математика1

1. Множества, их сумма и пересечение.
Эл-ы множ-ва – объекты из котор сост мн-во.
Пусть А-некот мн-во и a-элемент мн-ва, сл-но
a∈A. Если Эл-т b не содержится в A, пишут
b∉A. ∀-любой, каждый(∀a∈A-всякое a из A.
∃-сущ-т, имеется, найдется(∃a∈A-в мн-ве A
сущ эл-т a). ∀и∃-кванторы общности и
существования. R=(-∞;+∞)-множ-во всех
веществ. чисел. Z-мн-во всех целых чисел.N-мнво всех целых, положительных чисел. [a,b]-мнво чисел не меньше a и не больше b – сегмент,
замкнутый промежуток. (a,b) – мн-во чисел >a,
но <b – интервал. [a,b) –промежуток,
полуоткрытый справа.(a,b] –промежуток,
полуоткрытый слева. [a,+ ∞)-мн-во чисел, кот не
меньше a. (-∞;b] -мн-во чисел, кот не больше b.
∅-пустое мн-во(ни 1-го элемента). Сумма A и B
– мн-во, содржащ. Все эл-ы А и В (А∪В). Если
А,В не имеет общ эл-в, то (А+В). Пересечением
мн-в А и В назыв мн-во, содерж все Эл-ы
принадлежащие А и В. (а∩В или АВ). Примеры:
[1,4]∪[2,5)=[1,5); [2,6)+[6,8]=[2,8]; [2,6) ∩ [6,8]=
∅; [1,7] ∩(4,9)=(4,7). Если все элементы мн-ва А
принадл. мн-ву В пишут:A⊂В или А∋В.
Например: [2,4]⊂(1,10).
6.Понятие предела.
Пусть функция f задана на промежутке [a;+ ∞).
Число l называется пределом f(x) при х,
стремящемся к +∞, если для любого числа е>0
найдется такое х , что для всех х,
0
удовлетворяющих условию х>х , выполняется
0
неравенство l-e<f(x)<l+e.
Сл-но lim
f(x)=l или f(x)->l (x->+∞).
x->∞
Определение(короче):число l назыв-ся пределом
f(x) при х, стремящемся к +∞, если для∀e>0
∃x такое, что при ∀х>x выполняется нер-во
0
0
|f(x)-l|<e
11. Понятие эквивалентности и o(g).
Необходимое и достаточное условие
эквивалентности. Условие f(x)-g(x)=o(g(x)) (x>c) необходимо и достаточно для того, чтобы
было f(x)~g(x) (x->c). Понятие o(g). Если
f(x)/g(x)->0 при x->c то говорят что функция f(x)
есть «o маленькое» от g(x) при x->c. В этом
случае пишут так: f(x)=o(g(x)) (x->c). Это
означает, что в окрестности точки с значения
функции f(x) пренебрежимо малы по сравнению
со значениями g(x).
2.Границы множеств.
Число М-верхняя граница числ множества Х,
если для ∀x ∈Х выполняется х≤М. Число m –
нижняя граница мн-ва Х, если∀х∈Х вып-ся
нер-во х≥М. Пример: интервал (4,7) – верхн
граница: 10 или 7, нижняя граница – 4 или 3(<4).
Супремум – supX- наибольшая из всех верхних
границ мн-ва Х – точная верхняя граница мн-ва.
Инфимум – (InfX) – наибольшая из всех нижних
границ мн-ва – точная нижняя граница. Точные
границы множ-ва могут принадлежать ему, а
могут и не принадлеж. Пример: [3,6]-содерж
точн нижнюю границу 3, но не содерж точн
верхн границу 6. Мн-ва, ограниченные сверху и
снизу – органиченные мн-ва.
3.Супремум, инфимум, их свойства.
Наименьшая из всех верхних границ множества
X называется точной верхней границей
множества, или супремумом, supX. Наибольшая
из всех нижних границ - точной нижней
границой - инфимумом, infX. Пусть M*=supX.
Возьмем какое-нить число e>0. Тогда число M*e будет меньше M*, а потому оно не может
быть верхней границей множ-ва X. Сл-но в
множестве X найдется такой элемент x, для
которого будет справедливо нер-во x>M*-e.
Если M*=supX, то для любого e>0 в мн-ве X
найдется элемент x такой, что x>M*-e.
Аналогичное утверждение справедливо и для
infX
4. Функции, ее области задания и значений.
