абстрагироваться от имен и чисел, от их применения на
практике, имеющей дело с конкретными вещами, то тогда такие теории
становятся ничтожными. В арифметике исследуются не вещи, а знаки (the
signs), которые функционируют не сами по себе, а определяют наше
отношение к вещам. Абстрактные идеи обозначаются числовыми именами.
Правильно образованные понятия должны непосредственно выражать
данные чувств. В субъективном смысле существует то, что дано
восприятиям. Идеи, теории есть лишь представления, репрезентации того,
что воспринимается. Конструирование математических знаний посредством
таких репрезентантов, как число и фигура, не гарантирует их соответствия
восприятиям. Этот сенсуалистический критерий применяется как основание
критической оценки наличного математического знания, например,
исчисления бесконечно малых.
Р. Декарт акцентировал эффективность применения математики в
науке. Дж. Беркли поставил проблему границ образования математических
понятий и теорий. Дж. Локк различал демонстративные науки (математика,
этика) и натуральную философию. Поскольку содержание математики (как и
этики) составляют наши собственные идеи, постольку мы имеем
демонстративное знание о них, резюмирует Э. Карсон философию
математики Дж. Локка10. Э. Карсон резонно замечает, что отождествление
математики и этики неосновательно, поскольку геометрия реального тела
накладывает ограничения на свободу применения аксиоматического метода в
геометрии, чего нет в этике.
Для преодоления этой трудности концепции Дж. Локка И. Кант
применяет понятие чистой интуиции при осмысления природы
математического знания11. И. Кант попытался соединить достоинства
рационалистической философии математики Декарта и эмпирикосенсуалистической критики Беркли. Согласно Канту, спонтанная
чувственность, регулируемая временем и пространством как априорными
Беркли Дж. Соч. М., 1978. Berkeley G. A Treaties concerning the principles of human knowledge // Berkeley G.
Philosophical writings. Cambridge University Press. Cambridge, 2008. P. 131.
10
Emily Carson пишет, излагая суть концепции философии математики Локка: «Поскольку математика и
этика есть только наши собственные идеи, постольку у нас есть демонстративное знание о них»; “Because
mathematics and ethics are only of our own ideas, we have certain demonstrative knowledge of them” // Emily
Carson, Renate Huber (eds.). Intuition and the axiomatic method. Springer, Dordrecht, The Netherlands, 2006. P.
10.
11
Carson, E. Locke and Kant on mathematical knowledge // Emily Carson, Renate Huber (eds.). Intuition and the
axiomatic method. Springer, Dordrecht, The Netherlands, 2006. P. 3-19.
9
6
формами синтеза ощущений, производит явления. Их познание задается
такими формами рассудка, как число и величина, которые задают правила,
посредством которых рассудок конструирует объекты природы.
Следовательно, объекты естествознания конструируются математически.
Измерение и исчисление – универсальные методы математического
естествознания. Понятия математики оказываются применимыми лишь в
процессе непосредственного (чувственного) созерцания. Элементарные
геометрия, арифметика, алгебра получают такое объяснение в философии
трансцендентальной субъективности Канта.
Создание неевклидовых геометрических систем, идеи нелинейности и
их применение в физике начала ХХ века актуализировало исследования
оснований математики. Логицизм, формализм, интуитивизм, теоретикомножественный подход предложили свои понимания проблем, методов и
концепций оснований математического познания.
Рационалистический лингво-аналитический поворот в философии,
инициированный идеями Д. Юма, исследованиями Г. Фреге, текстами Б.
Рассела, Л. Витгенштейна и других философов, изменил контекст
философского вопрошания вообще, исследования математики в особенности.
Аналитическая философия математики является результатом применения
методов аналитической философии к анализу математического знания.
Метод анализа (аналитический метод философии) используется как
инструмент превращения философии в точное и доказательное знание.
Различаются
редуктивные
и
нередуктивные
методы
анализа
онтологического, методологического и других типов, формальные и
неформальные методы.
Философия математики двадцатого века формировалась в процессе
переосмысления принципов философии математики И. Канта. Положение о
том, что математика основывается на априорных синтетических суждениях,
принятое Кантом, было подвергнуто критике в контексте логицизма Г. Фреге
и Б. Рассела. Логицизм Г. Фреге и его последователей предполагает замену
интуиции формальными инструментами математических преобразований.
По мнению Рассела, единственной причиной, по которой Кант ввел
интуиции пространственной и временной координации спонтанного потока
ощущений в основания математики, было отсутствие в то время
«современной логики, то есть логики количественных отношений»12. В
исследованиях логических оснований математики Б. Рассел опирается на
такие понятия математики девятнадцатого века, как непрерывность и предел.
Логический язык был инструментом анализа естественного языка, раскрытия
логических форм фактов. Теория описания, теория типов, преобразованная в
часть теории логического синтаксиса языка, раскрывали логические формы
выражения знания. Математика для Рассела была парадигмой определенного
знания. Его исследование оснований математики было мотивировано
12
Emily Carson, Renate Huber (eds.). Intuition and the axiomatic method. Springer, Dordrecht, The Netherlands,
2006. P. vii.
7
желанием отстаивать истину и несомненность аксиом Пеано для арифметики.
Для достижения этой цели Рассел разработал метод выведения их из чистой
логики.
