Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе

Учреждение образования
«Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
УО «ГГУ им. Ф. Скорины»
________________ И.В. Семченко
(подпись)
____________________
(дата утверждения)
Регистрационный № УД-____________/р.
КЛАССЫ ГРУПП
Учебная программа по спецкурсу для специальности
1-31 03 01 02
«Математика (научно-педагогическая деятельность)»
(код специальности)
(наименование специальности)
специализации 1-31 03 01 02 01 «Алгебра и теория чисел»
Факультет математический
Кафедра алгебры и геометрии
Курс 4
Семестр 7
Лекции 14 час.
(количество часов)
Лабораторные
занятия 18 час.
Зачет –а
Самостоятельная управляемая
работа студентов 4 час.
Экзамен
Всего аудиторных часов
по дисциплине 36 час.
Курсовой проект,
работа
–
Всего часов
по дисциплине 46
Форма получения
высшего образования
дневная
(семестр)
(количество часов)
(количество часов)
(количество часов)
час.
7
(семестр)
(количество часов)
Составил В.С. Монахов, д.ф.-м.н., профессор
Гомель 2010
а
(семестр)
а
2
Учебная программа составлена на основе базовой учебной программы
«Теория групп», утвержденной 28 мая 2010 г., регистрационный номер
УД-9-2010-472 / баз.
Рассмотрена и рекомендована к утверждению в качестве рабочего варианта
на заседании кафедры алгебры и геометрии
___ __________ 2010 г., протокол № __
Заведующий кафедрой
_________Л.А. Шеметков
Одобрена и рекомендована к утверждению методическим советом математического факультета
___ __________ 2010 г., протокол № __
Председатель
____________ В.М. Селькин
3
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Понятие группы – одно из основных понятий современной математики.
После завершения классификации конечных простых групп на передний
план исследований вышли составные группы. Основными классами составных конечных групп являются классы нильпотентных групп, разрешимых групп, сверхразрешимых групп, примитивных групп, а также неразрешимых непростых групп. Знания основных свойств этих классов
необходимы любому грамотному математику, работающему в различных
разделах современной алгебры. В последнее время конечные группы
нашли большие приложения в криптологии и других прикладных математических курсах. Поэтому изучение данного спецкурса вполне актуально.
Цель данного курса – изучение основных типов классов групп: формации, классы Шунка, классы Фиттинга, насыщенные классы применительно
к таким важнейшим объектам теории групп как простые группы, разрешимые группы, сверхразрешимые группы, примитивные группы и их классических подгрупп: подгруппы Силова, Фраттини, Фиттинга, Шмидта и др.
Основными задачами данного курса являются:
–
получение студентами базовых знаний в области теории групп и
их классов;
– знакомство с современным состоянием теории групп;
– подготовка студентов к самостоятельным исследованиям в современной алгебре;
– освоение студентами современных методов исследования теории
классов конечных составных групп;
– изучение технологий и методов исследований в теории групп и их
классов; особое внимание уделяется технологиям исследования, разрабатываемым на кафедре алгебры и геометрии Гомельского госуниверситета.
Данный спецкурс тесно связан с предыдущими спецкурсами: «Теория
групп», читаемом в 5 семестре, и «Криптологические основы теории групп
и теории чисел», читаемом в 6 семестре. Он также служит основой для
спецкурса «Формации групп», который читается в 8 семестре студентамматематикам специализации «алгебра и теория чисел».
Этот курс полезен не только математикам специализации «алгебра и
теория чисел», но и любому специалисту, работающему в современной математике как фундаментального профиля, так и прикладного.
4
СОДЕРЖАНИЕ СПЕЦКУРСА
1. Раздел Формации групп и классы Шунка.
Тема 1. Операции на классах групп. Формации, примеры формаций. Насыщенные
формации, примеры. Корадикалы и их свойства. Коммутант группы как абелевый
корадикал. Нильпотентный корадикал.
Тема 2. Примитивно замкнутые классы. Классы Шунка. Формации и классы Шунка. Пример класса Шунка, не являющегося формацией. Нильпотентные формации и
классы Шунка.
Тема 3. Проекторы. Х-максимальные подгруппы и Х-проекторы. Классы групп, обладающие проекторами. Существование и сопряженность проекторов в разрешимых группах. Проекторы в нильпотентных и метанильпотентных группах.
Тема 4. Картеровы подгруппы конечных групп.
Картеровы подгруппы как нильпотентные проекторы. Существование и сопряженность картеровых подгрупп в разрешимых группах Сопряженность картеровых подгрупп в произвольных группах.
Тема 5. Гашюцевы подгруппы конечных групп.
Гашюцевы подгруппы как сверхразрешимые проекторы. Существование и сопряженность гашюцевых подгрупп в разрешимых группах. Обобщенно силовские подгруппы в разрешимых группах.
2. Раздел Классы Фиттинга.
Тема 1. Определение и примеры классов Фиттинга. Классы Фиттинга и субнормальные подгруппы. Замкнутость класса Фиттинга относительно порождения субнормальных Х-подгрупп. Х-радикал группы. Подгруппа Фиттинга как нильпотентный радикал.