1.3. Понятие функции
Пусть имеется два множества X и Y. Если каждому
элементу x множества X ставится в соответствие
по некоторому правилу один определенный
элемент y множества Y, то говорят, что задана
функция, отображающая X в Y. При этом X
называют областью задания, a Y - областью
значений функции. Если правило соответствия
обозначить через f, то запись y=f(x) означает что
по этому правилу элементу -X отвечает элемент у.
Таким образом, функция cчитается заданной, если
указаны: а) область задания X; б) правило f по
которому каждому элементу х∈X ставится в
соответствие значение y=f(x) ∈Y. Естественная
область задания функции y=f(x) – мн-во всех
вещественных х, при кот значения y=f(x) оказ-ся
вещественными.
5. Основные элементарные функции.
1.Степенная функция y=xa. ЕОЗ зависит от
значения a. Если a-целое положит, еоз – R. Если
a-целое отрицательное – Еоз (-∞;0)+(0;+ ∞). 2.
Показательная функция. ax (a>0) Т.к а>0, то
функц веществ при любом х. ЕОЗ: R. 3.
Логарифмическая функция y=logax (a>0, a≠1).
Т.к у любого полож числа имеется вещ
логарифм по любому полож основан, а отриц
числа вещ лог не имеют, еоз: (0,+ ∞).
4.Тригонометрические функции y=sin(x) и
y=cos(x). ЕОЗ: R. Область значений:[-1,1]
5.Тригонометрические функции y=tx(x) и
y=ctg(x). Y=tg(x): Еоз: (k*∏-∏/2, k*∏+∏/2),
k∈Z; y=ctg(x): еоз: (k*∏,(k+1)* ∏), k∈Z.
6.Обратная тригон функц. Y=arcsin(x). Еоз: [1,1] область значений – сегмент [-∏/2; ∏/2]. 7
Обратная тригон ф. y=arcos(x) еоз: [-1;1]
Область значений – [0, ∏].8.Обр. тригон
y=arctg(x) ЕОЗ: R. область значений –интервал
[-∏/2; ∏/2];9. y=arcctg(x) ЕОЗ: R. ] Область
значений – (0, ∏).
7.бесконечно малые и большие функции, их
свойства.
Если f(x)->0 при х->c то f(x) называют
бесконечно малой при х->c. Полагая в
определении предела l=0 можно сказать что если
для любого e>0 ∃δ>0 такое, что при∀x ∈(cδ,c)+(c, c+δ) выполняется неравенство |f(x)|<e, то
функция называется бесконечно малой.
Бесконечно малые функции обладают
следующими свойствами: 1) Алгебраическая
сумма любого конечного числа бесконечно
малых в некоторой точке функций есть функция,
бесконечно малая в той же точке. 2)
Произведение любого конечного числа
бесконечно малых в некоторой точке функций
есть функция, бесконечно малая в той же точке.
3) Произведение бесконечно малой в некоторой
точке функции на функцию ограниченную есть
функция, бесконечно малая в той же точке.
12. Теоремы о сжатой функции и пределе
монотонной огранич функции. Являются 2-мя
признаками сужествования предела. О сжатой
функции. Пусть ф-ии f (x),f (x),f (x) имеют
8.Теоремы о бесконечно малых функциях. Т1.
Функция f(x) имеет своим пределом l тогда и
только тогда, когда f(x)=l+α(x), где α(x) –
бесконечно малая. Т2. Сумма, разность и
произведение двух бесконечно малых есть
бесконечно малая. Следствие: Сумма и
произведение конечного числа бесконечно
малых есть бесконечно малая. Т3. Произведение
бескон малой на ограниченную функцию есть
бесконечно малая. Т4. Функция является
бесконечно малой тогда и только тогда, когда
обратная ей величина оказывается бесконечно
большой.
9.Арифметические операции с пределами.
Теорема. Если lim f (x)=l и lim f (x)=l , то lim
10.Сравнение функций. Если f(x)/g(x)->1 при x>c то говорят что функция f(x) и g(x)
эквивалентны при x->c. Эквивалентность ф-й
обозначают так: f(x)~g(x) (x->c). Вблизи точки с
значе6ния эквивалентных функций f(x) и g(x)
почти одинаковы. Многочлен, при x->∞
эквивалентен своему старшему члену, при
очень больших значениях х величины всех
слагаемых многочл пренебрежимо малы по
сравнен со старш слогаемым. Если 2 функц
эквивалентны, то кажд из них можно называть
главной частью др функц. Если f(x)/g(x)->A при
x->c, то f(x)~Ag(X) (x>c).
