Решение уравнений I способ 1. II способ. Понижение степени.

Решение уравнений
I способ
1. sin4 х + cos4 х=
7
8
a4+b4=(a2+b2) - 2a2 b2
(sin2 х + cos2 х) - 2 sin2 х cos2 х =
7
8
1
sin2 2х= ·2
8
1
cos4 х=
2
n
 
х=
+
, n € z.
2
12
Ответ: х =
n
 
+
, n € z.
2
12
II способ. Понижение степени.
7
sin4 х + cos4 х=
8
7
1  cos 2 х 2 1  cos 2 х 2 7
(sin2х)2 + (cos2 х)2=
(
) +(
) =
8
2
2
8
2
2
1  2 cos 2 х  cos 2 х 1  2 cos 2 х  cos 2 х 7
+
=
8
4
4
2
2(2+2cos 2х) = 7
7
1+ cos22х =
4
3
cos22х =
4
1  cos 4 х 3
=
2
4
1
cos 4х =
2
Ответ: х =
n
 
+
, n € z.
2
12
2. sin6х + cos6х =
5
8
(sin2х)3 +(cos2х)3 =
a3+b3=(a+b) (a2 - a b + b2)
5
8
(sin2х + cos2х)* (sin4х – sin2х cos2х + cos4х) =
(sin2х + cos2х) - 2 sin2х cos2х - sin2х cos2х =
5
1- 3 sin2х cos2х = ;
8
5
4
1- 3 sin2х cos2х = ;
8
4
5
;
8
5
;
8
5 3
=
(sin2х)2;
8 4
3 3
= sin22х;
8 4
1-
1
1  cos 2
= sin22х;
/ sin2  =
2
2
1  cos 4 х 1
=
2
2
1- cos 4х =1
cos 4х = 1-1
cos 4х =0

4х = +πk, k € z
2
 к
х= +
,k€z
8 4
Усложним (как при ЕГЭ)
Найдите количество корней, принадлежащих [0;π]
 к
+
π
8 4
 к

- ≤
≤π8
4
8
1
1
- ≤ k ≤ 42
2
1
- ≤ k ≤ 3,5
2
0
k=0,1,2,3. т.к. k € z
Ответ: х =
 к
+
, k € z, четыре корня.
8 4
3. Чему равно произведение корней уравнения
4  х2
Вариант ответов
2π
- 2π
· (tg
3π
х
- 1) = 0
2
- 3π
4π?
Решение
Произведение корней равно 0 тогда и только тогда, когда один из множителей равен 0, а
другой при этом не теряет смысла.
I.
II.
4  х2 = 0
х 
≠ + πn, n € z
2 2
tg
или
х
-1=0
2
4-х2 ≥ 0

х
=
+ πk k € z
4
2
-2 ≤ х ≤ 2
х = ±2
х≠ π +2πn

+ 2πk
k€z
2
Методом подбора

 4
при k=-1; х= -2π; х= 2
2 2
3
х=€ [-2;2]
2

при k = 0 х= € [-2;2]
2

5
при k = 1 х= +2π; х=
€ [-2;2]
2
2

х= решение
2
х=
± удовлетворяет условию
х≠ π +2πn, n € z
т.к. х –иррациональные числа
-2 и 2 решение
Найдем произведение корней -2*2*

=-2π
2
Ответ: -2π
4. Найти сумму корней уравнения
( tg х -
3 ) · arcsin
2( х   )

=0
I.
II.
tg х -1 ≤
3 =0
2( х   )

arcsin
≤1
или
х≠
2х = 2π
π≤ 2х ≤ 3π
х=π

7
.
3
=0

+ πn, n € z
2
=0
2х - 2π = 0

3
≤х≤
2
2
Ответ:

2( х   )

+ πm, m € z
3
2( х   )
2. -1 ≤
≤1|*π

-π≤ 2х-2π ≤ π
1. х=
Найдем сумму корней
2( х   )
π≠

+ πn n € z
2

4
5 3 7
+
+π=
+
=
3
3
3
3
3
5. Решить уравнение
cos π
2 sin 
х
х
х
х
х 1
cos2π cos4π
cos8π
cos16π =
31
31
31
31
31 32
х
х
х
х
х
х
cos  cos 2 cos 4 cos 8 cos16
31
31
31
31
31
31 = 1
х
32
2 sin 
31
х
х
х
х
х
х
cos 2 cos 4 cos 4 cos 8 cos16
31
31
31
31
31
31 = 1
х
32
2  2 sin 
31
х
х
х
х
2 sin 4 cos 4 cos 8 cos16
31
31
31
31 = 1
х
32
2  2  2 sin 
31
х
х
х
2 sin 8 cos 8 cos16
31
31
31 = 1
х
32
2  8 sin 
31
х
х
2 sin 16 cos16
31
31 = 1
х
32
2  16 sin 
31
2 sin 2
х
31 = 1
х
32
32 sin 
31
х
х
sin32π
= sinπ
31
31
х
х
 
 
sin32π
- sinπ =0
sin  - sin  = 2 sin
cos
31
31
2
2
х
х
х
х
32

32

31
31 sin
31
31 = 0
2cos
2
2
1
х
х
cos 33   sin
=0
2
31
31
sin 32
1) cos
33х
=0
62
2) sinπх = 0
33х

62
=
+ πn, n € z / ·
62
2
33
62
31
n
х=
33
31
Ответ:
62
31
n
33
33
х = 2k, n € z,
х
= πk
2
х = 2k, k € z
k € z.