План-конспект открытого занятия Тема занятия: "Наибольшее и наименьшее значения функции"

План-конспект открытого занятия
Тема занятия: "Наибольшее и наименьшее значения функции"
Колчинская Татьяна Михайловна, учитель математики высшей категории, МБОУ лицей№2
г. Южно-Сахалинск
Природа так обо всем позаботилась,
что повсюду ты находишь, чему учиться...
Леонардо да Винчи
Тип занятия: Повторительно-обобщающий урок, четвертый и пятый уроки по теме
в группе 10 класса с углубленным изучением математики.
Цель занятия:
1. Активизировать познавательную и исследовательскую деятельность учащихся.
2. Обобщить и систематизировать теоретические знания по свойствам производной
функции.
3. Закрепить полученные навыки при решении уравнений и неравенств, содержащих
параметр.
4. Подготовить учащихся к контрольной работе по теме «Наибольшее и наименьшее
значения функции», к выпускному экзамену по математике в форме ЕГЭ.
Задачи занятия:
1.
2.
3.
4.
Развитие у учащихся правильной математической речи.
Формирование информационной культуры.
Совершенствование умения анализировать, обобщать, доказывать новое.
Развитие коммуникативных навыков учащихся.
Оборудование: Интерактивная доска, магнитная доска, плакаты, презентация по
теме,карточки с формулами и заданиями для самостоятельной работы, учебник Н.Я.
Виленкин и др. Алгебра и математический анализ для 10 класса с углубленным изучением
математики.
План занятия:
1.Организационный
момент.
Время
Этап урока.
1
Формы, педагогические приемы и методы.
Беседа. Мотивация познавательной деятельности.
1
2. Этап
актуализации
опорных знаний.
3. Устный счет.
5
4. Проверка
домашнего задания.
10
5. Решение заданий
письменно.
28
6. Самостоятельная
работа.
35
7. Подведение
итогов урока.
8. Домашнее
задание.
4
5
2
Учащиеся по цепочке задают одноклассникам вопросы по
теории, а они отвечают. При неверной формулировке
спрашивающий сам дает верный ответ.
Работа с презентациями на интерактивной доске. Учащиеся
по цепочке отвечают на появляющиеся на экране задания
устного счета.
Двое во время устного счета готовят на досках объяснение
своих решений домашнего задания, затем отвечают на
дополнительные вопросы товарищей.
Индивидуальная работа учащихся с одинаковыми
текстовыми заданиями по учебнику в тетрадях, затем двое
учеников объясняют на доске свои решения.
Самостоятельная работа с текстовыми заданиями по
карточкам (2 варианта) с последующей проверкой работы
соседа по готовым решениям, появившимся на доске
(презентация учителя).Оценивание работ, обсуждение,
ответы на вопросы.
Рефлексия. Что знают, что получилось, что – нет, что
необходимо повторить.
Запись на слайде презентации.
Конспект урока.
Этап актуализации опорных знаний. Вопросы по теории:
Сформулировать определение производной.
Перечислить свойства производной (производная произведения, частного, степени).
Сформулировать определение максимума и минимума функции.
Пояснить термины: «наибольшее значение функции», «наименьшее значение
функции».
5. Перечислить свойства функции:
область определения, множество значений функции,
нули функции, знакопостоянство, монотонность, четность, наибольшее или
наименьшее значения функции, поведение функции на бесконечности, при х,
стремящемуся к а
6. Сформулировать алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы.
7. Сформулировать алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений
непрерывной функции на отрезке.
1.
2.
3.
4.
Задания для устного счета:
1. Найдите производную функции:
2
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
y=4x - 5;
y= 3 x2 - 8;
y=3 – x2;
y=x3 tg x;
y= x2 / sin x;
y=(2 x +3)3;
y= tg (5x – 6);
Ответы: 1)4; 2)6 x; 3)-2х; 4)3x2 tg x + x3 / cos 2 x; 5)(2x sinx – x2 cos x) / sin2 x;
6)6(2 x +3)2; 7)5 / cos2 (5x – 6)
Найдите производную функции в точке х0:
y=4 – x2, при х0 = -1;
y= 3 x3–7, при х0 = 1;
y=4х – x2 , прих0 = -2;
y= 3sinx, при х0 = -𝜋;
y=4/ x2, при х0 = -2;
2.
1)
2)
3)
4)
5)
Ответы: 1)2; 2)2; 3) 8; 4)-3; 5)1.
3. Решите уравнение:
1). (x + 1) 2 = 4,
2). |x + 1| = 2,
3). (x – 2)2= - 4x,
4). (5 – x) ½= 3.
Ответы: 1)1; -3; 2)1; -3; 3) нет корней; 4) -4; 5)1.
Проверка домашнего задания.
Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ. 10 класс.
№439. В круг радиуса R впишите равнобедренный треугольник наибольшей площади.
Решение.
Пусть АВ=ВС, <ABC=  , тогда площадь треугольника SABC=0,5 ВС2sin  . Так как ОВ=ОС=R,
то треугольник ВОС равнобедренный, < ОВС=  / 2. СторонаВС=2 R cos (  / 2). SABC=0,5 (2 R cos
(  / 2))2 sin  =2 R2 cos 2 (  / 2)sin  .