Тема 2. Инъекторы.
Инъектор и его свойства. Классы групп, обладающие инъекторами. Инъекторы и
субнормальные подгруппы. Существование и сопряженность инъекторов в разрешимых группах. Инъекторы в нильпотентных и метанильпотентных группах.
Тема 3. Произведения классов групп.
Радикальные и корадикальные произведения. Ассоциативность умножения классов
групп. Произведения радикальных формаций.
Тема 4. Биекторы в нильпотентных и сверхразрешимых группах.
Биекторы, примеры. Биекторы и холловы подгруппы конечных групп. Биекторы в
нильпотентных и метанильпотентных группах.
1
1
1.1
1.2
1.3.
1.4.
1.5.
2
2.1.
2
Формации групп и классы Шунка.
Тема 1. Операции на классах групп. Формации, примеры
формаций. Насыщенные формации, примеры. Корадикалы и
их свойства. Коммутант группы как абелевый корадикал.
Нильпотентный корадикал.
Тема 2. Примитивно замкнутые классы. Классы Шунка.
Формации и классы Шунка. Пример класса Шунка, не являющегося формацией. Нильпотентные формации и классы
Шунка.
Тема 3. Проекторы. Х-максимальные подгруппы и Х-проекторы. Классы групп, обладающие проекторами. Существование и сопряженность проекторов в разрешимых группах.
Проекторы в нильпотентных и метанильпотентных группах.
Тема 4. Картеровы подгруппы конечных групп. Картеровы
подгруппы как нильпотентные проекторы. Существование и
сопряженность картеровых подгрупп в разрешимых группах
Сопряженность картеровых подгрупп в произвольных группах.
Тема 5. Гашюцевы подгруппы конечных групп. Гашюцевы
подгруппы как сверхразрешимые проекторы. Существование
и сопряженность гашюцевых подгрупп в разрешимых группах. Обобщенно силовские подгруппы в разрешимых группах.
Классы Фиттинга.
Тема 1. Определение и примеры классов Фиттинга. Классы
5
6
3
10
2
4
10
2
7
2
2
Курс
лекций
2
2
Курс
лекций
[1-2]
2
2
Курс
лекций
[1-2]
2
2
8
2
8
2
Курс
Лекций
8
9
[1-2]
Курс лекц.
Курс лекц.
Формы контроля
знаний
Литература
Материальное обеспечение занятия (наглядные,
методические пособия и
др.)
контролируемая
самостоятельная работа студента
лабораторные
занятия
Название раздела, темы, занятия; перечень изучаемых вопросов
практические
(семинарские)
Занятия
Количество аудиторных часов
лекции
Номер раздела, темы, занятия
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ КАРТА
Защита рефератов
[1-2]
[1-2]
6
2.2.
2.3.
2.4.
Фиттинга и субнормальные подгруппы. Замкнутость класса
Фиттинга относительно порождения субнормальных Хподгрупп. Х-радикал группы. Подгруппа Фиттинга как нильпотентный радикал.
Тема 2. Инъекторы. Инъектор и его свойства. Классы групп,
обладающие инъекторами. Инъекторы и субнормальные подгруппы. Существование и сопряженность инъекторов в разрешимых группах. Инъекторы в нильпотентных и метанильпотентных группах.
Тема 3. Произведения классов групп. Радикальные и корадикальные произведения. Ассоциативность умножения классов
групп. Произведения радикальных формаций.
Тема 4. Биекторы в нильпотентных и сверхразрешимых
группах. Биекторы, примеры. Биекторы и холловы подгруппы
конечных групп. Биекторы в нильпотентных и
метанильпотентных группах.
ВСЕГО
2
2
Курс лекципй
[1-2]
2
2
Курс лекципй
[1-2]
Защита рефератов
2
2
Курс лекципй
[1-2]
Итоговая контрольная работа.
18
18
ИНФОРМАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Примерный перечень практических занятий.
1. Операции на классах групп.
2. Примеры формаций и классов Шунка.
3. Пример класса Шунка, не являющейся формацией.
4. Картеровы подгруппы в группах малых порядков.
5. Гашюцевы подгруппы в группах малых порядков.
6. Определение и примеры классов Фиттинга.
7. Радикальные произведения.
8. Корадикальные произведения
9. Биекторы в нильпотентных и сверхразрешимых группах.
Рекомендуемые формы контроля знаний
Итоговая контрольная работа.
Темы реферативных работ
1. О деятельности Бурбаки.
2. Эмми Нетер и ее вклад в современную алгебру.
3. Проблемы Гильберта 100 лет спустя.
4. Великие математики прошлого и их великие теоремы.
5. Симметрия в математике.
6. Девятнадцать доказательств теоремы Евклида. Квант. 2001. № 1. С. 35-38.
7. 100 лет теории групп.
8. Грандиозная теорема. "Classification of finite simple group".
9. Группы порядка pqr.
10. Великие математики 20 века.