13. Наиболее важные пределы [sin(x)/x. Число e.
(ex-1)/x. (ax-1)/x. ln(1+x)/x. ((1+x)μ-1)/x. (1+x)1/x
при x->0] 1.sin(x)/x. Sin(x)<x<tx(x) ;
1<x/sin(x)<1/cos(x) ; 1>sin(x)/x>cos(x); x->+0
cos(x)->1; sin(x)/x->1 (x->+0); lim sin(x)/x=1;
14. Основные теоремы о пределах.
Теорема1(арифм операц с пределами). Если lim
1
2
3
общую область задания и f (x) ≤f (x) ≤f (x).
1
2
3
Тогда, если при х->c функции f (x) и f (x) имеют
1
3
пределом число l, то и f (x) имеет при х->с
2
предел l. Теорема о монотонной ограниченной
функции. Пусть функция f(x) задана на
промежутке [a,c). Если она возрастает и
ограничена сверху на этом промежутке, то она
имеет предел при x->c-0.
x->0
Число e. Угол пи на 4 принято обозначать через
e. т.к tx(п/4)=1 тоуглов коэфф касат=1. Возьмем
на граф функц y=ex точки (0,1) и (х, ex) и
проведем через них секущую. Углов коэф сек =
(ex -1)/x. (x->0) lim (ex -1)/x=1; e ≈2.71828. (axx->0
1)/x. Т.к ax = exlna, то lim
(ax -1)/x=lim
x->0
(exlna -
x->0
1)/x=1. Если x->0 то xlna->0 то exlna -1~lna Сл-но:
lim (ax -1)/x=lna сл-но ax -1~xlna (x->0).
x->0
ln(1+x)/x. lim
ln(1+x)/x
x->0
Сделаем замену z= ln(1+x); x=ez-1 x->0 z->0; слно lim ln(1+x)/x= lim z/ez-1=1; lim
x->0
z->0
x->0
x->0
(eln(1+x)/x)=e1=e. lim
Теорема Коши о промежуточном значении
непрерывной функции.
Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке
[a,b] и f(a)<f(b). Тогда для любого числа Q,
удовлетворяющего неравенству f(a)<Q<f(b),
найдется такая точка сє(a,b), что f(c)=Q. Иначе
говоря, непрерывная функция, переходя от
одного своего значения к другому, принимает и
все промежуточные значения.
Теорема Вейрштрасса.
Если функция непрерывна на замкнутом
промежутке, то она ограничена на этом
промежутке и принимает на нем свои
наибольшее и наименьшее значения.
В этой теореме существенно, что функция
непрерывна на замкнутом промежутке. Для
незамкнутого промежутка утверждение может
1
оказаться неверным. Например, функция 𝑦 =
𝑥
непрерывна на промежутке (0,1), но не
ограничена на нем, так как y→∞ при x→0.
Производная.
Пусть x и x+∆x – точки, лежащие внутри области
задания функции y=f(x). Найдем значения f(x) и
f(x-∆x) в этих точках и составим разность ∆f(x) =
f(x-∆x)-f(x). Затем сравним приращение функции
с приращением аргумента, то есть найдем предел
∆𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)
lim
= lim
Билет 25 Физические приложения производной
1)
Если ф-цияf(x)=m(x) -обозначает
массу
То производная f’(x)=ρ(x) –плотность
2)
Если ф-ция f(x)= Q(t)-кол-во
электричества
F’(x)=I(t) -сила тока
3) если ф-ция f(x)= S(t)-путь от времени
То f’(x)=υ(t) -скорость
И т.д.
2
1
2
2
1 2
2
x-
x->c
1
2
1
2
x-
(f (x)/ f (x))= l / l (l ≠0).
