Контрольная работа №2.

advertisement
Общие рекомендации студенту-заочнику по работе над курсом
высшей математики
Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная
работа над учебным материалом, которая состоит из следующих элементов:
изучение
материала
выполнение
по
учебникам,
контрольных
работ.
В
решение
помощь
задач,
самопроверка,
заочникам
институты
организуют чтение лекций, практические занятия и лабораторные работы.
Кроме того, студент может обращаться к преподавателю с вопросами для
получения письменной или устной консультации. Указания студенту по
текущей работе даются также в процессе рецензирования контрольных
работ. Однако студент должен помнить, что только при систематической и
упорной самостоятельной работе помощь института будет достаточно
эффективной. Завершающим этапом изучения отдельных частей курса
высшей математики является сдача зачетов и экзаменов в соответствии с
учебным планом.
Чтение учебника
1. Изучая материал по учебнику, следует переходить к следующему
вопросу
только
после
правильного
понимания
предыдущего,
выполняя на бумаге все вычисления (в том числе и те, которые ради
краткости опущены в учебнике) и вычерчивая имеющиеся в учебнике
чертежи.
2. Особое внимание следует обращать на определение основных
понятий.
Студент
должен
подробно
разбирать
примеры,
которые
поясняют такие определения, и уметь строить аналогичные примеры
самостоятельно.
3. Необходимо помнить, что каждая теорема состоит из предположений и
утверждения. Все предположения должны обязательно использоваться в
доказательстве. Нужно добиваться точного представления о том, в каком
месте доказательства использовано каждое предположение теоремы. Полезно
составлять схемы доказательств сложных теорем. Правильному пониманию
многих теорем помогает разбор примеров математических объектов,
обладающих и не обладающих свойствами, указанными в предположениях и
утверждённых теорем.
4. При изучении материала по учебнику полезно вести конспект, в
который рекомендуется выписывать определения, формулировки теорем,
формулы, уравнения и т.п. На полях конспекта следует отмечать вопросы,
выделенные студентом для получения письменной или устной консультации
преподавателя.
5. Письменное оформление работы студента
важное
значение.
Записи
в
конспекте
имеет
исключительно
должны
быть
сделаны
чисто, аккуратно и расположены в определенном порядке. Хорошее
внешнее оформление конспекта по изученному материалу не только
приучит студента к необходимому в работе порядку, но и позволит ему
избежать
многочисленных
ошибок,
которые
происходят
из-
за небрежных, беспорядочных записей.
6. Выводы, полученные в виде формул,
подчеркивать
или
обводить
рамкой,
рекомендуется в конспекте
чтобы
при
перечитывании
конспекта они выделялись и лучше запоминались. Опыт показывает, что
многим студентам помогает в работе составление листа, содержащего
важнейшие
и
наиболее
часто
употребляемые
формулы
курса. Такой лист не только помогает запомнить формулы, но и может
служить постоянным справочником для студента.
Решение задач
1.Чтение
учебника
должно
сопровождаться
решением
задач,
для чего рекомендуется завести специальную тетрадь.
2. При решении задач нужно обосновать каждый этап решения,
исходя из теоретических положений курса. Если студент видит несколько
путей
решения,
то
он
должен
сравнить
их
и
выбрать
из
них самый лучший. Полезно до начала вычислений составить краткий план
решения.
3. Решения задач и примеров следует излагать подробно, вычисления
располагать
в
строгом
порядке,
отделяя
вспомогательные
вычисления от основных. Чертежи можно выполнять от руки, но
аккуратно и в соответствии с данными условиями. Если чертеж требует
особо тщательного выполнения, например
проверке
решения,
полученного
путем
при
графической
вычислений,
то
следует
пользоваться линейкой, транспортиром, лекалом и указывать масштаб.
4. Решение каждой задачи должно доводиться до ответа, требуемого
условием, и по возможности в общем виде с выводом формулы. Затем в
полученную формулу подставляют числовые значения (если таковые
даны). В промежуточных вычислениях не следует вводить приближенные
значения корней, числа я и т. п.
5. Полученный ответ следует проверять способами, вытекающими из
существа
данной
задачи.
Если,
например,
решалась
задача
с
конкретным физическим и геометрическим содержанием, то полезно
прежде всего проверить размерность полученного ответа. Полезно
также, если возможно, решить задачу несколькими
способами и
сравнить полученные результаты.
6. Решение
задач
определенного
типа
нужно
продолжать
до
приобретения твердых навыков в их решении.
Подготовка к экзамену
1. После изучения определенной темы по учебнику и решения
достаточного количества соответствующих задач студенту рекомендуется
воспроизвести по памяти определения, выводы формул, формулировки и
доказательства теорем. Вопросы для самопроверки,
приведенные в
настоящем пособии, поставлены с целью помочь студенту в повторении,
закреплении и проверке прочности усвоения изученного материала. В
случае необходимости надо еще раз внимательно разобраться в материале
учебника, прорешать задачи.
2.
Иногда недостаточность усвоения
того или иного вопроса
выясняется только при изучении дальнейшего материала. В этом
случае надо вернуться назад и повторить плохо усвоенный раздел.
3. Важным критерием усвоения теории является умение решать
задачи на пройденный материал. Однако здесь следует предостеречь
студента от весьма распространенной
ошибки,
заключающейся в
том, что благополучное решение задач воспринимается им как признак
усвоения теории. Часто правильное решение задачи получается в результате
применения
механически
заученных
формул,
без
понимания существа дела. Можно сказать, что умение решать задачи
является
необходимым,
но
недостаточным
условием
хорошего
знания теории.
Контрольные работы
1. В процессе изучения курса математики студент должен вы
полнить ряд контрольных работ, главная цель которых
- оказать
студенту помощь в его работе. Рецензии на эти работы позволяют
студенту судить о степени усвоения им соответствующего раздела
курса; указывают на имеющиеся у него пробелы, на желательное
направление дальнейшей работы; помогают сформулировать вопросы для
постановки их перед преподавателем.
2. Не следует приступать к выполнению контрольного задания,
не
решив
достаточного
количества
задач
по
материалу,
соответствующему этому заданию. Опыт показывает, что чаще всего
неумение решить ту или иную задачу контрольного задания вызывается
тем, что студент не выполнил это требование.
3. Контрольные
работы
должны
выполняться
самостоятельно.
Несамостоятельно выполненная работа не дает возможности преподавателюрецензенту указать студенту на недостатки в его работе, в усвоении им
учебного материала; в результате чего студент не приобретает необходимых
знаний и может оказаться неподготовленным к устному зачету и экзамену.
4. Не рекомендуется присылать в университет одновременно работы по
нескольким заданиям: это не дает возможности рецензенту своевременно
указать
студенту
на
допускаемые
им
ошибки
и
удлиняет
срок
рецензирования работ.
5. Прорецензированные контрольные работы
вместе со всеми
исправлениями и дополнениями, сделанными по требованию рецензента,
следует
сохранять.
Без
предъявления
прорецензированных
контрольных работ студент не допускается к сдаче зачета и экзамена.
6. Распределение контрольных работ по семестрам устанавливается
каждым институтом для своих студентов в соответствии с распределением по
семестрам
материала
и
сообщается
студентам
дополнительно.
Варианты контрольных работ приведены в таблицах №1,2. Студент
выполняет вариант контрольной работы в соответствии с номером учебного
шифра. Если последняя цифра – не чётное число (1,3,5,7,9), то номер задач
для этого варианта приведён в таблице №1, если же предпоследняя цифра
учебного шифра – чётная и ноль (2,4,6,8,0), номера соответствующего
варианта в таблице №2.
Таблицы вариантов
Таблица 1
Номера задач для контрольных работ на первом курсе
Номер
варианта
Работа 1
Работа 2
1
1
21 41 61 81 101 121 141 161 181 201 221 241 261 281
2
2
22 42 62 82 102 122 142 162 182 202 222 242 262 282
3
3
23 43 63 83 103 123 143 163 183 203 223 243 263 283
4
4
24 44 64 84 104 124 144 164 184 204 224 244 264 284
5
5
25 45 65 85 105 125 145 165 185 205 225 245 265 285
6
6
26 46 66 86 106 126 146 166 186 206 226 246 266 286
7
7
27 47 67 87 107 127 147 167 187 207 227 247 267 287
8
8
28 48 68 88 108 128 148 168 188 208 228 248 268 288
9
9
29 49 69 89 109 129 149 169 189 209 229 249 269 289
0
10 30 50 70 90 110 130 150 170 190 210 230 250 270 290
Таблица 2
Номера задач для контрольных работ на первом курсе
Номер
варианта
Работа 1
Работа 2
1
11 31 51 71 91
111 131 151 171 191 211 231 251 271 291
2
12 32 52 72 92
112 132 152 172 192 212 232 252 272 292
3
13 33 53 73 93
113 133 153 173 193 213 233 253 273 293
4
14 34 54 74 94
114 134 154 174 194 214 234 254 274 294
5
15 35 55 75 95
115 135 155 175 195 215 235 255 275 295
6
16 36 56 76 96
116 136 156 176 196 216 236 256 276 296
7
17 37 57 77 97
117 137 157 177 197 217 237 257 277 297
8
18 38 58 78 98
118 138 158 178 198 218 238 258 278 298
9
19 39 59 79 99
119 139 159 179 199 219 239 259 279 299
0
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300
Математический анализ
Производная и дифференциал функции
Неопределённый и определённый интеграл
Тема 1 Введение в математический анализ
1.1. Постоянные и переменные величины. Понятие функции
Определение 1. Величина называется постоянной, если она в условиях
данной задачи сохраняет одно и то же числовое значение. Обозначение: a , b ,
c , …, т. е. начальные буквы латинского алфавита.
Определение 2. Величина называется переменной, если она в условиях
данной задачи, принимает различные числовые значения. Обозначение: x , y ,
z,
…, т. е. конечные буквы латинского алфавита.
Часто постоянную величину удобно рассматривать как переменную,
все числовые значения которой равны между собой.
Областью изменения переменной величины x называется совокупность
всех принимаемых ею числовых значений. Область изменения может
состоять из одного или нескольких интервалов.
Определение 3. Переменная величина y называется функцией от
переменной величины x , если они связаны между собой так, что каждому
рассматриваемому значению величины
x
(из области ее изменения)
соответствует единственное, вполне определенное, значение величины y .
При этом переменная величина x называется аргументом. Зависимость
переменных x и y называется функциональной зависимостью.
Если y является некоторой функцией от аргумента x , то в символах
это записывается так: y  f x или y   x  и т. д.
Пример. y  x 2 , y  sin x  cos x и т. д.
Областью существования (или область определения) функции y  f x
называется совокупность всех действительных значений аргумента x , для
которых функция у определена.
Например, y 
1
, функция определена, если x  2  0 , или x  2 .
x2
 ;2  2; .
1. 2. Предел функции. Основные теоремы о конечных пределах
Пусть
функция
y  f x 
определена
в
некотором
промежутке,
содержащем точку x  a . Из области определения данной функции выберем
произвольную последовательность значений аргумента х:
x1 , x 2 , …, x n , …,
(1)
которая стремилась бы к данному числу a .
Всякой последовательности (1) будет соответствовать некоторая
последовательность значений самой функции y  f x , т. е.
y1  f x1 , y2  f x2  , …, y n  f xn  ,….
(2)
Если окажется, что любая последовательность (2) имеет своим
пределом число b, то это число и будет пределом функции y  f x при х
стремящемся к a x  a  .
Определение 1. Число b называется пределом функции y  f x при
x  a , если для любого, сколь угодно малого   0 найдется такое   0 , что
f x   b  
при x  a   . Это определение можно записать следующим
образом
lim f  x   b .
(3)
xa
Определение 2. Число b называется пределом функции y  f x при
x   , если для любого положительного числа 
можно найти такое
положительное число N , что при всех x , удовлетворяющих неравенству
x  N , справедливо неравенство:
f x   b   .
f x   b .
В этом случае предел записывается так: lim
x 
Если функции f x  и  x  при x  a имеют конечные пределы, то
справедливы следующие теоремы:
 f x    x   lim
f x   lim  x  , т.е. предел алгебраической
Теорема 1 lim
x a
x a
xa
суммы функций равен алгебраической сумме пределов этих функций. Данная
теорема распространяется на любое фиксированное число слагаемых.
 f x    x   lim
f  x   lim  x  , т.е. предел произведения 2-х
Теорема 2 lim
xa
xa
xa
функций равен произведению пределов этих функций. Данная теорема
распространяется на любое фиксированное число сомножителей.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
lim k  f x   k  lim f x  .
x a
Теорема 3 lim
xa
xa
f x 
f  x  lim
 xa
 x   0 , т.е. предел
, при условии, что lim
xa
  x  lim  x 
xa
частного от деления двух функций равен частному пределов этих функций.
Теорема 4 Если lim
f  x  существует и конечен, то можно переходить к
x a
пределу

в
основании
степени

при
постоянном
показателе,
lim  f ( x)  lim f ( x) , где k-const.
k
x a
k
x a
m f ( x )  m lim f ( x ) при любом нечетном «m» и при
В частности, lim
xa
xa
добавочном условии f ( x)  0 для четных «m».
Примеры:

2
3

2
3
2
3
1) lim ( x  2)  lim ( x  2)  (3)  3 9
x 1
x 1
2) lim x 2  5  lim x 2  5  9  3
x 2
x 2
Теорема 5 Можно переходить к пределу в показателе степени при
постоянном основании. Если
lim f  x 
x а
-
существует и
конечен, то
lim f  x 
lim b f  x   b x  а
x а
3
Пример. lim
x 1
x
x 1
3
x
lim x 1
x 1
1
2
3  3
Теорема 6 Можно переходить к пределу под знаком логарифма. Если

lim f  x  - существует и конечен, то lim log с f ( x)  log с lim f ( x)
x а


xа
xа

Пример lim lg( x 2  1)  lg lim ( x 2  1)  lg 10  1
x3
x3
Определение 3. Выражения вида
0 
; ;    ; 0   ; 0  ;  0 ; 0 0 ; 1 –
0 
называют неопределенностями, которые раскрываются с помощью пределов.
При вычислении пределов часто используются следующие, так
называемые «замечательные пределы»:
1) Первый замечательный предел lim
x 0
Пример 1. lim
x 0
sin x
1
x
sin 3 x  0 
3 sin 3x
sin 3 x
    lim
 3 lim
 3 1  3
x 0
x
3x
 0  x 0 3 x
x
2)
Второй
замечательный
иррациональное число ( e  2,718281... ).
предел
 1
lim 1    e .
x 
x

Здесь
e
–
1
  , то при x   новая
x
Если в последнем равенстве положить
переменная   0 и формула запишется lim 1     e .
1
 0
При решении задач можно использовать следующие формулы:
x
 k
lim 1    e k ;
x 
x

