Шакирова А.Т. Рассчет физически и геометрически нелинейных

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Казанский (Приволжский) федеральный университет»
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИМ.Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО
КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Направление: 010800.68 – механика и математическое моделирование
Специализация: механика твердого деформируемого тела
ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
МАГИСТЕРСКАЯ ДИССЕРТАЦИЯ
РАССЧЕТ ФИЗИЧЕСКИ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕД
МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Работа завершена:
«____»___________2015 г.
(А.Т. Шакирова)
Работа допущена к защите:
Научный руководитель
Кандидат физико-математических наук, доцент
"___"_________ 2015 г.
________________
(Л.У.Султанов)
Заведующий кафедрой
доктор физико-математических наук, профессор
"___"_________ 2015 г.
_________________
Казань- 2015
(Ю.Г.Коноплев)
Содержание.
Введение
1) Метод конечных элементов
2) Основные законы упруго-пластических деформаций
3)Метод последовательных нагружений в текущей конфигурации
4)Контактная задача
5)Описание элементов используемых для решения задачи в программе ANSYS
6)Постановка задачи
7)Решение задачи
8)Численные результаты
9)Заключение
Список литературы
Введение
В настоящее время инженерам и исследователям приходится сталкиваться со
многими задачами, которые требуют больших затрат на эксперименты или
которые не возможно решить аналитически. Существующие пакеты программ
систем автоматизированного проектирования, существенно расширяющие круг
задач, которые доступны анализу. Результаты, которые получены с помощью этих
методов широко применяются во многих областях науки и техники.
Метод конечных элементов (МКЭ) является самым популярным способом
исследования поведения конструкций при разнообразных воздействиях на нее.
Использование МКЭ для нелинейных и динамических задач помогает
моделировать сложные процессы, например, штамповка, удар, разрушение,
вытяжка, потеря устойчивости и т.п. Пакет прикладных программ ANSYS,
который использует МКЭ, широко используется инженерами, занимающиеся
решением задач прочности.
МКЭ в ANSYS позволяет решать задачи как статического, так и динамического
напряженно-деформированного состояния конструкций, а так же физически и
геометрически нелинейных задач, что позволяет проводить расчеты для широкого
спектра инженерных задач.
Так же в настоящее время актуальной является механика контактного
взаимодействия твердых деформируемых тел. Все конструкции и механизмы
состоят из деталей, которые взаимодействуют друг с другом, а то, как между ними
распределены контактные усилия, не известны заранее, которые в свою очередь
находятся в результате решения контактных задач. Закон изменения контактного
давления по области контакта помогает определить на поверхностях тел граничные
условия в напряжениях и решать внутри тел, которые взаимодействуют друг с
другом, более простые задачи по определению напряженно-деформированного
состояния.
Современные возможности пакета прикладных программ ANSYS позволяют
рассчитывать и исследовать большой круг контактных взаимодействий: как расчет
простых 2D задач, так и расчет сложных трехмерных задач с различными
силовыми нагружениями и нелинейных моделей трения.
1.Метод конечных элементов
Для того чтобы рассчитать сложные конструкции матричными методами
используют метод конечных элементов. Он широко используется при расчете
стержневых систем задач механики сплошной среды. В строительной механике и
МКЭ методология классических методов сводится к разбиению конструкции на
отдельные части более простой структуры, у которых механическое поведение
можно легко описать, а затем с помощью условий сплошности и равновесия снова
объединеним их в единую конструкцию. Специфическая форма метода Ритца,
которая
используется
для
приближенного
решения
задач
механики
деформируемого твердого тела, так же может интерпретироваться как МКЭ. В
данной работе будем использовать вариационную постановку задач МКЭ: или как
задачи минимизации функционала
энергии, или как решение вариационных
уравнений равновесия.
Вариационная постановка задач теории упругости.
Удельную потенциальную энергию деформации для единицы объема упругого
тела, который направлен
вдоль произвольно выбранной декартовой системы
координат x , y , z , можно записать как:
W
1
 xx xx   yy yy   zz zz   xy xy   yz yz   zx zx 
2
(1.1)
Введем вектор напряжений   и вектор деформаций  
 
T
  xx ,  yy ,  zz , xy , yz , zx  ,
 
T
  xx ,  yy ,  zz ,  xy ,  yz ,  zx  .
(1.2)
Тогда выражение (1.1) перепишется в виде:
W 
1 T
     1  T  .
2
2
(1.3)
Накопленная телом потенциальная энергия деформации определяется как
интеграл по всему объему тела V :
U   WdV 
V
1
 T  dV .

2 V
(1.4)
Закон Гука можно записать через матрицу упругих постоянных D в матричном
виде:
   D .
(1.5)
Поэтому потенциальную энергию деформации запишется в виде:
U
T
1


D dV

2 
V
(1.6)
Работу внешних сил так же можно записать в матричном виде. Ведем для этого
вектор перемещений:
T  u, v, w,
(1.7)
где u , v, w - проекции вектора перемещений вдоль осей x , y , z , вектор
массовых сил Q
QT

 Q x , Q  y  , Q z 

(1.8)
и вектор поверхностных сил P, который действует на части поверхности S ,
PT


 P x , P  y  , P z  .
(1.9)
С помощью введенных величин работа внешних сил запишется как:
A   Q dV   P dS .
T
V
T
(1.10)
S
Известно, что полная энергия (функционал Лагранжа) системы определяется
как:
L  U  A,
(1.11)
Окончательное выражение получим с учетом (1.6) и (1.10):
L
T
T
T
1










dS .