Введем функцию у (  )=2 R2cos2 (  / 2)sin  , где R – постоянная
величина, 0  <  < 180  .
B
Исследуем на функцию y(  ) на наибольшее значение. Найдём
производную
y/ (  )=-2 R2cos2 (  / 2)sin2 (  / 2)+ R2cos2 (  / 2)cos  .
O
A
C
3
Найдём критические точки:
-2 R2 cos 2 (  / 2)sin2 (  / 2)+ R2 cos 2 (  / 2)cos  =0,
2cos 2 (  / 2)sin2 (  / 2)= cos 2 (  / 2)cos  ,
2sin2 (  / 2)= cos  или cos 2 (  / 2)=0,
2sin2 (  / 2)=1-2 sin2 (  / 2) или
 =180  , что невозможно по условию,
4sin2 (  / 2)=1, sin (  / 2)=0,5,  =60  . Найдем смену знака производной: слева –
положительная, а справа - отрицательна. Таким образом, наибольшего значения функция y (  )
достигает при  =60  , то есть наибольшая площадь у вписанного равностороннего треугольника.
Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ. 10 класс.
№440. Требуется огородить участок земли, примыкающий одной стороной к морю, с
помощью а метров проволоки. Какую форму должен иметь участок, чтобы площадь его
была наибольшей?
Решение.
xx
b
Пусть х метров – равные стороны изгороди, b метров – длина стороны напротив моря.
0<x<a.
Так как дано а метров проволоки, то 2х+b=a. Площадь равна S=xb=x(a-2x).Исследуем функцию
S(x) на наибольшее. S`= a-4x=0. x=a/4, b=a/2. Так как производная слева от точки x=a/4
положительна, а справа отрицательна, то в точке x=a/4 функция принимает наибольшее значение.
Ответ: а/4; а/4;а/2.
Решение заданий письменно.
№445. Опишите вокруг полушара радиуса R конус наименьшего объема.
Решение.
Пусть r- радиус основания описанного конуса, H - его высота, О- центр основания конуса и
полушара, Sосн -площадь основания конуса. ТогдаVконуса = 1/3 S основH; Sоснов= 𝜋r2 Пусть F- точка
касания сферы образующей в осевом сечении конуса, М - вершина конуса. Рассмотрим
треугольник OFM: sin<OMF=R/ H.
M
В треугольнике OFN: sin<ONF=R/r, тогда
cos<OMN= R/r
(<ONF=90 - <OMN). По основному тригонометрическому
тождеству
H
sin 2<OMF + cos 2< OMN= 1.
F
R
(R/ H) 2 +( R/r) 2 = 1; (R/ H) 2= 1- ( R/r) 2 =(r2-R2) /r2.
R
О
r
N
ОткудаH = Rr / (r2-R2)1/2. Тогда функция объема конуса в
зависимости от его радиуса имеет вид: Vконуса = 1/3 S основH;
4
Sоснов = 𝜋r2. Причем по условию 0 < R < r. Исследуем функцию на наименьшее значение.
V `конуса = 1/3 𝜋R r2(r2- R2)-1/2(3 (r2- R2) - r2) = 0
Учитывая, что 0<R<r, из корнейr =(3/2)1/2Rили r = - (3/2)1/2R или r = 0 , нам подойдет только
положительный корень. Так как производная меняет знак с «-» на «+», то r =(3/2)1/2R является
точкой единственной минимума и, следовательно, наименьшего значения функции. Найдем при
данном радиусе высоту конусаH = ( 3 ) 1/2R
Ответ:r =(3/2)1/2R,H = ( 3 ) 1/2R.
№447. Секундный расход воды, вытекающей через отверстие в толстой стене, определяется
по формуле Q = cy (h–y) ½, где у - диаметр отверстия, h - глубина его нижней точки, с –
некоторая постоянная. При каком у получается наибольшее значение для Q?
Решение. Пусть у – диаметр отверстия, h- глубина его нижней точки, где y-переменная, h и спостоянные.
Для нахождения наибольшего значения функции Q(y) найдем её производную и критические
точки.Q` ( y ) = c (h – y )1/2 + cy (-1/2) ( h – y )-1/2= 0 при р = 3y /2; y =2h /3.
Так как 0 < y < h, знак производной слева от точки (2/3)h положителен, а справа - отрицателен, то
функция Q принимает максимальное, следовательно, наибольшее значение в точке у=2h / 3.
Ответ: у=2h / 3.
Самостоятельная работа №10. М.Л.Галицкий и др. Углубленное изучение курса
алгебры и математического анализа.(смотри приложение 1, приложение 2)
Домашнее задание.
Повторить главу 5, №446, 448.
Список литературы.
1. Примерная программа основного общего и среднего (полного) образования по
математике для образовательных учреждений. Профильный уровень. М.: Издательский
центр «Вента-граф». - 2014.
2. Виленкин Н.Я., Ивашов-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический
анализ. 10 класс. 11 класс. М.: «Просвещение».-2011.
3. Галицкий Г.И., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение курса алгебры
и математического анализа. М.: «Просвещение».- 1986.
5