 1
Пример 2. lim
1  
x 
x

5 x2
 

1
 1
lim 1  
x 
x

mx
5x
 em .
2
 1
 1
 lim 1    lim 1    e 5  1  e 5 .
x 
x


x
x


1. 3. Односторонние пределы.
Если ищется предел функции y  f x при условии, что аргумент x ,
стремясь к своему предельному значению a , может принимать только такие
значения, которые меньше a , то это предел, если он существует, называется
левосторонним пределом данной функции в точке x  a и обозначается:
lim y  lim f x  , или lim y  lim f x   f a  0 .
x a
x a
xa
xa 0
xa
x a 0
Если ищется предел функции y  f x при условии, что аргумент x
стремясь к своему предельному значению a может принимать только такие
значения, которые больше a , то этот предел, если он существует, называется
правосторонним пределом данной функции в точке x  a и обозначается:
lim y  lim f x  , или
x a
xa
x a
x a
lim y  lim f  x   f a  0  .
xa 0
xa 0
Предел функции y  f x при x  a существует только тогда, когда
существуют и равны между собой ее левосторонний и правосторонний
пределы, т.е. когда имеет место равенство:
lim f x   lim f x 
x a
xa
x a
x a
Пример. Найти односторонние пределы функции y 
Решение.
x
при x  3 .
x3
x
  , т.к. при x  3 знаменатель дроби стремится к
x 3  0 x  3
lim y  lim
x 3 0
нулю, оставаясь отрицательным.
x
  , т.к. при x  3 знаменатель дроби стремится к
x 3 0 x  3
lim y  lim
x 3 0
нулю, оставаясь положительным.
1. 4. Непрерывность функции.
Определение 1. Функция f x  называется непрерывной в точке x 0 , если
выполняется равенство
lim f x   f x0 
(1)
x x0
Пусть
x0
a; b. Близкую к ней точку
x
a; b можно записать
x  x0  x , где x может быть как положительным, так и отрицательным
числом. Назовем x приращением независимого переменного (аргумента) x .
Новое,
наращенное
значение
функции
будет
f ( x0  x) .
y  f x0  x   f x0  называется приращением функции
Разность
f x  в точке x 0 ,
соответствующим приращению x .
Рис. 31.
Определение 2. Функция y  f x называется непрерывной в точке x 0 ,
если выполняется равенство
lim y  0 ,
x  0
(2)
т.е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно
малое приращение функции.
Определение 3. Функция называется непрерывной в точке x 0 , если
выполняется равенство:
f  x0  0  f  x0  0  f  x0 
(3)
1. 5. Точки разрыва и их классификация
Определение 1. Точка x 0 называется точкой разрыва функции f x  ,
если в ней не выполняется равенство (3).
Определение 2. Скачком функции f x  в точке x 0 называется разность
между правым и левым пределами функции f x  в ней, т.е. f x0  0  f x0  0 ;
при этом знак   означает скачок вверх,
а знак  – скачок вниз по
вертикали при x  x0 .
Определение 3. Точка разрыва x 0 функции f x  называется точкой
разрыва I-го рода, если односторонние пределы функции f x0  0 и f x0  0
существуют, конечны, но равенство (3) не выполняется.
Определение 4. Точка разрыва x 0 функции f x  называется точкой
разрыва II-го рода, если хотя бы один из односторонних пределов f x0  0 и
f x0  0 не существует или бесконечен.
Замечание. Среди точек разрыва I-го рода встречаются точки, так
называемого устранимого разрыва.
Определение 5. Точка разрыва x 0 функции f x  называется точкой
устранимого разрыва, если односторонние пределы f x0  0 и f x0  0
существуют, конечны и равны между собой, но функция в ней не определена.
Решение типовых задач.
Задача 1. Найти указанные пределы:
а) lim
x 2
2x
3x 2  x  10
x6 3
 2x  1 
; б) lim
; в) lim
; г) lim


2
x

3
x


x

0
x3
arctg 5 x
7 x  x  10
 2x  3 
4 x 1
.
Решение. а) Непосредственная подстановка предельного значения
аргумента x  2 приводит к неопределенности вида   . Чтобы раскрыть эту
0
0
неопределенность,
представим
квадратные
трехчлены
числителя
и
знаменателя в виде произведения линейных множителей, воспользовавшись
формулой: a  x 2  b  x  c  a  x  x1   x  x2  , где x1 , x 2 – корни квадратного
5
трехчлена a  x 2  b  x  c . У нас 3x 2  x  10  3   x    x  2  3x  5  x  2 , так

как
дискриминант
квадратного
3
D  1  4  3   10  12 1,
трехчлена
а
5
3
следовательно, x1   ; x2  2 .
Аналогично  x 2  7 x  10  x  5  x  2  x  5  x  2 .
Теперь условие примера перепишем в другом виде и продолжим
решение.
3x  5  x  2  lim 3x  5  11 .
3x 2  x  10
 lim
2
x 2 7 x  x  10
x2  x  5   x  2
x 2  x  5
3
lim
Данным действием мы выяснили, какие сомножители данного
выражения обращают его в неопределенность при x  2 .
б) Непосредственная подстановка предельного значения аргумента x  3
приводит
к
неопределенности
вида
0
 0  .
Чтобы
раскрыть
неопределенность, умножим числитель и знаменатель на сумму

x 3
x6 3
 lim
x 3
x3

 lim
x 3
  x  6  3  lim
x3

x  3   x  6  3
x  3   x  6  3
x6 3 
x 3
1
x6 3
 lim
x 3
1
36 3

1
6
в) Обозначаем arctg 5 x  y . Тогда 5 x  tgy и y  0 при x  0 . Применяя
свойства пределов и формулу первого замечательного предела, имеем:
tg y 2
2x
2
sin y
1
2
2
 lim
 lim
lim
 1 1 
x 0 arctg 5 x
y

0
y

0
y

0
5
y
5
y
cos y 5
5
lim

x6 3 ,
так называемое сопряженное число:
lim
эту
2x  1 

 2x  3 
г) При x   выражение 
4 x 1
является неопределенностью вида 1 .
Для устранения этой неопределенности представим основание степени в виде
суммы 1 и бесконечно малой величины при x   и применим формулу
второго замечательного предела,
Тогда имеем:
 2x  1 
lim 

x  2 x  3


4 x 1
 2x  3  4 
 lim 

x 
 2x  3 
4 x 1
4 

 lim 1 

x 
 2x  3 
4 x 1
.
Пусть 2 x  3  4 y , тогда 4 x  1  8 y  5 и y   при x   .
Переходя к переменной y , получим:

1
lim 1  
y  
y

8 y 5
y


1 
  lim 1   
y 
 y 

Задача 2. Дана функция: y 
8

1
 lim 1  
y  
y

5
 e 8  15 
1
.
e8
2x
. Требуется: 1) установить: является ли
x 1
данная функция непрерывной или разрывной при значениях аргумента
x1  1 и x2  3 ; 2) найти односторонние пределы в точках разрыва; 3)
построить график данной функции на отрезке  6;6 .
Решение. При x  1 данная функция не существует. Определим
односторонние пределы функции при x  1 слева и справа
2x
2x
  ; lim y  lim
  .
x  1 0 x  1
x  1 0
x  1 0 x  1
lim y  lim
x  1 0
Таким образом, при x  1 данная функция имеет разрыв второго рода.
При x  3 функция является непрерывной, т.к. выполняются равенства (3).
f 3  0   f 3  0   f 3 
6 3
 .
4 2
Исследуемая функция является дробно-линейной. Графиком дробнолинейной функции служит равносторонняя гипербола, асимптоты которой
параллельны осям координат. Чтобы построить эту гиперболу на заданном
отрезке, составим следующую таблицу
x
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
y
12
5
5
2
2,6
3

4
0
1
4
 1,3
3
8
5
3
2
5
3
12
7
По полученным данным строим график (рис. 32).
Рис. 32.
Задача
3.
Функция
y
задана
различными
аналитическими
выражениями для различных областей изменения аргумента
 x  2, если x  2

y   x 2  4, если  2  x  1
 4  2 x, если x  1

Требуется: 1) найти точки разрыва функции, если они существуют; 2)
найти предел функции y при приближении аргумента x к точке разрыва
слева и справа; 3) найти скачок функции в точке разрыва.
Решение. Данная функция определена и непрерывна
 ;2 ,  2;1 и 1; . При
в интервалах
x  2 и x  1 меняется аналитическое выражение
функции, и только в этих точках функция может иметь разрыв. Определим
односторонние пределы в точке x  2 :
lim y  lim
x  2  0
x  2  0
x  2  0 ;


lim y  lim x 2  4  0 .
x20
x20
Односторонние пределы совпадают. Функция в этой точке непрерывна.
Определим односторонние пределы в точке x  1:


lim y  lim x 2  4  3 ; lim y  lim 4  2 x   2 .
x10
x10
x 1 0
x 1 0
Так как односторонние пределы функции y в точке x  1 не равны
между собой, то в этой точке функция имеет разрыв первого рода и скачок
равен
f 1  0  f 1  0  3  2  5 .
Составим таблицу соответствующих значений и построим график этой
функции (рис. 33)
y  4  2x
y  x2  4
x
0
2
1
1
x
1
2
3
y
4
0
3
3
y
2
0
2
Рис. 33.
Вопросы для экзамена
1.
Дать определение функции.
2.
Что называется областью определения функции? Что такое область
изменения функции?
3.
Какие функции называются элементарными? Приведите примеры.
4.
Что называется пределом числовой последовательности?
5.
Сформулируйте определение предела функции.
6.
Назовите основные свойства пределов функций.
7.
Какая функция называется бесконечно малой? Бесконечно большой?
8.
Напишите формулы первого и второго замечательных пределов.
9.
Какие логарифмы называются натуральными?
10.
Дайте определение односторонних пределов функции в точке.
11.
Какая функция называется не прерывной в точке?
12.
Какая точка называется точкой разрыва первого рода? Второго рода?
Тема 2 Производная и дифференциал функции
2. 1. Производная функции.
Пусть мы имеем функцию
y  f x  , определенную в некотором
промежутке. При каждом значении аргумента x из этого промежутка
функция y  f x имеет определенное значение. Пусть аргумент x получил
некоторое (положительное или отрицательное) приращение x . Тогда
функция y получит некоторое приращение y . Таким образом, при значении
аргумента x будем иметь y  f x , при значении аргумента x  x будем
иметь y  y  f x  x .
Найдем приращение функции y : y  f x  x  f x .
Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:
y f  x  x   f  x 

, найдем предел этого отношения при x  0 :
x
x
lim
x 0
Определение.
y
f  x  x   f  x 
 lim
.

x

0
x
x
Производной
функции
y  f x 
по
аргументу
x
называется предел отношения приращения функции y к приращению
аргумента x , когда последнее произвольным образом стремится к нулю.
Производную
f '  x   lim
x  0
данной
функции
y  f x 
обозначают
f ' x  ,
т.е.
y
.
x
Наряду с обозначением f ' x  для производной употребляются и другие
обозначения: y ' , f ' x ; ,
dy
.
dx
2. 2. Геометрическое значение производной.
Геометрически производная y ' функции y  f x представляет угловой
коэффициент касательной к графику этой функции (рис. 34)
Рис. 34.
y
 tg 
x
y
 f ' x 
x 0 x
tg   lim tg   lim
x 0
Определение. Значение производной
f ' x  при данном значении
аргумента x равняется тангенсу угла наклона касательной к графику
функции
f x 
в соответствующей
точке
M x; y 
с положительным
направлением оси Ox .
Если функция S  f t  представляет закон прямолинейного движения
материальной точки, где S – путь, t – время, то V  S ' f ' t  характеризует
скорость материальной точки M в момент времени t . Таким образом,
производной от пути S по времени t интерпретирует механический смысл
производной.
2. 3. Основные правила и формулы дифференцирования
1. Производная постоянной равна нулю, т.е. если y  C , где C  const , то
y'  0 .
2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е.
если y  Cux , где C  const , то y' Cu' x .
3. Производная суммы конечного числа дифференцируемых функций
равна соответствующей сумме производных этих функций.
Для случая, например, трех слагаемых функций:
y  u x   V  x     x  ,
имеем
y'  u ' x   V ' x    ' x  .
Если y  ux  V x  zx  ...  x , то y'  u' x  V ' x  z' x  ...  ' x .
4. Производная от произведения двух дифференцируемых функций
равна произведению производной первой функции на неизменную вторую
функцию плюс произведение неизменной первой функции на производную
от второй функции, т.е.
если y  u  V , то y'  u 'V  u  V ' .
если y  u  V  ...  z   , то y'  u 'V ...  z    ...  u  V  ...   ' .
5. Производная частного от деления двух функций равна дроби, у
которой знаменатель есть квадрат функции, стоящей в знаменателе, а
числитель есть разность между произведением знаменателя на производную
числителя и произведение числителя на производную знаменателя, т.е. если
y
u
, то
V
y' 
u 'V  u  V '
, при V  0 .
V2
Пример. Найти производные следующих функций:
1
x
а) y  2 x 4   34 x 3  1 .
Решение. y'   2 x 4  x 1  3x 4  1
3




3


9 1
1
9

y '  2  x 4  x 1  3 x 4   1  8 x 3  x  2  x 4  8 x 3  2  4 .


4
x
4 x
   
б) y  x 4  ln x .

Решение. y '  x 4   ln x  x 4  ln x   4 x 3  ln x  x 4   x 3  4 ln x  1 .
1
x
в) y 
5x  1
.
sin x
Решение. y' 
5x  1  sin x  5x  1  sin x 
2
sin x

5 sin x  5 x  1  cos x
.
sin 2 x
Таблица основных производных

1.
y  c  const
2.
y x
3.
y
x
y
4.
y 1
x
y
5.
y e
x
6.
y a
x
7.
y  log x
8.
y  ln x
9.
y  sin x
y  cos x
10.
y  cos x
y   sin x
11.
y  tg x
y
12.
y  ctg x
y  
1
sin x
13.
y  arcsin x
y 
1
1 x

m
y
y
n
a
14.
y  arccos x
15.
y  arctg x

'
'
'

0
m

'
x
m 1
1

2 x

y
y
'

'

n
x
n 1
e
a
x
x
ln a

y  1 log e
x
'
a
y

'

1
x

'
'

'

1
cos x
'
'
y
'


y 
'
2
2
2
1
1 x
1
1x
2
2
y  
'
y  arcctg x
16.
1
1x
2
2. 4. Производная сложной функции
Введем понятие функции от функции. Если y является функцией от u ,
а u в свою очередь зависит от переменной x , то y также зависит от x . Пусть
y  F u  и u   x . Запишем функцию y от x : y  F  x , т. е. вид сложной
функции.
Пусть дана сложная функция y  F u  , а u   x , т. е. выражение для y
примет следующую запись y  F  x. В выражении y  F u  переменная u
называется
промежуточным
аргументом.
Установим
правило
дифференцирования сложной функции.
Производная сложной функции равна произведению производной
данной функции по промежуточному аргументу
u
на производную
промежуточного аргумента по основному x .
Пример 2. Найти производные функций:
а) y  ln 2  sin 3x .
Решение. Последовательно применяя правило дифференцирования
сложной функции, имеем:
y '  (ln 2  sin 3x ) 

б) y  3arctg
x
1
1
cos 3x  (3x)
3 cos 3x



 2  sin 3x  
  2  sin 3x   


2  sin 3x
2  sin 3x 
2  sin 3x
2  sin 3x

4
1 .
Решение.

arctg
y '   3


 4 3
arctg
x

x
4 
arctg
 1   4  3

3 
arctg
 1  3



x



3

 arctg x
 1  3
 ln 3  arctg x  



1
2 ln 3
arctg x
arctg
 ln 3 

x
3
3

2
 1  x   x
1 x
x
 
 

2. 5. Производная функции, заданной параметрически и неявно.
x

1
3
1. Производная функции, заданной параметрически.
Зависимость между переменными x и y иногда удобно задавать двумя
уравнениями
 x   t ;

 y   t ,
где t – вспомогательная переменная или параметр.
Уравнение определяет y как сложную функцию от x .
Нахождение производной y' x выполняется по следующей теореме.
Теорема. Если функция y от аргумента x заданна параметрически
x   t  , y   t  , где  t  и  t  дифференцируемы и  ' t   0 , то производная
этой функции есть:
y' x 
y't
x' t
Пример 1. Найти производную y' x , если функция задана параметрически
 x  a  t  sin t ;

 y  a  1  cos t ,
Решение.
y' x 
y't  x't  a  1  cos t ,
,
x't  y't  a  sin t.
a sin t
y' x 

a  (1  cos t )
t
t
cos
2
2  ctg t , ( t  2k ).
t
2
2 sin 2
2
2 sin
2. Производная от неявной функции
Пусть значения двух переменных x и y связанны между собой
некоторым уравнением, которое мы символически обозначаем
F xy  0 .
Если функция y  f x определена на некотором интервале a; b таково,
что уравнение F xy  0 при подстановке в него выражения y  f x вместо y
обращается в тождество относительно x , то y  f x есть неявная функция,
определенная уравнением F xy  0 .
Чтобы найти производную от неявной функции y по аргументу x ,
заданной уравнением F xy  0 , продифференцируем по x левую часть этого
уравнения, считая y функцией от x . В результате получим линейное
уравнение относительно y ' , из которого находим искомую производную y ' .
Пример 2. Найти производную от функции x 2  xy  2 y 3  5  0 , заданной
неявно.
Решение.

x 2  xy  2 y 3  5  0  x 2  xy  2 y 3  5  0




2 x  y  xy'6 y 2  y'  0 , y' x  6 y 2  2 x  y 
y'  
2x  y
2x  y
.