D

dV

Q

dV

P

S
2 
V
V

(1.12)
Согласно общим теоремам механики, истинное состояние равновесия тела
соответствует минимуму полной энергии, иначе говоря, задача сводится к
нахождению векторов  и  ,  , которые дают min L . В данной вариационной
задаче уравнениями Эйлера являются статические граничные условия и уравнения
равновесия.
МКЭ как метод Ритца.
Построение поля перемещений в виде разложений по некоторой системе
координатных функций является одним из главных моментов метода Ритца
минимизации функционала энергии:
x x
u  n  i H i x, y, z 
 y y

 


v


H
x
,
y
,
z
   i
,
i
w i 1   z   z 




H
x
,
y
,
z
 
i
i


(1.13)
удовлетворяющие кинематическим граничным условиям. Функции H i x, y, z  в
классическом методе Ритца должны обладать свойством полноты и определяются
во всей области. Аппроксимацией вектора перемещений  является выражение
(1.13), и она определена сразу во всей области. Поиск решения в виде (1.13)
является здесь главной трудностью. Эта трудность заключается в том, что для
областей неканонической формы сложно построить функции H i x, y, z  .
Во
избежание таких трудностей было решено разбивать данную область на отдельные
элементы, которые являются более простой геометрической структуры, потому что
значительно проще строить аппроксимации внутри этих элементов. Здесь
появляется новая трудность, она заключается в том, что должны выполняться
условия непрерывности перемещений во время стыковки этих отдельных
элементов. Во избежание этих трудностей было решено принимать значения
компонент перемещений i  в некоторой системе точек , которые находятся на
границах стыкуемых элементов в качестве неопределенных коэффициентов
разложений  i  . В конечном итоге получили метод конечных элементов, который
является видоизмененным методом Ритца.
Основные этапы МКЭ:
1) Разбиваем данную область на геометрически простые части.
2) вводятся узлы между отдельными частями на границах, так же и внутри
элементов если необходимо, и впоследствии основными неизвестными являются
перемещения этих узлов ui , vi , wi .
Выражение функционала энергии для отдельного КЭ определяется как
функции перемещений узлов, которые принадлежат только этому КЭ.
Рассмотрим некоторый m-ый элемент. Вектор узловых перемещений этого
 
q   q , q
m
элемента обозначим через вектор q :
m T
m
1
m
2

,, q12m .
(1.14)
Внутри этого элемента введем аппроксимации:
 x, y, z   U x, y, z q m ,
(1.15)
где U  содержит в себе некоторые функции, элементами которой являются
полиномы. Вектор деформации (1.2) можно вычислить с помощью выражения
(1.15):
   Bq m .
(1.16)
Выражение энергии на элементе получим путем подстановки (1.15), (1.16) в
(1.12):
Lm 
  B DBq dV   Q  U q dV   P  U q dS .
1
qm

2 Vm
T
T
m
m
T
m
m
T
m
(1.17)
Sm
Vm
(1.17) запишется в следующем виде, так как на элементе параметры
q 
m
постоянны:
Lm 
  K q  P  q ,
1 m
q
2
T
m
m T
m
m
(1.18)
где
K    B DBdV ,
T
m
Vm
P    Q  U q dV   P  U q dS .
m
m
T
m
m
T
m
(1.19)
m
Vm
S
K  - матрица жесткости элемента, P  - вектор узловых сил.
m
m
Функционал энергии для всего тела строится как сумма значений энергии по
всем элементам. Считается, что для всех прилегающих элементов перемещения
узлов, которые принадлежат разным элементам, одинаковы. Физически это
означает, что выполняются условия неразрывности поля перемещений во всей
области тела. Когда выполниться операция сборки, получим:
L   Lm 
m
1 T
q K q  PT q .
2
(1.20)
Вектор q включает в себя узловые перемещения всего тела, матрица K  это
матрица жесткости всего тела, состоящая из суммы матриц K m , вектор P- вектор
внешних сил, который состоит из заданных сосредоточенных нагрузок и суммы
поэлементных сил P m .
Необходимо
найти такой вектор
qсогласно
методу Ритца, который дает
минимум энергии Э. Равенство нулю первой вариации минимума полной энергии
является необходимым и достаточным условием:
Э 


1
qT K q  qT K q  PT q  0 ,
2
(1.21)
Получим алгебраическую задачу вследствие симметричности матрицы K  :
K q  P.
После решения этой системы найдем вектор
(1.22)
q,
позволяющий найти
распределение напряжений в теле и однозначно определяющий поле перемещений,
это и является в задачах теории упругости конечной целью.
Особенность задания аппроксимации является отличие метода Ритца от МКЭ: в
классическом методе Ритца неизвестные параметры   не имеют явного
физического смысла, а в МКЭ неизвестными параметрами являются узловые
перемещения и аппроксимация определяется поэлементно.
Двумерная аппроксимация( прямоугольная область)
На прямоугольнике простейшая аппроксимация определяется в виде
билинейной функции:
g ( x, y)  1   2 x  3 y   4 xy
И она требует задания значения функций gi в четырех вершинах.
(1.23)
Совместность данной аппроксимации определяется за счет линейности
функции (1.23) вдоль каждой из граней, которые однозначно определяются
двумя узловыми значениями в вершинах, которые прилегающих к данной
стороне.
Здесь
вводятся
локальные
координаты
 , , в которых исходный
прямоугольник становится квадратом  1,1   1,1 , и относительно них уже
определяются аппроксимирующие функции. Для области переход от
производных
 
