Формула парабол (формула Симпсона)

МАГНИТОГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ
ИНТЕГРАЛОВ.
ФОРМУЛА ПАРАБОЛ (ФОРМУЛА СИМПСОНА)
Подготовил:
Студент группы ФГК-98
Магнитогорск –1999
Григоренко М.В.
Н
е для всякой непрерывной функции ее первообразная
выражается через элементарные функции. В этих случаях
вычисление
определенных
Ньютона-Лейбница затруднительно, и
интегралов
по
формуле
применяются различные
способы вычисления определенных интегралов. Один из них
приведен ниже.
Формула парабол (формула Симпсона)
Разделим отрезок [a,b] на четное число равных частей n = 2m.
Площадь криволинейной трапеции, соответствующей первым двум
отрезкам [x0,x1] и [x1,x2] и ограниченной заданной кривой y = f(x),
заменим площадью криволинейной трапеции, которая ограничена
параболой второй степени, проходящей через три точки M(x0,y0),
M1(x1,y1), M2(x2,y2)
рисунок).
Такую
и имеющей ось, параллельную оси Оу (см.
трапецию
будем
называть
параболической
трапецией.
Уравнение параболы с осью, параллельной оси Оу, имеет вид
y = Ax2 + Bx + C.
Коэффициенты А, В и С однозначно определяются из условия,
что парабола проходит через три заданные точки. Аналогичные
параболы строим и для других пар отрезков. Сумма площадей
параболических трапеций и даст приближенное значение интеграла.
2
Вычислим сначала площадь одной параболической трапеции.
Если криволинейная трапеция ограничена параболой
y = Ax2 + Bx + C,
осью Ох и двумя ординатами, расстояние между которыми
равно 2h, то ее площадь равна
S = h/3 (y0 + 4y1 + y2), (☺)
где у0 и у2 – крайние ординаты, а у1 – ордината кривой в
середине отрезка
Пользуясь формулой (☺), мы можем написать следующие
приближенные равенства (h=Δx):
x2
x
( y 0  4 y1  y 2 ),

3
a  x0
x4
x
f
(
x
)
dx

( y 2  4 y3  y 4 ),
x
3
2
f ( x)dx 
......................
x2 m b

x2 m  2
f ( x)dx 
x
( y 2 m 2  4 y 2 m1  y 2 m ).
3
Складывая левые и правые части, получим слева искомый
интеграл, справа его приближенное значение:
b

a
f ( x)dx 
ba
[ y0  y 2 m  2( y 2  y 4  ...  y 2 m2 )  4( y1  y3  ...  y 2 m1 )].
6m
Это и есть формула Симпсона. Здесь число точек деления n = 2m
произвольно, но чем больше это число, тем точнее сумма в правой
части равенства дает значение интеграла.
2
Примеры
Было дано задания вычислить приблизительно следующие
определенные интегралы:
1

1  x dx
4
5
И
0
dx
2 ln x
Для вычисления данных интегралов мною были написаны
специальные программы на языке Visual Basic for Application.
(тексты программ приведены в приложении).
Программы осуществляют запрос количества отрезков, на
которые следует разбить заданный отрезок. Структура программ
универсальна и применима для вычисления любых определенных
интегралов. Для этого необходимо изменить границы определенного
интеграла в строках (*) и (**), а также подынтегральную функцию в
строке (***).
Были получены следующие ответы:
1

1  x 4 dx  1,089429413
0
5
dx
2 ln x  2,589440569
При n = 20.
2
Приложение
1

1  x 4 dx
0
'Приближенное вычисление интегралов по формуле парабол
'(формула Симпсона)
Option Explicit
Sub integral_1()
Dim i As Integer, n As Integer
Dim t As Boolean
Dim b As Double, a As Double
Dim chet As Double, nechet As Double
Dim delta As Double, result As Double
a=0
'(*)
b=1
'(**)
t = True
Do
n = InputBox("Введите четное число n", "Запрос")
If n Mod 2 = 0 Then t = False
Loop While t
delta = (b - a) / n
chet = 0
nechet = 0
For i = 1 To n - 1
If (i Mod 2) = 0 Then
chet = chet + (f(a + (delta * i)))
Else
nechet = nechet + (f(a + (delta * i)))
End If
Next i
result = (delta / 3) * (f(a) + f(b) + (2 * chet) + (4 * nechet))
MsgBox result, vbInformation, "Результат"
End Sub
Function f(x) As Double
f = Sqr(1 + (x ^ 4))
'(***)
End Function
2
5
dx
2 ln x
'Приближенное вычисление интегралов по формуле парабол
'(формула Симпсона)
Option Explicit
Sub integral_1()
Dim i As Integer, n As Integer
Dim t As Boolean
Dim b As Double, a As Double
Dim chet As Double, nechet As Double
Dim delta As Double, result As Double
a=2
'(*)
b=5
'(**)
t = True
Do
n = InputBox("Введите четное число n", "Запрос")
If n Mod 2 = 0 Then t = False
Loop While t
delta = (b - a) / n
chet = 0
nechet = 0
For i = 1 To n - 1
If (i Mod 2) = 0 Then
chet = chet + (f(a + (delta * i)))
Else
nechet = nechet + (f(a + (delta * i)))
End If
Next i
result = (delta / 3) * (f(a) + f(b) + (2 * chet) + (4 * nechet))
MsgBox result, vbInformation, "Результат"
End Sub
Function f(x) As Double
f = 1 / (Log(x))
'(***)
End Function
2