2
x  6y
6y2  x
2. 6. Производная сложной показательной функции.
Сложной показательной функцией называется функция, у которой и
основание, и показатель степени является функцией от x , т. е. y  u x V  x  ,
или просто y  u V .
Например, y  sin x x ; y  x tg x ; y  x x ; и т. д.
Производная сложной показательной функции определяется по
формуле:
y'  V  u V 1  u 'u V  V ' ln u .
Пример.
1. y  sin x x ; y '  x  sin x x 1  cos x  sin x x  ln sin x .
Для нахождения производной от сложной показательной функции
можно применить прием логарифмического дифференцирования.
2. y  x tg x ; ln y  lnxtgx   tg x  ln x ; ln y '  tg x  ln x ;  y   2  ln x  tg x  ,
y
x
cos x
1
1
1
tg x 
tg x 
 1
tg x  ln x
y'  y  2  ln x 
  x  2 
.
x 
x 
 cos x
 cos x
2. 7. Производные высших порядков
Производная
y'  f x
называется
первой
производной,
или
производной первого порядка, которая представляет собой функцию от x и, в
свою очередь, тоже может иметь производную. Производная от производной
первого порядка называется производной второго порядка от функции
y  f x  и y' '  f ' ' x   y'' .
Аналогично запишем производную третьего порядка y ' ' '  f ' ' ' x    y ' ' .
Производная n -го порядка от заданной функции y  f x называется
производная от производной ( n  1 )-го порядка и обозначается:

y ( n)  f ( n) x   y ( n1) .


Пример. Найти производную второго порядка от функции y  x 2  cos 2 x .
Решение. y'  ( x 2  cos 2 x )  2 x  sin 2 x  2 x   2 x  2 sin 2 x ;



y' '   y'   2 x  2 sin 2 x   2  2 cos 2 x  2 x   2  4 cos 2 x  2  1  2 cos 2 x 
2. 8. Дифференциал. Приложение дифференциала к приближенным
вычислениям.
2. 8. 1. Дифференциал.
Пусть
функция
y  f x 
дифференцируема
на
отрезке
a; b.
Производная этой функции в некоторой точке x отрезка a; b определяется
равенством:
lim
x  0
Отношение
y
 f ' x  .
x
y
при x  0 стремится к определенному числу f x  и,
x
следовательно, отличается от производной f x  на величину бесконечно
малую:
y
 f '  x    , где   0 при x  0 . Умножая все члены данного
x
равенства на x , получим следующее соотношение:
y  f ' x  x    x .
Если f ' x   0 , то слагаемое f ' x  x – линейное относительно x ,
является бесконечно малым при x  0 , так как lim
f '  x  x  0 .
x 0
Слагаемое   x – также является бесконечно малым при x  0 ,
  x  0 .
потому что lim
x 0
lim
x 0
  x
f ' x   x
 lim
x 0

f ( x)
 0.
Значит,   x – есть бесконечно малое более высокого порядка, чем
слагаемое f ' x  x .
В этой связи величина f ' x  x составляет главную часть приращения
функции f x  в точке x .
Определение. Дифференциалом функции y  f x в точке x называется
линейная относительно x величина f ' x  x , составляющая главную часть
приращения функции f x  в точке x .
Дифференциал функции обозначается df x  или dy (де игрек). Таким
образом,
df x  f ' x  x
Найдем дифференциал функции
(1)
y  x;

y'  x   1 ,
следовательно,
dy  dx  x , или dx  x .
Таким образом, дифференциал
dx
независимой переменной
совпадает с ее приращением x .
Формулу (1) мы можем записать
dy  f ' x dx .
Пример. Найти дифференциал функции y  x 2  cos 3x  5 .

Решение. dy  x 2  cos 3x  5 dx ; dy  2x  3sin 3xdx .
x
2. 8. 2. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям.
При достаточно малых значениях x приращение функции может быть
заменено ее дифференциалом. В приближенных вычислениях пользуются
следующим приближенным равенством:
y  dy ,
или в развернутом виде f x  x  f x  f ' x  x , что сокращает вычисления.
Пример. Вычислить приближенное значение 4 17 .
f x   4 17 ,
Решение. Будем рассматривать
как частное значение
функции y  f x . Берем x  16 , тогда 17  16  x ; x  1.
4
17  4 x  x  4 x 
4
 x   x 
4
17  4 16 
1
44 163
4
1 3
1
x   x 4  x  4 x 
 x .
4
4
4 x3
1  2 
1
1  2,031 .
32
Вопросы для экзамена
1. Что называется производной функции?
2. Каков геометрический и физический смысл производной?
3. Как взаимосвязаны непрерывность функции и ее дифференцируемость в
точке?
4. Напишите основные правила дифференцирования функции.
5. Напишите
формулы
дифференцирования
основных
элементарных
функций.
6. Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции.
7. Что называется дифференциалом функции?
8. Каков геометрический смысл дифференциала функции?
9. Перечислите основные свойства дифференциала функции.
10. Напишите формулу, позволяющую находить приближенное значение
функции при помощи ее дифференциала.
11. Как найти производную второго, третьего, n-го порядков?
Тема 3. Исследования поведения функции.
3. 1. Возрастание и убывание функции.
Определение 1. Если функция y  f x такова, что большему значению
аргумента x соответствует большее значение функции, то функция y  f x
называется возрастающей, т.е. если x1  x2 , то и f x1   f x2  .
Если же при x1  x2 f x1   f x2  , то функция f x  – убывающая.
Возрастание
и
убывание
функции
характеризуется
знаком
ее
производной. Сформулируем признаки строгого возрастания и убывания
функции.
Теорема. Если во всех точках некоторого промежутка f ' x   0 , то
функция y  f x возрастает в этом промежутке. Если же во всех точках
производная f ' x   0 , то функция y  f x убывает.
Пример.
Найти
интервалы
возрастания
и
убывания
функции
y  x 3  3x  5 .
Решение. Область определения  ; . Находим производную от
заданной функции y'  3x 2  3 .
Определяем, при каких значениях аргумента x производная y '  0 , и
при каких значениях аргумента x , производная y ' 0 .


3x 2  3  0 ; 3  x 2  1  0 , x 2  1  0
при x  1; x  1 .
и y ' 0 при  1  x  1 .
Отсюда, в промежутке от  ;1 – функция возрастает. В интервале
 1;1 функция убывает, а в промежутке 1; – наблюдается возрастание
функции.
3. 2. Экстремум функции (максимум и минимум функций)
Определение 1. Функция y  f x имеет максимум при x  x1 , если
имеет место неравенство f x1  x  f x1  при любых x (положительных или
отрицательных), достаточно малых по абсолютной величине.
Определение 2. Функция y  f x имеет минимум при x  x2 , если имеет
место неравенство f x2  x  f x2  при любых x (положительных или
отрицательных), достаточно малых по абсолютной величине.
На рис. 35 изображена функция, которая имеет в точке x1 максимум и в
точке x 2 минимум. Точки максимума и минимума функции называются
точками экстремума.
Рис. 35
Необходимое условие существования экстремума
Если функция f x  в точке x 0 имеет экстремум ( max или min ), то
производная f ' x0  равна нулю или не существует.
Точки, в которых производная равна нулю или не существует,
называются критическими. Не всякая критическая точка является точкой
экстремума.
При
установлении
критических
точек,
их
необходимо
исследовать.
Первое рабочее правило исследования функции на экстремум:
Пусть дана функция y  f x .
1. Находим производную функции y' f ' x .
2. Приравниваем её к нулю, т. е. y'  f ' x  0 , и находим критические точки.
3. Определяем знак производной y' f ' x слева и справа от каждой
критической точки.
Если при переходе аргумента x через критическую точку x 0 :
1) y ' меняет знак с «+» на «-», то x 0 есть точка max ;
2) y ' меняет знак с «-» на «+», то x 0 есть точка min ;
3) y ' не меняет знака, то в точке x 0 нет экстремума;
После этого анализа находим значение максимума и минимума.
Пример 1. Исследовать на экстремум функцию y  x 1  x 2 .
Решение. Согласно рабочему правилу:
1) находим производную
y'  1  x 2  x 
2) y ' 
и x2 
1  2x 2
1 x2
1
2
 2x
2 1 x2
 0 , 1  2 x 2  0 , x1, 2  
 1 x2 
1
2
x2
1 x2

1  2x 2
1 x2
;
, т. е. y ' обращается в нуль при x1  
1
2
, и не существует при x3, 4  1 . Но критическими точками являются
только x1 и x 2 : они лежат внутри области определения функции y , которая
представляет отрезок  1;1 и в них эта функция непрерывна, точки  1 и 1 не
критические, т. к. они лежат не внутри области определения функции y , а на
ее границах.
3) Исследуем каждую критическую точку

y'
x  0,9
В точке x1  
1
2
1  2x 2
1  x 2 x  0,9
0
;

y'
x0
1  2x 2
1 x2 x  0
0
.
функция имеет min . Определяем минимум функции:
min y
1
2
1  x 1 x
1 2 ;
x
x
2
2


x0

1  2x 2
 max ;
y'
 0

1  x 2 x  0,9 
x  0,9

0
y'
max y
x
2
1  x 1 x
2
1
1  2.
x
2
1. Делаем построение графика (рис. 36).
Рис. 36
Второе правило исследования функции на экстремум
Если x 0 – критическая точка функции y  f x и f ' ' x  существует и
f ' ' x0   0 , то в точке x 0 функция имеет экстремум, а именно, максимум, если
f ' ' x0   0 и минимум, если f ' ' x0   0 .
Пример 2. Исследовать на экстремум функцию y  x 3  2 x 2  x .
Определим y'  3x 2  4 x  1, затем, приравниваем y '  0 , 3x 2  4 x  1  0 .
1
3
Отсюда находим x1  ; x2  1 . Далее определим y ' ' : y ' '  6 x  4 ; вычисляем y ' '
в каждой критической точке.
y' '
1
x
3
 6 x  4 
1
x
3
 2  4  2  0 ,
1 2 1 4
max y
1

  
1 27 9 3 27 .
тогда x  является точкой максимума
x
3
3
 6 x  4
y' '
x 1
 2  0 min y
x 1
;
 1 2 1  0
x 1
.
В завершении сделаем графическую иллюстрацию проведенного анализа
(рис.37).
Рис. 37
3. 2. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
Определение 1. Кривая обращена выпуклостью вверх в интервале a; b ,
если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале
(рис. 38)
Рис. 38.
Определение 2. Кривая обращена выпуклостью вниз (вогнута) в
интервале a; b , если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на
этом интервале (рис. 39).
Рис. 39
Теорема. Если во всех точках интервала a; b вторая производная
функции
f x  отрицательна, т.е.
f ' ' x   0 , то кривая
y  f x  на этом
интервале выпукла, а если f ' x   0 во всех точках интервала a; b , то кривая
y  f x  вогнута на этом интервале.
Эта теорема позволяет находить интервалы выпуклости и вогнутости.
Пример. Пусть дана функция y  x 3 . Область определения  ; .
Находим y'  3x 2 ; y ' '  6 x ; находим, при каких значениях x y ' '  0 , и при каких
значениях x y ' '  0 ; y ' '  0 , если x  0 , и y ' '  0 , если x  0 . Следовательно, при
x  0 кривая y  x 3 выпукла, а при
x  0 – вогнута, т. е.  ;0 – выпукла,
0; – вогнута (рис. 40).
Рис. 40
Определение 3. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от
вогнутой, называется точкой перегиба.
Рис. 41
Точка A – точка перегиба (рис. 41).
Теорема. Пусть кривая определяется уравнением
y  f x  .
Если
f ' ' a   0 , или f ' ' a  не существует, и при переходе через значение x  a
производная f ' ' x  меняет знак, то точка кривой с абсциссой x  a есть точка
перегиба.
Зная эту теорему, мы можем легко находить точки перегиба кривой.
Пример. Найти точки перегиба графика функции y  3x 5  5x 4  4 .
Решение. Находим значения y ' и y ' ' . y'  15 x 4  20 x 3 , y' '  60 x 3  60 x 2 .
Приравниваем
y' '  0 ,
и
находим
x 2  x  1  0 , y ' '  0 в точках x1  0 ; x2  1 .
Исследуем найденные точки
критические
точки
60 x 3  60 x 2  0 ;




 60 x 3  60 x 2
y' '
x  1
y' '
1
x
2
 60 x 3  60 x 2
 0

x  1 

 знак y ' ' не меняет.
0
1

x

2
Следовательно, точка с абсциссой x  0 не является точкой перегиба.
Исследуем x2  1 .
y' '
y' '
1
x
2
0
;

 60 x 3  60 x 2
y' '
x2

0
x2
.
при переходе через x2  1 меняет знак. Следовательно, x2  1
является абсциссой точки перегиба кривой. Находим

