математика 1 курс (Булатасова Г.Х)

Тема 5. Основы тригонометрии.
ЦЕЛИ
 сформировать и закрепить умение сводить вычисление значений
синуса, косинуса, тангенса отрицательных углов к вычислению их
значений для положительных углов; вывести и закрепить формулы
сложения; сформировать и закрепить умение применять формулы
сложения; на основе формул сложения вывести и показать применение
формул двойного угла; вывести формулы половинного угла, показать
их применение; сформировать и закрепить умение сводить значения
синуса, косинуса и тангенса любого угла к значениям синуса, косинуса
и тангенса острого угла; вывести формулы суммы и разности, показать
их применение; ввести определение арккосинуса числа, организовать
вывод формулы решения уравнения cos x = a; ввести определение
арксинуса числа, организовать вывод формулы решения уравнения sin
x = a; ввести и закрепить определение арктангенса числа, организовать
вывод формулы решения уравнения tg x = a; сформировать и закрепить
умение решать тригонометрические уравнения, сводимые к
квадратным; сформировать и закрепить умение решать однородные
тригонометрические уравнения; сформировать и закрепить умение
решать тригонометрические уравнения вида a sin x + b cos x = c;
сформировать и закрепить умение решать тригонометрические
уравнения разложением на множители; сформировать умение решать
тригонометрические
уравнения
с
использованием
формул
тригонометрии
и
систем
тригонометрических
уравнений;
сформировать и закрепить умение решать тригонометрические
неравенства.
КВАЛИФИКАЦИОННЫЕ ТРЕБОВАНИЯ
Студент должен:
знать:
 определение радиана, формулы перевода градусной меры угла в
радианную и обратно;
 определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа;
 основные формулы тригонометрии;
 понятия обратных тригонометрических функций;
 свойства и графики обратных тригонометрических функций;
 способы решения простейших тригонометрических уравнений;
 способы решения простейших тригонометрических неравенств;
уметь:
 вычислять значения
степенью точности;
тригонометрических
функций
с
заданной
 преобразовывать тригонометрические выражения,
тригонометрические формулы;
используя
 решать простейшие тригонометрические уравнения;
 решать несложные уравнения, сводящиеся к простейшим с помощью
тригонометрических формул;
 решать простейшие тригонометрические неравенства.
СОДЕРЖАНИЕ ТЕМЫ
Радианное измерение углов и дуг. Соотношения между градусной и радианной
мерами угла.
Синус, косинус, тангенс, котангенс числа.
Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента.
Формулы приведения. Четность и нечетность тригонометрических функций.
Формулы сложения. Формулы двойного и половинного аргумента.
Преобразования сумм тригонометрических функций в произведения.
Преобразование произведений тригонометрических функций в суммы.
Периодичность тригонометрических функций. Вычисление значений и
тождественные преобразования тригонометрических выражений.
Простейшие
тригонометрические
уравнения.
Способы
решения
тригонометрических уравнений. Тригонометрические неравенства. Решение
простейших тригонометрических неравенств.
Тема " Основы тригонометрии " завершается комплексом учебнотренировочным тестовыми заданиями ЕГЭ по данной теме.
АУДИТОРНАЯ ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА
(см. приложение 5)
1. Практическая работа № 1 Использование формул сложения.
2. Практическая работа №2 Формулы приведения и формулы двойного и
половинного аргумента.(см. приложение 5)
3. Практическая работа №3 Преобразование выражений, содержащих
обратные тригонометрические функции.(см. приложение 5)
4. Практическая работа №4 Решение тригонометрических уравнений и
неравенств.(см. приложение 5)
ВНЕАУДИТОРНАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
1. Выполнение реферата на тему: «История становления и развития
тригонометрии».
2. Работа с таблицами Брадиса для вычисления синуса и косинуса.
3. Работа со справочной литературой по составлению таблицы значений
обратных тригонометрических функций основных углов.
4. Работа с учебной и справочной литературой по теме: «Формулы для
обратных тригонометрических функций».
5. Решить тестовые задания базового уровня А (тестовых заданий более
сложного уровня В) демоверсии ЕГЭ-2009-2010
КОНТРОЛЬ РЕЗУЛЬТАТОВ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
 комбинированный (проверка практических работ, заслушивание
рефератов, проверка терминологического словаря, проверка домашних
работ);
 взаимоконтроль выполнения внеаудиторных письменных работ;
 комментированный опрос, фронтальный устный опрос;
 текущий и тематический контроль;
 контроль за ходом выполнения опережающего задания;
 взаимоконтроль по контрольным вопросам темы.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. Дайте определение угла, его измерение.
2. Какова формула, связывающая градусную и радианную меры
измерения углов?
3. Дайте определение синуса, косинуса, тангенса, котангенса.
4. Раскройте основные свойства синуса, косинуса, тангенса, котангенса.
5. Каковы основные значения тригонометрических функций основных
углов?
6. Запишите основные формулы тригонометрии.
7. Назовите основные свойства тригонометрических функций.
8. Изобразите схематически графики тригонометрических функций.
9. Дайте понятия обратных тригонометрических функций и действий над
ними.
10.Сформулируйте алгоритм решения простейших тригонометрических
уравнений.
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №1-3:
Тригонометрические преобразования
Вариант № 1
Вариант № 2
1) Вычислить
cos
21
11
   