 
,
,
к
осуществляется с помощью соотношений:
x y  

2
 
2


, 
,
x x2  x1  y y2  y1 
(1.24)
Полином (1.23) в координатах  , записывается как:
g ( , )  1   2  3   4
(1.25)
Функции формы получим в виде:
1
1
1   1   , N 2  ,   1   1   ,
4
4
1
1
N 3  ,   1   1    , N1  ,   1   1   
4
4
N1  ,  
(1.26)
В этих выражениях функции формы имеют вид произведения двух
одномерных линейных функций
форм Ni    N j   . Семейство таких
двумерных аппроксимаций носит название Лагранжевого, а функции формы
состоят
из
произведения
соответствующего порядка.
одномерных
полиномов
Лагранжа
2.Основные законы упруго-пластических деформаций.
Если
происходит
деформация твердых тел под действием внешних
приложенных сил и при устранении этих сил тело получает постоянные или
временные пластические деформации, то такое явление называется пластичностью.
Основное свойство пластических деформаций: между возникающими в теле
напряжениями и деформациями нет взаимно однозначной зависимости, другими
словами по данным напряжениям невозможно отыскать деформации и наоборот.
Все твердые тела при различных деформациях обладают пластическими
свойствами. В теории упругости при некоторых условиях пластическими
свойствами тел пренебрегают.
Упругое состояние твердого тела – это состояние, при котором независимо от
времени есть взаимно однозначная зависимость между деформациями и
напряжениями для каждой температуры тела.
Пластическое
известны
состояние твердого тела – это состояние, при котором если
соответствующие
значения
температуры
и
все
предыдущие
деформированные напряженные состояния, то для данной температуры связь
между напряжениями и деформациями в каждый данный момент времени
становится взаимно однозначной.
Закон Гука; сжимаемость тела и условие пластичности.
В теле до некоторых пределов существует упругая деформация, когда к нему
приложена некоторая нагрузка. Эта упругая деформация подчиняется закону Гука.
Можно сформулировать закон Гука как:
1) направляющие гиперболоиды в каждой точке тела или направляющие
тензоры напряжений и деформаций направляющие совпадают:
 D    D .
e
2) если
объем
элемента
тела
( 2.1)
s
изменяется,
то
это
изменение
прямо
пропорционально среднему нормальному напряжению:
  3Ke,
где К модуль объемной деформации.
(2.2)
3) квадратичные
инварианты
девиаторов
напряжений
и
деформаций
пропорциональны или октаэдрическая деформация прямо пропорционально
октаэдрическому напряжению
 i  G i ,  i  3Gei
(2.3)
где G модуль сдвига. Закон Гука в соответствующей форме имеет более
наглядный механический смысл, и его инвариантность более понятна для
различных координатных осей, чем в форме шести соотношений. Соотношение
(2.1) разрешим относительно тензора деформаций, получим:
E 
1
1
2G
 S   1     I  .
2G
2G  3K 
(2.4)
Найдем в проекциях на оси x, y, z отсюда:
1
1
1


X x  Yy  Z z   , exy  X y , 

E
m
G



1
1
1

eyy  Yy   Z z  X x   , eyz  Yz , 
E
m
G



1
1
1

ezz   Z z   X x  Yy   , ezx  Z x , 
E
m
G


exx 
Модуль Юнга E и коэффициент Пуассона
(2.5)
1
выражаются формулами через G и
m
K как:
E
9GK 1
3K  2G
, 
.
3K  G m 2  3K  G 
(2.6)
Уравнение (2.1) разрешая относительно тензора напряжений, тогда:
 S   2G  E   3K  2G  e  I  .
(2.7)
Имеем в проекциях на оси x, y, z отсюда:
X x    2Gexx , X y  Gexy , 

Yy    2Geyy , Yz  Geyz , 

Z z    2Gezz , Z x  Gezx , 
где   3e - относительное объемное расширение и  - постоянная Ляме:
2
3
  K  G.
(2.8)
В проекциях на оси уравнение (1) даст:
S  2Gэ ,  ,   x, y, z  ,
(2.9)
где S ,  , э - компоненты девиаторов  Ds  и  De  в осях x, y, z где:
1

эxx  exx  e, эxy  exy , 
2

1

эyy  eyy  e, эyz  e yz , 
2

1

эzz  ezz  e, эzx  ezx , 
2

(2.10)
Найдем выражение потенциальной энергии:
2W  X x exx  Yy eyy  Z z ezz  X y exy  X z exz  Yz e yz .
(2.11)
Перепишем (2.11) как:
2W   S xx    эxx  e    S yy    эyy  e    S zz    эzz  e   2S xy эxy  2S yz эyz  2S zx эzx , (2.12)
Перемножим этих соотношения и приведем подобных членов, отсюда получим:
2W   


 x, y, z
S э .
(2.13)
Первое слагаемое правой части  есть удвоенную работа, которая идет на
изменение единичного объема тела, второе выражение есть удвоенная работа
формоизменения.
Следовательно, получаем результаты:
1) Работа компонентов шарового тензора напряжений на компонентах шарового
тензора деформаций является удвоенной упругой работой внутренних сил, которая
идет на изменение объема, то есть:
  e   e  I  ,  I    .
(2.14)
2) Работа компонентов девиатора напряжений на компонентах девиатора
деформаций является удвоенной работой внутренних сил, которая идет на
изменение формы:
 Ds  De   
 ,  x, y, z
S э  2W    2WФ .
(2.15)
Второй инвариант девиатора напряжений равен упругой работе внутренних
сил, которая идет на изменение формы элемента:
 i2  CWФ .
(2.16)
Интенсивность напряжений  i и интенсивность деформаций ei представляют
приведенное напряжение и приведенную деформацию:
i 
3
1
 i , ei 
i.
2
2
(2.17)
1
WФ   i ei .
2
(2.18)
Когда появляются остаточные деформации, закон Гука теряет силу. Условие
пластичности – это условие, при котором в некоторой точке тела должны
удовлетворять
напряжения,
чтобы
в
ней
появились
первые
остаточные
деформации.
Условие пластичности в общем виде:
f 1 , 2 , 3   0,
(2.19)
где  1 ,  2 ,  3 - главные напряжения и f - некоторая функция.
Условие пластичности записывается как:
i  s ,
(2.20)
где  s - предел текучести при растяжении.
Теория пластичности Мизеса.
Введем параметр  и интегрально-дифференциальный оператор обозначим
через L , тогда.:
L  Ds   L  De 
L  Ds   A  Ds   B

d
 Ds    C  Ds d  
d
0
,
(2.21)

d
L  De   A  De   B
 De    C   De d  
d
0
Если добавим скалярные соотношения, сделаем частные предположения о
коэффициентах A, B, C
A, B, C 
, отбросим различные слагаемые в (2.21) , то мы
получим разные теории пластичности.
Если сохранить A и B  не равными нулю, которые выбираются такими, чтобы
A  Ds  , B
d
 De 
dx
были направляющими тензорами напряжений и скоростей
деформаций, то получим теория Мизеса:
A
Принимаем
условие
3
2
, B 
.
i
2 i
пластичности
Мизеса
и
условие
несжимаемости
материала:
 xx   yy   zz  0,    s  const.
i
(2.22)
Связь между напряжениями и скоростями деформаций в скалярном виде
выглядит следующим образом:

2 s

 xx , S xy  X y  s  xy , 
3 
3 i


2 s
s
S yy  Yy   
 yy , S yz  Yz 
 yz , 
3 
3 i


2

S zz  Z z    s  zz , S zx  Z x  s  zx , 
3 
3 i

S xx  X x   
(2.33)
Законы активной упруго-пластической деформации и разгрузки.
Активная деформация элемента – это деформация тела в данный момент, при
которой интенсивность напряжений  i имеет такое значение, которое превышает
все предыдущие значения. Пассивная деформация элемента – это деформация, при
которой интенсивность напряжений  i меньше хотя бы одного предыдущего
значения.
Пластическая деформация в случае активной деформации элемента
возрастает за пределами упругости. А в случае пассивной деформации
пластическая деформация остается постоянной. Активная деформация также
называется нагружением, а пассивная – разгрузкой.
Объемное напряжение элемента тела, которое подчиняется закону Гука, при
активной и пассивной деформациях является упругим:
  K  3Ke.
Направляющие тензоры напряжений и деформаций равны:
(2.34)
1
i
2
 Ds    De 
(2.35)
i
Произведем замену:
i  i
2
,  i  ei 2,
3
Тогда
 Ds  
2 i
 De  .
3ei
(2.36)
Можно сформулировать закон равенства направляющих тензоров как: главные
оси напряжений и деформаций совпадают, и отношения главных касательных
напряжений к соответствующим главным сдвигам для данного элемента тела
являются постоянными:
 12  23  31  i



.
 12  23  31 3ei
(2.37)
Интенсивность напряжений записывается в следующем виде:
i 
2
2
X
 Yy   Yy  Z z    Z z  X x   6  X y2  Yz2  Z x2 
2
x
2
2
(2.38)
Интенсивность деформаций записывается как:
ei 
2
3
e
xx  eyy    eyy  ezz    ezz  exx  
2
2
2
3 2
exy  eyz2  ezx2 .

2
(2.39)
Считая, что  i выражена через ei , тогда можно положить, что уравнения (2.34)
и (2.36) определяют полную зависимость между напряжениями и деформациями,
тогда получим:

2
Xx  K  i
9ei

Xy 
i
3ei
exy ,


2 i
exx , 
 
3ei








Выразим деформации через напряжения, заменив e 
относительно деформаций, получим:
(2.40)

3K
и разрешив (2.36)
 3e
3ei
1  
Xx  i 
  ,
2 i
 2 i 3K  

,

3ei

exy 
X y,

i


exx 
(2.41)
Общая деформация элемента состоит из упругой и пластической деформаций.
Приписываем компонентам упругой деформации индекс "e" , а компонентам
пластической – индекс "p" :
e xx  exxe  exxp , 


e
p 
exy  exy  exy , 


(2.42)
По закону Гука компоненты упругой деформации выражаются через
напряжения:
1
 X x   Yy  Z z   , 
 
E



1
e

exy  X y ,

G


exxe 
(2.43)
Где  - коэффициент Пуассона, E - модуль Юнга.
Формулы для пластических деформаций запишутся в следующем виде:
  i  
1
 
X x  Yy  Z z   , 

G 
2
 


  i 

p
exy 
X y,

G


exxp 
где функция  
3Gei   i
i
.
Интенсивность пластических деформаций выглядят как:
(2.44)
e
2
2
eie 
e
xx
Принимаем во внимание
деформаций exxe
exye
 eeyy    eeyy  ezze  
2
2


3 e2 e2 e2
exy  eyz  ezx
2

(2.45)
(2.38), в формулу (2.45) подставить значения
согласно (2.43), получим:
eie 
i
(2.46)
3G
Таким же образом согласно (2.44) для пластических деформаций получим:
eip 

3G
i
(2.47)
Складывая (2.46) и (2.47), получим результат:
ei  eie  eip ,
(2.48)
то есть сумма интенсивностей упругих и пластических деформаций равна
интенсивности полной деформации.
Работа напряжений и потенциальная энергия; потенциалы.
Работа, которая совершается при переходе элемента тела единичного объема из
недеформированного состояния O в деформированное M
является работой
напряжений и определяется, как сумма элементарных работ в промежуточных
состояниях:
M
W
 X e
x
xx
 Yy eyy  Z z ezz  X y exy  Yz eyz  Z x exx  .
(2.49)
0
Подинтегральное выражение в (2.49) является полным дифференциалом, то
есть W зависит только от начального и конечного состояний.
 W   i ei   .
(2.50)
Поскольку  i    ei  и   K , то  W полный дифференциал, то:
W  W  ei ,   W  exx
ei
exy
    i dei 
0
W 
W
W
W
 ei 
 
 exx 
ei

exx

K 2
,
2
W
 exy 
exy







(2.51)
Отсюда следует, что функция W , которая представляет работу внутренних сил,
одновременно является потенциалом напряжений:
i 
W
W
, 
,
ei

W
Xx 
,
exx




W 
,Xy 
.
exy 
(2.52)
Потенциальной энергией единичного элемента тела - это часть работы W ,
которая будет возвращена элементом при полной разгрузке.
We 
1 2 1 2
i 
 .
6G
2K
(2.53)
Необратимая часть работы внутренних сил записывается в следующем виде:
ei
Wp  W  We    i dei 
0
 i2
6G
.
(2.54)
Полная работа деформаций всего тела обозначается V и представляет сумму
работ всех элементов:
 ei
K 2 
V   Wd      i de i 
d ,
2 
 0
(2.55)
Где d  dxdydz - элемент объема тела,  - его объем, и интегрирование ведется
по первоначальному объему тела, предполагая, что внешняя форма тела как будто
неизменна.
Потенциальная энергия тела согласно (2.53) записывается как:
Ve   We d 
1
1
 i2 d 

