расчет трехмерных тел с учетом несжимаемости материала
advertisement
Министерство образования и науки Российской Федерации
КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИМ. Н.И.ЛОБАЧЕВСКОГО
КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Специальность: 010800.62 — механика и математическое моделирование
ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
(Бакалаврская работа)
РАСЧЕТ ТРЕХМЕРНЫХ ТЕЛ С УЧЕТОМ НЕСЖИМАЕМОСТИ
МАТЕРИАЛА
Работа завершена:
"___"________2015 г. ________________________________(А.И.Абдрахманова)
Работа допущена к защите:
Научный руководитель
к. ф.-м. н., доцент,
доцент
"___"___________2015 г. ______________________________(Л.У.Султанов)
Заведующий кафедрой
д. ф.-м. н., профессор
"___"___________2015 г. ______________________________(Ю.Г.Коноплев)
Казань — 2015
2
Оглавление
Введение ....................................................................................................................... 3
Глава 1. Кинематика среды. Вариационное уравнение .......................................... 4
Глава 2. Определяющие соотношения ...................................................................... 7
Глава 3. Метод последовательных нагружений..................................................... 10
Глава 4. Конечно элементная дискретизация ......................................................... 13
Глава 5. Численные примеры ................................................................................... 16
Заключение ................................................................................................................ 21
3
Введение
Вопросы о предсказании поведения упругих несжимаемых материалов
имеют большое значение в современной жизни. К несжимаемым материалам
можно отнести резины и другие эластомеры — важнейшие объекты
исследований нелинейной теории упругости.
Резина - один из важнейших конструкционных материалов, который
находит широкое применение в различных отраслях народного хозяйства,
машиностроения и в быту. Это объясняется, прежде всего, ее уникальной
способностью значительно деформироваться при сравнительно небольших
нагрузках, изменять форму при механическом нагружении, практически
сохраняя
постоянный
объем,
восстанавливать исходную
форму после
устранения нагрузки, поглощать в процессе деформирования и рассеивать при
последующем восстановлении механическую энергию.
Актуальность темы исследования определяется ее направленностью на
решение проблем, имеющих важное теоретическое и практическое значение —
повышение надежности и уровня безопасности эксплуатации различного
уровня конструкций и сооружений, что сводится, прежде всего, к исследованию
их напряженно-деформированного состояния.
Целью данной работы является разработка математических моделей,
алгоритмов и программного обеспечения для исследования напряженнодеформированного состояния упругих тел в условиях плоской деформации с
учетом несжимаемости материала.
4
Глава 1. Кинематика среды. Вариационное уравнение
Пусть r xi ei – радиус-вектор произвольной материальной точки в
недеформированном состоянии; R yi x1 , x2 , x3 ei – радиус-вектор этой же
точки, но в деформированном состоянии;
u R - r ui x1 , x2 , x3 ei – вектор
перемещений; v u R vi x1 , x2 , x3 , t ei – вектор скорости.
Основополагающую роль в кинематике конечных деформаций играет
тензор градиента деформации:
F
yi
eie j
x j
(1.1)
В качестве тензоров, описывающих деформацию и скорость деформации,
мы будем использовать:
меру деформации Коши-Грина (правый тензор Коши-Грина)
C F F
T
ym ym
eie j Cij eie j
xi x j
(1.2)
меру деформации Фингера (левый тензор Коши-Грина)
B F F
T
yi y j
eie j Bij eie j
xk xk
(1.3)
пространственный градиент скорости
h
vi
ei e j F F 1
y j
(1.4)
тензор деформации скорости
d
T
T
1
1
T
h h F F 1 F 1 F dij eie j ,
2
2
где компоненты dij имеют вид
1 v v
dij i j
2 y j yi
(1.5)
5
Введем следующие обозначения главных инвариантов тензора B :
I1B tr B B I
I 2 B tr B B B B
(1.6)
I 3 B det( B )
Относительное изменение объема обозначим через J
d
.
d 0
Напряженное состояние описывается с помощью:
тензора истинных напряжений, определенного в актуальном состоянии
e e
ij
i
(1.7)
j
тензора напряжений Лагранжа
P J F
1
(1.8)
второго тензора напряжений Пиолы-Кирхгофа
S J F F
1 T
1
Используем,
как
основное,
вариационное
(1.9)
уравнение
принципа
виртуальных мощностей в актуальной конфигурации:
d d t vds f vd ,
S
(1.10)
n
где v – вектор скорости материальной точки; Ω – текущий объем; S – часть
поверхности, на которой заданы усилия; t n , f – векторы поверхностных и
объемных сил соответственно.
