Харжавина В.С. Исследование больших упруго

1
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Казанский (Приволжский) федеральный университет»
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИМ.Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО
КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Направление: 010901.65 – механика
Специализация: механика твердого деформируемого тела
ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
(дипломная работа)
Исследование больших упруго-пластических деформаций с
использованием левого тензора Коши-Грина
Работа завершена:
Студент 05-002 группы
«____»___________2015 г.
(В.С. Харжавина)
Работа допущена к защите:
Научный руководитель
Кандидат физико-математических наук, доцент
"___"_________ 2015 г.
________________
(Л.У.Султанов)
Заведующий кафедрой
доктор физико-математических наук, профессор
"___"_________ 2015 г.
_________________
Казань- 2015
(Ю.Г.Коноплев)
2
Содержание
Введение………………………………………………………………………3 стр.
Глава 1. Кинематика конечных деформаций………………………………4 стр.
Глава 2. Упруго-пластическое тело...………………………………………7 стр.
Глава 3. Определяющие соотношения………………………………….....10стр.
3.1. Тензор напряжений Коши-Эйлера……………………………...10 стр.
3.2. Физические соотношения……………………………………......10 стр.
Глава 4. Метод проецирования напряжений на поверхность текучести..17 стр.
Глава 5. Общий алгоритм решения…………………………………………19 стр.
Глава 6. Конечноэлементная дискретизация………………………………23 стр.
Глава 7. Численные примеры……………………………………………….26 стр.
7.1 Упруго-пластическое деформирование толстостенной трубы..26 стр.
7.2. Упруго-пластическое растяжение круглого стержня…………29 стр.
Заключение……………………………………………………………………31 стр.
Библиографический список…………………………………………………32 стр.
3
Введение
Настоящая
конечных
работа
посвящена
упруго-пластических
разработке
деформаций.
методики
исследования
Используется
процедура
пошагового нагружения, которая обладает высокой алгоритмичностью.
Алгоритм построения системы линейных алгебраических уравнений, как
правило, одинаков на каждом шаге нагружения и имеет широкую область
применимости. Физические соотношения определяются с помощью уравнения
второго закона термодинамики для изотермических процессов, а в качестве
базового уравнения принимается уравнение принципа виртуальных мощностей
в актуальной конфигурации. После линеаризации получена разрешающая
система
линейных
уравнений,
где
неизвестным
является
приращение
перемещений в текущем временном слое. В качестве критерия пластичности
принимается критерий Губера-Мизеса. При моделировании пластических
деформаций используется метод проецирования напряжений на поверхность
текучести
состояния.
с
итерационным
Описанная
уточнением
методика
напряженно-деформированного
моделирования
упруго-пластического
деформирования с учетом конечных деформаций допускает эффективную
реализацию
в
рамках
метода
конечных
элементов
с
применением
изопараметрических аппроксимаций.
Цель данной работы: создать алгоритм исследования больших упругопластических деформаций и применить его к решению задач упругопластического деформирования толстостенной трубы и растяжения круглого
стержня.
4
Глава 1. Кинематика конечных деформаций
Введем глобальную неподвижную систему координат с ортами e1 , e2 , e3 .
В ней рассмотрим положения деформируемого тела, соответствующие
моменту времени t0 и t .
В начальный момент времени t0 положение тела будем называть
исходным (недеформированным состоянием), а в текущий момент времени t актуальным (деформированным состоянием).
Рис. 1. Начальная и актуальная конфигурации деформируемого тела
Здесь
V0 - объем тела в исходной конфигурации;
V - объем тела в актуальной конфигурации;
u - вектор перемещения материальной точки;
r
- радиус-вектор произвольной точки M 0 в начальной конфигурации;
R - радиус-вектор
этой же точки в актуальной конфигурации.
Будем задавать радиус-векторы r и R в виде проекции на глобальные оси
ei следующим образом:
r  xi ei ,
R  yi  x1 , x2 , x3  ei
.
Введем тензоры, использующиеся в кинематике конечных деформаций.
5
Первой группой тензоров, описывающих кинематику среды, являются
градиенты деформации:
а) тензор градиента деформации
 R    R   xy  e e    F  ;
T
x
i
x
i
j
j
б) тензор градиента места
y j
 R   x  e e    F  ;
T
x
i
j
i
в) обратный тензор градиента деформации
 r    r   yx  e e    F  ;
T
y
1
i
y
i
j
j
г) обратный тензор градиента места
x j
 r   y  e e    F  .
y
1 T
i
j
i
Чаще всего используется градиент деформации  F  , который определяет
связь элементарных отрезков в деформированном и недеформированном
состояниях следующим образом:
d R  d r F  .
T
Второй
группой
тензоров
являются
меры
деформации.
Здесь
определяются:
а) мера деформации Коши-Грина (правый тензор Коши-Грина)
C    F    F  ;
T
б) мера деформации Фингера (левый тензор Коши-Грина)
T
 B   F   F  ;
(1.1)
в) правый тензор Пиолы
C    F    F 
1
1
1 T
;
г) левый тензор Пиолы (мера деформации Альманси)
 B    F  F  .
1
1 T
1
6
Введем основные тензоры, используемые при описании кинематики
течения сплошной среды.
При пространственном описании движения базовым является тензор
пространственного градиента скорости:
T