8
Рекомендуемая литература
Основная
1. Монахов В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов. Мн.:
Вышэйшая школа. 2006.
2. Монахов В.С. Лабораторный практикум по спецкурсу «Теория групп».
Гомель: ГГУ им. Ф. Скорины. 2003.
3. Huppert B. Endliche Gruppen I. – Berlin, Heidelberg, New York, 1967.
4. Gasch\"utz W. Lectures of subgroups of Sylow type in finite soluble groups.
Notes on pure mathematics; № 11. Canberra, Australian National University,
1979.
Дополнительная
1. Бузланов А.В., Каморников С.Ф., Монахов В.С. Лабораторные работы по
курсу "Алгебра и теория чисел" для студентов II курса математического факультета. Гомель. 1989.
1. Богопольский О.В. Введение в теорию групп. – Москва-Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2002.
2. Ведерников В.А. Элементы теории классов групп. Учебное пособие по
спецкурсу. Смоленск: Смоленский гос. пед. ин-т, 1988.
3. Горенстейн Д., Конечные простые группы: Введение в их класссификацию.
М.: Мир, 1985.
4. Каморников С.Ф., Селькин М.В. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. – Минск: Беларуская навука, 2003.
5. Каморников С.Ф., Монахов, В.С., Скиба А.Н.. Учебно-методические указания по специализации "Алгебра и теория чисел", часть 1 - Основные понятия
теории групп. Гомель. 1987.
6. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука. 1982.
7. Кондратьев А.С., Махнев А.А., Старостин А.И. Конечные группы. В сб.: Алгебра. Топология. Геометрия. Т.24. ( Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН
СССР). М., 1986. С.3-120.
8. Кострикин А.И. Конечные группы. В сб.: Алгебра. Топология. Геометрия,
1964. (Итоги науки. Серия: Математика. ВИНИТИ АН СССР). М., 1966. С.7-46.
9. Курош А.Г. Теория групп. М.: Наука. 1977.
10. Мазуров В.Д. Конечные группы. В сб.: Алгебра. Топология. Геометрия.
Т.14. (Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР). М., 1976. С.5-56.
11. Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2010.
12. Селькин М.В. Максимальные подгруппы в теории классов конечных групп.
Мн.: Беларуская навука, 1997.
13. Скиба А.Н. Алгебра формаций. Мн.: Беларуская навука, 1997.
14. Чунихин С.А. Подгруппы конечных групп. Мн. 1964.
15. Холл М. Теория групп. М.:ИЛ. – 1962.
16. Чунихин С.А., Шеметков Л.А. Конечные группы. В сб.: Алгебра. Топология.
Геометрия. ( Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР). М., 1971. С.7-70.
17. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука. 1978.
18. Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. М.: Наука,
1989.
19. Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groups. Walter de Gruyter. Berlin, New York,
1992.
9
20. Guo W. The Theory of Classes of Groups. Science Press-Kluwer Academic Publishers, Beijing-New York-Dordrecht-Boston-London, 2000.
21. Huppert B., Blackburn N. Finite groups, II. Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1982.
22. Huppert B., Blackburn N. Finite groups, III. Berlin-Heidelberg-New York:
Springer, 1982.
23. Kurzweil H., Stellmacher B., Theorie der endlichen Gruppen. Eine Einf\"uhrung.
Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1998.
24. Robinson D.J.S. A course in the theory of groups. Springer-Verlag, BerlinHeidelberg-New York, 1982.
25. Wehrfritz B.A.F. Finite groups. A second course on group theory. World
scientific: Singapore-New Yersey-London-Hong Kong, 1999.
10
ПРОТОКОЛ СОГЛАСОВАНИЯ УЧЕБНОЙ ПРОГРАММЫ
ПО ИЗУЧАЕМОЙ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ
С ДРУГИМИ ДИСЦИПЛИНАМИ СПЕЦИАЛЬНОСТИ
Название
дисциплины,
с которой
требуется согласование
Название
кафедры
Предложения
об изменениях в
содержании учебной программы
по изучаемой учебной
дисциплине
Решение, принятое кафедрой, разработавшей учебную программу (с указанием даты и номера протокола)
Рекомендовать к утверждению учебную программу в представленном
варианте
протокол № ___ от
___.___.200__
Рекомендовать к утверждению учебную программу в представленном
варианте
протокол № ___ от
___.___.200__
11
ДОПОЛНЕНИЯ И ИЗМЕНЕНИЯ К УЧЕБНОЙ ПРОГРАММЕ
ПО ИЗУЧАЕМОЙ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ
на _____/_____ учебный год
№№
пп
Дополнения и изменения
Основание
Учебная программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры
алгебры и геометрии
(протокол № ____ от ________ 2010 г.)
Заведующий кафедрой
алгебры и геометрии
д.ф.-м.н., профессор
__________________ Л.А. Шеметков
УТВЕРЖДАЮ
Декан математического факультета УО «ГГУ им. Ф. Скорины»
к.ф.-м.н., доцент
__________________ С.П. Жогаль