f (x) f (x)=l l , lim
>c 1
x->c 2
x->c
1
2
1
2
2
x-
f (x)=l и lim
>c 1
1
l , lim
2
f (x)=l , то lim
x->c 2
2
x->c
(f (x)- f (x) )=l - l , lim
x->c
1
2
1
(f (x)+ f (x) )=l +
2
1
2
2
1 2
(f (x)/ f (x))= l / l (l ≠0). Теорема2(об
lim
x->c
1
2
1
2
2
f(x)= f(x0) ; f(x) непрерывна в x0
f(x)= lim
0
x->x0+0
если lim
f(x) f(x0); функция f(x) непрерывна в
x->x0
2
ограниченности функции, имеющей конечный
предел) Если функция f(x) имеет конечный предел
при x->c то она лграничена в некоторой
окрестности точки с.Т 3.(сохранение знака
функции, имеющей предел). Если функция f(x)
имеет положительный предел l при x->c, то она
будет положительна в некоторой окрестности
точки с. Т 4. (предельный переходв неравенстве)
Пусть функции
f (x),f (x) имеют общую область задания и f (x)
1
x->x0-
1
f (x) f (x)=l l ,
x->c 1
15.Понятие непрерывности. Пусть x-точка,
лежащая внутри обл задания f(x), непрерывной
в точке x0, если выполняется рав-во lim
т. x0 если для ∀e>0 ∃δ>0 такое, что при∀x ∈(
x0- δ, x0+δ) выполняется неравенство |f(x)f(x0)|<e. Введем разности Δx0=x- x0 и Δf(x0)= f
(x0)- f(x)-приращ аргум и функц в точке x0. f(x)
непрер в точке x0 когда разность f (x0)->0 при
x0->0. Функция f(x) непрерывна в точке х0 если
в этой точке бесконечно малому приращению
аргумента соответствует бесконечно малое
приращение функции.
1
≤f (x). Тогда, если f (x)-> l и f (x)-> l при x->c, то
2
1
1
2
2
l ≤l .
1
2
x-
((1+x)μ -1)/x= lim
x->0
39. Вычисляемость функций с пом-ю арифм
операций. 1. Установить ЕОЗ.2.установить
характ особ-ти функции(периодичность,
четность, нечетность, сохранение знака на некот
промеж)3.Рассмотреть поведение ф. на концах
обл задания проверить наличие или отсутствие
асимптот.4 найти промеж монотонности и
экстремумы. 5 исслед направления выпукл
вогнутости и найти точки перегиба. Построить
график ф-и по характ точкам.
1
(f (x)- f (x) )=l - l , lim
(1+x)1/x = e. ((1+x)μ-1)/x. .
x->0
lim
38. Исследование направления выпуклости.
точки перегиба.
Функцию f(x) называют выпуклой вверх на
промежутке [a,b], если на этом промежутке
любая хорда ее графика лежил выше графика.
Если любая хорда графика лежит не ниже
графика, функцию называют выпуклой вниз.
Определение: функция f(x) выпукла вверх (вниз)
на промежутке [a,b], если на этом промежутке
любая касательная к ее графику лежит не
ниже(не выше) графика. Т1:Чтобы на промеж
[a,b] f(x) была выпукла вверх, необходимо и
достаточно чтобы на этом промеж ее произв
убывала. Чтобы на промеж [a,b] f(x) была
выпукла вниз, необходимо и достаточно чтобы
на этом промеж ее произв возрастала. Т2: Чтобы
на промеж [a,b] f(x) была выпукла вверх,
необходимо и достаточно чтобы на этом промеж
выполнялось условие f’’(x) ≤0. Чтобы на промеж
[a,b] f(x) была выпукла вниз, необходимо и
достаточно чтобы на этом промеж выполнялось
условие f’’(x) ≥0. Точки перегиба – точки,
разделяющие промежутки с различными
направлениями выпуклости. В точках перегиба
f’(x) меняет характер монотонности, а f’’меняет
знак.
>c 1
x->0
ln(1+x)/x=1; сл-но ln(1+x)~x (x->0). (1+x)1/x .
lim (1+x)1/x = lim (eln(1+x))1/x = lim
>0
x->c 1
(f (x)+ f (x) )=l + l , lim
(eμln(1+x) -1)/x= lim
x->0
(μ
x->0
ln(1+x)/x=μ откуда (1+x)μ -1~ μx (x->0).
44. Примеры применения формулы Тейлора.
С пом-ю форм Тейлора можно вычислять с нужн
степенью точности значения разл функц
посредством арифметич действий. Найдем
значение синуса 1 радиана с точностью до 0,001.
sin(x) ≈x-(x3/3!)+( x5/5!)-…+(-1) n-1(x2n-1/(2n-1)!)
Погрешность этого рав-ва равна Rn=(sin(c1)
*x2n+1/(2n+1)!) Отсюда sin1≈1-1/3!+1/5!-… +(-1)n1
(1/(2n-1)!) и погрешность Rn=(sin(c1)/(2n+1)!)
Подберем n так, чтобы было| Rn |<0,001. Т.к. |
sin(c1)| ≤1, то достаточно выбрать n из условия
(1/(2n+1)!< 0,001 Послед условие будет
выполнено при n=3 Сл-но с ошибкой, не
привышающей 0,001. sin1≈1-1/3!+1/5! Тоесть
sin1≈0.842
Понятие непрерывности функции.