vi
h


R

e
e

F
   y 
   F 1  .
i j
y j


 
(1.2)
Симметричная часть этого тензора называется тензором деформации
скорости:
d  
1
1  v v 
T
h    h     i  j  ei e j .

 2  y j yi 
2


 
(1.3)
Кососимметричная часть пространственного градиента скорости –
тензором скорости поворота:
  
1
1  v v 
T
h    h     i  j  ei e j .

 2  y j yi 
2


 
Отсюда следует, что
 h    d     .
Справедливы следующие соотношения для введенных тензоров:
T

C   2 F  d   F  ;
 
T

 B   h   B   B  h .
 
(1.4)
7
Глава 2. Упруго-пластическое тело
При
анализе
деформирования
упруго-пластического
тела
широко
используется теория пластического течения, которая подтверждается прямыми
или косвенными двумерными или трехмерными экспериментами. На основе
этих экспериментов можно сделать следующие выводы.
1. Полная деформация в бесконечно близкой окрестности точки тела
состоит из упругой и пластической частей, причем пластическая часть
определяется как остаточная деформация при полной разгрузке.
2. Для широкой группы материалов можно принять, что существует
предел текучести. Для напряжений, не достигающих этого предела, материал
имеет чисто упругое поведение. При достижении предела текучести начинается
пластическая деформация тела.
3. Принимается, что при разгрузке материал обладает упругим
поведением. Оно близко к линейному.
4. Некоторые материалы считаются пластически несжимаемыми, то есть
обладающими лишь упругим изменением объема.
Типичная диаграмма для одноосного напряженного состояния приведена
на рис. 2.
Рис. 2. Диаграмма одноосного напряженного состояния
8
На первоначальном этапе нагружения диаграмма представляет собой
прямую линию и деформации являются обратимыми. После достижения
некоторого
предельного
значения
напряжений
деформация
становится
необратимой и характер диаграммы меняется. Та часть деформации, которая не
исчезает при снятии нагрузки, называется пластической деформацией и связана
с перестройкой физической структуры материала.
Будем считать, что исследуемая среда допускает конечные деформации и
находится
в
упруго-пластическом
состоянии.
Введем
в
рассмотрение
разгруженное состояние
Rp  zi  x1 , x2 , x3  ei ,
в котором отсутствуют упругие деформации.
Это состояние допустимо в микрообъеме среды в окрестности
рассматриваемой материальной точки при снятии напряжений.
В качестве базовой кинематической схемы примем мультипликативное
разложение тензора градиента полных деформаций в виде произведения
градиента упругих и пластических деформаций:
 F    Fe    Fp  .
(2.1)
Такое представление широко используется в решении нелинейных задач
механики деформируемых тел и считается математически точным.
Введение разгруженного состояния (другими словами, выделенных
остаточных деформаций, появившихся вследствие пластического течения)
позволяет представить разложение (2.1) в виде
F  
Для
каждого
yi
y z
y z
ei e j   i k  ei e j   i k  ei em    ek e j    Fe    Fp  .

