Практическая работа № 1 - Каспийское медицинское училище

Министерство образования и науки Республики Дагестан
Государственное образовательное учреждение среднего профессионального
образования
«КАСПИЙСКОЕ МЕДЕЦИНСКОЕ УЧИЛИЩЕ ИМЕНИ АЗИЗА АЛИЕВА»
МЕТОДИЧЕСКОЕ УКАЗАНИЕ
по выполнению практических работ
по дисциплине Математика
Составил:
Преподаватель математики и информатики
КМУ Кандидат педагогических наук Латифов А.С.
Каспийск 2014
Учебно – методический комплекс по учебной дисциплине «Математика» для
специальности 340201
«Сестринское дело» на базе основного общего
образования – Каспийск: Каспийское медицинское училище имени А Алиева.
ОДОБРЕНА
Предметно – цикловой комиссией
«Математического и естественно –
научного цикла»
Соответствует
Государственным
требованиям
к
минимуму
содержания и уровню подготовки
студентов по специальности 34201
«Сестринское
дело»
на
базе
основного общего образования.
Рецензент: Кандидат Физико – математических наук, доцент кафедры «Алгебры
и аналитической геометрии» ДГПУ Кулибеков Н.А
Практическая работа № 1
Производная функции
Цель - закрепление теоретического материала по изучению углубление
школьных знаний о функциональной зависимости, производной и
дифференциале функции.
Содержание работы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Определение функции и аргумента.
Определение производной и дифференциала функций.
Табличные производные и дифференциалы элементарных функций.
Примеры для применения формул
Примеры для самостоятельного вычисления
Рекомендуемая литература
1. Методические указания
Производная функции y=f(x) по независимой переменной x в точке x=x0
определяется как предел отношения приращения (изменения) функции y=y2-y1
к соответствующему приращению аргумента x=x2-x1 при условии, что
приращение x0. Производная
f ( x  x)  f ( x)
y2  y1
y
 lim
 lim
.
x 0 x  x
x 0 x
x 0
x
2
1
y  lim
(1)
Здесь y - обозначение производной функции y. y1 и y2 - значения функции y в
точках х=x1 и х=x2 соответственно.
Процесс
нахождения
производной
функции
называется
дифференцированием.
Производная
функции
равняется
отношению
дифференциала функции к дифференциалу аргументу т.е.
y =
dy
(2)
dx
Отношение
dy
dx
читается как «де игрек по де икс».
Как видно из формулы (1), вычисление производной от заданной функции
y=f(x) сводится к последовательным операциям оценки приращения функции
у=f(x+x)-f(x), приращения аргумента x и вычислению предела отношения
приращения функции к приращению аргумента x при условии, что приращение
аргумента х0.
Если известен закон изменения функции от аргумента в виде y=f(x), то
мгновенная скорость изменения функции (например, скорость механического
движения) определяется по той же формуле (1), по которой определяется
производная функции. Физический смысл производной функции состоит в том,
что она определяет скорость изменения функции относительно ее аргумента.
Скорость изменения функции численно равна абсолютному значению изменения
функции, наблюдаемому при изменении аргумента на единицу.
Задача 1. Найти производную функции y=x2.
Решение: В начале определяется приращение функции
y=f(x+x)-f(x)=(x+x)2-x2=x2+2xx+x2-x2=2xx+x2.
Производная же функции в соответствии с формулой (1)
y
2 xx  x 2
y  lim
 lim
 lim 2 x  lim x .
(3)
x 0 x
x 0
x 0
x 0
x
Первое слагаемое справа в выражении (3) lim 2 x  2 x , второе слагаемое
x0
lim x  0 . В результате легко видеть, что рассматриваемая функция y=x2 имеет
x 0
производную y=2x.
2. Производные элементарных функций
Задача нахождения производных различных (в том числе и сложных)
функций облегчается, если воспользоваться табличными производными простых
функций. Ниже приведены наиболее часто встречаемые элементарные функции
и их производные.
1. y=С
y=0 (С- постоянная).
n
2. y=x ;
y=n*xn-1.
3. y=aх;
y=aх*ln a.
4. y=eх;
y=eх .
5. y=logа x;
y= 1 .