Введем разности ∆x=x-x0 и ∆f(x0)=f(x0)- f(x),
которые будем называть соответственно
приращениями аргумента и функции в точке
x0.Ясно,что f(x) непрерывна в точке x0 тогда и
только тогда, когда разность ∆f(x0)→0 при ∆x0 →0.
Это дает нам возможность дать такое определение
непрерывности: Функция f(x) непрерывна в точке
x0 , если в этой точке бесконечно малому
приращению аргумента соответствует бесконечно
малое приращение функции.
Теорема 1.
Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x0, то
𝑓(𝑥)
в этой точке непрерывны f(x)±g(x), f(x)g(x) и
,
𝑔(𝑥)
если g(x)≠0. Док-во. Это теорема является
частным случаем о пределах суммы, разности,
произведения и частного. Действительно,
непрерывность f(x) и g(x) в точке x0 означает, что
f(x) → f(x0) и g(x)→ g(x0 ) при x→x0 . Тогда
𝑓(𝑥)
𝑓(x )
f(x)±g(x)→ f(x0)±g(x0),f(x)g(x) и
→ 0 , если
𝑔(𝑥)
непрерывности сложных функций.
Пусть y=f(x), y0 =f(x0), z=g(y), z0 =g(y0). Тогда
если f(x) непрерывна в точке x0 , а g(y)
непрерывна в точке y0 , то сложная функция
g(f(x)) непрерывна в точке x0 , то есть
суперпозиция непрерывных функций
непрерывна. Док-во. Возьмем x0 и найдем y0 , по
которому получим z0 . Дадим x0 некоторое
приращение ∆x0 . Оно вызовет приращение ∆y0 ,
которое в свою очередь, породит приращение
∆z0 . Если ∆x0 →0, то ∆y0 →0 из-за
непрерывности функции f. Но при ∆y0 →0
,будет ∆z0 →0, так как непрерывна функция g.
Таким образом, оказывается ∆z0 →0 при ∆x0
→0. Значит, суперпозиция непрерывна.
Теорема доказана.
𝑔(x0 )
g(x0) ≠0. Тем самым, теорема доказана.
Теорема2. – билет о непрерывности сложных
функций.
Пусть y=f(x), y0 =f(x0), z=g(y), z0 =g(y0). Тогда если
f(x) непрерывна в точке x0 , а g(y) непрерывна в
точке y0 , то сложная функция g(f(x)) непрерывна в
точке x0 , то есть суперпозиция непрерывных
функций непрерывна.
∆𝑥→𝑜 ∆𝑥
∆𝑥→0
∆𝑥
Этот предел называют производной или
производной первого порядка от функции f по
аргументу x и обозначают f'(x), или y'.
Производная – предел отношения приращения
функции к приращению аргумента при
приращении аргумента, стремящемся к нулю:
∆𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)
f'(x)= lim
= lim
∆𝑥→𝑜 ∆𝑥
∆𝑥→0
∆𝑥
Не всякая функция может иметь производную.
Теорема. Если в точке x существует f'(x), то в
этой точке функция f(x) непрерывна.
Непрерывность функции необходима для
существования производной, но не является
достаточной. Процесс нахождения производной
называют дифференцированием.
Точкой разрыва функции f(x) называют такую
точку х0, в которой нарушается правило
lim f(x) = lim f(x) = 𝑓(𝑥0)
𝑥→𝑥0−0
𝑥→𝑥0 +0
1)Оба предела существуют и равны, но не равны
f(x0) ,то есть f(x0 – 0) = f(x0 + 0) ≠ f(x0). В этом
случае точку x0 называют устранимой точкой
разрыва Действительно, если мы доопределим f
, положив f(x0) = f(x0 – 0) = f(x0 + 0), то она
станет непрерывной
2)Оба предела существуют, но они не равны, то
есть f(x0 – 0) ≠ f(x0 + 0). В этом случае точку x0
называют точкой разрыва первого рода.
Заметим, что в этом случае значение f(x0) нас не
интересует.
Разность f(x0 – 0) - f(x0 + 0) называется
скачком функции f в точке разрыва.
Пример.
1 при х > 0
1(х)={
0 при х < 0
Очевидно, что 1(+0) = 1, 1(-0),то есть x0 = 0
является точкой разрыва первого рода, причём
скачок функции в этой точке равен 1. Эту
функцию называют единичной функцией, или
функцией единичного скачка, или единицей
Хевисайда.