 3x 5  5 x 4  4
y
x 1

 35 4  2
x 1
,
т. к. эта кривая непрерывна, то во всем интервале  ;1 она выпукла, а в
интервале 1; – вогнута.
3. 3. Асимптоты.
Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние
 от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в
бесконечность, стремится к нулю.
M x; y  – переменная точка кривой (рис.42).
Рис. 42
1. Вертикальные асимптоты.
Из определения асимптоты следует, что если
lim f  x    , или
x a 0
lim f  x    , или lim f  x    , то прямая x  a есть асимптота кривой и
x  a 0
xa
обратно, если прямая x  a есть асимптота, то выполняется одно из
написанных равенств.
2. Наклонные асимптоты.
Кривая y  f x имеет наклонную асимптоту, уравнение которой имеет
вид y  kx  b , если существуют пределы
k  lim
x  
f x 
 f x   kx,
; b  xlim
 
x
где k и b – коэффициенты.
Пример. Найти асимптоты кривой: f x  
Решение. Если
x2 1
  ,
x 2 0 x  2
lim
x2 1
.
x2
x2 1
  , то прямая является
x 20 x  2
lim
вертикальной асимптотой. Находим значения коэффициентов k и b :
k  lim
x 
f x 
x2 1
 lim
 1;
x  x x  2 
x
 x2 1 
x 2  1  x  2x
2x  1
b  lim  f x   kx  lim 
 x  lim
 lim
 2.
x 
x  x  2
x 
x


x2
x2


Итак,
y  x2
является наклонной асимптотой. Таким образом,
функция имеет вертикальную асимптоту x  2 и наклонную асимптоту
y  x  2.
Изобразим графически (рис. 43):
Рис. 43.
3. 4. Общий план исследования функции и построение графика.
1.
Найдем область определения функции.
2.
Исследуем функцию на непрерывность.
3.
Установим, является ли данная функция четной, нечетной.
4.
Найдем интервалы возрастания и убывания функции и точки
экстремума.
5.
Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее
перегиба.
6.
Найдем асимптоты кривой
7.
Строим график.
Пример. Исследовать функцию y 
2x  1
x  12
и построить ее график.
Решение. Реализуем указанную схему:
1. Функция определена при всех значениях аргумента x , кроме x  1.
2. Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на
всей области определения, т.е. на интервалах  ;1 и 1; .
3. Для установления четности и нечетности функции проверим
выполнимость, соответственно равенств
f  x  f x и
f  x   f x для
любых x и  x из области определения функции.
f  x  
 2x  1
x  1
2
;  f x   
2x  1
x  12
.
Следовательно, f  x  f x и f  x   f x , т.е. данная функция не
является ни четной, ни нечетной.
4. Для исследования функции на экстремум, найдем ее первую
производную.
2   x  1  2 x  1  2   x  1
2
y' 
y'  0
x  1
4

x
x  13
и приравняем ее к 0 , т. е.
при x  0 и y ' – не существует при x  1. Отсюда имеем две критические
точки: x1  0 ; x2  1 . Но точка x2  1 не принадлежит области определения
функции, поэтому экстремума в ней быть не может.
Разобьем числовую ось на три интеграла (рис. 44):
Рис. 44
В первом и третьем интервалах первые производные отрицательные,
следовательно, здесь функция убывает; во втором – положительные, и,
следовательно, данная функция возрастает. При переходе через точку x  0
значение первой производной меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому в
этой точке функция имеет минимум.
Это означает, что точка A0;1 есть точка минимума.
На рисунке 44 значками «+», «-» укажем интервалы знакопостоянства
производной, а стрелками – возрастание и убывание исследуемой функции.
5. Для определения точек перегиба функции и интервалов выпуклости
и вогнутости кривой, найдем значения второй производной.
y' '  
y' '
x  13  x  3  x  12
x  16

2x  1
x  1
4
1
2
; y ' '  0 при x   ;
– не существует при x  1. Разобьем числовую ось на три интервала (рис.
45):
Рис. 45
В первом интервале значение второй производной отрицательно, и дуга
исследуемой кривой будет выпуклой. На втором и третьем интервалах
значение второй производной при переходе через точку 1 меняет свой знак с
плюса на минус, во втором интервале мы имеем вогнутость, а в третьем –
выпуклость. Однако, в самой точке 1 функция не существует.
6. Исследуем точку x  1. Данная точка является точкой разрыва
функции второго рода, так как lim
x 1
2x  1
x  12
  . Поэтому прямая x  1 есть
вертикальная асимптота графика. Для определения уравнения наклонной
асимптоты воспользуемся формулами:
k  lim
x 
f x 
 f x   kx .
; b  lim
x 
x
Тогда
1
2x  1
x  0;
k  lim
 lim
x   x  12  x
x   x  12
2
b  lim
x 
При
вычислении
2x  1
x  1
2
2
 0.
x  2   x  1
 lim
последнего
предела
использовалось
правило
Лопиталя. Значит, прямая y  0 есть горизонтальная асимптота графика
исследуемой функции, представленного на рис. 46.
Рис. 46
Вопросы для экзамена
1.
Какая функция называется возрастающей, убывающей?
2.
Сформулируйте признаки возрастания и убывания функции.
3.
Какие точки называются критическими?
4.
Сформулируйте I-е рабочее правило исследования функции на
экстремум.
5.
Сформулируйте II-е рабочее правило исследования функции на
экстремум.
6.
Какая кривая называется выпуклой, вогнутой?
7.
Как найти интервалы выпуклости, вогнутости кривой?
8.
Сформулируйте достаточный признак существования точки перегиба
кривой.
9.
Что называется асимптотой кривой? Как найти вертикальные и
наклонные асимптоты?
10.
Назовите схему исследования функции и построения графика.
Тема 4 Неопределенный интеграл.
4.19. Понятие первообразной и неопределенного интеграла.
Известно, что в элементарной математике действию сложения
обратным является действие вычитание, умножению – деление, возведению в
степень – извлечение корня, логарифмированию – потенцирование.
В
курсе
высшей
математики
действию
дифференцирования
(нахождение производной функции) существует обратное действие –
интегрирование, т.е. по известной производной находят функцию.
Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для функции
f(x) на отрезке [a; в], если F'(x)=f(x) во всех точках этого отрезка.
Например, для функции у=3х 2 первообразной будет х³, т.е. (х³)'=3х².
Функции (х³+3), (х³-2),…,( х³+С) будут также является первообразными для
функции 3х².
Таким образом, если для функции f(x) существует первообразная, то
она не является единственной
Определение 2. Совокупность всех первообразных для данной функции
f(x) называется неопределенным интегралом от данной функции и
обозначается: ∫ f(x) dx,читается « интеграл эф от икс де икс ». В общем виде
решение интеграла ∫ f(x) dx запишится следующим образом ∫ f(x) dx=F(x)+C
где F(x) – первообразная функция, С – постоянная.
Определение 3. Действие нахождения первообразной для функции
называется интегрированием.
Пример. ∫ cos
x
x
x
x 1
x
dx=3sin +C, т.к. (3sin +C) / =3 ∙cos ∙ =cos
3
3
3
3 3
3
Основные свойства неопределенного интеграла
1. Постоянный множитель к можно выносить за знак и вносить под знак
интеграла: ∫ к∙f(x) dx=к∫f(x) dx.
2. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа
функции равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:
∫(f1 (x)±f2(x) ±…±fn(x)) dx=∫f1(x) dx±∫f2(x) dx±…±∫fn(x)dx.
3. Знак интеграла и дифференциала исключаю друг друга:
d∫f(x) dx=f(x) dx и ∫d(f(x))=f(x)+C.
Таблица основных интегралов
1.  dx  x  c.
2.  x n dx 
3. 
12.  ctgxdx  ln sin x  c.
x n 1
 c.
n 1
13. 
dx
1

 c.
n
n  1x n1
x
4.  dx   1  c.
2
x
x
5. dx  2 x  c.

14. 
dx
 ln x  c.
x
x
7.  a x dx  a  c.
15. 
x
1
arctg  c;

dx
a
16.  2 2   a
a x
 1 arcctg x  c.
 a
a
17.
ln a
8.  e x dx  e x  c.
9.  sin xdx   cos x  c.
dx
 ctgx  c.
sin 2 x
x

arcsin  c;

dx

a

2
2
a x
 arccos x  c.

a
x
6. 
dx
 tgx  c.
cos 2 x
18. 

dx
1 ax
 ln
 c.
2
2a a  x
a x
2
dx
x2  a2
19. 
 ln x  x 2  a 2  c.
dx
1 xa
 ln
 c.
2
2a x  a
x a
2
10.  cos xdx  sin x  c.
20.  dx  ln tg x  c.
sin x
2
21. dx  ln tg(   x )  c.

11.  tgxdx   ln cos x  c.
cos x
4
2
4.20. Методы интегрирования.
I. Метод непосредственного интегрирования. Он основан на применении
таблицы основных интегралов с использованием основных свойств.
Пример 1.  2 х 3 dx 
Пример 2.
dx
8 x
2

2 x 3
c
ln 2
1
22 2
ln
2 2x
2 2x
c
Пример 3.  3e 3 x dx   e ex d (3x)  e 3 x  c
II. Метод разложения. Этот метод основан на применении свойства 2 и
таблицы основных интегралов.
Пример 4.
1 x  x2
dx
dx
1
 1 1 
 x 2 dx    x 2  x  1dx   x 2   x   dx   x  ln x  x  c
III. Метод замены (подстановки) переменной.Если  f ( x )dx не табличный
и не сводится к нему простыми преобразованиями. Тогда под знаком
интеграла иногда удобно перейти к новой переменной. Введем подстановку:
х=φ(t),где φ(t) непрерывная функция вместе с непрерывной производной.
Тогда dx=φ'(t)dt, а  f ( x )dx   f  ( t ) ( t )dt . Если подстановка удачная, то
полученный интеграл можно будет найти, при этом возвращаемся к прежней
переменной «х».
Пример
x  t2
3dx
3  2tdt
2tdt
2 dt
d 2t  1
 dx  2tdt   2
 3
3 
 3
 3 ln 2t  1  c  3 ln 2 x  1  c

t ( 2t  1 )
2t  1
2t  1
2x  x
2t  t
t x
Пример 6.
5.
5x  1  t
10
 x5 x  1 dx  dt  5dx , dx 
x



dt
t  1 10 dt 1
1
10
11
10

t

 t  1t dt   t  t dt 
5
5
5 25
25
t 1
5
12
5 x  111   c
1  t 12 t 11 
1  5 x  1


   c 

25  12 11 
25  12
11 
IV. Метод интегрирования по частям. Из дифференциального
исчисления известно:
d(uv)=v du+u dv => u dv=d(u v)-v du.
Интегрируя последнее равенство, получаем формулу интегрирования
по частям
∫udv=uv-∫vdu.
(1)
Эта формула используется в тех случаях, когда подынтегральное
выражение
представляет
собой
произведение
одной
функции
на
дифференциал другой. При этом следует иметь в виду, что за u обозначается
та функция, которая дифференцированием упрощается, а за dv то выражение,
интеграл от которого легко берется.
Пример 7. ∫(х+3) sin x dx= u  x  3, du  dx
dv  sinxdx, v  -cosx
=(x+3) (-cos x)- ∫(-cos x) dx= -
(x+3) cos x+∫cos xdx=-(x+3) cos x+sin x+C.
dx
Пример 8. ∫ 2x arc tg x dx= u  arctgx , du  1  x2
dv  2 xdx , v  x2
=x² arc tgx-  x
2
dx =x²arc tgx 1  x2

x 2  1  1 dx=
x2  1
x² arc tgx-  dx+ 
dx =x²
x 1
2
arc tgx − x+arc tgx+С.
Замечание 1. Можно применять формулу (1) несколько раз, пока не
возьмем интеграл.
Замечание 2. Существуют интегралы от произведения таких функций,
которые дифференцированием не упрощаются.
Пример 9. ∫е sin x dx= u  
x
, du   x dx
dv  sin xdx, v  -cosx
=-  x cos x+∫  x cosx dx=
u   x , du   x dx
=-  x cos x+  x sin x-∫  x sin x dx.
dv  cos xdx , v  sinx
Итак: ∫  x sin x dx=-  x cos x+  x sin x-∫  x sin x dx. В этом случае,
интеграл, стоящий в правой части равенства, переносится в левую и
суммируется.
В
результате
после
упрощения
получаем
следующее
выражение:
2∫  x sin x dx =  x (sin x-cos x).
Окончательно имеем следующее решение: ∫  x sin x dx=
x
(sin x-cos x)+C.
2
4.21. Интегрирование простейших рациональных дробей.
Определение. Дроби вида: 1.
A
A
Mx  N
Mx  N
; 2.
; 3. 2
; 4. 2
,
k
xa
x  px  q
( x  px  q) m
( x  a)
где k и m- натуральные числа, k и m > 2, M, N-действительные числа и
p2
 q0 , называют простейшими рациональными дробями. Интегралы от
4
рациональных дробей
вида 1 и 2 берутся по таблице; вида3 -методами
подстановки и разложения, после выделения полного квадрата в знаменателе;
вида 4- рассматривать не будем, в виду их малого использования.
1. ∫
2. ∫
3. ∫
A
dx= A ln|x-a|+C.
xa
A
A
C.
dx=
k
(1  k )( x  a) k 1
( x  a)
Mx  N
dx= 
x  px  q
2
Mx  N
dx= 
p
p2 p2
2
x 2 x

q
2
4
4
p
t
2
MX  N
dx=
p
p 2
p2
xt
( x  )  (q 
)
2
2
4
dx  dt
p2
q
 a2
4
x
=
=
M
2
p
) N
2
dx
t 2  a2
M (t 
t

=
p
N
2
dx
t 2  a2
Mt  M
Mp
(N 
)dt
=  Mtdt  
2
2
2
2
2
t a
t a
2tdt
Mp
dt
M
Mp 1
t
= ln t 2  a 2  ( N  )  arctg =
 (N 
) 2
2
2
2
2
2
a
a
a
t a
2
M
MP
2
2x  p
ln x 2  px  q  ( N 
)
arctg
C
2
2
2
4q  p
4q  p 2
Пример 1.
3dx
 x  1
5

3
4 x  1
4
c
Пример
2.
1
t
 1
2 t    3
2
2x  3
2x  3
2x  3
2t  2
2
dx  
dx  
 dx  dt   
dt  
dt 
 2
2
1
1
1
11
11
x  x3
2
2
2
1
11


x  2 x    3
t 
t 
1
x  
2
4 4
4
4
xt
2
4

2
x
2tdt
dt
11
1
t
1
11
4
2x  1

 2
 ln t 2 
 2
arctg
 c  ln  x   

arctg
 c.
11
11
4
2
4
11
11
11
11
2
2

t 
t 
4
4
4
4
2

4.22. Интегрирование рациональных дробей
Всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной
дроби, т.е. в виде отношений двух многочленов:
Pn ( x)
A0 x n  A1 x n 1  A2 x n  2  ...  An

,
Qm ( x) B0 x n  B1 x m 1  B2 x m 2  ...  Bm
(1)
многочлены Рn(х) и Qm(x), которые не имеют общих корней.
Если n≥m, то рациональная дробь (1) называется неправильной; если
n<m, то дробь (1) называется правильной.
Всякую неправильную дробь можно подставить в виде суммы целой
степенной функции и правильной дроби путем деления Pn(Х) на Qm(Х):
Pn ( x)
R ( x)
 C nm  k
Gm ( x )
Qm ( x)
Пример 1. Неправильную рациональную дробь, согласно сказанному выше,
представим в виде
Данное равенство получается простым делением («столбиком»)
Рассмотрим вопрос об интегрировании правильной интегральной
рациональной дроби (1), которая разлагается на множители: Qm(x)=(x-a) (x-в)
… (x²+p 1 x+q 1 )…(x²+p s x+q s ).
Из курса алгебры известно, что дробь (1) равна сумме простейших
дробей вида
B
B 1
Pn  x 
A
A 1
A  2
A
B



 ...  1 

 ...  1 


1

2


1
Qm  x   x  a 
x  a x  b 
xb
x  a 
x  a 
x  b 

M x  Ns
M 1 x  N1
 ...  2 s
,
2
x  p1 x  q
x  ps x  qs
где An, Aα-1, …, A1,…,Bβ,Bβ-1, …, B1, M1, N1, M2, N2,…, Ns – неопределенные
коэффициенты, которые находятся методом неопределенных коэффициентов
Применение его рассмотрим на примерах.
Пример 2. Найти решение интеграла вида
Решение.
Знаменатель
дроби
x
3
x2
dx
 3x 2  2 x
х³-3х²+2х=х(х²-3х+2)
Для
квадратного
уравнения, заключенного в скобки, применим теорему Виета. В результате
знаменатель дроби запишется х(х-1)(х-2), Дробь
x2
x2

.
2
x  3x  2 x xx  1x  2
3
Далее рассматриваемую дробь запишем в виде простейших дробей и
определим неизвестные коэффициенты, стоящие в числителе.
x2
A
B
C
A x  1 x  2  Bx x  2  Cx  x  1
 