6G
2K
 
2
d ,
(2.56)
а оставшаяся потенциальная энергия как:
V0 
Постановка
1
1
 i2 d 

6G
2K
 
2
d .
(2.57)
задачи теории пластичности, вариационное уравнение и
уравнение равновесия.
Дано тело, которое ориентировано в прямоугольной системе координат:
х  х1 , y  x2 , z  x3 .
Оно в некоторый момент времени находится под действием заданных сил:
поверхностных X , Y , Z
и массовых сил X , Y , Z . Упругие характеристики тела,
кривая  i  ei и изложенные выше законы определяют механические свойства тела.
Необходимо найти напряжения и деформации в теле.
Воспользуемся вариационным уравнением равновесия Лагранжа, в случае
движения к массовым силам будем добавлять силы инерции. Пусть:
u  u i  x, y, z, t  , v  u 2  x, y, z, t  , w  u 3  x, y, z, t 
(2.58)
под действием заданной системы сил являются компонентами перемещений
произвольной точки тела. Всякая изохронная вариация  un , которая совместима со
связями, наложенными на тело и его части
называется виртуальным или
возможным перемещением. Вариации деформаций и скоростей определяются как:
exx 
u
,
x
v1 
u
u1
u
; v2  2 ; v3  3 ,
t
t
t
Знаки дифференцирования и варьирования можно менять местами:

u 
  u,
x x
,
u1 
  u1.
t t
Пусть функция V выражается через деформации ei и  следовательно через
exx
exy .
Вариационный
принцип
равновесия
Лагранжа:
вариация
работы
внутренних сил при виртуальных перемещениях частиц тела равна работе внешних
сил и сил инерции на вариациях перемещений:
 V  exx ,
exy
     X  u  Y  v  Z wd    X  u  Y  v  Z  w  ds.



(2.59)
Первый интеграл в правой части распространен по объему, второй – по
поверхности тела. Уравнение (2.59) называется вариационным уравнением
равновесия.
Вариация V :
 V    X xl  X y m  X z n   u  
 X
X y X z 
   x 

 u  

x

y

z


  v     wds 

  v     wd .

Путем круговой
перестановки x, y, z и l , m, n из предыдущих скобок
получаются скобки, в которых присутствуют многоточия. Собирая все множители
при вариациях  u ,  v,  w в уравнении (2.59) получим:
 X x
 
x

X y
y


X z
  X  u  
z

    X  X x l  X y m  X z n   u  

  v     w d 
 v  

  w ds  0
(2.60)
Вариации перемещения любой точки тела должны быть непрерывны и
совершенно независимы, следовательно, равенство (2.60) возможно, только если
все коэффициенты при вариациях равны нулю. Тогда
уравнения равновесия
записываются как:

X x X y X z


  X  0
x
y
z


Yx Yy Yz


 Y  0 
x y
z


Z x Z y Z z


 Z  0 
x
y
z

(2.61)
Граничные условия выглядят следующим образом:
X x l  X y m  X z n  X 

Yxl  Yy m  Yz n  Y


Z xl  Z y m  Z z n  Z 
(2.62)
Для решения задач пластичности этих уравнений достаточно, и их нужно
понимать как уравнения равновесия в перемещениях, так как предполагается, что
напряжения выражены через компоненты перемещения u , v, w на основании
формул Коши и через деформации.
Если рассматривать систему (2.61) как уравнения равновесия в напряжениях, то
ее не достаточно для определения напряжений, и к ней нужно добавлять еще
условия совместности деформаций, которые получаются как:



2
 exx   eyz ezx exy  
2
 


 ,
yz x  x
y
z  



 2 exy
2
 2 exx  eyy

 2 ,
xy y 2
x
(2.63)
Сформулировать три основные постановки задачи теории пластичности при
активном нагружении:
1) для произвольных непрерывных с непрерывными прозводными вариаций
 u ,  v,  w нужно найти три функции: u , v, w , чтобы имело место вариационное
уравнение равновесия (2.60). Для решения задачи в таком случае можно
использовать метод Ритца: подбирается полная система функций f n  x, y, z  для
области, которая занята телом, и перемещения u , v, w представляются рядами:
u   an f n ,v   bn f n ,w   cn f n .
(2.64)
Вариации перемещений записываются как:
 u   f n an , v   f n bn , w   f n cn .
Работа внутренних сил:
V  V  an , bn , cn 
И ее вариация:
 V

V
V
 an 
 bn 
 cn .
bn
cn
 an

V   
Найдем формулы типа (2.65) , сравним коэффициенты при вариациях
 an ,  bn ,  cn левой и правой частей уравнения (2.59):
V

 Xf n d   X f n ds,
an 
Сколько неизвестных an , bn , cn
(2.65)
входит в выражения u , v, w столько же будет
формул.
2) Нужно
найти
три
функции
u , v, w ,
которые
удовлетворяют
дифференциальным уравнениям (2.61) и условиям на границе (2.62). Если
система дифференциальных уравнений (2.61) будет эллиптического типа, то
данная задача может иметь решение при произвольных внешних силах.
Условия разрешимости системы (2.65)
тождественно совпадают с
указанными требованиями.
3) Нужно найти шесть компонентов напряжений
Xx,
, которые
, X y,
удовлетворяют уравнениям равновесия (2.61) в напряжениях и условиям
совместности деформаций, при этом на границе тела они должны
удовлетворять условиям (2.62).
Эта задача имеет единственное решение. Пусть при одинаковых внешних силах
и одинаковых значениях перемещений на границе тела u1 , v1 , w1 , X x , , Yz
1
u2 , v2 , w2 , X x2 ,
1
, Yz2 - два разных решения системы (2.62). Обозначим u, v, w, X x ,
разности соответствующих значений, так что внутри напряжения X x
и
, Yz
без
массовых сил удовлетворяют уравнениям (2.61), а на границе тела u  v  w  0 .
Умножим эти уравнения на u , v, w соответственно, сложим и проинтегрируем
по объему тела, тогда получим:
 X
X y X z 
I    x 

u  
y
z 
 x

 v    w d  0

Используя формулы Грина, получим:
I    X x exx 
Используя
X x  X x2  X x1 ,
выражения
, exx  exx2  exx1
 Yz eyz d  0
напряжений
через
деформации
получим:


2  i i 
I    i2 ei2   i1 ei1   2  1   э1 э2 d 
3  ei2 ei1   ,   x , y , z


   2   1  e2  e1  d
Из неравенства Шварца получим:
 э э
1
Следовательно:
2

3
2
э

ei ei
1  2
2 2 1
э
2
и
заменяя

I     i2   i1
 e
i2

 ei1   2   1  e2  e1  d .
3.Метод последовательных нагружений в текущей конфигурации.
Основные положения

Vk
V0
k
Σ
Vk+1
 Σ  
k

M0
k
r
u
Mk
k
e3
R
k+1
e1
k+1
u
k+1
k
S* 
Σ
Mk+1
R
e2
Рисунок 1
Для того чтобы решить задачи статики деформируемых тел используется
классическая лагранжевая постановка, в ней рассматривается текущая
конфигурация (рис. 4). Разберем метод последовательных нагружений, который
называется модифицированной инкрементальной постановкой (update Lagrangian
form).
Пусть известными в k -ом состоянии являются:
- конфигурация
k
R  k yi ei ;
(3.1)
- тензор напряжений Коши-Эйлера
 Σ ;
k
- другие параметры процесса.
Перемещения и напряжения так же получают приращения  k u ,   k S *  под
действием приращений внешних массовых и поверхностных сил  k f ,  k tn* .
Введен здесь тензор приращения напряжений Трусделла или модифицированный
тензор приращения напряжений Кирхгофа   k S *  .
Рассмотрим тензор деформации Грина. Он определяется в текущем базисе
приращениями перемещений  k u , то есть тензоры градиента приращения
перемещений можно записать в виде:
 k ui
k *
(3.2)
  u    k y  ei e j 
j
и
тензор
деформаций,
который
определяется
ими,
называется
модифицированным тензором приращения деформаций Грина и записывается как:

T
T
1
(3.3)
E*     k u*     k u*     k u*     k u*  .

2 
У данного тензора вариация записывается следующим образом:
T
T
T
 δ k E*   12  δu*    δu*    δu*     k u*     k u*    δu*  . (3.4)
Первые два слагаемых определяют вариацию тензора линейных деформаций в
текущем базисе
T
(3.5)
 δ k ε*   12  δu*    δu*   ,
а два последних – вариацию тензора нелинейных компонент деформаций:
T
T
(3.6)
 δ k η*   12  δu*     k u*     k u*    δu*  .
Следовательно
(3.7)
 δ k E*    δ k ε*    δ k η* .
k
Здесь уравнение виртуальных работ для ( k  1 )-го состояния используется как
базовое разрешающее уравнение, которое записано в базисе текущей
конфигурации:
k
k *
k *
V  Σ     S   δ E  dVk 
k
(3.8)
k
k
k *
k *
  f   f  δudVk    t n   t n   δudSk .


Sk
Vk
Это уравнение после линеаризации левой части запишется как:
k
k *
k *
k *
  Σ   δ η     S   δ ε  dVk 
Vk
   k f  δudVk 
Vk

t  δudSk 
k *
n
(3.9)
Sk


    k Σ    δ k ε*  dVk   k f  δudVk   k t n*  δudSk .
Vk
Sk
Vk

Аналогичное линеаризованное уравнение для глобальной лагранжевой
постановки структурно совпадает с уравнением (3.9), где этот же смысл имеет
слагаемое в фигурных скобках.
По данной методике простейшие схемы решения физически нелинейных задач
основываются на предположении, что тензор  k Σ     k S *  является тензором
истинных напряжений и для него формулируются физические соотношения. Так
же следует принять, что тензор приращений напряжений   k S *  является
скоростью этих напряжений.
Упругопластический материал.
Рассмотрим изотропную упругопластическую среду без упрочнения.
  k S*   2G   k ε*  
(3.10)
2 
3G k

k *
k
k *





  K  G   I      ε    I    k 2  Σ    Σ      ε   .
3 
i

Здесь параметр  определяет наличие или отсутствие пластического
деформирования. При упругом деформировании, то есть если его нет параметр 
равен нулю, а при упругопластическом – единице.
В разрешающее уравнение (3.9) подставим это выражение, для левой части
получим:
k
k *
k *
k *
  Σ  δ η   S  δ ε  dVk 
  
 
 

Vk

2 

  2G   k ε*    δ k ε*    K  G   I     k ε*   I    δ k ε*  
3 

Vk 
(3.11)
3G  k
k *
k
k *
k
k * 





Σ


ε
Σ

δ
ε

Σ

δ

η   dVk .











k 2 


i

Оператор, который определяется этим интегралом – линейный, поэтому
уравнение получается тоже линейным после дискретизации. Вектор перемещений
 k u является результатом решения уравнения (13.11). После того как он
определится вычислим конфигурацию следующего состояния:
k+1
R  k R   k u.
(3.12)
Чтобы определить напряженное состояние, вычислим следующие тензоры:
градиента приращения перемещений (3.2), приращения деформаций (3.3) и
приращения напряжений (3.10). Суммарный тензор напряжения  k Σ     k S * 
является 2-м тензором напряжений Пиолы-Кирхгофа, поэтому чтобы найти
истинный тензор напряжений Коши-Эйлера необходимо вычислить тензор
градиента приращения деформаций:
 k 1 yi
k
(3.13)
  F    k y  ei e j 
j

и его определитель:
 k 1 yi
J  det k .
 yj
(3.14)
Получим:

k+1
Σ 
T
1 k
 F    k Σ     k S *      k F  .

