Исследование резонанса напряжений

4.7. Технологическая карта – инструкция по выполнению лабораторной работы
Исследование резонанса напряжений
Цель работы: Ознакомиться с явлением резонанса напряжений и условиями,
при которых он возникает.
В электрических цепях переменного тока, содержащих емкостные и индуктивные
элементы, при определенных условиях возникает резонанс. При этом ток и напряжение на
зажимах цепи совпадает по фазе ( = 0).
При резонансе происходит обмен энергией между магнитным полем катушки
индуктивности:
Li2
WM = ------2
и электрическим полем конденсатора
Сu2c
WЭ = -------2
так, что в любой момент времени
Li2
Сu2c
------- + -------- = const.
2
2
От источника энергия поступает только на покрытие тепловых потерь в резисторах
цепи.
i
~U
R
Ur
Рис. 4.1.
L
UL
C
UC
.
U
r
C
. .
U=Ur
0
L
.
.
I
Рис. 4.2.
Напряжение на выходных зажимах цепи:
U  U r  (U L  U C ) 2  I r 2  ( xL  xC ) 2  ZI
2
(1)
xL - xC
 = arctg -----------.
r
1
В режиме резонанса xL = xC ; т.е. L - ----- = 0; 2LC = 1; (2) .
C
При последовательном соединении L и С резонансная частота p цепи равна
частоте 0 собственных колебаний:
1
 p  0 
LC
1
(3)
f0 
2 LC
При исследовании резонансного режима вводят понятия о волновом
сопротивлении цепи:
p  xL 0  xC 0 
L
(4)
C
и о добротности цепи:
p
0L 1/0C
UL0
UC0
Q = ----- = ------- = --------- = -------- = -------- . (5)
r
r
r
U
U
Если волновое сопротивление больше активного р > r (т.е. Q > 1), то напряжения
на индуктивности, и на емкости будут при резонансе больше приложенного к цепи
напряжения:
UL0 = UC0 > Ur = U.
Зависимости I, U, Z,  от частоты  при неизменных параметрах r, L, С называются
частотными характеристиками.
В электрической цепи при параллельном соединении катушки индуктивности и
емкости (рис. 4.3.) при определенных условиях возникает резонанс токов. При этом
Iреакт.катушки = IC , а ток I и напряжение U на входе цепи совпадает по фазе ( = 0).
Рис. 4.3.
i
iK
iK
rK
~U
LK
C
LK
b = bK - bC = ------------------ - C , (6)
r2k + (LK)2
Активная проводимость цепи равна
r2 K
g = ------------------ ,
r2Kk + (LK)2
т.е. зависит от частоты приложенного напряжения. Следует обратить внимание на
то, что при резонансе ток IK в катушке не равен току IC в конденсаторе (см. рис. 4.4.)
IC = IPK
I
C
0
I
РК
U
I
I
K
Рис. 4.4.
Резонанс в электрических цепях.
Рассмотренные выше электрические цепи представляют собой последовательный
и параллельный колебательные контуры соответственно. Цепь, в которой индуктивность,
емкость и активное сопротивление соединены последовательно, называется
последовательным колебательным контуром . Цепь, в которой индуктивность, емкость и
активное
сопротивление
соединены
параллельно,
называется
параллельным
колебательным контуром.
В колебательных контурах при определенных условиях могут возникать особые
явления, которые называют резонансными. Резонанс в последовательном колебательном
контуре называют резонансом напряжений, резонанс в параллельном колебательном
контуре – резонансом токов.
В цепях переменного тока резонанс наступает тогда, когда частота источника
напряжения равна резонансной частоте контура (собственной частоте колебаний контура,
если R  0 ). При резонансе ток и напряжение совпадают по фазе, т.е. угол φ = 0.
k
Резонанс напряжений.
Закон Ома для последовательной цепи, состоящей из активного, индуктивного и
емкостного сопротивлений (си.рис.1), выражается формулой
I
U
U

2
Z
R 2 X L  X C 
где R – активное сопротивление контура;
XL и XC - индуктивное и емкостное сопротивления контура соответственно.
Угол сдвига фаз между током и напряжением
  arctg
X L XC
R
Резонанс наступает тогда, когда цепь ведет себя как чисто активная, т.е. когда ток и
напряжение совпадают по фазе, угол φ = 0.
Условием возникновения резонанса в последовательном колебательном контуре
является равенство реактивных сопротивлений контура X  X .
L
C
Тогда полное сопротивление цепи будет равно его активной составляющей:
Z  R 2  X L  X C 2  R
Сдвига фаз между током и напряжением не будет, угол φ = 0, cos φ = 1.
Векторная диаграмма цепи при резонансе напряжений представлена рис. 18 (а и б).
При резонансе напряжений действующие значения реактивных составляющих
напряжения UL и UC равны по величине, мгновенные значения равны и противоположны
по знаку, векторы U L и U C равны и противоположны по знаку.
Результирующее напряжение при резонансе равно его активной составляющей
U =Ua.
Следовательно, мощность, развиваемая источником, является активной
мощностью, она поддерживает в цепи R, L, C незатухающие колебания, несмотря на то,
что в цепи есть активное сопротивление. Энергия магнитного поля при резонансе
полностью переходит в энергию электрического поля и наоборот:
CU m2 LI m2

2
2
Частота, при которой в контуре наступает резонанс, называется резонансной.
Значение резонансной частоты можно определить из условия резонанса XL=XC.
X L  L  2fL
Т.к.
и
XC 
1
1