.
2
x x  1 x  2
x  3x  2 x x x  1  x  2
x  2  A x  1 x  2  Bx x  2  Cx  x  1
при x1  0 : 2  2 A, A  1,
3
при x 2  1 : 3  -B, B  -3,
при x 3  2 : 4  2C, C  2.
x2
3
2 
x x  2 
1
dx    

 c.
dx  ln x  3 ln x  1  2 ln x  2  c  ln
 3
2
x  3x  2 x
x  13
 x x 1 x  2 
2
(3x  5)dx

Ax  B

Пример 3. Найти:
ax 2  bx  c
dx
dx Выделяем из квадратного трехчлена полный квадрат.
9  6 x  3x 2



 

9  6 x  3x 2  3( x 2  2 x  3)  3 x 2  2 x  1  4  3 x  1  4  3 4  x  1 , тогда
(3x  5)dx

9  6 x  3x

2
(3x  5)dx

3 4  x  1
2


1

3
3z  2dx
4  z2
2
2
.
Вводим новую переменную х-1=z, dx=dx, x=1+z (*)
Разложим полученный интеграл на два интеграла (*)
3

3
z
4  z2
 3 2

4  z2
2 3

2
dx

3


1
2

4  z2
2
arcsin
3

3
2 3
 4  z  d (4  z
1
2 2
2
)
2

3
dx
4  z2

z
3
2
z
c  
4  z2 
arcsin  c
2
2
3
3
(Первый интеграл приведен к формуле (2), а второй брали по формуле (13).
Возвращаясь

3
3
4  ( x  1) 2 
к
2
3
arcsin
старой
переменной
получим
x 1
3
2
x 1
c  
3  x 2  2x 
arcsin
c
2
2
3
3
4.23. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
1. Рассмотрим решение интеграла вида ∫ R(sinx, cosx) dx.
x
2
Такой интеграл берется при помощи универсальной подстановки tg  t ,
которая исходный интеграл преобразует в интеграл от рациональной
функции.
tg
x
2t
1 t2
2dt
.
 t  sin x 
;
cos
x

; dx 
2
2
2
1 t2
1 t
1 t
dx
Пример 1. Найти 
cos x  sin x
Решение.

dx

cos x  sin x
x
x
 t ,  arctgt
2
2
2dt
2dt
2dt
2dt
dt
1 t2
x  2arctgt , dx 



 2 2

2
2
2
2
1 t
1 t
2t
1  t  2t
t  2t  1
2 1  t  2t

1 t 
1 t2 1 t2
1 t2
2t
1 t2
sin x 
,
cosx

1 t2
1 t2
tg


x
tg  1  2
dt
dt
1
t 1 2
1
 2 2
 2
 2 
ln
c 
ln 2
c
2
t  2t  1  1  1
t  1  2
2 2 t 1 2
2 tg x  1  2
2
2. Если подынтегральная функция зависит толькo от tg x, то вводится
замена переменной tg x=t, dx=
dt
приводит этот интеграл к интегралу от
1 t2
рациональной функции т.е. ∫R(tg x) dx=∫R(t)
Пример:
dt
1 t2
tgx  t
dt
t 
t4 t2 1
 3
5
tg
xdx

x

arctgt

t


t

t

dt

  ln t 2  1  c 




2
2
4 2 2
1 t
t  1

dt
dx 
1 t2
5
2
1
1
1
 tg 4 x  tg 2 x  ln tg x  1  c
4
2
2
3. Если подынтегральная функция имеет вид R(sin x, Cos x), но sin x и
cos x входят только в четных степенях, то применяется та же подстановка
tgx=t, т.к. sin 2 x, cos 2 x выражаются рационально через tg x:
tg 2 x
t2
dt
1
1

sin x 

; cos 2 x 
; dx 
.
2
2
2
2
1 t2
1  tg x 1  t
1  tg x 1  t
2
После подстановки этих выражений получаем интеграл от рациональной
функции.
Примеp.
tgx  t , x  arctgt
dt
dx
1
(1  t 2 )dt
dt
dx
2
1  t2 

cos
x



2
2
2
2
 2  cos x


1
1 t
(2t  1)(1  t )
1  2t
1  2t
2
dt
1  t2
dx 
1  t2
1
1

arctg 2t  C 
arctg 2tgx  C
2
2
 
 

2


2. Рассмотрим решение интеграла вида ∫ sinm x cosn x dx.
а) Если хотя бы одно из чисел m или n нечетное положительное число, то
отделяя от четной степени один сомножитель sinx или cosx, обозначим
кофункцию отделенной функции через новую переменную t. Здесь удобнее
пользоваться равенством sin²x+cos²x=1.
Пример. Найти
Решение.

sin 3 x
dx
cos x
cos x  t
 sin xdx  dt
sin x
sin x sin x
dx  
dx 

sin xdx  dt
cos x
cos x
3
2

sin x  1  cos x  1  t
2
 
1
t  2 dt

3
t 2 dt

1
2t 2
2
1  t  dt   
2
t
 1

 t t dt 
t



2
5
2
2
2
 t 2  2 t  t 2 t   cos x  cos 2 x cos x  C
5
5
5
б) Если m и n – четные не отрицательные числа, то интеграл сводится к
табличному при помощи формул, понижающих степень, т.е. cos²x=
(1+cos2x); sin²x=
Пример. ∫ cos²
1
2
1
1
(1-cos2x); sinx cosx= sin2x.
2
2
x
1
1
1
1
1
dx= ∫ (1+cos x) dx= ∫dx+ ∫cos x dx= x+ sin x+C.
2
2
2
2
2
2
в) Если оба показателя четные, причем один из них отрицательный, следует
производить замену переменных tg x=t (или ctg x=t), x  arctgt
Пример.
tgx  t , x  arctgx  t
dt
dx 
t2
dt
1 t2
2
2
sin xdx
1  t 1  t 2  t 2 1  t 2 dt 
2
2


tg
x
t



3
sin 2 x 

cos 6 x
 1 
2
2
1  tg x 1  t

2 
1  t 
1
1
cos 2 x 

2
1 t x 1 t2
1
1
1
1
  t 2 dt   t 4 dt  t 3  t 5  C  tg 3 x  tg 5 x  C
3
5
3
5

3.

Рассмотрим решение интегралов вида: ∫сosαx∙cosβx dx, ∫sinαx∙ cosβx dx,
∫sinαx∙sinβxdx. Вычисляется при помощи следующих формул:
cosαx∙cosβx=
sinαx∙sinβx=
1
[cos(α-β)x+cos(α+β)x]
2
1
[cos(α-β)x-cos(α+β)x]
2
sinαx ∙sinβx=
1
[sin(α-β)x+sin(α+β)x]
2
Пример. ∫ cos 5x sin 7x dx=
dx +
1
1
∫ [sin (5-7)x+sin (5+7)x] dx= ∫ sin (-2x)
2
2
1
1
1
1
1
∫sin(12x) dx= - ∫ sin 2x dx+ ∫sin 12x dx= cos 2x cos 12x+C.
24
2
2
2
4
Вопросы для экзамена
1. Сформулируйте определение первообразной.
2. Что называется неопределенным интегралом от данной функции?
3. Назовите основные свойства неопределенного интеграла.
4. Напишите формулы таблицы основных интегралов.
5. В чем сущность метода интегрирования заменой переменной?
6. Напишите формулу метода интегрирования по частям.
Тема 5 Определенный интеграл.
/5/, т.1, гл. ХI, § 1-4; упр. 6-18; § 5, 6 упр. 19-25; § 7 упр. 29-41; гл. ХII, §
1-2, упр. 1-4, 6-11, 13-15; §4-5, упр. 19, 20, 23, 25, 27, 28.
Определенный интеграл.
Пусть на отрезке [a; в] заданна
функция
у=f(x)
–
непрерывная.
Разобьем отрезок [a; в] на «n» частей
точками деления а=х0, х1, х2, … , хn-1,
хn=в, где х0<х1<х2<…<хn . Положим
Рис. 47
х1-х0=∆х1, х2-х1=∆х2, … , хn- хn-1= ∆хn
(см. рис. 47).
В каждом из отрезков [x0; x1], [х0; х2] … [хn-1; xn] выбираем произвольно
по точке, которые обозначим через ζ1, ζ2, … , ζn, где х0< ζ1 <х1; х1 < ζ2
<х2,…,хn-1 < ζn <xn. В каждой из этих точек вычислим значение функции f(ζ1),
f(ζ2),…,(ζn).
Составим сумму
n
Sn=(ζ1)∆x1+ f(ζ2)∆x2+…+ f(ζn)∆xn=  f ( i )xi
… (1)
i 1
Эта сумма называется интегральной суммой для функции f(x) на
отрезке [a; в]. Обозначим теперь через max[хi-1, xi] наибольшую из длин
отрезков [х0; х1], [х1; х2],…,[хn-1;xn ].
Рассмотрим различные способы разбиения отрезка [a; в] на отрезки [xi1,
xi] такие, что max [xi-1, xi]→0. Очевидно, что при этом число отрезков «n» в
разбиении → ∞. Для каждого разбиения, выбрав соответствующее значение
ζi, составим интегральную сумму
n
 f ( )x
i 1
i
i
. Таким образом, можно говорить
о последовательности разбиений и соответствующей последовательности
интегральных сумм. При этом оказывается, что все эти различные
интегральные суммы при неограниченном возрастании «n» и при max [xi-1, x
i]
 0 имеют один общий предел, который
называется определенным
интегралом.
Определение. Если при любых разбиениях отрезка [a; в] таких, что
∆хi→0 и при любом выборе точек ζi на отрезках [хi-1, хi] интегральная сумма
n
sn=  f ( i )xi стремится к одному и тому же пределу S, то этот предел
i 1
называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a; в] и
b
обозначают:  f ( x)dx .
a
Таким образом, по определению:
n
lim
max xi 0
b
 f ( i )xi   f ( x)dx,
i 1
(2)
a
где а – нижний предел интегрирования, b– верхний предел интегрирования, х
– переменная интегрирования, [a;b] – отрезок интегрирования.
Если построить график подынтегральной функции y=f(x), то в случае
f(x)  0
b
интеграл  f ( x)dx будет численно равен площади криволинейной
a
трапеции, т.е. фигуры, ограниченной линиями y=f(x), х=а, х=b, у=0
Рис. 48
Замечание. Определенный интеграл зависит только от вида функции f(x)
и пределов интегрирования, но не зависит от переменной интегрирования,
которую можно обозначить любой другой буквой. Поэтому, не изменяя
величины определенного интеграла, мы можем заменить переменную х на
любую другую переменную.
b

a
b
b
a
a
f x dx   f t dt  ...   f z dz
4.25. Основные свойства определенного интеграла
1. Постоянный множитель
можно выносить за знак определенного
интеграла: если к – const, то
b
b
a
a
 Kf xdx  K  f ( x)dx
2. Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций
равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:
b
b
b
a
a
a
  f ( x)   ( x)dx   f ( x)dx    ( x)dx
3. При перемене пределов интегрирования, определенный интеграл
меняет знак на обратный, т.е.
b

a
f ( x)dx    f ( x)dx
a
b
4. Если нижний предел а совпадает с верхним пределом в, а=в, то
a
 f ( x)dx  0
a
5. Если f(x)≤φ(x) на отрезке [a; в] и (a<в), то
b
b
a
a
 f ( x)dx    ( x)dx
6. Если «m» и «М» - наименьшее и наибольшее значение функции f(x) на
отрезке [a; в] и а≤в, то выполняется следующее:
b
m(b  a)   f ( x)dx  M (b  a)
a
7. (Теорема о среднем). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; в], то
на этом отрезке найдется такая точка ζ, что справедливо следующее
равенство:
b
 f ( x)dx  (b  a) f ( )
a
8. Для любых трех чисел а, в, с, справедливо равенство:
b

a
c
b
a
c
f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx ,
если только все эти три интеграла существуют.
4.26. Вычисление определенного интеграла.
1. Вычисление определенного интеграла производится по формуле
Ньютона – Лейбница:
b

f ( x)dx  F ( x)
b
a
 F (b)  F (a)
a
где F(x) – первообразная для f(x) т.е. F'(x)=f(x).
x
2
Пример 1. Вычислить  (4 x 2  e 2 )dx
0
Решение. Применяя формулу Ньютона – Лейбница и свойства определенного
интеграла, получаем:
x
2
2 x
2 x
 2

x3 2
x3
 x
2
2
2


  4 x  e dx  4 x dx   e dx  4   2 e 2 d    4
3 0
3
2
0
0
0
0

4
26
2
  8  0  2e  2 
 2e  8  2e
3
3
3
2
b
b
a
a
2. Интегрирование по частям:  udV  uV
2
 2e
0
x 2
2

0
b
  vdu .
a
1
Пример 2. Вычислить  хе х dx
0
Решение. Применим метод решения интеграла по частям.
xu
1
x
 x  e dx 
0
e x dx  dv
dx  du
v   e x dx  e x ;
  xe x
1
0
 e x
1
  xe x
1
0
1
1
0
0
   e x dx    xe x
1
  e x dx 
0
 e1  e1  1  1  2e1
0
3. Замена переменной в определенном интеграле
Для вычисления многих определенных интегралов полезно заменять
переменную интегрирования. При этом, если определенный интеграл
b
 f ( x)dx
a
преобразуется при помощи подстановки х=φ(t) [или t=Ψ(x)] в другой
интеграл с новой переменной интегрирования t, то старые пределы х1=а и
х2=в – необходима заменить новым t1=α; t 2 =β, которые определяются из
исходной подстановки, т.е. из уравнений а=φ(α), в=φ(β) или α=Ψ(а), β=Ψ(в).
Если  '(t) непрерывна на отрезке [α; β], то имеем
b


a


 f ( x)dx   f ( (t ))   (t )dt   F (t )dt
Пример 3. Вычислить
2x  3
11

2
3
2 x  5
2
dx
 23 2 x  5  4
Решение. Пусть 3 2 x  5  t , тогда 2х+5=t³; 2dx=3t²dt; dx 
3 2
t dt
2
Определим пределы интегрирования для t. При х=-2 получаем t=1. при х=11,
имеем
2x  3
11

2 x  5
t
 2t  4 ) 
2

3
dx  
1
 23 2 x  5  4
 23
2
Тогда
t=3.
t
3

3
 5  3  t 2 dt
3 3 t 3  8  t 2 dt
2
  2
(т.к. t 3  8  (t  2) 
2
2 1 t  2t  4
t  2t  4
33
33 3
3 t4
2


t

2
t
dt

t
dt




21
21
2 4

3
 t3
1
3
1


3  81 3
  27  1  4
24 8
4.27. Несобственные интегралы
а) Несобственные интегралы 1-го рода.
Это интегралы с бесконечными пределами. Несобственный интеграл от
функции f(x) в пределах от а до +∞ определяется равенством:

b
 f ( x)dx  lim  f ( x)dx
b 
a
(1)
a
Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл
существует, или говорят, что он сходится. Если же этот предел не
существует, то
несобственный интеграл не существует, или говорят
расходится. Аналогично.
b


b
f ( x)dx  lim
a 
 f ( x)dx
a
(2)



c

f ( x)dx 

f ( x)dx 

 f ( x)dx
(3)
c
где С – произвольное действительное число.
В последнем случае несобственный интеграл, стоящий в левой части
равенства (3) будет сходящимся, если сходятся оба интеграла правой части.

b
b
0
0
0
Пример 1.  cos xdx  lim  cos xdx  lim sin x 
b 
b 
 lim sin b  sin 0  lim sin b
b 
–
предел
не
существует.
Следовательно,
b 
несобственный интеграл расходится.
1
1
1
Пример 2.  dx  lim  dx  lim   1   lim 1  1   1
2
2
x  a a  a 
a  a x
a  
 x
Интеграл сходится.
Пример
3.

