ЗАДАНИЯ B5: ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ Проверяемые

ЗАДАНИЯ B5: ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ
Проверяемые элементы содержания и виды деятельности: владение понятием уравнение,
область определения уравнения, знание основных типов простейших уравнений, умение решать
уравнения.
Ориентировочное время выполнения учащимися, изучающими математику на базо-вом уровне:
5—10 минут.
Типы заданий:
Линейные и квадратные уравнения.
Рациональные уравнения.
Иррациональные уравнения.
Показательные уравнения.
Логарифмические уравнения.
Тригонометрические уравнения.
Линейные уравнения. Уравнение ax= b, где x — неизвестное, a и b — любые действительные
числа, называется линейным уравнением относительно x.
Квадратные уравнения.
Квадратным уравнением называется уравнение вида
,
где
x - переменная,
a,b,c - постоянные (числовые) коэффициенты.
В общем случае решение квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта:
Формула дискриминанта:
.
О корнях квадратного уравнения можно судить по знаку дискриминанта (D) :
D>0 - уравнение имеет 2 различных вещественных корня
D=0 - уравнение имеет 2 совпадающих вещественных корня
D<0 - уравнение имеет 2 мнимых корня (для непродвинутых пользователей - корней не имеет)
В общем случае корни уравнения равны:
.
Очевидно, в случае с нулевым дискриминантом, оба корня равны
.
Иррациональные уравнения
Иррациональным называется уравнение, в котором неизвестное (переменная) содержится под
знаком корня или под знаком операции возведения в рациональную (дробную) степень.
Для решения иррациональных уравнений обычно используются следующие п р и е м :
«уединение» корня в одной из частей уравнения и возведение в соответствующую степень;
Показательные уравнения
Уравнение, которое содержит неизвестное в показателе степени, называется показательным
уравнением.
Самое простое показательное уравнение имеет вид
ax = b,
где a > 0, a ≠ 1.
Логарифмические уравнения
Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании,
называется логарифмическим уравнением.
Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида
loga x = b.
Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное
решение x = ab.
Тригонометрические уравнения
Тригонометрическое уравнение — уравнение, содержащее неизвестное под знаком
тригонометрической функции.
Виды тригонометрических уравнений
Простейшие тригонометрические уравнения.
Уравнение sin x = a
Если | a | > 1, то уравнение sin x = a не имеет корней. Например, уравнение sin x = 2 не имеет
корней.
Если | a | ≤ 1, то корни уравнения выражаются формулой x = ( —1)n arcsin a + πn, n ∈ Z.
Частные случаи:
1. sin x = 0 ⇒ x = πn, n ∈ Z.
2. sin x = 1 ⇒ x = π/2 + 2πn, n ∈ Z.
3. sin x = -1 ⇒ x = -π/2 + 2πn, n ∈ Z.
Уравнение cos x = a
Если | a | > 1, то уравнение cos x = a не имеет корней. Например, уравнение cos x = —1,5 не имеет
корней.
Если | a | ≤ 1, то корни уравнения выражаются формулой x = ±arccos a + πn, n ∈ Z.
Частные случаи:
1. cos x = 0 ⇒ x = π/2 + πn, n ∈ Z.
2. cos x = 1 ⇒ x = 2πn, n ∈ Z.
3. cos x = -1 ⇒ x = π + 2πn, n ∈ Z.
Уравнение tg x = a
Уравнение tg x = a имеет корни при любом значении a. Корни уравнения выражаются
формулой x = arctg a + πn, n ∈ Z.
Уравнение ctg x = a
Уравнение ctg x = a имеет корни при любом значении a. Корни уравнения выражаются
формулой x = arcctg a + πn, n ∈ Z.
Дробно рациональное уравнение
Схема решения дробного рационального уравнения
1. Найти общий знаменатель всех дробей, которые входят в уравнение.
2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.
3. Решить полученное целое уравнение.
4. Произвести проверку корней, и исключить те из них, которые обращают в нуль общий
знаменатель.