x ln a
1
y= .
x
6. y=ln x;
7. y=sin x;
y=cos x;
y=tg x;
y=cos x.
y=-sin x.
1
y = 2 .
cos x
1
y= 2 .
sin x
y=ctg x;
y=
8. y=arcsin x;
y=-
y=arccos x;
y=arctg x;
y=arcctgx;
1
1 x2
1
.
1 x2
.
1
.
1 x2
1
y=.
1 x2
y=
Производные функций, представленных как сумма (разность),
произведение (частное) двух других функций u, v, определяются по формулам
1. y=uv;
y=u v.
2. y=uv;
y=uv+uv.
3. у=
u
v
;
у =
uv  uv
v2
.
3. Производная сложной функции
Рассмотрим сложную функцию y=f(u), где аргумент u зависит от
независимой переменной х и может быть задан как u=(x).
Производная заданной функции y=f(u) определяется как произведение ее
производной f'(u) по промежуточному аргументу u на производную аргумента u
по независимой переменной х. В соответствии с этим определением искомая
производная
у'=f'(u)u'(x).
(4)
Формулы производных ряда сложных функций, заданных как y=f(u), где
u=(x), приведены ниже:
y=un;
y'=(un)'=n un-1u'
y=sin u; y'=(sin u)'=cos u*u'
y=cos u; y'=(cos u)'=-sin u*u'
y=lnu; y'=(lnu)'= 1 u' и т.д.
u
4. Примеры для применения формул.
1. Найти производную функций:
1. y=5xcosx; 2. y=3х6+5x4+1;
3. y=2 х 3х ; 4. y=e х / 2 ;
a+b
5. y=x
2. Найти дифференциалы функций
3
x
sin x  cos x
sin x  cos x
1. y= e 2 ;
2. y=
5. y=e3x;
9. y=esinx sinx;
6. y=(2x+x2)3;
10. y=3x+1;
x
; 3. y=
ех
ln x
2
;
4. y=
x3
ln x
;
7. y=2x2 x ; 8. y=(ex +e-x)2;
11 . y=xcosx+1.
5. Примеры для самостоятельного решения
y= 1 x 3  3 x 2  2 x  1;
3
2
1) y=x4-
1
x
;
2) y=excosx;
3) y= x lnx.
y=cos2x;
1. Найти производную функций:
1. y=5xcosx; 2. y=3х6+5x4+1;
5. y=xa+b;
1
3
6. y= x 3 
ex
;
x2
5. y=e3x;
9. y=esinx sinx;
2. y=
3
3 х
;
sin x  cos x
;
sin x  cos x
6. y=(2x+x2)3;
10. y=3x+1;
4. y=e х
2
/2
;
1
7. y=x4- ;
x
3 2
x  2 x  1;
2
8. y=excosx;
9. y=cos2x;
2. Найти дифференциалы функций
1. y=
3. y=2 х
10. y=
x
lnx.
х
3. y= е ;
ln x
4. y=
x3
;
ln x
7. y=2x2 x ; 8. y=(ex +e-x)2;
11 . y=xcosx+1.
3. Найдите частные производные и полный дифференциал функций
1. у=2x3u4;
2. y=x2+5u;
3. y=uex;
4.
y=x2sinu;
5.
y=3(x2+4u)3;
х2  u3
6. y= 2 .
z
4. Заданы функции:
2
1. y=3x2-2x; 2. у= x ; 3. y=2x3-4x;
x 1
4. y=4x2-2x+2.
Найти их приращения, если аргумент претерпевает изменение в интервале от значения х1 =2
до значения х2 =2,01.
6. Рекомендуемая литература:
1. «Алгебра и начало анализа» под ред. ЯковлеваГ.Н. М., 1977г.
2. Башмаков М.М.. «Математика» М., 1987г.
3. Валуцэ И.И. , Дилигул Г.Д. «Математика для техникумов» М., 1989г.
4. Ананасов П.Т., Орлов М.И. «Сборник задач по математике» М., 1987г.
Практическая работа № 2
Неопределенный интеграл. Метод непосредственного интегрирования
Цель - закрепление теоретического материала по изучению вычисления
неопределенного интеграла методом непосредственного интегрирования.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Содержание работы
Определение неопределенного интеграла.
Свойства неопределенного интеграла.
Таблицы основных интегралов.
Примеры на применение формул.
Примеры для самостоятельного вычисления.
Рекомендуемая литература:
Методические указания
1. Совокупность первообразных для функции f(x) или для дифференциала f(x)dx
называется неопределенным интегралом и обозначается символом:
∫ f(x)dx
2. А) Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции
плюс произвольная постоянная
 f ( x)dx  F ( x)  C
Б) Неопределенный интеграл алгебраической суммы функций
алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций
равен
  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx
B) Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за
знак неопределенного интеграла
 cf ( x)dx  c  f ( x)dx
3. Таблицы основных интегралов
1.  dx  x  C
3.  dx
x
 ln x  C
ax
C
5.  a dx 
ln a
7.  cos xdx  sin x  C
x
9.  dx2
sin x
11.
 ctgx  C
dx
 1  x 2  arctgx  C
x n1
C
2.  x dx 
n 1
4.  e x dx  e x  c
n
6.  sin xdx   cos x  C
8.  dx2
cos x
10.