x j
zk x j
zm x j
состояния
введем
соответствующие
тензора
деформации:
а) правый тензор Коши-Грина (мера деформации Коши-Грина)
 Сe    Fe    Fe  ;  С p    Fp    Fp  ;
T
T
б) левый тензор Коши-Грина (мера деформации Фингера)
мер
9
 Be    Fe    F e ;  Bp    Fp    Fp 
T
T
;
в) правый тензор Пиолы
C    F    F  ; C    F    F 
1
e
1 T
e
1
e
1
p
1 T
p
1
p
;
г) левый тензор Пиолы (мера деформации Альманси)
 B    F    F  ;  B    F    F .
1 T
e
1
e
1
e
1 T
p
1
p
1
p
Введенные тензоры связаны между собой следующими соотношениями:
 Be    F   C p1    F 
T
;
 C    Fp    Ce    Fp  .
T
В соответствие с разложением (2.1) представим пространственные
градиенты скоростей упругих и пластических деформаций:
 he    Fe    Fe1  ;  hp    Fp    Fp1 
и скоростей деформаций:
 de  
T
1
1
T
 he    he   ;  d p    hp    hp   .

2
2
Установим связи между введенными тензорами.
 h    F    F 1    Fe    Fp    Fe    Fp    Fp1    Fe1    Fe    Fp    Fp1    Fe1  
  Fe    Fp    Fp1    Fe1    he    Fe    hp    Fe1  .
 F    C p1    F 
 
   F    F    F    F    F    F    F    F     F    F    F    F 


   F    h    F    F    h    F   2  F    d    F  .
T
e
1
p
p
T
T
1 T
p
T
p
T
e
   F    C p1   C p   C p1    F  
p
p
T
p
1 T
p
1
p
p
T
p
T
e
e
p
T
e
e
p
e
 B    F   C    F    F   C    F    F   C    F 
  h   B    B    h  2  F   d    F  .
e
1
p
1
p
T
1
p
T
T
e
e
T
e
p
e
T

T
e

10
Глава 3. Определяющие соотношения
3.1. Тензор напряжений Коши-Эйлера
Если мысленно вырезать из тела в деформированном состоянии в
окрестности рассматриваемой материальной точки элементарный кубик, то на
его гранях будут возникать напряжения. Они являются компонентами тензора
напряжений Коши-Эйлера (тензора истинных напряжений)
     ij  ei e j 
в случае, если грани элементарного кубика перпендикулярны ортам ei .
Компоненты тензора напряжений являются силовой характеристикой
внутреннего
взаимодействия
материальных
частиц, образующих
объем
исследуемой среды.
Три компоненты напряжения на каждой грани образуют вектор
напряжений: ti   ij e j .
Рис. 3. Компоненты тензора Коши-Эйлера и вектора напряжений.
3.2 Физические соотношения
Физические соотношения получим из уравнения второго закона
термодинамики для изотермического процесса:
11
    d     0,
(3.2.1)
где  - плотность в актуальном состоянии,
 – свободная энергия.
  
Примем, что     Be  . Тогда   
   Be  .
 Be 
Введем понятие обобщенной производной:
T
 
 B e    Be    h    Be    Be    h  .
 
(3.2.2)
Для нее справедливо представление
T
 
 B e   2  Fe    d p    Fe  .
 
(3.2.3)
С учетом этого перепишем уравнение (3.2.1) в следующем виде:
  
   Be   0;
 Be 
     d    
     
T
   B e    h    Be    Be    h    0;

 Be   
     d    
     
  
  
T
   B e    
   h    Be    
   Be    h   0;
 Be   
 Be 
 Be 
     d    
 h    d     ;
T
 h    d     ;
  
  
  
   d    Be    
      Be    
   Be    d  
 Be 
 Be 
 Be 
     d    
  
     
 
   Be       
   B e   0;
 Be 
 Be   
  
  
f
     d     Be       d     Be              B    d  
 B 
 Be 
 Be 
  
     
 
   Be       
   B e   0;
 Be 
 Be   




  
  
     
      Be   

   Be     d     Be   

   Be      
 Be 
 Be 
 Be   Be 




     
 
   B e   0.
 Be   
12
Отсюда получаем определяющее уравнение
  
,
 Be 
(3.2.4)
    2  Be   
уравнение симметрии
     

   Be 
 Be   Be 
 Be   
и диссипативное неравенство
     
   B e   0.

B
 e  
(3.2.5)

Получим выражение для скорости напряжений Коши-Эйлера.
  