Функция Хевисайда оказывается очень
удобной при описании физических ли
технических процессов, начинающихся в
некоторый момент
Все остальные точки разрыва называются
точками разрыва второго рода. Ясно, что в точке
разрыва второго рода хотя бы один из пределов
f(x0 – 0) и f(x0 + 0) не существует.
27.
Производные и
дифференциалы высших порядков, их
нахождение
Производная порядка k от ф-ции f(x) называется
производная от ее производной
порядка k-1: fk(x)=(f(k-1)(x))’
дифференциалом порядка k от ф-ции f(x)
назовем дифференциал от ее дифференциала
порядка k-1: dkf(x)=d(dk-1f(x)).
Если х независимый аргумент то: dkf(x)=fk(x)dxk
𝑑^𝑘𝑓(𝑥)
и fk(x)=
.
𝑑𝑥^𝑘
Если х зависимый аргумент то имеется ф-ция
f(x), где х=g(t), а t–независимый аргумент.
Тогда ft’(x)=f’(x)g’(x). Следовательно,
df(x)=f’(x)g’(t)dt.
Билет 23 Геометрический и физический смысл
Производной
Физ смысл:
Приращение ф-ции к приращению аргумента при
Δf(x)
приращении аргумента→0 𝑓(𝑥) = lim (
)=
f(x+∆x)−f(x)
lim (
𝑥→0
Δ𝑥
𝑥→0
Δ𝑥
)
Геометрич смысл:
Производная- это угловой коэффициент
касательной:
y-f(x₀)=f’(x₀)*(x-x₀)
касательная в точке М ―прямая занимающая
предельное положение МТ секущей ММ1,
двигаясь по кривой, неограниченно приближаясь к
точке М.
Билет 28
F(k)(x)=(f(k-1)(x))’
1)
2)
3)
4)
(ex) k=ex
(sinx)k=sin(x+k*π/2)
(cosx) k= cos(x+k*π/2)
(ln(1+x)) k=((-1)k-1 *(k1)!)/(1+x)k
5)
((1+x)µ)k=µ(µ-1)…(µ-(k1))(1+x)µ-k
Если n –целое положительное число:
n n
((1+x) ) =n!
Если k>n: ((1+x) n)k=0
Билет 24 Уравнение касательной и нормали
Если ф-ция в нек. Точке имеет производную,
то в этой точке сущ касательная.
Используется уравнение пучка прямых,
получаем ур. Касательной:
(x,y)-текущ. Координаты кос. Провед. В (X₀,
Y₀):
Y – f(Xo)=F’(X₀)(x - X₀)
Прямая проходящая через точку касания
перпендикулярно к касательной -- нормаль.
Из перпендикулярности => k=-1/k=-1/f(x)
Y-f(x)=-1/f(x)*(x-X₀)
Билет 29 Параметрическое задание линий
На промежутке [a, b] заданы две непрерывные
функции U(t), V(t). Множество точек на
плоскости с координатами:
X=U(t) t∈[a,b]
Y=V(t)
Называем линией на плоскости.
Аргумент, от которого зависят координаты,
называют параметром линии, а способ задания
линии называют параметрическим.
Одна и та же линия может иметь различные
параметрические задания.
Пример:
Параметрическое ур прямой, проход через
точку (x₀, y₀), с направляющ вектором(l, m):
X=lt + X₀ t∈R
Y=mt + Y₀
26.
Дифференциал, его
геометрический смысл и приложения
Возьмем две точки: x и x+△x из промежутка
задания функции f(x) и найдем приращение
ф-ции . если это приращение можно
представить в виде: △f(x)=A(x)△x+ o(△)
(△x→0)
то говорят, что ф-ция дифференцируема в точке
х, а величину А(х)△х называют дифференциалом
ф-ции и обозначают df(x).
Ф-ция f(x) имеет дифференциал, когда она имеет
производную. Значит df(x)=f’(x)△x.
𝑑𝑓(𝑥)
А так же: df(x)=f’(x)dx и f’(x)=
𝑑𝑥
Дифференциал ф-ции равен приращению,
которое получает ордината касательной при
переходе от точки х к точке х+dx.
Замена приращения ф-ции дифференциалом
означает замену с достаточно высокой степенью
точности малого отрезка кривой малым отрезком
прямой линии.
Такая замена приводит к очень простой связи
приращения ф-ции с приращением аргумента:
приращение ф-ции оказывается прямо
пропорциональным приращению аргумента. Это
позволяет решить огромное число задач,
кажущихся неразреимыми без
42.