0

b
0
b
dx
dx
dx
dx 
 0 dx









arc
tg
x

arc
tg
x



lim
lim
lim




2
2
2
2
2
a    a 1  x
a  
b 
 1  x
 1  x
0 1 x
01 x 
a
0

  
 lim arc tg 0  arc tga   lim arc tgb  arc tg 0  lim  arc tga   lim arc tgb       
a  
b 
a  
b 
 2 2
Интеграл сходится.
б) Несобственные интегралы 2-го рода.
Это интегралы от разрывных функций. Интеграл
c
 f ( x)dx
от функции
a
f(x), разрывной в точке С, определяется следующим образом:
c 
c

a
f ( x)dx  lim
 0
 f ( x)dx
(4)
a
Если предел, стоящий в правой части равенства (4) существует и
конечен, то данный несобственный интеграл существует или сходится. В
противном случае интеграл называется расходящимся.
Если функция f(x) имеет разрыв в левом конце отрезка[a; c], (т.е. при
х=а), то по определению
c
c

f ( x)dx  lim
 f ( x)dx
(5)
 0 a 
a
Если функция f(x) имеет разрыв в точке С, а<с<в, то полагают, что
b
c
b
a
a
c
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx .
(6)
Если оба несобственных интеграла, стоящие в правой части равенства
(6), существуют (сходятся), то данный несобственный интеграл существует
(сходится). Если хотя бы один из интегралов правой части не существует
(расходится), то данный интеграл – расходится.
1
dx
. Здесь при х=0 подынтегральная функция имеет бесконечный
x
0
Пример 1. 
разрыв.
Согласно
равенству
(1)
запишем:
1
1
1
dx
dx




ln
x
 lim ln1  ln 0      .
lim 
lim

 0 0   x
 0
 0
0 x
0 
Этот несобственный интеграл расходится.
Приме 2.
2

0
dx
(x  1) 2
3
1
Подынтегральная функция
3
имеет бесконечный разрыв при х=1, т.е.
( x  1)
2
в точке, принадлежащей интервалу интегрирования. Тогда, согласно
определению (см. формулу 6), запишем:
2

dx
03
( x  1) 2
1

03
2
2
dx

( x  1) 2
2
3

13
( x  1) 2
 lim  ( x  1) dx  lim 33 x  1
 0 1
 0
1
dx
1 1
0
 lim 
 0 0 3
( x  1) 2
 lim 33 x  1
 0
2
dx
2
1
 lim 
 0 1 3

dx
( x  1) 2
1

2
3
 lim  ( x  1) dx 
 0 0



 3 lim 3 1    1  3 1  3 lim 3 1  3 1    1 
 0
 0
 3(0  1)  3(1  0)  6 - интеграл ñõîäèòñÿ.
Замечание. Если функция f(x), определенная на отрезке [a;в], имеет
внутри этого отрезка конечное число точек разрыва С 1 , С 2 , …, С n , то
интегралы от функции f(x) на отрезке [a; в] определяется следующей
формулой:
b

a
c1
c2
b
a
c1
cn
f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx  ...   f ( x)dx
При этом, если каждый из интегралов правой части равенства сходится,
то и данный интеграл сходится. Если же хотя бы один из интегралов правой
части равенства расходится, то данный интеграл является расходящимся.
4.28. Приложение определенного интеграла.
1) Вычисление площадей плоских фигур.
1. Если на отрезке [a;в] функция f(x)>0 то, как известно, площадь
криволинейной трапеции, ограниченной кривой у=f(x), ось Ох и прямыми
х=а, х=в равна (рис. 49)
b
S   f ( x)dx
(1)
a
Рис. 49
Если f(x)≤0 на отрезке [a;в], то определенный интеграл
b
 f xdx
также
a
меньше или равен 0. По абсолютной величине он равен площади S
соответствующей криволинейной трапеции
b
S=  f x dx
a
Если функция f(x) меняет знак на отрезке [a; в] конечное число раз,то
интеграл по всему отрезку [a; в] разбивается на сумму интегралов по
частичным отрезкам. Интеграл будет положителен на тех отрезках, где
f(x)≥0, и отрицателен там, где f(x)  0.
Интеграл
по
всему
отрезку
дает
разность площадей, лежащих выше и
ниже оси Ох (рис. 50). Для того, чтобы
получить сумму площадей, в обычном
Рис. 50
случае,
нужно
найти
сумму
абсолютных значений интегралов по
указанным выше отрезкам.
Если нужно вычислить площадь, ограниченную кривыми у=f 1 (х),
y=f 2 (х) и ординатами х=а, х=в, то при условии, что f 1 (x) ≤ f 2 (x) будем иметь
(рис. 51)
b
b
b
a
a
a
S   f 2 ( x)dx   f1 ( x)dx    f 2 ( x)  f1 ( x)dx
(2)
Рис.51
Пример. Вычислить площадь, ограниченную линиями у=х²; у=2-х².
Решение. Построим эту фигуру. Найдем точки пересечения этих парабол.
 y  x 2
Для этого решим систему уравнений: 
 y  2  x 2
Отсюда х²=2-х²; 2х²=2; х²=1; х 1 =-1; х 2 =1. Данная
фигура симметрична оси Оу. Следовательно, мы
можем вычислить площадь одной части фигуры и
потом умножить ее на 2. Таким образом, получим
1
1
1
1
1
4
S  2 (2  x 2  x 2 )dx  2 (2  2 x 2 )dx  4 dx  4 x 2dx  4 x  x3
3
0
0
0
0
0
1
 4
0
4 8
2
 2
3 3
3
(кв. ед.)
2. Вычислим теперь площадь криволинейной трапеции, ограниченной
кривой, заданной уравнениями в параметрической форме (рис. 52)
при α≤t≤β и
φ(α)=а; φ(β)=в
Рис.52
(3)
Пусть уравнение (3) определяет некоторую функцию у=f(x) на отрезке
[a;в]. Тогда, площадь криволинейной трапеции может быть вычислена по
b
b
a
a
формуле S=  f x dx =  уdx .
Сделаем замену переменной в зтом интеграле x   (t ), dx   (t)dt . На
основании уравнений (3) получим: y  f ( x) ( y)   (t ) . Следовательно,

 (t ) (t )dt (4)

Это и есть формула для вычисления площади криволинейной трапеции,
ограниченной кривой, заданной параметрически.
Пример.
Вычислить
площадь
фигуры,
ограниченной
плоской
одной
аркой
 x  2(t  sin t ),
циклоиды 
и осью ох.
y

2
(
1

cos
t
).

Решение.
Находим
пределы
интегрирования при х=0, получаем
0  2t  2 sin t. следовательно, t1  0 при x  2R
 4 , где R  2, полдучаем 4  2t  sin t.
Справедливо при t  2 . Следовательно, t2  2 ; dx  2(1 - cost)dt.
2
2
2
2
2
2

S   2(1  cos t )  2(1  cos t )dt  4  (1  cos t ) 2 dt  4  (1  2 cos t  cos 2 t )dt  4  dt  2  cos tdt   cos 2 tdt 
0
0
0
0
0
0

 (4t  8 sin t )
2
2
4
0
0
2
2
2

1  cos t
dt  8  2  dt   cos tdt   8  2t  sin t   8  4  12 (кв.ед.)
2
0
0
0

3. Пусть в полярной системе координат имеет кривую, заданную уравнением
  f ( ), где f ( )  непрерывная функция при      .
Площадь
криволинейного
сектора,
ограниченного кривой, заданных в полярных
координатах уравнением   f ( ) и двумя
полярными ра
Рис.53

диусами:   t1 ,   t 2 (   ) выражается интегралом: S  1   2 d (5)
2
Пример. Вычислить площадь, ограниченную кардиоидой  =а(1+cos  ).
Решение. Кардиоида симметрична относительно полярной оси. Поэтому
искомая площадь равна удвоенной площади криволинейного сектора ОАВ.
Дуга АВО описывается концом полярного
радиуса  при изменении полярного угла φ
от 0 до  . Поэтому согласно формуле (5):



1
1


2
S  2  p 2 d  a 2  1  cos   d  a 2  (1  2 cos   cos 2  )d  a 2   d  2  cos d   (1  cos 2 )d  
20
2
0

0
0
0


 
1  1
1
1


 a 2    2 sin     sin 2   a 2    2 sin   sin 2  0  2 sin 0  sin 0  
2
4
4
4


0
0
0
 0

3
 a 2 (  )  a 2 (кв.ед.)
2
2
2) Вычисление объемов тел вращения.
Если
криволинейная
трапеция
аАВв,
ограниченная кривой у=f(х) и прямыми у=0, х=а,
х=в, вращается вокруг оси Ох (рис. 54), то объем
Рис.54
тела вращения вычисляется по формуле:
b
Vox    y 2 dx
(6)
a
Если тело образуется при вращении фигуры вокруг оси Оу, ограниченной
кривой х= φ(у), осью Оу и двумя прямыми у=с и у=d (рис. 55), то объем тела
вращения будет вычисляться по формуле:
d
Voy    x 2 dy
c
Рис. 55
(7)
Если фигура, ограниченная кривыми у 1 =f 1 (х) и y 2 =f 2 (x) (0≤f 1 (x)≤f 2 (x)) и
прямыми х=а и х=в вращается вокруг оси Ох, то объем тела вращения
определяется по формуле:
b
V x =   ( y 22  y12 )dx
(8)
a
Пример: Вычислим объем тела , образованного вращением фигуры,
вокруг оси Ох, ограниченной линиями у²=2рх и х=а (рис. 56).
Решение.
b
b
x2
Vx    y dx    2 pxdx  2 p
2
a
a
a
2
куб . ед.
 pa 2
0
Рис.56
Пример. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры,
вокруг оси Ох, ограниченной линиями у=х² и у²=х (рис. 57).
Решение. Найдем точки пересечения парабол у=х² и у²=х.
y2  x
Для этого решим систему уравнений 
 y  x 2
y  x
или 
,
2
 y  x
отсюда х1=0; х2=1.
Согласно формуле (8), найдем
1
Vx   
0


2


5
 x   x  dx    ( x  x )dx    xdx   x dx   x2
2
2 2
1
4
0

3

10
1
1
0
0
4
2 1
0

x5
5
(куб. ед.)
Вопросы для экзамена
1. Дайте определение интеграла и укажите его геометрический смысл.
2. Доказать основные свойства определенного интеграла:
а) постоянный множитель можно выносить за знак определенного
интеграла;
1
0

б) определенный интеграл от суммы нескольких функций равен
алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций.
3. Выведите формулу Ньютона – Лейбница.
4. Запишите формулы интегрирования по частям для определенного
интеграла.
5. Какая особенность заключается в применении метода замены переменной в
определенном интеграле.
6. Дайте определение несобственного интеграла 1-го рода.
7. Дайте определение несобственного интеграла 2-го рода.
8. Как вычисляется площадь плоской фигуры с помощью определенного
интеграла?
а)
когда
кривая,
ограничивающая
фигуру,
задана
уравнением
в
прямоугольной системе координат?
б) кривая задана параметрическими уравнениями?
в) кривая заданная уравнением в полярной системе координат?
9. Какие формулы для вычисления объемов тел вращения применяются и
когда?
Контрольная работа. №1
В задачах 1-20 решить систему уравнений:1) по формулам Крамера,
2) с помощью обратной матрицы,3) методом Гаусса.
1.
 x  y  3z  0