  
  2 
  2   Be   
  2   Be   
  2   Be   
   Be  
 Be 
 Be 
 Be Be 

 
  2 
  
 2   Be   
   Be       .
   Be   
 Be 
 Be B e 

 
 
Используя соотношения (3.2.2) и (1.3), получим
    2   B    h    B    B    h 

T
e
e
e
   
   B  
  e
  2     

T 
2   Be   
    B e    h    Be    Be    h       
 
 Be Be    
  2 
  
T   
 4   Be   
   Be    d   2   h    Be   
  2   Be    h   


B

B

B

B
 e e
 e
 e
     
  2     
2   B e   

B

  e 
   B e       I1d 

B

B

B


 e
 e e   

  2 
T
 4   Be   
   Be    d    h            h      I1d 
 Be Be 
     
  2     
T
2   B e   

B

  e 
   B e          d    h            h      I1d 
 Be Be    
   Be 
     
  2     
2   B e   
   Be   
   B e   ,
 Be Be    
   Be 
  2 
   Be  .

B

B
 e e
где     4   Be   
Запишем результат в виде двух слагаемых.
       ,
e
p
13
где
         d    h            h 
T

e
    I1d ;
(3.2.6)
     
  2     
 p  2   B e   

B





   B e   .
e
 Be Be    
   Be 
 
Запишем уравнение принципа виртуальных мощностей в актуальной
конфигурации:
      d  dV   f  dV   t  dS .
(3.2.7)
n
V
Левая
V
S
часть уравнения представляет собой
вариацию мощности
внутренних сил, в правой части находятся вариации мощности объемных и
поверхностных сил.
Проведем процесс линеаризации этого уравнения.
Дифференцирование левой части дает:
d
d
     d  dV        d  JdV0 

dt V
dt V0
      d  J       d  J       d  J  dV
0

V0


J
      d        d       d   dV .
J

V 
 
 
Производная от вариации мощности объемных сил:




d
d
J
J
f   dV   f   JdV0    f    f   JdV0    f    f   dV .

dt V
dt V0
J
J


V0 
V 
Производная от вариации мощности поверхностных сил:


d
J
tn   dS   tn  tn  tn  (h)T    dS .

dt S
J

S 
Получим в итоге:



      d        d   J      d  dV    f  J
V
J
J
V


J
  tn  tn  tn  (h)T    dS .
J

S 
Подставим (3.2.6) в левую часть последнего уравнения

f    dV 

14


      d        d   J      d  dV 
J
V




J
T
         d    h            h      I1d   d        d       d  dV 
J

V 
 


1
T
T
  [ d        d    h            h     h    h      I1d   d  


2
V

1
J
T
T
     h    h    h    h        d ]dV 
2
J
1
T
T


   d         d        h    h    h    h    dV .


2
V 
Тогда разрешающее уравнение будет иметь вид:

1
J
  d        d   2      h    h    h    h   J
T
T

V

f    dV 


J 
T
  tn   h   tn    dS   f   dV   tn   dS .
J 
S 
V
S
(3.2.8)
Условием упругого деформирования примем условие Губера – Мизеса,
которое для изотропной среды допускает обобщение в виде:
Фp   i   T     0,
где  i 
3 '
    ' 

2
(3.2.9)
- интенсивность напряжений,  T    - функция
упрочнения,  - параметр упрочнения.
Используя диссипативное неравенство (3.2.5), составим обобщенный
функционал диссипации
      
   Be    Фp  ,    0.
 Be   

  
Выразим 
 из (3.2.4), получим
 Be 


1
     Be1    Be    Фp  ,    0.
2
 
Далее составляется условие экстремума функционала по возможным
полям напряжений. В результате получим соотношение
15
  Ф 

p
1
 Be    Be   2  
.
 
  
Данное уравнение является аналогом уравнения ассоциированного закона
пластического течения в теории малых упруго-пластических деформаций

(теории течения). Здесь также появляется параметр  , который определяет
величину «скорости деформации пластичности».
Учитывая (3.2.2), получим
  Ф 
T
   р    Ве     Fe    d p    Fe 
  
 Fe    d p    Fe 
T
  Ф 
   p    Be  .
  
T
Используя выражение  Be    Fe    Fe  , перепишем последнее равенство в
виде
 Fe    d p    Fe 
T
 Fe    d p    Fe    Fe 
T
T
  Ф 
T
   p    Fe    Fe  ;
  
  Ф 
T
T
  Fe1     p    Fe    Fe    Fe    Fe1  ;
  

 Фp 
.
  
