ОБРАЗЕЦкр1x
advertisement
ОБРАЗЕЦ варианта К.р.1 по Практикуму на ЭВМ по материалу модуля 1 для бакалавров 1-го курса ФПМиК (группы ПИ-11, ПИ-12, ПИ-13, ФИ-12 преподавателя Савватеева В.В.). Порядок проведения, указания и методы решения задач К.р.1 проводится обязательно в присутствии преподавателя в компьютерном зале (и переписывается /дописывается на тех же условиях – и не позднее 31 октября). Результаты расчётов с краткими, но понятными пояснениями списываются с дисплея в рабочую тетрадь (за ведение которой будет ставиться отдельная оценка). К.р.1 рассчитана на два академических часа (45 минут + 45 минут). В конце её рабочая тетрадь сдаётся на проверку преподавателю. Допускается также сдача каждой из трёх задач преподавателю прямо «с экрана», но результат должен быть зафиксирован в тетради. Разрешается пользоваться любыми печатными и интернетовскими изданиями и своей рабочей тетрадью. Запрещается переговариваться, звонить по мобильнику и скачивать решения с экрана другого студента. К.р.1 состоит из трёх задач по следующим трём темам: Зад.1 «Возникновение ошибок в компьютере при изображении чисел и действиях с ними. Исправление их в простых случаях». Зад.2 «Работа с матрицами в EXCEL» Зад.3 «Построение графиков. Простые вычисления по формуле Симпсона». Типовая задача 1. Вычислить 2^64 . Доказать, что последние 5 цифр этого 20-значного натурального числа НЕВЕРНЫ. Вычислить 2^64–18446744000000000000. Верны ли последние 5 цифр этого 11-значного числа? Помогают ли они найти последние 5 цифр предыдущего числа? Извлеките корень из 11-значного числа. Верно ли, что четвёртая и пятая цифры после запятой равны? Если ДА, то чему они равны? Типовая задача 2. Дан куб со стороной 8 см, разбитый на мелкие кубики со стороной 1 см. Во всех мелких кубиках записано число 1. Внутри этого куба выделен куб со стороной 4 см; его центр совпадает с центром первого куба. Во всех мелких кубиках выделенного куба число 1 поменяли на число 0. Восемь слоёв исходного куба с записанными в них числами 1 или 0 рассматриваются как восемь матриц 8 на 8. Найти произведение всех этих матриц, записанных в том же порядке, в котором следуют слои. Типовая задача 3. Построить график функции в полярных координатах: r = 25 cos2φ sin2φ / (cos5φ + sin5φ +1,5) График состоит из четырёх неравных лепестков. Провести биссектрису первого квадранта и найти её точки пересечения с лепестком, лежащим в первом квадранте. Этих точек будет две. Обозначим их О и М. Середину отрезка ОМ обозначим К. Отрезок ОМ разбивает лепесток на две равновеликие части. Верхнюю часть лепестка разделим на две неравные части, проведя через К прямую, перпендикулярную ОМ. Используя формулу Симпсона, найти приближённо площадь левой верхней части лепестка. РАЗБОР РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ 1. Последняя степень двойки,, которую EXCEL вычисляет точно – это 2^49 (проверьте это!). А именно, число 2^49 = 562949953421312. Вычисление 2^50 даёт 1125899906842620, что НЕВЕРНО: на последнем месте должен стоять не 0, а 4 (почему?) Вычисление же 2^64 даёт ответ 18446744073709600000, что как бы делает намёк: наверное, последние 5 цифр неверны. Однако среди пяти последних ВЕРНЫХ цифр могли встретиться и нули! Поэтому надо срочно уточнить, каковы же верные последние пять цифр. Сейчас мы докажем, что они равны 51616, то есть нулей среди них нет. И тогда станет ясно, что не только последние пять цифр EXCEL вычислил неверно, но и шестую – тоже! Она равна не 6, а 5 ( «шесть» появилось из-за округления числа, не помещающегося в разрядную сетку компьютера). Очевидно, что при умножении 2^49 на 2^15 должно получиться как раз 2^64 (если бы только у компьютера было отведено больше разрядов под хранение целых чисел). Но 2^15 = 32768. Умножим это число на число 3421312, на которое оканчивается 2^49. Получается число 112109551616. Обратите внимание, что последние цифры этого числа ПРАВИЛЬНО выражают последние цифры числа 2^64, так как если у каждого из сомножителей отрезать несколько последних