3x  2 y  2 z  1
 x  y  5 z  2

2 x  3 y  z  1

2.  x  y  4 z  0
4 x  5 y  3z  1

3x  2 y  z  5

3.  x  3 y  2 z  2
5 x  2 y  4 z  7

 x  4 y  2 z  5

4. 4 x  y  3z  3
2 x  3 y  4 z  1

2 x  4 y  3z  2

5.  x  y  2 z  0
3x  2 y  z  5

 x  2 y  3z  1

6. 2 x  3 y  z  7
4 x  y  2 z  0

3x  y  4 z  2
7.  x  2 y  3z  7
5 x  3 y  2 z  8

3x  3 y  2 z  4
8. 2 x  y  3z  1
x  2 y  5z  1

4 x  y  3z  1
9. 3x  2 y  4 z  8
2 x  2 y  4 z  0

2 x  y  3z  1
10.  x  2 y  5 z  9
4 x  3 y  2 z  4

5 x  8 y  z  7
11.  x  2 y  3z  1
2 x  3 y  2 z  9

x  2 y  z  4
12. 3x  5 y  3z  1
2 x  7 y  z  8

3x  2 y  z  5
13. 2 x  3 y  z  1
2 x  y  3z  11

 x  2 y  4 z  31
14. 5 x  y  2 z  29
3x  y  z  10

4 x  3 y  2 z  9
15. 2 x  5 y  3z  4
5 x  6 y  2 z  18

2 x  y  z  4
16. 3x  4 y  2 z  11
3x  2 y  4 z  11

 x  y  2 z  1
17. 2 x  y  2 z  4
4 x  y  4 z  2

3x  y  z  4
18.  x  y  z  6
2 x  y  z  1

 x  2 y  3z  6

19. 2 x  3 y  4 z  16
3x  2 y  5 z  12

11x  3 y  z  2

20. 2 x  5 y  5 z  0
x  y  z  2

В задачах 21-40 даны координаты вершин треугольника ABC. Найти: 1)
длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые
коэффициенты; 3) угол В в радианах с точностью до двух знаков; 4)
уравнение высоты СД и ее длину; 5) уравнение окружности, для которой СД
- диаметр; 6) уравнение медианы АF и координаты точки К пересечения этой
медианы с высотой СД; 7) уравнение прямой, проходящей через точку К
параллельно стороне АВ; 8) координаты точки М, расположенной
симметрично точке А относительно прямой СД.
21. А(-8; -3), В(4;-12), С(8; 10).
22. А(-5; 7), В(7; -2), С(11; 20).
23. А(-12; -1), В(0; -10), С(4; 12).
24. А(-10;9), B(2; 0), С(6; 22).
25. А(0; 2), В(12; -7), С(16;15).
26. А(-9; 6), В(3; -3), С(7; 19).
27. А(1;0) В(13;-9),С(17; 13).
28. А(-4; 10), В(8; 1),С(12;23).
29. А(2;5), В(14;-4),С(18; 18).
30. А(-1;4), В(11;-5),С(15; 17).
31. А(-2; 7), В(10; -2), С(8; 12).
32. А(-6; 8), В(6; -1). С(4; 13).
33. А(3; 6), В( 15; -3), С(13; 11).
34. А(-10; 5), В(2; -4), С(0; 10).
35.А(-4; 12), В(8;3),С(6; 17).
36. А(-3; 10), В(9; 1),С(7; 15).
37. А(4; 1), В(16; -8), С(14; 16).
38. А(-7; 4), В(5; -5), С(3; 9).
39. А(0; 3), В(12; -6), С(10; 8).
40. А(-5; 9), В(7; О), С(5; 14).
В задачах 41 -80 привести уравнение к каноническому виду построить кривую.
41. у2-х2+2у+4х-20=0
42. х2-4х-8у-36=0
43. х2-у2-6х+4у-4=0
44. у2-у-х+2=0
45. х2+у2=-2х
46. х2+у2-8х+6у+21=0
47. х2-6х-4у+29=0
48. х2+у2-4х=0
49. у2-10х-2у-19=0
50. х2+у2+2х-10у+1=0
51. у2-6х+14у+49=0
52. х2+у2+6у-7=0
53. Зх2+Зу2-4х-6у-15=0
54. у2+8х-16=0
55. х2+у2+10х-4у+4=0
56. у2-8у-4х=0
57. х2+у2-2х+6у+14=0
58. х2+6х-2у+5=0
59. х2+у2-4х-5=0
60. х2+у2+х-у-2=0
61. х2+3у2-6у+8х+18=0
62. 4х2-у2-2у-40х+91=0
63. 3х2+у2+6у-30х+81=0
64. х2-3у2+4х+24у-56=0
65. 9х2+4у2-54х-32у+100=0
66. х2-2у2-20у+6х+43=0
67. 4х2+9у2-8х-36у-68=0
68. 2х2-у2-8у+12х=0
69. 9х2+4у2-18х-8у-23=0
70. 5х2-6у2+10х-12у-31=0
71. 9х2+4у2-36х-64у+256=0
72. х2-4у2+6х+5=0
73. 4х2+3у2-8х+12у-32=0
74. 3х2-у2+12х-4у-4=0
75. 5х2+9у2-30х+18у+9=0
76. х2-4у2+2х+16у-7=0
77. 3х2+4у2-18х-8у-5=0
78. х2-у2-4х+6у-5=0
79. х2+4у2+4х-16у-8=0
80. 9х2-4у2-54х-32у+109-0
В задачах 81-100 даны координаты вершин пирамиды АВСД. Требуется: 1)
записать векторы AB ,
AC , AД , в системе орт и найти их длины; 2) найти
угол между векторами AB и
AC ; 3) найти проекцию вектора AД на
вектор AB ; 4) найти площадь грани ABC; 5) найти объем пирамиды АВСД.
81. А(2; -3; 1), В(6; 1; -1), С(4; 8; -9), Д(2; -1;2).
82. А(5; -1; -4), В(9; 3; -6), С(7; 10; -14), Д(5; 1; -3).
83. А(1; -4; 0), В(5; 0; -2), С(3, 7; -10), Д(1; -2; 1).
84. А(-3; -6; 2), В(1; -2; 0). С(-1; 5; -8), Д(-3; -4; 3).
85. А(-1; 1; -5), В(3; 5; -7), С(1; 12; -15), Д(-1; 3; -4).
86. А(-4; 2; -1), В(0; 6; -3), С(-2; 13; -11), Д(-4; 4; 0).
87. А(0; 4; 3), В(4; 8; 1), С(2; 15; -7), Д(0; 6; 4).
88. А(-2; 0; -2), В(2; 4; -4), С(0; 11; -12), Д(-2; 2; -1).
89. А(3; 3;-3), В(7; 7;-5), С(5; 14;-13), Д(3; 5;-2).
90. А(4; -2; 5), В(8; 2; 3), С(6; 9; -5), Д(4; 0; 6).
91. А(-5;0; 1 ), В(-4;-2;3), С(6;2; 11 ), Д(3;4;9).
92. А( 1; -4; 0), В(2; -6; 2), С( 12; -2; 10), Д(9; 0; 8).
93. А(-1; -2; -8), В(0; -4; -6), С(10; 0; 2), Д(7; 2; 0).
94. А(0; 2; -10), В(1; 0;-8), С(11; 4; 0), Д(8; 6; -2).
95. А(3; 1;-2), В(4:-1; 0), С(14; 3; 8), Д(11; 5; 6).
96. А(-8; 3; -1), В(-7; 1; 1), С(3; 5; 9), Д(0; 7; 7).
97. А(2; -1; -4), В(3; -3; -2), С(13; 1; 6), Д(10; 3; 4).
98. А(-4; 5; -5), В(-3; 3; -3), С(7; 7; 5), Д(4; 9; 3).
99. А(-2; -3; 2), В(-1; -5; 4), С(9; -1; 12), Д(6; 1; 10).
100. А(-3; 4; -3), В(-2; 2; -1), С(8; 6; 7), Д(5; 8; 5).
В задачах 101-110 даны координаты точек A,B,C. Требуется: 1)составить
каноническое уравнение прямой АВ. 2) составить уравнение плоскости,
проходящей через точку С, перпендикулярно прямой АВ и точку пересечения
этой плоскости с прямой АВ; 3) найти расстояние от точки С до прямой АВ.
101.A(3;-1;5),B(7;1;1),C(4;-2;1).
102.А(-1;2;3),В(3;4;-1),С(0;1;-1).
103.А(2;-3;7),В(6;-1;3),С(3;-4;3).
104.А(0;-2;6),В(4;0;2),С(1;-3;2).
105.А(-3; 1 ;2),В( 1 ;3 ;-2),С(-2;0;-2).
106. А(-2; 3; 1), В(2; 5; -3), С(-1; 2; -3).
107. А(-4;0;8),В(0;2;4),С(-3;-1 ;4).
108. 108.А(1;4;0),В(5;6;-4),С(2;3;-4).
109. 109.А(4;4;9),В(8;-2;5),С(5;-5;5).
110.А(5;5;4),В(9;7;0),С(6;4;0).
В задачах 111 - 120 найти: 1) уравнение плоскости Q, проходящей через
точки A,B и C; 2) каноническое уравнение прямой, проходящей через точку
М, перпендикулярно плоскости Q; 3) точки пересечения прямой с плоскостью
Q и с координатными плоскостями хОу, xOz, yOz; 4) расстояние от точки М
до плоскости Q.
111. А(-3;-2;-4), В(-4; 2; -7). С(5; 0; 3), М(-1; 3; 0).
112. А(2; -2; 1), В(-3; 0; -5), С(0; -2; -1), М(-3; 4; 2).
113. А(5; 4; 1), В(-1; -2; -2), С(3; -2; 2), М(-5; 5; 4).
114. А(3; 6 -2), В(0; 2; -3), С(1; -2; 0), М(-7; 6; 6).
115. A(1; -4; 1), B(4; 4; 0), C(-1; 2; -4), M( -9; 7; 8).
116. A(4; 6; -1), B(7; 2; 4), C(-2; 0; -4), M(3; 1; -4).
117. A(0; 6; -5), B(8; 2; 5), C(2; 6; -3), M(5; 0; -6).
118. A(-2; 4; -6), B(0; -6; 1), C(4; 2; 1), M(7; -1; -8).
119. A(-4; -2; -5), B(1; 8; -5), C(0; 4; -4), M(9; -2; -10).
120. A(3; 4; -1), B(2; -4; 2), C(5; 6; 0), M(11; -3; -12).
Контрольная работа №2.
В задачах 121 – 140 найти указанные ниже пределы.
121. а)
lim
8  2x  x 2
x4
x 2  16
x sin x
в) lim
x0 1  cos x
2x 2  7x  3
122. а) lim 2
x3 x  x  6
5  2 x  3x 2
б) lim 2
x x  x  3
x  3
г) lim 

x   x  1 
x2
x 2  3x  4
б) lim 3
x  2 x  5 x  1
1  cos 6 x
2
x 0
3x
5x  2 
г) lim 

x  5 x  3 
2x 2  6x  8
x 2  16
x  4
б) lim 2
x  4 x  x  2
в) lim
123. а) lim
в) lim xctg 4 x
x 0
7 x 2  8x  1
2x  2
x 1
124. а) lim
sin 4 x
в) lim
x 0 tgx
3x 2  5 x  2
125. а) lim 2
x2 2 x  x  6
1  cos 2 x
x2
x 0
в) lim
x 2  2x  8
126. а) lim 2
x 2 2 x  5 x  2
в) lim tg 2 xctg 4 x
x 0
6  x  x2
127. а) lim 2
x  3 3 x  8 x  3
xtgx
в) lim
x 0 1  cos 4 x
2 x 1
x 2  3x  1
3x  2 
г) lim 

x  3x  1 
6 x4
1  2x  x 2
б) lim 2
x  4 x  5 x  2
4x  3 
г) lim 

x  4 x  2 
2 x 1
5x 2  2 x  1
б) lim 2
x  2 x  x  3
x 3
г) lim 

x  x  4 
x 1
x2  7x  1
б) lim 2
x  3 x  x  3
x2

г) lim 

x   x  3 
4 x
2 x 2  3x  1
б) lim 2
x  3 x  x  4
3x  1

г) lim 

x  3x  4 
2x
x 2  6x  9
128. а) lim 3
x  27
x 3
в) lim sin 3xctg 5x
x 0
2 x 2  5x  3
129. а) lim 2
x  3 3 x  11x  6
tgx  sin x
x3
x 0
в) lim
x  12
130. а) lim 2
x 1 4 x  x  5
1  cos 6 x
в) lim
x 0 x sin 3 x
2x 2  5x  2
131. а) lim 2
x2 4 x  7 x  2
tg 2 x
в) lim 2
x0 5 x
132. а)
4x  1 
г) lim 

x   4 x  3 
3  2x  x 2
2x  5 
г) lim 

x   2 x  1 
x 1
3
x  1
2
sin 2 x
x2
x0
3x 2  5 x  2
2
x 2 6  7 x  2 x
133. а) lim
1  cos 4 x
в) lim
x 0 1  cos 8 x
x 2  3x  4
134. а) lim 2
x 1 x  4 x  5
cos x  cos 5 x
x2
x 0
в) lim
x 2  7 x  10
135. а) lim 2
x  2 x  8 x  12
tg 2 3 x
в) lim
x 0 1  cos 4 x
3 x
2x3  2x  1
б) lim 2
x  3 x  4 x  2
4 
г) lim 1 

4x  1 
x 
б) lim
x4
x 3
lim
1 2 x
б) lim 2
x  x  4 x  1
2 x 3
2x  1  3
x 2

г) lim 7  2 x
x2  x  2
в) lim
3x 2  5 x  4
б) lim 2
x  2 x  x  1

2
x 3
x2  x  2
б) lim
x2 4 x  1  3

г) lim 1 3x
x 0

5
x
x 2  25
б) lim
x 5 2 x  1  3

г) lim 4  3x
x 1

x
x 1
x 2
б) lim 2
x4 x  6 x  8

г) lim 1 5 x
x 0
б) lim
x 0


1 x  1 x
x
г) lim 5  2 x
x 2
3
x

x
x2
7 x  x 2  12
136. а) lim 2
x 3 2 x  11x  15
cos 3x  1
в) lim
x 0 x  tg 2 x
x 2  5x  6
137. а) lim 2
x  2x
x2
x sin 3 x
в) lim
3
x 0 cos x  cos x
2x 2  5x  3
138. а) lim 2
x  3 x  4 x  3
cos 5 x  cos x
x sin x
x 0
в) lim
3x 2  5 x  2
139. а) lim 2
x  2 x  3 x  2
sin 2
в) lim 2
x
x0
140. а) lim
x
3
x  1 2 x
в)
x 3
 
2
x4
г) lim x  3
x4
б) lim
x 
 x 1 x 
 
г) lim 1 x
x 0
2
x
x  2x
б) lim
x  3 x  1

2
г) lim 1
3x  2
x 
sin 2 x
lim sin 2 2 x
x 0
6 x 1
2x  1  1
x 2
 3x  1

б) lim
x 0 3 x  4  2

г) lim 2 x  5
3x 2  2 x  1
2
3x  2  2
x2
б) lim

3
x2

б) lim x  x 2  3x
x 


г) lim 2 x  3
x 1

1
x 1
В задачах 141-150 даны функции у=f(х) и значения аргументов Х1 и Х2.
Требуется:
1) установить, является ли данная функция непрерывной или
разрывной при данных значениях аргумента; 2) найти односторонние
пределы в точках разрыва; 3) построить график данной функции.
141. y 
2x
; x1  1; x 2  3.
x 1
142. y 
2x
; x1  2; x 2  5.
x2
143. y 
2x
; x1  3; x 2  2.
x3
144. y 
2x
; x1  4; x 2  2.
x4
145. y 
2x
; x1  5; x 2  1.
x5
146. y 
2x
; x1  1; x 2  3.
x 1
147. y 
2x
; x1  2; x 2  2.
x2
148. y 
2x
; x1  3; x 2  1.
x3
149. y 
2x
; x1  4; x 2  4.
x4
150. y 
2x
; x1  5; x 2  5.
x5
В задачах 151-160 функция Y
задана различными аналитическими
выражениями для различных областей изменения аргумента X . Требуется:
1) найти точки разрыва функции, если они существуют; 2) найти
односторонние пределы и скачок функции в точках разрыва; 3) сделать
чертеж.
4 x  x 2 , если x  1

151. y  2  x, если  1  x  2
 x  5, если x  2


1  x 2 , если x  2

153. y   x  1, если  2  x  2
4
 , если x  2
x
 x  2, если x  0

152. y   x 2  1, если 0  x  2
 x  5, если x  2

2 x  1, если x  1

154. y   x 2 , если  1  x  2
6  x, если x  2

 3 x, если x  1

155. y   x 2  4, если1  x  3
2 x  5, если x  3

 3  x, если x  2

156. y   x 2  5, если  2  x  3
7  2 x, если x  3

2  x, если x  0

157. y  sin x, если 0  x  
 x   , если x  

 x  2, если x  2

158. y  4  x 2 , если  2  x  1
3  2 x, если x  1

 x 2 если x  0

159. y  cos x, если 0  x  
 1, если x  

 2 x, если x  1

160. y   x 2  1, если  1  x  2
 x  1, если x  2

В задачах 161-180 найти производные
дифференцирования.
dy
, пользуясь формулами
dx
161. а) y 
3x  4
б) y  (3sin 2 x  cos 2 2 x) 3
x 3  3x  2
в) y  ln arcsin 1  x 2
г) x 2  y 2  2 y  0
 x  t  ln t
д) y  (2 x  3) tgx
е) 
2
3
 y  3t  2t
162. а) y 
x3
x 3  6x  9
в) y  ln tgx 3
4
г) sin x  arctgy  0
д) y  (1  cos x) x
163. а) y 
б) y  2 arctgx  ln( 1  x 2 )
 x  atgt
 y  bctgt
2
е) 
2x
б) y  (3cos 3 x  sin 2 3x) 3
x 3  5x 2  3
в) y  arctg (2 x 2  1)
г) e x  x  y 3  0
 x  arcsin t
д) y  ( x 3  2) sin x
е) 
 y  3t  t
164. а) y 
3x
2
б) y  (2 arcsin x  arccos x) 4
x 3  4x 2  1
в) y  ln arctg x  1
г) x  ln x  3  2 y  0
 x  ctgt
д) y  ( x 2  1) arctgx
е) 
2
 y  cos t
165. а) y 
arctg
в) y  e
2
4x
x 3  5x 2  2
166. а) y 
г) ctgx  ln( 4 y  1)  0
2 x 1
д) y  (arcsin x)
tg 2 x
2 3
б) y  (5  x )
1 x 2
 x  2t  sin t
е)  y  8 sin 3 t

4x  1
x 2  16 x  2
2
в) y  arcsin 1  4 x
tg x
3
б) y  (4  x )
x
2
y
г) e  x  e  0
x
д) y  ( x  sin x)
2
2x  3
167. а) y 
x 2  16 x  2
 x  a(t  sin t )
е)  y  a(1  cos t )

arctg2 x
 ln( 1  4 x 2 )) 4
б) y  (3
2
в) y  ln sin( 2 x )
tg 2 x
г) y  (tg 2 x)
2
д) 2 x  sin 2 x  y  0
 x  arctg 3t
е)  y  ln( 1  9t 2 )

3x  8
168. а) y 
arcsin
в) y  e
x 2  3x  4
г) arctg  ln( 2 y  3)  0
1 x
arctg
д) y  ( x  1)
169. а) y 
cos 2 x
 sin 2 x) 3
б) y  (2
x
2x3  5
x 4  2x
 x  2 cos 2 t
е)  y  3 sin 3 t

arccos 2 x
 1  4x 2 )3
б) y  (4
4
в) y  ln arcsin( x  5)
5
г) tgx  y  2 y  0
x
д) y  (ctgx)
3
 x  t 2  ln t
е)  y  2t 3  3t

x 3  10
б) y  ln tg x
170. а) y 
x 4  8x
arcctg3 x
 arcctg 3x) 4
в) y  (6
д) y  ( x  ln x)
171. а) y 
y
г) x  ln x  e  1  0
1
x
 x  e 2t
е)  y  t 5  2t  4