Формула Тейлора для
простейших функций
Pn=a₀+a1x+…+anxn---многочлен
T=c₀+c1(x-a)+…+cn(x-a) n---разложение
многочлена по Тейлору
T(a)=c₀
T’=c1+2*c2(x-a)+…+n*cn(x-a)n-1—производная
Сn=fn(a)/n!
Выводим: Tn(x)=∑
𝑛
f^k(a)
k!
𝑘=0
∗ (x − a)^k, где
Tn(x) многочлен Тейлора функции f(x).
Ясно что f(x)=Tn(x)+Rn(a,x).
Тогда f(x)=∑
𝑛
f^k(a)
k!
𝑘=0
𝑥
Пример: 𝑒 𝑥 = 1 + +
1!
∞
∗ (x − a)^k+Rn(a,x).
𝑥2
2!
+
𝑥3
3!
+ ⋯ , −∞ < 𝑥 <
Гиперболическим синусом называют функцию
𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥
𝑠ℎ 𝑥 =
, 𝑥𝜖𝑅
2
Свойства :
1)sh 0 = 0;
2)sh (-x)
3)sh x > 0 при x>0 и sh x < 0 при x < 0
𝑒𝑥
𝑒 −𝑥
4) sh x ~
при x → +∞ и sh x ~
при x →
2
2
-∞
Билет 30 Параметрическое дифференцирование
{X=U(t)
Y=V(t)
Yx’=dy/dx=Ů/V̊
Dx=Ůdt
Dy=V̊dt
Yx’’=(d(y’))/d(x)=(V̊*Ü-ŮV̈)/Ů3
Yxk=dy(k-1)/dx
Билет 31 Теоремы Ферма, Ролла
ФЕРМА(1601-1665):
Пусть функцияf(x) имеет производнуюf’(x) на
интервале(a, b),
если в точке Xo на интервале ф-ция принимает
мин или макс знач
=> f’(Xo)=0.
РОЯЛЬ (1652-1719):
Пусть ф-цияf(x) имеет производнуюf’(x) на
интервале[a,b] и f(a)=f(b)
=>тогда внутри найдется такая точка с , в к
f(c)=0.
32.
Формулы Лагранжа и Коши
Лаграндж (1736-1813):
Если ф-ция f(x) имеет производную f’(x) на
промежутке[a,b], то внутри промежутка найдется
такая точка с, в которой будет выполняться
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
равенство:
= 𝑓 ′ (𝑐)
𝑏−𝑎
Коши (1789-1857):
Пусть функции f(x) и g(x) имеют производные на
промежутке[a,b], причем g’(x)≠0.
Тогда внутри промежутка найдется такая точка с,
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
в которой выполняется равенство:
=
Билет 33 Правило Лопиталя
На промежутке [a,b] заданы ф-ции f(x) и g(x),
имеющие производные причем f(a)=g(a)=0.
Т.к эти ф-ции имеют производные то они
непрерывны, а потому f(x)→0 и g(x)→0 при
x→a.
𝑓(𝑥)
𝑓 ′ (𝑥)
Значит: lim ( ) = lim ( ′ )
𝑓 ′ (𝑐)
Ясно что с→а и х→а. поэтому: lim (
𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎)
𝑔′ (𝑐)
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
=
𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑔(𝑥)−𝑔(𝑎)
𝑓(𝑥)
𝑓 ′ (𝑐)
𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)
𝑓 ′ (𝑐)
𝑐→𝑎
𝑔′ (𝑐)
𝑥→𝑎
=
𝑓 ′ (𝑐)
Значит:
𝑔(𝑥)
𝑔′ (𝑐)
) = lim (
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
lim (
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
𝑓 ′ (𝑥)
𝑔′ (𝑥)
)
) = lim (
𝑥→𝑎
𝑓 ′ (𝑥)
𝑔′ (𝑥)
)
Это равенство и назвали правилом Лопиталя
(1661-1704).