Линеаризуем последнее уравнение:
d
d
d d J d d 0
dt
dt
0
J d J d J d d
0
J
d d d d ;
J
0
(1.11)
6
d
d
t n vds
Jtn vds0 Jtn v + Jt n v + Jt n v ds0
dt S
dt S
S
0
0
J
t n + t n vds
S J
(1.12)
J
d
d
f
vd
J
f
vd
f
f
0
vd .
dt
dt
J
(1.13)
0
Окончательно получим уравнение в скоростях напряжений Коши-Эйлера:
d d J d d
J
J
J
t n + t n vds f + f vd .
J
S J
(1.14)
7
Глава 2. Определяющие соотношения
Будем считать, что существует функция W , определяющая значение
потенциальной энергии деформации, запасаемой элементарным объемом тела
при его деформации.
Для изотропного материала функция удельной потенциальной энергии
запишется в виде:
W W I1B , I 2 B , I 3 B ,
(2.1)
тогда для тензора напряжений Коши-Эйлера имеет место соотношение:
W
B
(2.2)
W
W
W
I 3 B B 1
I1B I B
I
I 2 B
I 3 B
I1B
(2.3)
σ B
2
J
Подставляя (2.1) в (2.2):
2
J
σ B
Из последнего соотношения получим линеаризованное выражение для
скорости изменения напряжений Коши-Эйлера:
1
W
2 B
B
J
2W
1
B 2
J
B
1
W
B J B B
I1 d ,
(2.4)
которое можно преобразовать к виду:
c d h h I
T
1d
,
(2.5)
где введено обозначение:
c
4
2W
B
B .
J
BB
(2.6)
В результате получим физические соотношения в виде линейного
уравнения, которые выражают производную Трусделла тензора напряжений
через деформацию скорости:
c d ,
Tr
где Tr h h I1d .
T
(2.7)
8
Для изотропного материала, характеризующегося малой сжимаемостью, в
определяющих соотношениях выделяют в отдельную группу деформации,
вызывающие изменения объема. Для этого введем в рассмотрение меры
деформации, которые не сопровождаются изменением объема, в такой форме:
1
1
Fˆ J 3 F F J 3 Fˆ
1
1
B J 3 Fˆ J 3 Fˆ
T
2
J 3 Fˆ Fˆ
T
2
(2.8)
2
J 3 Bˆ Bˆ J 3 B .
(2.9)
Для этих мер третий инвариант равен единице:
I 3 Bˆ J 2 I 3 B 1.
(2.10)
Таким образом, удельная потенциальная энергия представится в виде
суммы двух слагаемых, первое из которых зависит только от изменения объема,
а второе – от инвариантов введенных мер деформаций:
W W J W I1Bˆ , I 2 Bˆ .
(2.11)
Для учета несжимаемости используется метод штрафных функций.
Существует два способа введения метода штрафов в формулировку уравнения
равновесия. В первом подходе исключают давление в качестве независимой
переменной, рассматривая материал как почти несжимаемый, в результате чего
большое значение модуля всестороннего сжатия эффективно предотвращает
значительные изменения объема. Второй подход заключается в том, чтобы
возмущать функционал Лагранжа путем добавления "штрафного" члена, в
результате чего давление зависит от деформаций, тем самым снова исключая
переменную давления. Оба этих метода приводят к одинаковым уравнениям.
Введем соответствие между p и J таким образом:
p k J 1
(2.12)
Это уравнение представляет слабосжимаемый материал с параметром штрафа
k , как модуля всестороннего сжатия. Это уравнение приведет к формулировке
с участием только кинематических неизвестных переменных.
К тензору упругости тогда добавится слагаемое:
9
ck J
dp
I I kJ I I .
dJ
(2.13)
10
Глава 3. Метод последовательных нагружений
Среди различных методов решения нелинейных задач механики
деформируемого твердого тела наиболее популярным в настоящее время
является метод последовательных нагружений. Сущность метода состоит в том,
что процесс деформирования строится из последовательности равновесных
состояний, когда переход их текущего положения в последующее определяется
приращением
нагрузки.