3x  2
tg 3 x
5
б) y  (2  cos 4 x)
x 2  3x  1
в) y  arctg ln x
2
г) 2 x  arcsin y  5  0
1 x2
д) y  (1  x )
 x  tg 2 t
е)  y  e 3t 5

172. а) y 
5x  2
x 2  5x  1
cos 2 x
 cos 2 x) 4
б) y  (3
arctg
в) y  e
3
г) y  3 y  3x  1
x 4 1
2
д) y  (arcsin x )
 x  ctg (3t 2 4 )
е)  y  sin 3 t

x
2x  7
173. а) y 
ctg 2 x
 arctg 2 x) 3
б) y  (5
x 2  5x  1
4
в) y  ln arccos x
2
3
г) x  y  2 y  5
cos 2 x
д) y  (tg 2 x)
 x  cos 2 (3t  1)
е)  y  tg 2 (1  t )

5x  4
174. а) y 
arcsin x
 1  x 2 )5
б) y  (2
x 2  5x  2
4 x
в) y  ln cos e
2
г) x  y  arctgy
2 arcsin x
д) y  (1  x )
 x  ln tg (1  t )
е)  y  tg 2 (1  t )

5x  4
175. а) y 
arctg
в) y  e
3
x 2  5x  2
2
г) 5 ln y  2 x  5 y  10  0
x 2 1
д) y  (ctg 4 x)
176. а) y 
arcsin x
 1  x 2 )5
б) y  (2
 x  arcsin 2t
е)  y  e 2t

sin 4 x
3x  1
3
б) y  ln arccos ( x  4)
x 3  9x  1
arctg 2 x
 ln 1  4 x 2 
в) y  3
4
tg 2 x
д) y  (sin 2 x)
177. а) y 
2x  3
x 3  8x  4
4
в) y  ln arctgx
1
4
x
д) y  ( x  1)
2
г) y  2 xy  4 x  0
 x  3 ln 2 (t 2  1)
е)  y  2arctgt

tg 2 x
5
б) y  (4  tg 2 x)
2
2
г) x  2 y  xy  0
 x  1  t 2
е)  y  arccos t

178. а) y  3
arccos
в) y  e
2x  1
tg x
2
б) y  (5  sin x)
7
x 3  6x  1
2
y
г) x y  e  0
1 x 2
tg 2 x
д) y  (cos 2 x)
179. а) y 
 x  ln t 2

е)  y  1

t

4x  3
3
2
б) y  ln tge
x 3  4x  1
x
arccos x
 1  x )4
в) y  (2
3
3
2
г) x  y  5xy  3  0
sin
д) y  (ctgx)
 x  arctg 2 t
е)  y  ln( 1  t 2 )

2
180. а) y 
x
5x  6
3
б) y e
x 3  5x  2
arcctg 4 x 1
ctg x
3
в) y  (3  ln sin x)
2
2
2 3
г) 5x  y  x y  7  0
x
д) y  ( x  2 x)
 x  4 cos 3 t
е)  y  5 sin 3 t

2
В задачах 181-190 дана функция y  f (x) и значения аргументов x1 и x2 .
Найти приближенное значение данной функции при x  x2 , исходя из ее
точного
значения
при
x  x1
и
заменяя
соответствующим дифференциалом dy .
181. y = 3 3x2  8x  16 , x1 = 4, x2 = 3,94.
182. y = 5x2  4 x  1 , x1 = 5, x2 = 5,08.
183. y =
5
x2  2 x  8 , x1 = 6, x2 = 5,84.
184. y =
4
x3  6 x  7 , x1 = 4, x2 = 4,06.
185. y = 3 2x2  2x  13 , x1 = -8, x2 = -7,85.
186. y = 3x2  5x  2 , x1 = 9, x2 = 9,08.
187. y = 4 5x4  2x  3 , x1 = 2, x2 = 1,92.
приращение
функции
y
188. y = 3x2  6x  5 , x1 = 7, x2 = 7,05.
189. y =
190. y =
3
x3  3x 2  8 , x1 = -4, x2 = -4,03.
4
8x 2  6 x  9 , x1 =3, x2 = 2,88.
В задачах 191-200 требуется найти приближенное значение указанных
величин с помощью дифференциалов соответствующих функций.
191. cos 63o . 192. tg 46o . 193. sin 32o . 194. ctg 43o . 195. sin 27o .
196. cos 59o . 197. tg 43o . 198. sin 33o . 199. cos 57o . 200. ctg 47o .
В
задачах
201-220
исследовать
данные
функции
методом
дифференциального исчисления и начертить их графики. Исследование и
построение графика рекомендуется проводить по следующей схеме: 1) найти
область существования функции; 2) исследовать функцию на непрерывность;
найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в точках разрыва;
3) выяснить, является ли данная функция четной, нечетной; 4) найти точки
экстремума функции и определить интервалы ее возрастания и убывания; 5)
найти точки перегиба графика функции и определить интервалы выпуклости
и вогнутости графика; 6) найти асимптоты графика функции, если они
имеются; 7) построить график функции, используя результаты исследования.
При необходимости можно дополнительно находить точки графика, давая
аргументу x ряд значений, с последующим вычислением соответствующих
значений y .
201. y =
x2  x  6
x2
202. y =
x3
x2  4
203. y =
x 2
+
2 x
204. y =
4x
1  x2
205. y =
2x  1
( x  1) 2
206. y = x2+
207. y =
3  x2
x2
208. y =
209. y = x +
1
x2
2
x
x3
9  x2
( x  1) 2
210. y = 2
x 1
211. y =
x3
( x  2) 2
212. y =
x 1
x3
213. y =
x3
9( x  2)
214. y =
x
x 1
215. y =
1
1  x2
216. y =
x2
1  x2
217. y = 4x e
219. y =
x
2
x4
218. y =
(1  x)3
x2  1
x4
x  1
220. y = 
 .
2
 x 1
В задачах 221-240 найти неопределенные интегралы:
221. а)
3 x  14
dx;
3
 9x
б)
dx
;
2
x  6 x  10
б)

(2 x  1)dx
;
2
 5x  7
б)

б)

б)
1
x
dx
222. а)

223. а)
x
224. а)

225. а)
x
226. а)
xdx
 ( x 2  4 x)( x  1) ;
б)
(3 x  4)dx
;
2
 8 x  11
б)
 x
б)

б)

227. а)
228. а)
x 1
4 x  20 x  11
2
(2 x  1)dx
;
 5x 2  6 x
3
x

dx
2  2x  x 2
(2 x 2  x  1)dx
;
229. а) 
x3  x
;
dx;
в)  3x  arctg 2 xdx;
x dx
 x( x  1) ;
x 4 x
в)  x  ln( x 2  2)dx;
;
sin 2 xdx
3  5 cos x
2
dx
x ( x  1)
3
3
1 x

x
6
6
в)
;
x dx
x dx
x2
xdx
;
2
x
 sin
в)  x 2  cos 4 xdx;
dx;
x5  3 x2
3
в)  x x ln xdx;
;
в)  3 x  e 2 x dx;
;
в)  (2 x  1)  5  x dx;
;
dx
x  1(3 x  1  1)
dx
2x  1  2x  1
4

ln xdx
;
x3
;
в)
;
в)  (3x  1)  sin 3xdx;
230. а) 
(3x  4)dx
;
x( x  1)( x  2)
б)
231. а) 
dx
;
7  6 x  3x 2
б)

232. а) 
(1  5 x)dx
;
x 3 2 x 2  3x
б)
 2  3 cos
dx
233. а) 
234. а) 
235. а)
9x 2  6x  5
б)
;
( 4  x )dx
;
3
x  4 x 2  3x

xdx
3  2x  4x
2
;
xdx

x 1
(arccos x) 3
1 x

3
в)  ln( x 2  1)dx;
(1  3arctgx) 3
 1  x 2 dx;
в)

б)
x
3x 2  2
dx;
2

240. а) ( x  1)( x  3x  2)
в)  (5 x 2  1)  ln( x  1)dx;
;
в)  arcsin xdx;
б)
2x 2  x  3
dx;
( x  1)( x  2)( x  3)
x
e2x
 e x  e  x dx;

239. а) 
в)  3 x  e 4 x dx;
б)
б)
9x  6x  2
;
 x
(2 x  1)dx
;
x ( x 2  5 x  6)
2
2
б)
237. а) 

в)  arctg 2xdx;
(2 x  1) 2  3 2 x  1
x dx
б)
dx;
dx;
dx
2x  1
dx;
1  6x  x 2
6x  1
2
sin xdx
236. а) 
238. а)
в)  x 2  e x dx;
;
б)

3
4
x3
;
4  2 arccos x
1 x
4
в)  (4 x  3) cos xdx;
dx;
в)  (2 x  5)  cos(3x  1)dx;
(1  6 x 5 ) 3  x 4 dx;
dx
2x  1
( x  1)dx
3
2
2x  1
в)
;
;
в)
В задачах 241-260 вычислить определенные интегралы:


2
dx
;
241. 
2

cos
x
0
4
242.

2
x
;

2
dx
;
243. 
1

sin
x

cos
x
0
dx
 cos
0
2
244.
cos dx
 5  4 cos x ;
0
x cos x
dx;
3
x
 sin
xdx
;
2
x
 sin

x sin xdx
.
cos 3 x


2
2
sin xdx
245. 
;
2  sin x
0
246.
cos dx
;

 1  sin x  cos x
3


2
3
247.
tg x
0 4  3 cos 2 xdx;
2
3
249.
6 sin 2 x
0 2 cos 2 x  4dx;
4
248.

1  sin x
 1  cos x  sin x dx;
250.  cos 4 x  sin 3 xdx;
0
0


2
251.  sin x  cos xdx;
4
4
4
252.  tg 4 xdx;
0
0

2
253.

sin x
dx;
6
x
 cos
0
254.  28  cos 8 xdx;
3

2
1
255.  x 2 1  x 2 dx;
4
256.
0
16  x 2 dx;
0
4
257.  x 2 16  x 2 dx;
3
258.  x 2 9  x 2 dx;
3
0
5
259.  x

1
2
25  x dx;
2
260.
0

4  x 2 dx.
0
В задачах 261-280 требуется вычислить несобственные интегралы и сделать
вывод о их расходимости и сходимости.


dx
;
261.  2
1 x  4 x  13
262.
3

264.
0
xdx
0 ( x  2) 3 ;
2
266.

0
3
dx
;
267. 
2
0 ( x  3)
x
0

265.
3
;
e

263.  x 2 e  x dx;
dx
 x(ln x)
e
268.
x
1
2
x2
dx;
 2x  2
xdx
4  x4
dx
ln x
;
;
10
269.

2
4
dx
3
( x  2) 2
270.
;
2

271.
dx
;
4
2
x

dx
e x(ln x) 2 ;
272.  xe 2 dx;
0

273.
x

dx
5 x 2  8x  17 ;
274.

0

3
276.
2
275.  tgx  dx;

0
xdx
3
x2 1
xdx
9  x2
;
;
0
7
277.

1
dx
3
7x

278.  xe dx;
;
0

2
279.
x
2
xdx
0 4  x 2 ;
280.
xdx
 ( x  3)
2
.
0
281. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами
y
x2
x2
 3x  6 и y 
 x 1
2
2
282. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом.
x = a cos t,
y = b sin t.
283. Вычислить площадь фигуры, ограниченной астроидой.
x = 4 cos 3t,
y = 4 sin 3t.
284. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры,
ограниченной параболой y =
1 2
x , прямой x = 4 и осью Ох.
4
285. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy фигуры,
ограниченного гиперболой y =
6
, осью Оу и прямыми y = 1 и y = 6.
x
286. Найти объем тела, полученного вращением эллипса вокруг оси Ох.
x = a cos t,
y = b sin t.
287. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2+4x и y = x+4.
288. Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой r2 = a2 cos 2φ.
289. Найти площадь фигуры, ограниченной линией r = a cos 2φ.
290. Найти площадь фигуры, ограниченной линией r = a sin 3φ.
291. Найти объем тела, полученного от вращения фигуры, ограниченной
линией y2 = 4-x , x=0 вокруг оси Ох.
292. Найти объем тела, полученного от вращения фигуры, ограниченной
линиями: y = 4x- x2, y = 0, x = 3 вокруг оси Ох.
293. Вычислить объем тела, полученного от вращения вокруг оси Оу
фигуры, ограниченной кривыми: y=
4
, y = x2+1.
2
1 x
294. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y =
64
, x2 = 8y.
2
16  x
295. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры,
ограниченной линиями y =
1 2
1
x , y = x2 , y = 8.
8
4
1
2
296. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y = - x2+2x+6 и y =
x+2.
97. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y =
1
(x-4)2 и 2x-y-8=0.
3
298. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры,
ограниченной линиями: y = ex, y = 0, x=1, x=0.
299. Найти площадь области, заключенной между параболами y2 = 2px и x2 =
2py.
300. Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды:
 x  a(t  sin t ),

 y  a(1  cost ).
Список литературы
1. Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике для ВУЗов и ВТУЗов.
[Текст] / М.Я. Выгодский. - М.: ДЖАНГАР. БОЛЬШАЯ МЕДВЕДИЦА, 2000.
- 864 с.
2. Гмурман,
В.Е.
Теория
вероятностей
и
математическая
статистика.[Текст]/В.Е. Гмурман.-М.: Высшая школа, 2003. - 479с.
3. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике. [Текст] / В.Е. Гмурман . - М.: Высшая школа,
2003. - 405с.
4. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1. [Текст] /
П.Е. Данко, А.Г. Попов, Г.Я. Кожевникова. - М.: Высшая школа, 2006. - 304с.
5. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2. [Текст] /
П.Е. Данко, А.Г. Попов, Г.Я. Кожевникова. - М.: Высшая школа, 2006. - 416с.
6. Демидович, Б.П. Краткий курс высшей математики. [Текст] / Б.П.
Демидович, В.А. Кудрявцев. - М.: Астрель - АСТ, 2001. - 656 с.
7. Емельянов, А.М. и др. Краткий курс аналитической геометрии. Элементы
линейной алгебры. [Текст] / А.М. Емельянов, Г.В. Литовка и др. Благовещенск: ДальГАУ, 2005. - 168с.
8. Кузнецов, Л.А. Сборник задач по высшей математике. Типовые расчёты:
учебное пособие. [Текст] / Л.А. Кузнецов. - СПб.: Лань, 2005. - 240с.
9. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учебное
пособие для вузов. Т.1. [Текст] / Н.С. Пискунов. - М.: Интеграл - Пресс,
2002.-416с.
10.
Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление:
Учебное пособие для вузов. Т.2. [Текст] / Н.С. Пискунов. - М.: Интеграл Пресс, 2002.-544с.
11.
Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч.1.
[Текст] /Д.Т. Письменный. - М.: Айрис-пресс, 2002.-288с.
12.
Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч.2.
[Текст]/Д.Т. Письменный. - М.: Айрис-пресс, 2002.-256с.
13.
Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и
математической статистике. [Текст] / Д.Т. Письменный. - М.: Айрис - пресс,
2005. - 256с.
14.
Щипачёв, В.С. Высшая математика. [Текст] / В.С. Щипачёв. - М.:
Высшая школа, 2002. - 479с.
15.
Шипачёв, В.С. Задачник по высшей математики. [Текст] / В.С.
Щипачев. - М.: Высшая школа, 2003. - 304 с.
Скачать