 tgx  C
dx
1 x
2
 arcsin x  C
4. Рассмотрим примеры на применение формул:
1.  (5 x 3  3x 2  2 x  1)dx
Решение:
Применяя свойства Б) и В) и формулы (1, 2), получим:
 (5x
3
 3x 2  2 x  1)dx 
x4
x3
x2
5
5 x dx  3 x dx  2 xdx   dx  5  3  2  x  C  x 4  x 3  x 2  x  C
4
3
2
4
1
x
2.  (4 cos x   4 )dx
3
2
x
Решение:
Применяя свойства Б) и В) и формулы (3,5, 7), получим:
dx
4x
x
1
x
4
cos
xdx


4
dx

4
sin
x

ln
x

C
x 
 (4 cos x  x  4 )dx = 
ln 4
5. Примеры для самостоятельного вычисления.
1.  ( x 3  6 x  3)dx
2.
3.
 xdx
 (sin x  6
3
x
 e x )dx
6. Рекомендуемая литература:
1. «Алгебра и начало анализа» под ред. ЯковлеваГ.Н. М., 1977г.
2. Башмаков М.М.. «Математика» М., 1987г.
3. Валуцэ И.И. , Дилигул Г.Д. «Математика для техникумов» М., 1989г.
4. Ананасов П.Т., Орлов М.И. «Сборник задач по математике» М., 1987г.
Практическая работа № 3
Неопределенный интеграл. Метод подстановки
Цель - закрепление теоретического материала по изучению вычисления
неопределенного интеграла методом подстановки.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Содержание работы
Определение неопределенного интеграла.
Свойства неопределенного интеграла.
Таблицы основных интегралов.
Примеры на применение формул.
Примеры для самостоятельного вычисления.
Рекомендуемая литература:
Методические указания
1. Совокупность первообразных для функции f(x) или для дифференциала f(x)dx
называется неопределенным интегралом и обозначается символом:
∫ f(x)dx
2. А) Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции
плюс произвольная постоянная
 f ( x)dx  F ( x)  C
Б) Неопределенный интеграл алгебраической суммы функций
алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций
равен
  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx
B) Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за
знак неопределенного интеграла
 cf ( x)dx  c  f ( x)dx
3. Таблицы основных интегралов
1.  dx  x  C
3.  dx
x
 ln x  C
ax
C
5.  a dx 
ln a
7.  cos xdx  sin x  C
x
9.  dx2
sin x
11.
 ctgx  C
dx
 1  x 2  arctgx  C
x n1
C
2.  x dx 
n 1
4.  e x dx  e x  c
n
6.  sin xdx   cos x  C
8.  dx2
cos x
10.

 tgx  C
dx
1 x
2
 arcsin x  C
4. Рассмотрим примеры на применение формул:
1.  cos 4 x sin xdx
Решение:
Введем новую переменную и сделаем подстановку
cosx= t
dcosx =dt
-sinx dx=dt откуда dx= dt
 sin x
После подстановки получим:
dt
t5
4
4
 t sin x  sin x   t dt   5  C 
Вернемся к старой переменной:
cos 5 x