Свойства :
1) ch 0 = 1;
2) ch (-x) = -sh x
3) ch x ≥ 1;
𝑒𝑥
𝑒 −𝑥
4)ch x ~ при x→ +∞ и sh x ~
при x → +∞
2
Тангенсом
𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥
𝑡ℎ 𝑥 = 𝑥
, 𝑥𝜖𝑅
𝑒 + 𝑒 −𝑥
Свойства
1)Th0=0
2)th(-x)=-th x
3)0<th x<1 при x>0 и -1<th x<0 при x< 0
4)th→1 при x→+∞ и th x →-1 при x→-∞
Котангенсом
𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥
с𝑡ℎ 𝑥 = 𝑥
, 𝑥𝜖(−∞, 0) + (0, +∞)
𝑒 − 𝑒 −𝑥
Свойства
1) cth x →+∞ при x→+∞ и cth x→-∞ при x→-0
2)cth(-x)=-cth x
3)cth x>1 при x>0 и cth x→-1 при x→-∞
Билет 34
𝑙𝑛𝑥
сравним lnx и xµ x>0 при x→+∞: lim ( ) =
lim (
𝑥→+∞
𝑥→+∞ 𝑥^µ
1
𝑥
µ∗𝑥^µ
) = lim (
1
)=0
𝑥→+∞ µ∗𝑥^µ
таким образом если µ>0 то lnx=o(xµ) при x→+∞,
то есть xµ растет гораздо быстрее, чем lnx.
Сравним xµ (µ>0) и ex при х→+∞. Для этого
возьмем целое n и n>µ , и сравним xn с ex:
𝑥^𝑛
lim (
𝑥→+∞
𝑒^𝑥
) = lim (
𝑥→+∞
𝑛∗𝑥^(𝑛−1)
𝑒^𝑥
) = ⋯ = lim (
𝑥→+∞
𝑛!
𝑒^𝑥
)=
0
Получили xn=o(ex ) при x→-+∞.т.к µ<n, то тем
более будет xµ=o(ex) при x→+∞, то есть xµ растет
гораздо медленнее, чем ex.
Из всего этого следует, что: lnx < xµ < ex
Билет 35 Асимптоты плоских линии, их
нахождение
Если ф-ция f(x)→∞ при x→a+0 , то это означает,
что ее график приближ к ветикальн прямой x=a.
Эта прямая― вертикальная асимптота ф-ции
f(x).
Если f(x) при x→+∞, то это означает, что с
возрастанием график приближ к горизонт
прямой y=b.
Такая прямая ― горизонт асимптота ф-ции f(x).
Горизонтальная асимптота ф-ции f(x):
lim (𝑓(𝑥))
𝑥→∞
Наклонная асимптота ф-ции f(x): y=kx+b
𝑓(𝑥)
k=lim ( )
𝑥→∞
𝑥
b=lim (𝑓(𝑥) − 𝑘𝑥)
𝑥→∞
Билет 36: Исследование монотонности функций
с помощью производной
Ф-ция f(x) возрастает на промежутке [a, b] при∀
x∈[a,b]выполняется условие f’(x)>=0,
Ф-ция f(x) убывает на промежутке [a,b] при
∀x∈[a,b] когда f’(x)<=0.
37.
Экстремумы, их необходимые
и достаточные условия
1 Функция f(x) имеет мин в точке x₀, если сущ
такая окрестность этой точки (x₀-δ, x₀+δ),
Что для∀ x∈(x₀-δ,x₀+δ) выполняется условие
f(x₀)<=f(x).
2 Функция f(x) имеет мин в точке x₀, если сущ
такая окрестность этой точки (x₀-δ, x₀+δ),
Что для ∀x∈(x₀-δ,x₀+δ) выполняется условие
f(x₀)<=f(x).
Теорема о необходимом условии экстремума:
Если дифференцируемая функция f(x) в точке x₀
имеет экстремум, то f’(x)=0.
Это равенство необходимо, но не достаточно для
сущ экстремума в точке x₀,
Т.к если при переходе ф-ции через точку x₀ знак
производной не поменяется =>
Значит функция продолжает убывать или
возростать и в этой точке нет ни min ни max!
Теорема о достаточном условии экстремума:
Если производная f’(x) меняет знак с + на - ―при
переходе через точку x₀, то в точке x₀
ф-ция f(x) имеет max.
Если производная f’(x) меняет знак с - на + ―при
переходе через точку x₀, то в точке x₀
ф-ция f(x) имеет min.
𝑔′ (𝑐)
)=
)
𝑐→𝑎
2
𝑔 (𝑥)
, где a<c<x.
Ho: lim (
𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥
сℎ 𝑥 =
, 𝑥𝜖𝑅
2
𝑥→𝑎
Используя формулу Коши, получим:
lim (
Косинус
𝑔(𝑥)
Если предел отношений сущ, то:
43.
Бином Ньютона
В формуле Тейлора для ф-ции f(x)=(1+x)n
остаточный член равен 0, так что равенство
примет вид:
𝑛∗(𝑛−1)
(1+x)n=1+n*x+
*x2+…+xn
2!