Рассел, размышляя в контексте логицизма, резонно отмечает, что
математика и логика, возникнув как различные науки, в наше время
сблизились. Логика стала математичнее, математика – логичнее. В результате
эти две науки стали чем-то одним13. Конструктивно применяя «бритву»
Оккама (не умножать сущности сверх необходимости), Рассел формулирует
высший принцип научной философии: везде, где возможно, подставлять
логические конструкции вместо предполагаемых сущностей.
Для осмысления оснований интуитивизма необходимо прояснить само
понимание интуиции. Гёдель, Пуанкаре, Вейль и другие формировали
различные понятия интуиции. Развитие абстрактной теории множеств,
изобретение неевклидовых систем геометрии показало, что интуиция
является сомнительным основанием выбора между конкурирующими
геометрическими системами. Исследование Гильбертом оснований
геометрии актуализировало применение аксиоматического метода для
построения знания в виде аксиоматической системы.
Обусловлено ли содержание математики, например математической
геометрии, логикой, языком, опытом, конвенцией или интуицией? Этот
вопрос являлся и является актуальным как для философии математики, так и
для математического образования. Почему эмпирическая интерпретация
аксиоматических систем математики оказывается эффективной в физике и
других
науках?
Существует
ли
одна-единственная
«истинная»
геометрическая теория пространства? Или научно оправдано изобретение
теоретических и методологических альтернатив в области математической и
физической геометрии для реализации потенциала критического метода
исследования научных проблем? Опровергает ли эмпирическое
подкрепление специальной и общей теории относительности учение Канта
об интуициях пространства и времени как об априорных формах нашей
чувственности?
Важнейшая проблема философии математики – понимание оснований
и механизмов концептуальных изменений14. Исток математики –
эмпирический и интуитивный опыт. Целенаправленное формирование
математики подчинено преобразованию этого опыта в систему абстрактных
понятий, отличающих, например, понятия числа, операции сложения от
конкретных совокупностей объектов и практических операций с ними.
Математическая практика предполагает принятие конвенциональных
определений, переформулировка которых ведет к радикальным
13
Рассел пишет: “The consequence is that it has now become wholly impossible to draw a line between the two; in
fact, the two are one” (Russell B. Introduction in mathematical philosophy. Dover publication, inc. New York, 1993,
p. 194.)
14
Robert N. Carson, Stuart Rowlands. Teaching the conceptual revolution in geometry // Science & Education,
2007, Volume 16, Issue 9-10, pp. 921-954.
8
концептуальным изменениям, понимание которых составляет проблемы, как
для философского объяснения математики, так и для её изучения15.
Рациональная реконструкция объективной истории математики есть
модель возникновения, развития и конкуренции исследовательских
программ. И Лакатос преодолевает негативный характер критического
рационализма К. Поппера формулировкой конструктивной концепции
методологии исследовательских программ. В её контексте акцент делается не
на опровержении исследуемой теории фактами, а на создании альтернативы
– новой исследовательской программы, конкретизирующей проблемную
ситуацию. Критический рационализм К. Поппера преобразуется в
критический конвенционализм И. Лакатоса, в котором эпистемические
оценки понимаются как прагматически мотивированные соглашения16.
Важно понять, какие ограничения на применение аксиоматического
метода в математике накладывает интуиция, какие возможны аргументы для
введения интуиции в основания геометрии и арифметики. Сопоставление
интуиционистских и формалистических установок открывает возможности
для феноменологического подхода в философии математики. Различение
формального, геометрического и интуитивного пространств является
конструктивным опытом реализации возможностей принципа различия. Если
интуитивное пространство осмыслить не как «пространство повседневного
опыта»17, что очень неопределенно и вторичность чего вполне вероятна, а как
пространство перцептивное, то анализ формальных пространств ставит
вопросы о применении результатов такого анализа к исследованию
геометрического пространства и пространства интуитивного.
Сопоставление логицизма, формализма, интуитивизма, теоретикомножественного подхода к осмыслению специфики математического знания
ставит задачу поиска новых подходов. Я. Хинтикка считает, что необходима
переоценка наших представлений о логике и об основаниях математики.
Если аксиоматическая теория множеств определяет концептуальные рамки
математики, то это искажает среду математического теоретизирования18.
В этих условиях математическая практика была и остается источником
оптимизма в осмыслении опыта и перспектив научного познания мира
человеком.
15
Robert N. Carson, Stuart Rowlands пишут о революциях в математике: «Основные нововведения и
концептуальные переформулировки малочисленны, но они представляют собой, пожалуй, серьёзнейшие
проблемы для учащихся»; “The major innovations and conceptual reformulations are few in number, but these
represent perhaps the greatest challenges to learners” // Robert N. Carson, Stuart Rowlands. Teaching the conceptual
revolution in geometry // Science & Education, 2007, Volume 16, Issue 9-10, pp. 921.
16
Лакатос И. Доказательства и опровержения // Лакатос И. Избранные произведения по философии и
методологии науки. М., 2008. С. 27-190; Лакатос И. История науки и её рациональные реконструкции //
Лакатос И. Избранные произведения по философии и методологии науки. М., 2008. С. 201-273.
17
Ren’e Jagnow. Edmund Husserl on the applicability of formal geometry // Emily Carson, Renate Huber (eds.).
Intuition and the axiomatic method. Springer, Dordrecht, The Netherlands, 2006. Pp. 67-85.
18
Hintikka J. Who is about to kill analytic philosophy? // Biletzki A., Marat A. (eds.) The story of analytic
philosophy. Plot and heroes. London, New York: Routledge, 2002. P. 253-269.