C
5
x 2 dx
2. 
5  2x3
Решение:
Введем новую переменную и сделаем подстановку
5-2х3= t
d(5-2х3)=dt
-6x2 dx=dt откуда dx= dt 2
 6x
После подстановки получим:

x2
dt
 6 x 2   1 dt   1 ln t  C
t
6 t
6
Вернемся к старой переменной:
1
  ln( 5  2 x 3 )  C
6
5.Выполнить самостоятельно
1.  4 2  sin x 3 cos xdx
e x dx
2. 
3  ex
3.  32 x xdx
2
6. Рекомендуемая литература:
1. «Алгебра и начало анализа» под ред. ЯковлеваГ.Н. М., 1977г.
2. Башмаков М.М.. «Математика» М., 1987г.
3. Валуцэ И.И. , Дилигул Г.Д. «Математика для техникумов» М., 1989г.
4. Ананасов П.Т., Орлов М.И. «Сборник задач по математике» М., 1987г.
Практическая работа № 4
Определенный интеграл. Методы непосредственного интегрирования и
подстановки
Цель - закрепление теоретического материала по изучению вычисления
определенного интеграла методами непосредственного интегрирования и
подстановки.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Содержание работы
Определение определенного интеграла.
Свойства определенного интеграла.
Таблицы основных интегралов.
Примеры на применение формул.
Примеры для самостоятельного вычисления.
Рекомендуемая литература:
Методические указания
1. Приращение F(b) – F(a) любой первообразной для функции f(x) при изменении
аргумента от x=a до x=b называется определенным интегралом от функции f(x)
и обозначается:
b
 f ( x)dx
a
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a)
a
2.
А) Определенный интеграл алгебраической суммы функций равен
алгебраической сумме определенных интегралов этих функций
b
b
b
a
a
a
  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)
Б) Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за
знак определенного интеграла
b
b
a
a
 cf ( x)dx  c  f ( x)dx
В) При перестановке пределов интеграла знак интеграла меняется на
противоположный,
b
a
a
b
 f ( x)dx   f ( x)dx
3. Таблицы основных интегралов применяется и для определенного интеграла
x n1
n
C
1.  dx  x  C
2.  x dx 
n 1
3.  dx  ln x  C
4.  e x dx  e x  c
x
ax
C
ln a
x
5.  a dx 
6.  sin xdx   cos x  C
7.  cos xdx  sin x  C
8.  dx2
cos x
9.  dx2
sin x
10.
 ctgx  C

 tgx  C
dx
1 x2
 arcsin x  C
11.  dx 2  arctgx  C
1 x
4. Рассмотрим примеры на применение формул:
А) Метод непосредственного интегрирования
1. Вычислить
3
x
2
dx
1
Решение:
3
2
 x dx 
1
x3
3

3
1
33 13
1
2 26
 9 8 
3 3
3
3
3
Б) Метод подстановки
2
2.
x 2 dx
1 5  2 x3
Решение:
Введем новую переменную и сделаем подстановку
5+2х3= t
d(5+2х3)=dt
6x2 dx=dt откуда dx= dt2
6x
После подстановки получим:
2
x
 5  2x
1
2
2
3
dx  
dt
2
6 x 2  1 dt  1 ln t
t
6 1 t
6
x2
1
2
1

Вернемся к старой переменной:

1
ln( 5  2 x 3 )
6
2
1



1
1
1 21 1
ln( 5  2  2 3 )  ln( 5  2  13 )  (ln 21  ln 7)  ln
 ln 3
6
6
6
7
6
5.Выполнить самостоятельно

