Математический анализ: Теория функции одной переменной

Математический анализ: Теория функции одной переменной.
Содержание:
§1. Понятие функции и ее свойства. ......................................................................... 1
п.1. Основные числовые множества. ..................................................................... 1
п.2. Понятие функции. ............................................................................................. 1
п.3. Свойства функции. ........................................................................................... 2
§1. Понятие функции и ее свойства.
Содержание
п.1. Основные числовые множества.
Содержание
Х, У,...- обозначение множеств. х, у,...-элементы множеств :
Х,у У.
N - множество натуральных чисел. Z -множество целых чисел. N
подмножество Z: N Z . Q: m/n -множество рациональных чисел. I
-множество иррациональных чисел. Q U I = R, R- множество
действительных чисел. Геометрическое изображение R - это
множество точек числовой прямой. [а,в] - отрезок : ав.
( а,в)- интервал : а  в.
а R , в R .
Определение. Числовое множество вида :  х  а  -а 
х  а или
 х  а  -а  х  а ,где а  R , а  0 или а= 
называется симметрическим множеством.
Определение.  - окрестностью точки а называется интервал
вида:  х-а  
, (   0).
п.2. Понятие функции.
Содержание
Определение. 1. Х и У - числовые множества. Если  х  Х
по некоторому правилу поставлено в соответствие единственное
число у  У, то говорят, что на Х задана однозначная функция
одной действительной переменной и обозначают : у= F(х). Здесь Х
- область определения, У- область значений функции, х- аргумент, узначение функции в точке х.
Если каждому значению х поставлено в соответствие
несколько значений у, то функция - многозначная.
( Привести примеры).
Способы задания функции: аналитический т.е. формулой,
табличный т.е. для дискретного числа значений аргумента х
известны значения функции.
Определение 2.  на Х задана F(Х). Графиком функции
называется множество точек на плоскости с координатами
М(х,F(х)).
(Примеры графиков однозначных и многозначных функций).
Определение 3.  на Х задана z=(х) со значениями в Z , а на Z
, а на Z задана у= F(х) со значениями в У, то у= F((х)) называется
сложной функцией или композицией функций , определенной на Х
со значениями в У.
(Примеры сложных функций).
Определение 4.  на Х задана у= F(х) со значениями в У. Тогда
для каждого у У найдется одно или несколько значений х Х, т.е.
определена однозначная или многозначная функция х от у , которая
называется обратной функцией и обозначается: х= F¯¹(у). У область определения, Х - область значений функции.
Если для функции у=F(х) выполняется условие: х¹х²F(х ¹)
 F(х² ), то обратная функция однозначная.
(Примеры обратных функций).
Определение 5.  х= (t) и у=  (t) две функции
определенные на Т. Если существует обратная функция, например,
t= ¯¹ (х), то определена явная функция у от х : у=  ( ¯¹ (х)), а
выражение х=  (t), у=  (t), t T называется параметрическим
заданием этой функции.
(Примеры параметрически заданных функций).
Определение 6. Числовой последовательностью называется функция
натурального аргумента: у=F(n), n  N. Обозначается
последовательность: а1=F(1), а2=F(2), ... , аn=F(n), ... , аn - общий
член последовательности.
( Примеры последовательностей и особенности графика
последовательности).
п.3. Свойства функции.
Содержание
Определение 1. 
на множестве Х определена у=F(х).
Функция называется монотонно возрастающей на множестве Х
(убывающей) , если для всех х¹ < х² 
F(х¹ ) < F(х² ) (
F(х¹ ) > F(х² )).
(Привести пример).
Определение 2.

на симметрическом множестве
Х
определена функция у=f(х). Тогда ,если f (-х) = f(х) , то функция
четная, если
f(-х)=- f(х) , то функция нечетная.
(Привести пример).
Определение 3.  на множестве Х определена у=f(х) со
значениями на множестве У. Тогда ,если множество У есть отрезок
или интервал, , то функция ограниченная, если У - луч или
совпадает с R, то функция неограниченная или ограниченная только
снизу (У есть (а,  ))или ограничена только сверху ( У есть луч (  , а) ).
(Привести примеры : показать картинки графиков функций
ограниченных, ограниченных сверху или снизу и неограниченных
функций).
Определение 4.  на Х задана f (х). Если существует такое
число Т, х  Т  Х, что f (х  Т) = f (х), то функция называется
периодической , а Т -период функции. Наименьшее из чисел Т
называется основным периодом.
(Привести примеры).
п.4. Гиперболические функции.
1) Гиперболический синус: у= sh х ,определяется по формуле
sh х = ½ ( exp(х) - exp(-х)).
(Построить график функции)
2) Гиперболический косинус: у= ch х, определяется по
формуле
ch х = ½ (exp(х) + exp(-х)).
(Построить график функции).
3) Гиперболический тангенс: у= th х, определяется по формуле
th х = (exp (х) - exp (-х)) / (exp (х) + exp (-х)). | th х | < 1.
(Построить график).
4) Гиперболический котангенс: у= cth х, определяется по
формуле
cth х = ( exp (х) + exp (-х)) / (exp (х) - exp (-х)). | cth х | >1.
( Построить график).
Доказать самостоятельно по определению
следующие
свойства гиперболических функций:
sh² х + ch² х = ch 2х,
ch²х - sh² = 1.
Замечание. Простейшие функции : степенная , показательная,
тригонометрические, гиперболические, Обратные им функции и
сложные функции, являющиеся композицией перечисленных
функций, будем называть элементарными
действительной переменной.
функциями одной