При
этом
этот
переход
обязательно
должен
описываться линейными уравнениями относительно приращений вектора
перемещений u или вектора конфигурации R .
Используем в качестве отсчетной конфигурации – текущую, а в качестве
разрешающего
уравнения
возьмем
вариационное
уравнение
принципа
виртуальных мощностей.
Запишем (1.10) в виде операторного уравнения F 0. На k-м временном
слое должно выполняться уравнение
k
F 0. Аналогичное уравнение на
следующем временном слое можно представить в виде
k 1
F k F k F t 0.
Применительно к (1.10) соответствующее разрешающее уравнение
примет вид
k
k
k
k
d
d
t
v
dS
f
v
d
k
k
k
n
S
k
k
k
d k
k
k
k
d d k t n vdSk f vd k t 0.
dt
S
k
Используем
k
k
ранее
(3.1)
вычисленные
материальные
производные
от
интегралов в уравнении виртуальных мощностей. В этом уравнении
фигурирует вариация d , выражение для которой имеет вид
d 12 F F F F
1
1
T
T
Вводя вспомогательное соотношение F F 1 I , получим:
(3.2)
11
T
1
T
1
1 T
d
F
F
h
h
F
F
2
1
T
T
h h h h
2
1 vi vm vm v j
ei e j
2 ym y j yi ym
(3.3)
В линеаризованных соотношениях для поверхностных и объемных сил
относительная скорость изменения объема определяется выражением
J
v
I1d tr d m y v = div v
J
ym
(3.4)
Подставляя (4.3) и (4.4) в (4.1) для k-го шага получаем:
{ d
k
k
k
k
y k v k k d
T
T
1 k
k h k h k h k h k y k v k f v }d k
2
t h
k
k
k
k y k v t n vdS k
T
n
Sk
k
Sk
t n vdS k
k
f vd k
(3.5)
k
1 k
k
k
k
d d k t n vdS k f vd k
t
S
k
k
k
Совмещая уравнение, выражающее производную Трусделла и последнее
уравнение, получим разрешающее уравнение:
1
{ d c d 2 h h h h
k
k
T
k
k
k y k v k f v }d k
k
k
T
k
t n k h k y k v t n vdSk
k
T
Sk
Sk
k
t n vdSk
k
f vd k
(3.6)
k
1 k
k
k
k
d d k t n vdSk f vd k
t
S
k
k
k
В левой части уравнения (4.6) собраны слагаемые, в которых
присутствует неизвестный вектор скорости k v . В правой части присутствуют
слагаемые, вычисляемые в текущей конфигурации.
12
Полученное уравнение линейно относительно скорости
после
численной
дискретизации
можно
получить
k
v . Поэтому
систему
линейных
алгебраических уравнений для соответствующих узловых значений проекций
скоростей k vi . Так как в исследуемых процессах ускорения не учитываются, то
под временем можно понимать любой монотонно возрастающий параметр,
определяющий изменение нагрузки. С такой точки зрения вполне уместно
принять
производную
по
времени
как
отношение
приращения
соответствующих величин, получаемые при переходе с k-го состояния в (k+1)-е.
k u
Например, v
.
t
k
Так как параметр
t произволен, то допустимо принять t 1 . В
результате получим разрешающее уравнение для приращений перемещений
k u .
13
Глава 4. Конечно элементная дискретизация
Используем в качестве базового восьмиузловой полилинейный конечный
элемент.
Рис. 1. Восьмиузловой конечный элемент
Введем аппроксимацию геометрии и скорости:
y i ( j ) k ysi N s j ,
8
k
s 1
(4.1)
v ( ) v N s ,
8
k
i
j
k
s 1
где N s j
k
i
s
j
1
1 s1 1 1 s2 2 1 s3 3 .– функция формы, 1 1 , 2 , 3 1,
8
ysi – координаты узлов (k – номер шага нагружения, s – номер узла в элементе),
si 1 – координаты соответствующих узлов в локальной системе координат,
k
vsi – скорости узлов.