;2 sin    cos  ; tg930; sin
2
6
 6  4
sin x  3 cos x
, если tgx = – 2
2 sin x  5 cos x
sin
15
11
 
 
; cos    3tg  ; ctg930; cos
2
6
 3
 4
 2 sin x  3 cos x
, если tgx = – 3
4 cos x  3 sin x
2) Решите уравнения
а) cos(– 3x) = – 1; б) tg(5п + х) = 0
а) sin(– 2x) = – 1; б) ctg(7п + х) = 0
в) sin(2x + 6п) + cosп/4 = 2 2
в) cos(8п + 3х) + 1 = tgп/4
3) Упростите выражения
а)
sin x  tgx
cos x  1
а)
3

1  sin 2 x  sin    2 x 
2

б)
3


1  sin 2 x  sin    2 x 
2

в)
1  (sin x  cos x)
1  2 cos 2 x
2
б)
cos x  ctgx
sin x  1
г*) cos
sin(   x)  sin
x
2
x
3

1  sin    x   cos
2
2

д*)

15
 cos
2
7
 ...  cos
15
15
3  4сos 2  cos 4
3  4 cos 2  cos 4
е*)
sin 4 x  cos 4 x
в)
sin x cos x
 sin 47  sin 61  sin 11  sin 25
cos 7
ж*)2sin 4   sin 2  cos 2   cos 4    sin 8   cos 8  ;
2
з*) 4 cos 4 4  3  6 cos 8  4 sin 4 4  3  6 cos 8
4) Дано cosp = – 5/13, п/2 < p < п
Найти sin(п/3 – р)
4) Дано
Найти
sinp = 8/17, п/2 < p < п
cos(п/6 – р)
5) Сравните с 0 выражения
cos5; tg1,6п; sin11п/9
sin4; cos1,8п; ctg9п/7
6) Найти х, если
sin 28  sin x  2 sin 21  cos 49 cos 51  cos x  2 sin 17  sin 68
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №4:
Тригонометрические уравнения – 1
Вариант № 1
Вариант № 2
Решите уравнения
1) sinx = 0
1) cosx = 0
2) 2tg3x = 0
2) 3ctgx = 0
3) – 2cosx = 1
3) – 2sinx =
4) 2sin(2x – 4п) =
2
4) 2cos(2x – 4п) =
 3
 3
5) sinx cos2x + cosx sin2x = 1
5) cosx cos3x – sinx sin3x = 1
6) 2sinx/2 cosx/2 = – 1
6) cos22x – sin22x = – 1
7) cos22x = 2
7) 1/2 sin4x = 1
8) 1 – sin2x = 0
8) 1 – cos2x = 0
9) 3sin22x + 7cos2x – 3 = 0
9) 2cos23x + 5sin3x – 4 = 0
10)
2tg43x – 3tg23x + 1 = 0
10)
2tgx – 2ctgx = 3
11)
(1 – cos2x)(сtgx +
11)
(sinx + 1)(ctg2x –
12)
sinx = sin3
12)
cosx = cos4
13)
tg2x =
 3,
на отрезке [– п/2;п]
3)
=0
13) tgx/2= 
3)
=0
3 3,
на отрезке [– 3п/2;2п]
14) 2cos2x – sinx – 1 = 0; 8 <x< 40 14)
cos2x = 1 – 3cosx; 1 < x < 50
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №4:
Тригонометрические уравнения - 2
Вариант № 1
Вариант № 2
Решите уравнения
1) сos2x – 5sinx – 3 = 0
1) cos2x + 3sinx = 2
2) tgx + ctgx = 2
2) tgx + ctgx = – 2