,
C 2fC
то резонансная частота контура
1
f рез 
2 LC
Резонанс напряжений можно получить изменяя в цепи индуктивность, емкость или
частоту напряжения источника питания контура,
всего, если хотят настроить контур в
резонанс, используют конденсатор переменной емкости. С этого конденсатора снимают
выходное напряжение.
Если XL=XC>=R, напряжение на индуктивности UL и емкости UC могут
достигать значительной величины и во много раз превышать общее напряжение U,
приложенное к цепи. Ток в цепи I также значительно возрастает:
I рез 
U.
R
Для исключения перегрузки источника питания в схему иногда вводят
ограничивающее сопротивление Rорг . Поскольку резонанс сопровождается
значительными перенапряжениями и сверхтоками, в мощных
установках он является
аварийным. Свойства колебательного контура характеризуются рядом величин:
а) Характеристическое сопротивление контура (или волновое)

L.
C
Эта величина имеет размерность сопротивления (величину ρ можно получить из
уравнения (х) U m
Im

L ).
C
).
б) Добротность контура Q  S
R
Добротность контура служит характеристикой реального контура, когда R  0 .
При резонансе добротность контура равна отношению напряжения на емкости или
индуктивности к напряжению на активном сопротивлении.
Покажем это:
Q
S IS , но   L  L 1  LC

C
LC
C
R IR
Т.к.
 рез 
Отсюда
1 , то S   L  X и
рез
L
LC
Q
XL UL

R Ua
и
Q

1
 резC
 XC
X C UC

R Ua
Добротность радиотехнических контуров обычно составляет 50-200.
в) Затухание контура
d
1
Q
г) Резонансные кривые – это графическое изображение зависимости напряжений
на емкости, индуктивности и активном сопротивлении, а также тока от частоты
(см.рис.19).
Чаще всего резонансные кривые стоят в зависимости от относительной частоты
  

A  
  рез 


 f 

f
 f рез 


где А – значение напряжения или тока;
w, f - текущее значение угловой частоты и частоты соответственно;
 рез , f рез - значения угловой частоты и частоты при резонансе.
Построенные таким образом зависимости обладают наибольшей общностью.
Вид резонансных кривых, построенных в функции относительной частоты,
целиком определяется добротностью контура Q. На рис.20 показано семейство
резонансных кривых
I
I max
   для различных значений добротности контура.

 
  рез 


Из рис.20 видно, что с увеличением добротности контура резонансная кривая
становится острее.
д) Полоса пропускания контура (или ширина резонансной кривой) – это полоса
частот вблизи резонанса, на границах которой выходная величина А (напряжение, ток)
составляет
1
 0,707 от резонансного (максимального) значения (см.рис.21).
2
Приборы и оборудование:
1. Лабораторный трансформатор ЛАТР.
2. Амперметр Э59 0 – 2,5 – 5 А
3. Вольтметр АСТВ 0 – 150 – 300 – 600 В
4. Батарея конденсаторов 32 мкФ.
5. Катушка индуктивности на 1200 витков с сердечником.
Схема опыта: Рис.1.
Порядок работы.
1. Ознакомиться с приборами и оборудованием необходимым для выполнения
работы, записать их основные технические данные.
2. Собрать электрическую цепь по схеме и предъявить ее на проверку
руководителю.
3. При неизменном напряжении на зажимах цепи записать в таблицу 1
показания приборов при различной индуктивности, изменяя индуктивность
катушки перемещением сердечника.
Опыты: 1. Сердечник полностью введен.
2. Без сердечника.
3. Положение сердечника при резонансе.
4. По полученным данным вычислить:
Полное сопротивление цепи: Z = U/I, Ом;
Полное сопротивление катушки: Zk = Uk /I, Ом;
Реактивное сопротивление конденсатора: Xc = Uc /I, Ом;
Реактивное сопротивление катушки: XL = Z 2 k  R2 , Ом;
Падение напряжения на активном сопротивлении: Uа = I · R, В;
Падение напряжения индуктивности: UL = I · XL, В;
Коэффициент мощности: cos φ = R/Z;
Потери мощности активные: P = Uа · I, Вт;
Потери мощности реактивные: Q = U · I sin φ, ВАр.
Полученные расчетные данные занести в таблицу 1:
Таблица 1. Результаты измерений и вычислений
Опыт
Измерено
I U Uк Uс
Z
А В В
В Ом
R ХL
Ом Ом
Zк
Ом
Вычислено
Хc
Uа UL
Ом
В
В
cosφ
Q
ВАр
P
Вт
ХL > Хc
ХL < Хc
ХL = Хc
5. При
трех
значениях
реактивного
сопротивления
катушки
ХL > Хc; ХL < Хc; ХL = Хc построить в масштабе векторные диаграммы
и треугольники сопротивлений цепи.
6. По данным, полученным из опытов и расчетов построить резонансные
кривые и графики зависимостей:
Uк = f(ХL); Uа = f(ХL);
в общей системе координат
UL = f(ХL); Uс = f(ХL) ;
I = f(ХL); cos φ = f(ХL);
в общей системе координат
Р = f(ХL); Q = f(ХL).
7. Составить отчет о проделанной работе.
8. Ответить на контрольные вопросы
 Чему равно полное сопротивление цепи, состоящей из последовательно
соединенных активного сопротивления, индуктивности и емкости?
 Какой знак имеют индуктивное и емкостное сопротивления?
 Что такое резонанс напряжений?
 Чему равна резонансная частота, если известна индуктивность и емкость
цепи?
 Совпадает ли по фазе ток с напряжением сети при резонансе напряжений?
 В каких случаях вектор тока в электрической цепи при последовательном
соединении активного сопротивления, индуктивности и емкости отстает от
вектора напряжения сети и в каких случаях опережает его?
 Чему равен коэффициент мощности при резонансе напряжений?
 Какую опасность может создать резонанс напряжений?
 По какому признаку улавливается резонанс напряжений при проведении
опыта?