 Fe    d p    Fe1    
(3.2.10)
Учитывая, что тензор деформации скорости является симметричной
частью тензора пространственного градиента скорости, получим
 d     he    Fe    hp    Fe1  s .
(3.2.11)
Принимая, что пластические деформации не вызывают изменение объема
   0 , из соотношения
p
 h    d    
p
p
p
определим, что  hp    d p  .
Так как
 de  


1
T
 he    he    he s ,
2
16
то выражение (3.2.11) можно записать в следующем виде:
 d     he    Fe    hp    Fe1  s   he s    Fe    hp    Fe1  s 

  he  s   Fe    d p    Fe1 

s
  d e    d *p  ,
где  d *p     Fe    d p    Fe1  s   Fe    d p    Fe1  .
Тогда, используя соотношение (3.2.10), пластическую деформацию
скорости можно записать следующим образом:
  Ф 
 
3  '
p
*
i
d





 p     ' 2   .


i
17
Глава 4. Метод проецирования напряжений на поверхность
текучести
Представим
процесс
деформирования
в
виде
последовательности
напряженно-деформированных состояний исследуемого тела, реализующихся в
определенные моменты времени (временные слои).
Подобная стратегия решения нелинейных задач является в настоящее
время доминирующей и с успехом применяется как к задачам статики (метод
последовательных
нагружений),
так
и
динамики
(метод
пошагового
интегрирования).
В соответствие с этой методикой считаем, что в некоторый момент
времени t k
известны все параметры процесса. Тогда (k+1)-е состояние
определим по следующей формуле
k 1
k
   
k

   t.
 
Используя выражение (3.2.6), перепишем последнее соотношение в виде
k 1
k 1

 3
'  

k
        {      d    k 1  

2 i 


k

k
 h       h
k
k
k
T
 I1d
k
(4.1)
  }t.
Здесь t - приращение параметра (времени), определяющее переход от
предыдущего состояния к последующему.
Введем обозначение
k 1
             d    h           h 
k
k
k
k

где
k 1
k
k
T
 I1d
k
   t ,
   - тензор «пробных» напряжений.
Используя данное обозначение и соотношение (4.1), получим метод
проецирования напряжений на поверхность текучести, который записывается в
следующем виде:
18

k 1
k 1
3
 
     '  
2 i
k 1
.
19
Глава 5. Общий алгоритм решения
Представим
процесс
деформирования
в
виде
последовательности
равновесных состояний. Путем приращения нагрузки происходит переход от
предыдущего состояния к последующему. Общий алгоритм решения состоит из
следующих этапов.
Необходимо решить разрешающее уравнение на k-ом шаге, которое
1.
построено на основе линеаризованного уравнения принципа виртуальных
мощностей (3.2.8):
1

   d        d   2      h 
k
k
k
T

Vk

t
k
k
n
 h
T

k
 h    h    h    k  y  k  f    dV 
k
T


  k  y  k  k tn   dS 
(
S


k
f   dV 
Vk

S
(5.1)
1 

k
tn   dS   
t 
Vk
k
     d  dV   k f   dV  
Vk
S


k
tn  dS  .


Особенно стоит отметить слагаемое в фигурных скобках в правой части
уравнения. По физическому смыслу это есть уравнение виртуальных
мощностей (3.2.7) в k-ом состоянии, которое должно удовлетворяться для
точного решения. Его вводят в линеаризованное уравнение в виде невязки.
Наличие такого рода слагаемых в правой части соответствующего уравнения
препятствует накоплению ошибок и не позволяет решению удалиться от
действительной
кривой
относительно скорости
деформации.
Полученное
уравнение
линейно
.
k
Так как решаются задачи квазистатические, то можно перейти от
скоростей к приращениям, то есть

u
, t  1.
t
20
Далее применяется метод конечноэлементной дискретизации, описанный
в 6 главе, после чего может быть получена система линейных алгебраических
уравнений для соответствующих узловых значений проекций приращений
перемещений. Тогда уравнение для k-ого шага нагружения будет иметь вид:
 k K   k u   k P   k H  ,
(5.2)
где
 u 
k
вектор приращения узловых перемещений,
 k K   матрица левых частей,
 P 
k
вектор приращения узловых сил,
 H 
k
вектор невязки.
Тогда, решая систему уравнений (5.2), с помощью полученных
приращений перемещений определим (k+1)-ю конфигурацию следующим
образом:
k 1 i
y  k yi   k ui .
2. Зная актуальную конфигурацию тела, можем определить тензор
градиента полных деформаций по формуле

k 1
F 
 k 1 yi
ei e j .
x j
 
В настоящей работе считаем, что  Be    B  .
Тогда можно определить тензор меры упругих деформаций Фингера

k 1
Be    k 1F    k 1F 
T
и тензор напряжений Коши-Эйлера

k 1
 
   2   k 1Be   
 Be

.