3) sinx + sin5x = 0
3) cosx + cos5x = 0
4) 3 – 4cos2x = 0
4) 1 – 4sin2x = 0
5) sinx – 7cosx = 0
5) 5sinx + 6cosx = 0
6) 3sin2x + sinx cosx = 2cos2x
6) 4sin2x = 3sinx cosx + cos2x
7) 3sin2x – 3 sin2x + 5cos2x = 2
7) 2sin2x – 3 sin2x = – 1
8) tg2x =
1  сosx
1  sin x
9) 1 – 2sin
x
x
= cos
6
3
8) ctg2x =
9) 2cos
1  sin x
1  cos x
x
x
– 1 = cos
6
3
10)sin2x = sin5x
10)cos4x = cos6x
11)cos3x = sinx
11) sin3x = cosx
12)cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0
12) sinx – sin3x – sin5x + sin7x = 0
13)sin2x sin6x = cosx cos3x
13) cos3x cos6x = cos4x cos7x
14) 2 sin2x – 2 cos2x = 1
14) sin3x + 3 cos3x =
15)sin22x + sin23x + sin24x + sin25x = 2
15)cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2
16)cos2x – sin2x = 3,5
16) sin4x + cos4x = 2,5
17)4sinx + 5cosx = 6
17) 3sinx + 5cosx = 4
18)sinx + cosx = 2,5 + 5sinx cosx
18) sinx – cosx + 5sinx cosx = 1
19) sin x = sinx + 2cosx
19) cos x = cosx – 2sinx
20) cos 4 x  lg  x 2  x  2  0
20) sin 2 x  lg  x 2  4 x  5  0
21) sin 3x  sin 2x  1
21) cos 2x  cos 4x  1
22)(sinx + 3 cosx)sin4x = 2
22) 2 (sinx + cosx) = tgx + ctgx
x
5
23) cos  cos
2x
4x 1
 cos

5
5 8
2
23) 2sin7x + 3 cos3x + sin3x = 0
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №4-а:
Тригонометрические неравенства
Вариант № 1
Вариант № 2
Решите неравенства
1) sinx < 1/2
1) cosx > – 1/2
2) cos2x > 0
2) sin3x < 0
3) tg(2x – п/3)<
3) tg(2x + п/6)> 
3 3
4) sinx > cosx
4) sinx < cosx
5) 3 – 4cos2x > 0
5) 1 – 4sin2 x < 0
6)
cos x  4  х 2  0
6)
sin x  9  х 2  0
7) 2sin2x+3sinx–2  0
7) cos2x+5cosx+3  0
> cos2x;
8)
sin x  сosx  1 ;
8)
sin x
9)
18сos x 3  4  13 ;
9)
10 sin 2 x  2  7
10) log2(cos2x – 1/2 cosx)

–1
11) сos2x + sin2x + cosx – sinx
10) 0,2cos2x – 25-cos

при – п/2 < x < п/2
12) cosx – sinx – cos2x > 0
13)
3
5  2 sin x  6 sin x  1
14) logxcos2x > 0
1,
2
x
< 4
(125)-0,5
11) 2tg2x

3tgx
12)
2
log sin
x 2  3 log sin x sin x  2 log sin x 2
13)
sin  x  3  5x  2 x 2  0
14) logcosxsin2x

0
15*) Найти ООФ: y  log 3 25  x 2   sin x  1 2; y  log  log cos 4 x 7  x
16*) Найти решения нер-ва
х 
s in2 x  c o sx  s in x , удовлетв. условию