цифр и перемножить отрезанные цифры, то получится несколько верных последних цифр произведения. Но сколько же именно верных цифр? В первом сомножителе ВСЕ цифры верные, во втором – взято 7 верных цифр. Можно надеяться, что последние 7 цифр произведения верны. Однако на самом деле получились верными даже 8 последних цифр (они выделены жирным курсивом). В этом легко убедиться, взглянув на 8 последних цифр числа 2^64 , посчитанного компьютером: …09600000. Итак, 2^64 = 18446744073709551616. Далее задача решается легко. Ясно, что вычитание из числа 2^64 числа 18446744000000000000 приводит к убиранию старших разрядов из числа 2^64 , и остаётся число 073709551616. Так как нули впереди числа не пишутся, то это число не 12-значное, как было задумано, а 11-значное. Но будет ли компьютер правильно вычитать числа, если уже уменьшаемое он не способен разместить в своей разрядной сетке? Эксперимент показывает, что все цифры 11значного числа после вычисления на компьютере верны. Это означает, что количество разрядов «сумматора», в котором происходят все арифметические действия компьютера (сложение, вычитание, умножение, деление) увеличено вдвое по сравнению с разрядами для записи окончательного ответа (подумайте, почему именно вдвое, а не втрое?). А так как при вычитании старшие разряды «взаимно уничтожились», то на освободившихся местах удалось без ошибок разместить все цифры числа 73709551616. Итак, последние 5 цифр разности верны (так как вообще все её цифры верны), и они, несомненно, помогают узнать последние 5 цифр числа 2^64 … потому что они им равны! Ну и, наконец, 4-я цифра после запятой у корня из 73709551616 равна 5-й цифре (и обе они равны 5). А самое главное, обе этих цифры ВЕРНЫЕ. <Рекомендуется также прочесть файл «Вычисление ошибок компьютера» на преподавательском сайте Савватеева В.В. > 2. Восемь матриц-сомножителей, которые нам предстоит перемножить, состоит только из ДВУХ разных сомножителей, которые мы обозначим М и Н. Все элементы М равны 1, а в середине матрицы Н, кроме единиц, имеется также область 4х4, заполненная нулями. Значит, надо найти произведение матриц ММННННММ. Сначала найдем К=ММ и П=НН, и далее найдём произведение КППК в таком порядке: ((КП)П)К. Напоминаем, что для произведения матриц справедлив сочетательный закон умножения, так что скобки можно расставлять так. как нам удобно. Окончательно в ответе получается матрица 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 851968 КППК Таким образом, неожиданно оказалось, что ММННННММ равно матрице М, умноженной на число 851968. <Рекомендуется прочесть файл «Действия с матрицами» на том же сайте>. 3. Прочтите ещё раз файл «Построение графиков» на том же сайте, чтобы вспомнить 5 основных способов построения графиков (и что такое «полярная система координат»). Данный график представлен в полярной системе. Покажем, что в знаменателе никогда не получается деление на 0. Ниже приведён результат построения вспомогательного графика 1.5 1 0.5 0 0 -0.5 -1 -1.5 1 2 3 4 5 6 7 y = cos5x + sin5x, изучение которого показывает, что это выражение, хотя и может быть отрицательным, но оно никогда не опускается ниже уровня у = -1. Поэтому знаменатель в исходной формуле никогда не обращается в нуль. Далее обычным образом строим график в полярной системе (на отрезке 0 <= φ <= 2π с шагом π/200 ) и получаем такую картину: 4 3 2 1 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 Получилась четырёхлепестковая роза с неодинаковыми лепестками, симметричная относительно биссектрисы у=х. Обсудим вопрос о том, как можно было бы найти (хотя бы приближённо) площадь одного из лепестков – например, лежащего в первом квадранте. Сначала изобразим этот лепесток отдельно, в более крупном виде и с добавленной биссектрисой у=х (см. след. рис.). Для целей, которые станут понятны ниже, на этом рисунке ещё добавлены две прямые, перпендикулярные биссектрисе. Одна из них, красная, проходит через середину отрезка ОМ (точки О и М на рисунке не обозначены), а вторая (зелёная) отсекает