 Be  k 1Be
21
3.
Проверяем условия Губера-Мизеса (3.2.9). Если данное условие
выполняется, то найденное приближение является решением, и можно
осуществить переход на следующий шаг (начиная с пункта 1).
4.
Если условие упругого деформирования (3.2.9) не выполняется,
тогда для учета пластических деформаций применяем метод проецирования
напряжений на поверхность текучести, описанный в 4 главе. В результате
использования
этого
метода
полученное
напряженное
состояние
не
удовлетворяет разрешающей системе уравнений. Поэтому воспользуемся
итерационным уточнением НДС, основанным на введении в разрешающее
уравнение вариации мощности «дополнительных напряжений»
   на
возможных деформациях скорости.
Итоговое уравнение для m-ой итерации на k-ом шаге нагружения имеет
вид
1
k m k m
V   d         d   2
k

S

1 


t 
Vk
t
k
n
k
k
h 
m T
k
     h 
T

k
 h    h    h   
m

k
  k  y  k m  k tn   dS 
m T

k
f   dV 
Vk

k
k

 y  k m  f    dV 

tn   dS 
S

     d  dV   k f   dV   k tn  dS     k m    k d  dV .
Vk
S


Vk
или в матричном виде
 k K   k um    k P   k H    k S m  .
Вычисление

k
(5.3)
 m  происходит следующим образом: решается система
уравнений (5.3) (мощность дополнительных напряжений равна нулю), затем
применяется метод «проецирования напряжений на поверхность текучести»,
тогда дополнительные напряжения определяются как разность девиаторов
истинных и «пробных» напряжений

k
m 1     ' m     ' m  .
22
Далее решается система уравнений (5.3) с введением мощности
дополнительных напряжений. Критерий остановки итерационной процедуры –
условие малости дополнительных напряжений или

k
umi    k umi 1 
2
i

k
u

i 2
m
2
 ,
i
где  - заранее заданная малая величина.
Тогда девиатор истинных напряжений на (k+1)-ом шаге нагружения
примет вид

k 1
 '    k  ' m 1  ,
а шаровая часть

k 1
 0    k  0    k  0  t .
Далее определяется конфигурация следующего состояния, алгоритм
повторяется с первого шага.
Программа, реализующая схему расчета, написана на языке Fortran-90.
23
Глава 6. Конечноэлементная дискретизация
Описанная в предыдущих разделах методика численного моделирования
упругопластического деформирования допускает эффективную реализацию в
рамках метода конечных элементов с применением изопараметрических
аппроксимаций.
Использование
(радиус-вектора
текущего
одинаковых
положения)
и
аппроксимаций
скорости
геометрии
является
вполне
естественным и рациональным.
В
качестве
базового
примем
восьмиузловой
конечный
элемент,
изображенный на рис. 4 в декартовой и локальной (безразмерной) системах
координат.
Рис. 4. Восьмиузловой конечный элемент в декартовой и локальной системах
координат
Введем аппроксимацию геометрии и скорости следующим образом:
y i  j    k yti Nt  j ,
8
k
(6.1)
t 1
 i  j    kti Nt  j ,
8
k
t 1
где
N t  j  
1
1  t1 1 1  t2 2 1  t3 3   функция

8
1
2
3
формы, 1   ,  ,   1,
ti  1  координаты узлов в локальной системе координат,
k
yti 
координаты
узлов (k – номер шага нагружения, i – номер проекции, t – номер узла в
k i
элементе), t  скорости узлов.
24
Введенные
функции
формы
обладают
свойствами
полноты
и
конформности, то есть образуют полные полиномы и при стыковке двух
k
k
элементов обеспечивают непрерывность функций  и R.
Чтобы определить компоненты тензоров, необходимо построить матрицу
Якоби  А для перехода от
 k
 k
к
:
 i
 k yi
k
С
помощью
производные
обратной
8
 k yi
k i Nt
Aji 

yt
.