Приведенные выше функции формы обладают свойствами полноты и
конформности, и при стыковке двух элементов обеспечивают непрерывность
функций k v i и k R i . Для перехода от
k
kv
kv
к
строим матрицу Якоби A :
k yi
i
8
k yi
N s
k
Aji
ysi
j
j
s 1
Затем вычисляем матрицу, обратную к
искомые
производные
A ,
(4.2)
и с ее помощью находим
1
.
k C k A , k i k Cij
y
j
К
примеру,
так
14
определяется производная от функции формы (здесь и далее номер шага k
опущен):
N s
N
Cij sj H s ,i
i
y
(4.3)
Далее определим компоненты тензоров B , h , d :
8
Bij ysi ytj N s ,m Nt ,m
(4.4)
s 1
vs N s
vi
h j vi , j
y
y j
i
j
ij
d ij
8
C
s 1
i
jm s
v
N s j
m
8
8
s 1
s 1
C jmvsi N s ,m vsi H s , j
8
1 i, j
1 i
j ,i
v
v
vs H s , j vsj H s ,i
2
s 1 2
(4.5)
(4.6)
Распишем слагаемые подынтегрального выражения в левой части
разрешающего уравнения (4.6):
1 i, j
1
v v j ,i c jikl v l ,k v k ,l
2
2
(4.7)
1
k ,l
i
k
cijkl v vs H s , j c jilk cijlk c jikl cijkl H t ,l vt ,
4
d c d d
vi , j
1
c jilk cijlk c jikl
4
ij
c jikl d lk
1
T
T
h h h h ij vn,i vn, j ij vsn H s ,i H t , j vtn
2
(4.8)
y v f v vsm H sm f ri N r N t vti
(4.9)
t n h y v t n vsi H s , j tnj tnmvsm H s ,m vti .
(4.10)
T
Таким образом, разрешающее уравнение после аппроксимации примет
вид
d c d 2 h h h h
1
T
T
r , s ,t 1 k ,l 1 i , j 1
8
3
3
v H
i
s
s, j
y
v f v d
1
c jilk cijlk c jikl cijkl H t ,l vtk
4
(4.11)
ij vsl H s ,i H t , j vtl vsl H sl f ri N r N t vti det J d 1d 2d 3 ,
S
t n h y v t n vdS vsi H s , j tnj tni vsi H s ,i vti det J d 1d 3 . (5.12)
i , j 1 s 1
T
3
S
8
15
При
вычислении
интегрирования,
то
интегралов
есть
используется
интеграл
заменяется
схема
суммой
численного
значений
подынтегральных выражений в квадратурных точках, умноженных на весовые
коэффициенты. Тогда после интегрирования получим матрицу левых частей
v K v .
T
Используя соотношения аппроксимации, получаем вектор
скорости узловых нагрузок, вектор невязки:
t vds f vd P v ,
T
S
n
(4.13)
1
T
d d t n vds f vd H v
t
S
(4.14)
Окончательно получается система линейных алгебраических уравнений
на k-ом шаге нагружения:
k K k u k P k H .
(4.15)
16
Глава 5. Численные примеры
Приведем результаты расчета для упругого потенциала, заданного в виде
W
2
tr B 3 ,
(5.1)
где μ – модуль сдвига.
Wˆ tr Bˆ 3
2
2
23
ˆ
B I J B I 3 .
2
Запишем c в виде суммы трех слагаемых:
c cˆ c p ck , где
J B 1
4
2Wˆ
2p
cˆ B
B , cp
B.
B
J
BB
J
B
Произведем несложные операции и найдем их:
ˆ
Wˆ tr B
23
13
J
B
I
I 3 B B I
B 2 B
2 B
2 B
1
1
1 1
I 3 B 3 I I I 3 B 3 I 3 B B -1 B I
2
3
2
I3B
1
3
1 13
1
13
-1
I I 3 B B B I I 3 B I B -1 I1B
3
3
2
1
J I B -1 I1B ,
2
3
2
3
(5.2)
17
2Wˆ
Wˆ
BB B B
23
1
J I B -1 I1B
3
2 B
-1
2
1 -1
1 B
I1B
-1
3
I B I1 B J
I1 B
B
2 B
3
B
3 B
1 23
1
J B -1 I B -1 I1B
2 3
3
2
J 3
1
J B -1 C II B -1 I1B I B -1
3
2 1
1
1
1
J 3 B -1 I I1B B -1 B -1 B -1 C II B -1 I1B I B -1 .
2
9
3
3
3
2
3
5
1
1
1
1
cˆ 2 J 3 B I I1B I I C II I1B I B
9
3
3
3
(5.3)
c p p I I 2 C II
(5.4)
Здесь введен тензор четвертого ранга C II ei e j ei e j .