от отрезка ОМ одну четверть. Последнее, что надо сделать в задаче 3 – это вычислить приближённо площадь, ограниченную (в первом квадранте) лепестком кривой, биссектрисой и красной прямой. Это делается с помощью ФОРМУЛЫ СИМПСОНА, о которой сейчас и будет кратко рассказано. Краткое пояснение о формуле Симпсона Для определения величины площади, ограниченной замкнутой кривой, как известно, используется определённый интеграл, для вычисления которого достаточно вычислить интеграл неопределённый, и затем применить формулу Ньютона-Лейбница. К сожалению, далеко не от всякой функции можно взять неопределённый интеграл в виде удобной и обозримой формулы, а если это, теоретически говоря, и можно сделать, то практически это слишком сложно. Симпсон предложил разбить график кривой, ограничивающий искомую площадь, на несколько кусков, форма которых близка к дуге параболы. Конкретно, пусть идёт речь о приближённом вычислении площади под кривой y = f(x) на отрезке [a, b] (на котором её график похож на график параболы). Если взять три значения икса на концах отрезка и в его середине (то есть x=a, x=b и x=(a+b)/2) и потребовать, чтобы при этих значениях «х» ордината f(x) совпадала с ординатой параболы, то парабола y = Ax2 + Bx + C определяется однозначно. А так как от любой параболы с таким уравнением неопределённый интеграл легко вычисляется в уме (да и определённый – тоже), то после ряда промежуточных вычислений у Симпсона получилась исключительно простая и легко вычисляющаяся формула: Площадь приближённо равна (b-a)|/6 * [ f(a) + 4*f((a+b)/2) + f(b)] Обратите внимание, что если все значения f(x) одинаковы, то по этой формуле получается просто площадь прямоугольника, равная произведению основания на высоту. Приступим к нахождению площади лепестка кривой, лежащего в первом квадранте. Достаточно найти площадь 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 верхней половины лепестка и удвоить её. Красная прямая отсекает от верхней половины нижнюю часть (криволинейный треугольник), причём кривая, ограничивающая этот кусок сверху, достаточно хорошо приближается уравнением параболы, если в качестве оси иксов взять биссектрису первого квадранта (а в качестве оси игреков взять красную прямую). Именно эту параболу мы и возьмём за основу для выполнения Задания 3 контрольной работы (площадь же всего лепестка мы до конца находить не будем). Длину куска биссектрисы, лежащего внутри лепестка, то есть длину отрезка ОМ, легко вычислить по уравнению кривой в полярной системе, если взять в нём φ = π/4. После упрощений получается ОМ = 25*КОРЕНЬ(2)/(1+6*КОРЕНЬ(2)) (приближённо 3,72739). Значит, в новой системе координат для выбранного нами куска лепестка (верхняя левая часть) есть уже почти все данные, чтобы применить указанную выше формулу Симпсона. В самом деле, a=0, и, конечно, f(a)=0. Далее, ясно, что b=3,72739/2 ; но f(b) пока неизвестно, хотя ясно, что геометрически f(b) равно длине красного отрезка, лежащего внутри верхней половины лепестка. И, наконец, (a+b)/2 = 3,72739/4, но f((a+b)/2) неизвестно (и равно длине зелёного отрезка, лежащего в верхней половине лепестка). Эти две неизвестных величины во втором модуле мы научимся находить с весьма большой точностью с помощью так называемого ОПТИМИЗАТОРА, встроенного в EXCEL. А пока что мы прикинем величины этих двух отрезков «на глазок», учитывая масштабы, указанные на осях последнего рисунка. Первое неизвестное примерно равно 3/5 , а второе примерно 13/30. Что и позволяет посчитать площадь по формуле Симпсона. Оценки за контрольную будут выставляться по следующему принципу: 1)если решены почти до конца все три задачи, то 9 баллов; 2)если решены две из трёх, то 6 баллов; 3)если только одна, то 3-4 балла (смотря какая из задач решена). Ещё по одному баллу может быть добавлено за толковое изложение решения в тетради. Всем, у кого получится по этой методике меньше четырёх баллов, ПЕРЕПИСЫВАТЬ эту контрольную. Примечание. Все три задачи будут проще, чем задачи, рассмотренные в качестве примера.