4
2
1.
x
3
dx
1
2
3.  xdx2
1 x
0
2.  sin xdx
0

2
sin x
dx
1  3 cos x
0
4. 
6. Рекомендуемая литература:
1. «Алгебра и начало анализа» под ред. ЯковлеваГ.Н. М., 1977г.
2. Башмаков М.М.. «Математика» М., 1987г.
3. Валуцэ И.И. , Дилигул Г.Д. «Математика для техникумов» М., 1989г.
4. Ананасов П.Т., Орлов М.И. «Сборник задач по математике» М., 1987г.
Практическая работа № 5
Векторы и координаты. Прямые и плоскости в пространстве.
Цель – Ввести понятие вектора, координатов вектора. Способ вычисления
модуля вектора. Нахождение скалярного произведения векторов и угла между
векторами.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Содержание работы:
Определение вектора. Координаты вектора
Действие над векторами с заданными координатами
Вычисление длины вектора, угол между векторами и расстояния между
двумя точками. Скалярное произведение векторов.
Примеры на применение формул.
Примеры на самостоятельную работу.
Рекомендуемая литература.
Методические указания.
1. Вектором называется направленный отрезок. Для обозначения векторных
величин используют малые латинские буквы, выделенные жирным шрифтом
⃗ ), либо двумя две заглавные буквы с черточкой сверху
(a), стрелочкой (𝒂
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ), где A- начало вектора, B- его конец. Заметим, что зная координаты
(𝑨𝑩
начало и конца вектор, можно найти координаты вектора, определяемые этими
⃗⃗⃗⃗⃗ ) = (𝑏1 − 𝑎1 ; 𝑏2 − 𝑎2 ), т.е. координаты конца вычитывают
точками (𝐴𝐵
координаты начала.
2. Суммой двух векторов 𝑎 и 𝑏⃗ является диагональ параллелограмма
построенного на этих векторах исходящий из общей точки или вектор
соединяющий начало первого вектора и концом второго вектора
𝑐 = 𝑎 + 𝑏⃗
𝑏⃗
(Если вектора имеют
соответствующие координаты, то сумма
⃗ + ⃗𝒃 = 𝒄
⃗ (𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 , 𝒚𝟏 + 𝒚𝟐 ))
вычисляется по формуле: 𝒂
⃗
𝒂
Разностью двух векторов 𝑎 и 𝑏⃗ является диагональ параллелограмма
построенного на этих векторах исходящий из общей точки или вектор
соединяющий конец первого вектора и началом второго вектора
𝑐 = 𝑎 − 𝑏⃗
𝑏⃗
(Если вектора имеют
соответствующие координаты, то разность вычисляется
𝑎
⃗ − ⃗𝒃 = ⃗⃗⃗
по формуле 𝒂
𝒄(𝒙𝟏 − 𝒙𝟐 , 𝒚𝟏 − 𝒚𝟐 ))
.
⃗ | = √𝑥22 + 𝑦22 ; Угол между вектора
3. Длина вектора |𝑎 | = √𝑥12 + 𝑦12 , |𝑏
𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝑥1 𝑥2 +𝑦1 𝑦2 +𝑧1 𝑧2
√𝑥12 +𝑦12 +𝑧12 +√𝑥22 +𝑦22 +𝑧22
; Допустим даны две точки 𝑀1 (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) и, тогда
расстояние между этими точками – это длина отрезка 𝑀1 𝑀2 вычисляется по
формуле: |𝑀1 𝑀2 | = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 + (𝑧2 − 𝑧1 )1 , скалярное
произведение векторов 𝑎 ∗ 𝑏⃗ = |𝑎| ∗ |𝑏⃗| ∗ 𝑐𝑜𝑠𝛼
4. Примеры на применение формул.

 
1. Дано: a (10; 1), (2; -8). Найдите
скалярное произведение a b .

2. Найдите длину вектора a (1; 2; -2)
3. Найти расстояние между точками А (4; -1; 2) и В (1; 3; -10).
4. Найдите угол между двумя векторами А (3; -1; 1) и В (-1; 3; -5).
5. Примеры для самостоятельной работы.
1. Даны точки А (2;2:0) , B(3;2;1) и С(6;4;4). Найти угол между
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ |и ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ |, модуль |𝑩𝑪
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | и скалярное произведение
векторами |А𝑩
|А𝑪
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ | и |𝑩𝑪
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
векторов ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|А𝑪
2. Даны точки А (-2;0;-1) , B(-3;2;-5). Построить соответствующий
вектор и найти его дину.