J
(3.15)
Данная схема вычислений может быть уточнена итерационной процедурой на
каждом шаге нагружения, которая учитывала бы ошибки от линеаризации, как
геометрии, так и физики процесса.
4.Контактная задача.
Контактные
задачи
имеют
большое
практическое
значение,
в
них
рассматривается контактное взаимодействие тел. Они используются тогда, когда
нужно исследовать процесс деформирования составных конструкций, при качении
колеса по рельсу, при ударных взаимодействиях тел, по дороге. При статическом
или
динамическом
контакте
контактное
взаимодействие
используется
в
прочностных расчѐтах вязкоупругих, упругих и пластичных тел. Контактное
взаимодействие используется так же в фланцевых, шарнирных соединениях, при
разных технологических операциях обработки – резании, штамповки, бурении
нефтяных и газовых скважин, в шарико- и ролико-подшипниках, опорных частях
мостовых пролетных строений, фундаментах под сооружениями, зубчатых колесах
и так далее.
Наличие на части поверхности упругого тела контакта с другим телом,
абсолютно жестким или упругим является основным свойством контактных задач.
На поверхности контакта тел граничные условия становятся специфическими.
Результатом
взаимодействия рассматриваемого тела с примыкающими к нему
телами являются поверхностные силы. Когда взаимодействуют твердые тела, их
точки контакта (точки соприкосновения) в области контакта перемещаются
одинаково, или если соприкасаются, то проскальзывают одна относительно другой.
Так как неизвестны ни перемещения точек этой поверхности, ни напряжения по
поверхности контакта, то
граничные условия осложняются для каждого
контактного тела.
Классифицируются контактные задачи по следующим признакам:
по признаку размерности:
- плоские;
- пространственные (осесимметричные);
по признаку физических свойств контактирующих тел:
- контакт абсолютно жесткого и деформируемого (упругого) тела;
- контакт двух деформируемых тел;
по признаку размеров контактной площадки:
- площадка контакта сохраняет свои размеры и форму в процессе роста силы;
- площадка контакта увеличивается с ростом силы;
- площадка контакта увеличивается с ростом силы до некоторого предела,
после которого сохраняет свои размеры и форму;
по условиям взаимодействия контактирующих тел на площадке контакта:
- силы трения отсутствуют на всей поверхности контакта;
- наличие полного сцепления тел на поверхности контакта;
- наличие тангенциальных сил взаимодействия на части площадки контакта,
величина которых меньше произведения нормального давления на коэффициент
трения; а на остальной части площадки контакта - наличие тангенциальных сил
трения, равных произведению нормального давления на коэффициент трения. С
ростом сил изменяется граница между участками контактной поверхности.
Давление жесткого штампа на упругое полупространство.
Рисунок 2:Контакт между твердым цилиндрическим штампом и упругим
полупространством.
В ходе решения для точек площадки контакта находим напряжения или
перемещения как заранее неизвестные сложные функции нагрузки, формы и
материала контактных тел.
Давление распределяется следующим образом, если твердый цилиндр радиусом
a вдавливается в упругое полупространство:

1
2
 r 
1
d
p  p0 1  2  , p0  E * .

a
 a 
2
Связь между глубиной проникновения d
как:
и нормальной силой определяется
F  2aE *d ,
1 1  12 1  22

где * 
, E1 и E2 - модули упругости,  1 и  2 – коэффициенты
E
E1
E2
Пуассона обоих тел.
Одним из алгоритмов расчета контактных задач является расширенный метод
Лагранжа. Этот метод является одним из алгоритмов в классе методов условной
оптимизации, в котором находится решение, при котором исходную задачу
заменяют условной последовательностью неограниченных подзадач. Также он
известен как метод множителей, расширенный метод Лагранжа представляет явные
оценки множителей Лагранжа на каждом шаге.
Алгоритм расширенного метода Лагранжа основан на последовательной
минимизации функции LA по x , с обновлениями λ. Алгоритм расширенного
метода Лагранжа ограниченной задачи оптимизации вычисляет xk 1 в качестве
приближенной минимизирующей подзадачи
min LA  x, k ; k  : l  x  u,
где
LA  x,  ,   f  x    i ci  x  
i
1
 i ci2  x 