Тензор напряжений Коши-Эйлера тогда примет следующий вид:
2
W
B
J
B
5
1
3
J B I I1 B p I p I
3
(5.5)
Рассматривается задача о плоской деформации квадратной пластины с
круглым вырезом. По вертикальным краям пластины заданы перемещения.
Стороны пластины равны 6,5 дюймам, радиус выреза – 0,25 дюймов, толщина
0,079 дюймов. Модуль сдвига берется равным 54,04 фунт/дюйм2.
Рис. 2. Рассматриваемая пластина
18
Так как пластина имеет две оси симметрии, то была рассмотрена четверть
пластины с заданием соответствующих условий симметрии с разбиением на
сетку конечных элементов 20 20.
Рис. 3. Конечно-элементная модель
Пластина была растянута в горизонтальном направлении в 6 раз.
Рис. 4. Деформированное состояние пластины
Рис. 5. Деформированная форма четверти центрального отверстия
Решена задача о деформировании круглой плиты под действием давления
q 0.12 Н/мм2. Радиус плиты берется равным 200 мм, толщина 10 мм,
0.4225 Н/мм2. Были заданы следующие граничные условия: нижнее ребро
боковой грани не имеет перемещения по оси Oz, и в процессе деформирования
точки, лежащие на боковой грани плиты, по достижении горизонтальной
19
плоскости, остаются на ней. Была рассмотрена четверть плиты с заданием
соответствующих условий симметрии с разбиением на сетку конечных
элементов 24 24 4.
Рис. 6. Конечно-элементная модель плиты в начальном состоянии
Рис. 7. Деформированное состояние четверти плиты
20
Рис. 8. Перемещения по оси Oz
Полученные результаты близки с решениями этих задач другими
авторами[6].
21
Заключение
В работе предложена методика численного исследования поведения
трехмерных тел, изготовленных из несжимаемых материалов. Для описания
деформаций
используется
левый
тензор
Коши–Грина.
Физические
соотношения задаются с помощью функции упругого потенциала. Были
получены линеаризованные определяющие соотношения и разрешающее
уравнение. Численная реализация основана на методе конечных элементов, на
базе восьмиузлового полилинейного элемента.
В качестве примера рассмотрен неогуковский материал. Решены задачи
плоского деформирования пластины с центральным круговым отверстием и
деформирования круглой плиты под действием давления.
Решенные
задачи
демонстрируют
работоспособность
полученной
методики исследования нелинейных задач для трехмерных тел из несжимаемых
материалов.
22
Список литературы
1. Голованов,А.И.
гиперупругих
Численное
тел.
I.
исследование
Кинематика
и
конечных
деформаций
вариационные
уравнения
/А.И.Голованов, Ю.Г.Коноплев, Л.У.Султанов //Ученые записки Казанского
университета. Серия физико-математические науки.- 2008.- Т.150, кн.1.- С.
29-37.
2. Голованов,А.И.
гиперупругих
Численное
тел.
II.
исследование
Физические
конечных
соотношения
деформаций
/А.И.Голованов,
Ю.Г.Коноплев, Л.У.Султанов //Ученые записки Казанского университета.
Серия физико-математические науки.- 2008.- Т.150, кн.3.- С. 122-132.
3. Голованов,А.И.
гиперупругих
Численное
тел.
III.
исследование
Постановки
задачи
конечных
и
деформаций
алгоритмы
решения
/А.И.Голованов, Ю.Г.Коноплев, Л.У.Султанов //Ученые записки Казанского
университета. Серия физико-математические науки.- 2009.- Т.151, кн.3.- С.
108-120.
4. Голованов,А.И.
Численное
исследование
конечных
деформаций
гиперупругих тел. IV. Конечноэлементная реализация /А.И.Голованов,
Ю.Г.Коноплев, Л.У.Султанов //Ученые записки Казанского университета.
Серия физико-математические науки.- 2010.- Т.152, кн.4.- С. 115-126.
5. Bonet, J. Nonlinear continuum mechanics for finite element analysis /J.Bonet,
R.D.Wood.- USA, 1997. 283 c.
6. Оден, Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред
/Дж.Оден.- М.: Издательство «Мир», 1976.-465 с.