j

 j
t 1
 k C    k A
матрицы
1
находим
искомые


 k Cij
. Используя соотношения (1.1)-(1.4), определим
i
 y
 j
k
компоненты тензоров  B  ,  h  ,  d  ,  
8
B ij   yti ysj N t ,m N s ,m ,
t 1
 i t Nt 
h  j 
y
y j
i
j
ij
8
t 1
8
 ij  
t 1
вычислении
8
C 
i
jm t
t 1
d ij  
При

Nt  j 
 m
8
  C jmti Nt ,m ,
t 1
1
C jmti N t ,m  Cimt j N t ,m ,

2
1
 C jmti Nt ,m  Cimtj Nt ,m .
2
интегралов
используется
схема
численного
интегрирования. В этом случае интегрирование заменяется суммированием
1
2
3
подынтегральных выражений, вычисленных в квадратурных точках i ,  j ,  k  ,
i
умноженных на весовые функции  m
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1 2 3
 F  ,  ,   d d d   F i ,  j , k  i  j k .
2
2
2
i 1 j 1 k 1
V
Для восьмиузлового элемента имеем
ik 
1
, im  1.
3
25
Используя соотношения аппроксимации (6.1), можно получить левую
часть разрешающего уравнения (5.1), вектор скорости узловых нагрузок, вектор
невязки, вектор дополнительных напряжений
1

  d        d   2      h    h    h    h   
T
T

V


y

  f    dV 

  tn   h    y   tn   dS    K  ,
T
T
S
 f   dV   t
V
  dS  P  ,
T
n
S

1 
T


       d  dV   f   dV   tn  dS   H   ,
t 
V
S

V

      d  dV  S .
m

T
Vk
Окончательно получается система линейных алгебраических уравнений
вида (5.2).
26
Глава 7. Численные примеры
7.1 Упругопластическое деформирование толстостенной трубы.
Допустим, что толстостенная труба, внутренний радиус которой a=1 см, а
внешний b=2 см, нагружена осесимметричным внутренним давлением p.
Модуль упругости Е =2000000 кг/см2 ; коэффициент Пуассона µ=0.3
Рис.5. Толстостенная труба под действием осесимметричного внутреннего давления
Исследуем
распределение
напряжений
при
упруго-пластическом
деформировании в геометрически линейной постановке (плоская задача).
Примем, что материал идеально пластический, критерием пластичности служит
условие Губера-Мизеса (3.2.9).
Из аналитического решения получим выражения для напряжений:
в упругой области:
r 
2
T  c  
b
  1   
3  b    r 
2

;

27
2
T  c  
2
b 
t 
  1     ;
3  b    r  
z 
T  c 
2
 
3b
и в пластической области:
T 
2

r c
r 
 2 ln     1 ;
c b
3 

T 
2

r c
t 
 2 ln     1 ;
c b
3 

z 
T 
r c
 2 ln   
c b
3 
2

,

где
 r  радиальное напряжение,
 t  окружное напряжение,
 z  осевое напряжение.
Определим отношение внутреннего давления к пределу текучести, при
котором радиус пластической зоны с=1.5 см, используя следующее уравнение:
p
T
p
T


1 
c c2 
2ln
  1 .

a b2 
3
1 
1.5 1.52 
2ln
 2  1  0.7208.