2 i
включает в себя только ограничения равенства. Обновление множителей
обычно принимает форму
i  i  i ci  xk  .
Этот подход является относительно легко осуществимым, так как главной
вычислительной операцией на каждой итерации является минимизация гладкой
функции LA по x при условии их связанных ограничений.
5.Описание элементов используемых для решения задачи в программе
ANSYS.
PLANE183 – двумерный элемент объемного НДС с восемью узлами.
Элемент PLANE183 является восьмиузловым двухмерным элементом. Он
имеет квадратичное представление перемещений и с его помощью можно
моделировать нерегулярные сетки.
Восемь узлов в этом элементе имеют две степени свободы в каждом узле:
перемещения в направлении осей X и Y узловой системы координат. Данный
элемент может применятся для моделирования осесимметричного напряженного
состояния
или для моделирования плоского деформированного состояния,
плоского напряженного состояния и обобщенного плоского деформированного
состояния. Элемент имеет свойства гиперупругости, пластичности, ползучести,
увеличения жесткости при наличии нагрузок, больших деформаций и больших
перемещений.
Исходные данные элемента.
На рисунке 3 показано расположение узлов элемента и геометрия элемента.
Рисунок 3: Геометрия элемента PLANE183
Элемент, имеющий треугольную форму, создается указанием одинаковых
номеров для узлов K, L и O. Исходные данные элемента помимо узлов включают
толщину только при свойствах ортотропного материала и использовании опции
плоского
напряженного
состояния,
при
этом
у
ортотропного
материала
направления осей соответствуют направлениям системы координат элемента.
Расчетные данные элемента.
В элементе направления напряжений параллельны осям системы координат
элемента.
На поверхностях напряжения определяются перпендикулярно и
параллельно линии поверхности IJ и KL и параллельны оси Z при использовании
плоского деформированного состояния и плоско напряженного состояния или
окружному направлению для осесимметричной задачи.
TARGE169 – двухмерный ответный элемент.
Описание элемента.
Для связи с контактными элементами используется элемент TARGE169 для
предоставления
двухмерных
ответных
поверхностей.
Данная
поверхность
разделяется на набор ответных элементов и связана с элементами контактной
поверхности общим набором геометрических характеристик. К элементам
ответной поверхности могут прикладываться угловые или линейные перемещения,
а так же моменты и усилия.
Исходные данные элемента.
Моделируется ответная поверхность путем набора ответных сегментов, и, как
правило, одну ответную поверхность составляют ряд ответных сегментов.
Ответная поверхность может быть недеформируемой и деформируемой. Когда
моделируется контакт недеформируемого и деформируемого тел поверхность,
которая не деформируется, должна быть представлена ответной поверхностью.
Определяются ответная поверхность и связанная с ней контактная поверхности
общим набором геометрических характеристик, который включает геометрические
характеристики, относящиеся к ответным и к контактным поверхностям.
Рисунок 4: Геометрия элемента TARGE169
CONTA175 – двухмерный или трехмерный контактный элемент типа узел
с поверхностью.
Описание элемента.
Для предоставления контакта и скольжения между двумя поверхностями
используется элемент CONTA175 в двухмерном или в трехмерном пространствах.
Он располагается на поверхностях объемных элементов, оболочек и балок. Когда
внедряется контактный узел в элемент ответной поверхности, происходит контакт.
Определяются касательные напряжения трения.
Исходные данные.
На рисунке 5 показано расположение узлов и геометрия элемента. Данный
элемент может определяться только одним узлом. Прилегающими элементами
могут являться элементы объемного напряженно-деформированного состояния,
балки или оболочки. Контакт может определяется только тогда, когда направление
внешней нормали ответной поверхности указывает на контактную поверхность.
При
помощи общего
набора геометрических
характеристик элементы
контактной поверхности связываются с элементами ответной поверхности.
Рисунок 5: Геометрия элемента CONTA175
6.Постановка задачи.
Рассмотрим задачу моделирования цилиндрической чашки. На рисунке 7
изображена схема изготовления подобных цилиндрических чашек. Заготовка
устанавливается между зажимом и штампом и формируется путем движения
штампа вниз. Чашка изготавливается из алюминия.
Рисунок 7
Параметры материала и геометрии представлены в таблице.
Dp
50 мм
rp
5 мм
Dd
52.8 мм
rd
5 мм
Db
100 мм
t
1 мм
E
7.1e10 Н/м 2

0.34
Т
85.4 МПа
7.Решение задачи.
Решение задачи проводилось в пакете прикладных программ ANSYS. Решение
проводили в двумерном случае и в силу симметрии брали только половину
элемента. Конечно-элементная модель включает 8-узловые элементы PLANE 183,
это позволяет нам получить более точные результаты и смягчить нерегулярность
разбивки без потери точности. Контакт моделируется элементами TARGE 169 для
поверхности, в которую происходит внедрение при одностороннем контакте и
элемент CONTA175, для того чтобы смоделировать односторонний контакт между
двумя поверхностями c учетом трения скольжения. Для решения нелинейной
контактной задачи используется расширенный метод Лагранжа.
Накладывались условия симметрии на элемент и перемещения накладываются
на штамп на 25мм.
8.Численные результаты.
На следующих рисунках представлены результаты расчетов.
Рисунок 7: Деформированное состояние
Рисунок 8: Пластическая деформация по Мизесу
Рисунок 9: Напряжения по Мизесу
Рисунок 10: Перемещение по X
Рисунок 11: Перемещения по Y
Рисунок 2: Распределение нормальных напряжений  xx
Рисунок 3: Распределение нормальных напряжений  yy
Рисунок 4: Распределение касательных напряжений  xy
9.Заключение
В настоящей работе рассмотрено решение
задачи с учетом больших
упругопластических деформаций. Приведено моделирование цилиндрической
чашки. Численные примеры показывают, что материал данной модели подходит
для решения задач при больших деформациях. При сравнении мы получаем
совпадение между конечными результатами элементов и экспериментальными
данными.
Список литературы.
1) Ильюшин А.А Пластичность. – Москва: ОГИЗ, 1948. – 376 с.
2) Басов К.А. ANSYS Справочник пользователя. – Москва: ДМК, 2005. –
639 с.
3) Голованов А.Н, Бережной Д.В. Метод конечных элементов в механике
деформируемых твердых тел. - Казань: ДАС, 2001. – 300 с.
4) Голованов А.И, Султанов Л.У. Теоретические основы вычислительной
нелинейной механики деформируемых сред. – Казань, 2008. – 164 с.
5) Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. – М.: Мир,1989. –
510 с.
6) Лукьянова
А.Н.
Моделирование
контактной
задачи
с
помощью
программы ANSYS. – Самара, 2010 – 52 с.
7) Christian
Linder
An
Arbitrary
Lagrangian-Eulerian
Finite
Element
Formulation for Dynamics and Finite Strain Plasticity Models. Structural
Mechanics. - April 2003. – 115 p.
8) Ivaylo N. Vladimirov, Macro Schwarze, Stefanie Reese Earing prediction by a
finite strain multiplicative formulation for anisotropic elastoplastic materials. – 27
April 2010. – 14 p.
9) Каримов И.Р. Исследование контактного взаимодействия пластины и
оболочки в ППП Ansys. – Казань, 2014. – 36 с.
10) Прикладная математика и механика : сборник научных трудов. Ульяновск : УлГТУ, 2009. - 324 с.