 
3. Дано: a (10; 1), (2; -8). Найдите скалярное произведение a b .
4. Дано: АВС, А(- 2; -1), В(2; 5), С(3, 0). Найдите А.
6. Рекомендуемая литература:
1. «Алгебра и начало анализа» под ред. ЯковлеваГ.Н. М., 1977г.
2. Башмаков М.М.. «Математика» М., 1987г.
3. Валуцэ И.И. , Дилигул Г.Д. «Математика для техникумов» М., 1989г.
4. Ананасов П.Т., Орлов М.И. «Сборник задач по математике» М., 1987г.
Практическая работа № 6
Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.
Цель - дать понятие способа записи уравнения прямой и определение взаимного
расположения двух прямых в пространстве. Определить угол между прямыми.
Параллельность прямой и плоскости, а также определение перпендикулярности.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Содержание работы:
Расположение двух прямых в пространстве и общее уравнение прямой
Определение угла между прямыми
Параллельность и перпендикулярность прямой и плоскости
Примеры на применение формул.
Примеры на самостоятельную работу.
Рекомендуемая литература.
Методическое указание.
1. Взаимное расположение двух прямых и пространстве характеризуется
следующими тремя возможностями.
1) Прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек —
параллельные прямые.
2) Прямые лежат и одной плоскости и имеют одну общую точку —
прямые пересекаются.
3) В пространстве две прямые могут быть расположены еще так, что
не лежат ни в одной плоскости. Такие прямые называются
скрещивающимися (не пересекаются и не параллельны).
Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая
пересекает эту плоскость и точке, которая не лежит на первой прямой, то эти
прямые скрещиваются.
На рис. 26 прямая a лежит в плоскости
Прямые a и с — скрещивающиеся.
, а прямая с пересекает
в точке N.
Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит только одна
плоскость, параллельная другой прямой.
На рис. 26 прямые a и b скрещиваются. Черен прямую а проведена плоскость
плоскости
|| b (в
указана прямая a1 || b).
Общее уравнение прямой имеет вид 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0. При B=0 прямая
параллельна оси OY и ее уравнение можно записать в виде x = a. При B≠0
уравнение прямой записывается в виде, называемой уравнением прямой с
угловым коэффициентом y= kx +b. Угловой коэффициент k равен угла наклона
и прямой к оси OX, где b – величина отрезка на оси OY. Уравнение прямой с
заданным k и проходящий через точку A(x0; y0) имеет следующий вид 𝑦 − 𝑦0 =
𝑘(𝑥 − 𝑥0 ),
уравнение
прямой
𝐴(𝑥0 ; 𝑦0) и 𝐵(𝑥1 ; 𝑦1 ) имеет вид
𝑦−𝑦0
𝑦1 −𝑦0
проходящий
=
через
две
точки
𝑥−𝑥0
𝑥1 −𝑥0
2. Угол между двумя прямыми: 𝑡𝑔𝛼 =
𝑘2 −𝑘1
1+𝑘2 ∗𝑘1
, если k1=k2 – то прямые
параллельны
3. Параллельность и перпендикулярность прямой и плоскости
Признаки параллельности прямой и плоскости:
1) Если прямая, лежащая вне плоскости, параллельна какой-либо
прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна этой
плоскости.
2) Если прямая и плоскость перпендикулярны одной и той же прямой,
то они параллельны.
Признаки параллельности плоскостей:
1) Если две пересекающиеся прямые одной плоскости
соответственно параллельны двум пересекающимся прямым
другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
2) Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой,
то они параллельны.
Признаки перпендикулярности прямой и плоскости:
1) Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым,
лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
2) Если плоскость перпендикулярна одной из параллельных прямых,
то она перпендикулярна и другой.
4. Примеры на применении формул
1) Пусть прямая задана общим уравнением:
ее уравнение с угловым коэффициентом.
. Требуется написать
2) Прямая задана уравнением с угловым коэффициентом
Принадлежат ли точки
и
.
этой прямой?
3) Пусть прямая задана общим уравнением:
ее уравнение с угловым коэффициентом.
. Требуется написать
5. Примеры на самостоятельную работу:
1) Четыре прямые заданы своими общими уравнениями:
:
,
:
,
описать взаимное расположение прямой
:
. Требуется
:
с прямыми
,
,
и
.
2) Описать свойства уравнений прямых на плоскости, параллельных оси
3) Составить уравнение прямой, проходящей через точку
углом
к оси
.
под заданным
.
6. Рекомендуемая литература:
1. «Алгебра и начало анализа» под ред. ЯковлеваГ.Н. М., 1977г.
2. Башмаков М.М.. «Математика» М., 1987г.
3. Валуцэ И.И. , Дилигул Г.Д. «Математика для техникумов» М., 1989г.
4.Ананасов П.Т., Орлов М.И. «Сборник задач по математике» М., 1987г.