1
2
3

Достаточно рассмотреть четверть трубы, так как задача обладает двумя
плоскостями симметрии. Определим следующие граничные условия: боковая
грань не имеет горизонтальных смещений, а нижняя – вертикальных.
Исключаем осевые смещения всех узлов, так как задача плоская.
В
геометрически
линейной
постановке
пренебрегаем
большими
перемещениями и деформациями, поэтому достаточно одного шага по
28
нагрузке. При этом применяется метод проецирования напряжений на
поверхность текучести с итерационным уточнением НДС.
Используется следующая сетка конечных элементов: по длине разбиваем
на 80 элементов, по окружному направлению – на 20 (рисунок ).
Рис.6. Конечноэлементная дискретизация четверти трубы
Сравним аналитическое решение с решением, полученным с помощью
программы. На рис.7 изображено распределение напряжений (радиальных и
окружных) по отношению к пределу текучести, а штрихованной линией
обозначено аналитическое решение.
29
Рис.7. – Сравнение аналитического решения с решением, полученным с помощью
программы
Таким образом, при достаточно большой густоте сетки решение сходится
и дает хорошую точность.
7.2. Упругопластическое растяжение круглого стержня.
Рассматриваем задачу растяжения круглого стержня. Для него определим
следующие параметры: L = 26,667 мм, R = 6,413 мм, R0 = 0,982R мм. В качестве
критерия пластичности примем критерий Губера-Мизеса (3.2.9), при этом
функция упрочнения имеет вид:  T (  )   T  h  (    T )(1  e ) . Зададим
следующие параметры материала:
ν = 0.29, Е = 206900 МПа, σ∞ = 715 МПа, σт = 450 МПа, δ = 16,93, h = 0,129.
30
В качестве базового примем восьмиузловой конечный элемент.
Рис.8. Конечноэлементная дискретизация половины стержня
На торце z = L зададим перемещение. Данная задача обладает тремя
плоскостями симметрии, поэтому достаточно рассмотреть восьмую часть
стержня с соответствующими граничными условиями.
На рис. 9 изображены интенсивность пластических деформаций для
конечного положения и диаграмма сила-перемещение. Как видно из
диаграммы, результаты, полученные с помощью настоящей методики и
методик других авторов, достаточно близки.
Рис. 9. Интенсивность пластических деформаций. Диаграмма сила-перемещение
торца: сплошная кривая – решение по описанной методике, ♦ - решение [10], ○ – решение
[11]
31
Заключение
В работе построена методика численного исследования изотропного
материала
с
определяющие
использованием
соотношения
левого
и
тензора
разрешающее
Коши-Грина.
Получены
уравнение.
Алгоритм
исследования упруго-пластических деформаций применен к решению задач
упруго-пластического деформирования толстостенной трубы и растяжения
круглого стержня. Можно сделать вывод о том, что алгоритм обладает высокой
точностью, так как решения, полученные с помощью настоящей методики,
методики других авторов, а также аналитического решения, достаточно близки.
32
Библиографический список
1. Васидзу В. Вариационные методы в теории упругости и пластичности / В.
Васидзу. – М.: Мир, 1987. – 542 с.
2. Голованов А.И. Исследование больших упругопластических деформаций
трехмерных тел / А.И. Голованов, Ю.Г. Коноплев, С.А. Кузнецов, Л.У.
Султанов, О.И. Борецкий // Математическое моделирование в механике
сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов / тез. докл. XX
Междунар. конф. (СПб., 24-26 сен., 2003 г.). – СПб: 2003. – С. 51-53.
3. Голованов А.И., Султанов Л.У. Теоретические основы вычислительной
нелинейной механики деформируемых сред. -Казань: Изд-во Казанск. гос. унта, 2008.-164 стр.
4. Голованов А.И., Султанов Л.У. Численное исследование больших
упругопластических деформаций трехмерных тел. Прикладная механика. Киев. 2005 Т. 41, №6. -С. 36–43.
5. Султанов Л.У. Исследование больших деформаций упругопластических
тел / Л.У. Султанов // Лобачевские чтения – 2003 / Материалы третьей Всерос.
молодеж. науч. шк.-конф. / Тр. Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 21. –
Казань: Изд-во Казанск. матем. об-ва, 2003. – С. 202-204.
6. Султанов Л.У., Давыдов Р.Л. Численный алгоритм решения задачи о
больших упругопластических деформациях МКЭ. Вестник ПНИПУ. Механика.
-Пермь: Изд-во ПНИПУ 2013. № 1.-С. 81–93.
7. Султанов Л.У., Давыдов Р.Л. Численное исследование больших
деформаций методом конечных элементов. Инженерно-строительный журнал.Санкт-Петербург: СПбГУ, 2013. №9 (44). -С. 64–68.
8. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных
сред. – М.: Мир, 1975. – 592 с.
9. Bonet J., Wood R.D. Nonlinear continuum mechanics for finite element
analysis. Cambridge University Press, 1997.
33
10. Eidel B., Gruttmann F. Elastoplastic orthotropy at finite strains:
multiplicative formulation and numerical implementation. Computational Materials
Science. 2003. N 28, P. 732–742.
11. Schröder J., Gruttmann F. A simple orthotropicfinite elasto-plasticity
model based on generalized stress–strain measures. Comput. Mech. 2002. N 30. P.
38–64.
12. Sultanov L.U., Davydov R.L. Mathematical modeling of large elasticplastic deformations. Applied Mathematical Sciences. 2014. Vol. 8, N 57–60. P.
2991–2996.