   

А.Н. Тихонов
О зависимости решений дифференциальных
уравнений от малого параметра.
Настоящая статья посвящена изучению решения уравнения
y t,  


dny
dy
d n 1 y 

F
t
,
y
,
,...,


dt
dt n
dt n 1 

   0,
определяемого условиями
d k y 0
 y 0 k 
k
dt
при
  0.
При   0
k  0,1,..., n  1
мы получаем вырожденное уравнение

dy
d n1 y 
F  t , y, ,..., n1   0,
dt
dt 

решения которого уже определяются меньшим числом начальных
условий. Вопрос заключается в следующем: 1) будет ли решение полной системы вместе с производными до n  1 -го порядка
d k y t , 
k
 k  0,..., n  1


dt
при   0 стремиться в пределе к решению вырожденного уравнения,
2) к какому решению вырожденного
y
k 
уравнения будут стремиться
t ,   , если вырожденная система распадается на несколько нор-
мальных уравнений:

d n 1 y
d n2 y 
 i  t , y ,..., n  2 
dt n 1
dt 

97
Избранные труды

( i - корни уравнения F t , y, y
такой
предел
устойчив
1
,...,    0) и, наконец, 3) будет ли
при
 k  1,..., n  1 ?
k
y0
малых
изменениях
Подобная задача для линейных уравнений рассматривалась в статье Чень-Юй-и (Yu-Why-Tshen, [1]), где доказано, что решения
уравнений
yi  t 
dny
d n 1 y
 i t  n  b1 n1 ...bn y  0,
dt
dt
определяемые условиями
d k y 0
 y 0k  ,
dt k
сходятся при условии, что
lim  i t   0
i
i t   0,
к решению вырожденного уравнения, если
b1  t   0.
В настоящей статье охвачен этот результат. Для простоты мы
считаем  постоянным, хотя наши результаты не изменяться, если
вместо
параметра
 i  t   0.
0
ввести
последовательность
функций
Мы приводим здесь также новый метод доказательства теоремы
Пуанкаре (Poincare, [2], стр. 58) об аналитической зависимости решения
уравнения от параметра в случае, когда правая часть уравнения аналитически зависит от этого параметра. Предлагаемый метод легко переносится на ряд более сложных задач.
§1
1. По соображениям удобства, а также общности метода мы будем
рассматривать систему уравнений
98
Академик А.Н.Тихонов
dxi

 f i t , xi , z  

dt

dz

 F  t , x i z 

dt

и решения ее
xi t,  , z t,  
i  1,..., n  1    0 
i  1,...,n  1 ,
(1)
(2)
определяемые начальными условиями
xi t0 ,    xi0  , z t0 ,   z 0  i  1,...,n  1.
При
(3)
  0 система принимает вырожденный вид:
dxi

 f i t , xi , z 
dt
 i  1,..., n  1 
F t , xi z   0 
Пусть
(4), (4)
z   t , xi 
(5)
F t , xi , z  0 . Вопрос, подлежащий
какой-либо корень уравнения
исследованию, состоит в выяснении того, что будет ли решение (2) системы (1) стремиться при   0 к кривой, определяемой системой
уравнений

 i  1,.., n  1
dxi
 f i t , xi ,  t , x i 
dt
(6)
и условиями
xi t0   xi0  , i  1,...,n  1
(7)
эту кривую мы в дальнейшем будем обозначать через
xi t  i  1,...,n  1
(8)
При этом мы будем обозначать также
99
 t , xi  t  
через z  t  :
Избранные труды
z  t  =  t , xi  t  
(8’)
Следующий вопрос состоит в том, что будет ли зависеть предел (2) при
 0
 0
от выбора z
и будет ли этот предел устойчив при малых изменениях начальных условий (3).
В отношении правых частей мы будем предполагать, что они
ограничены, непрерывны по
t , xi i  1,..., n  1 и z во всей области
их определения и таковы, что функция
z   t , xi  непрерывна по
t , xi и решение вырожденной системы однозначно определяется
начальными условиями. На функцию F будет наложен ряд дополнительных условий, определяющих поведение системы (2) при   0 .
2. Пусть
z   t , xi  i  1,..., n  1
(5)
- корень уравнения
F t , xi , z  0,
(4)
определенный в некоторой области
рой точка
t
0
D переменных t , xi  , для кото-
, xi 0  является внутренней. Будем предполагать, что (5)
F t , xi , z меняет знак при переходе через (5), а именно, что для всякой области d ,
является изолированным корнем (4), причем функция
лежащей вместе со своей границей внутри
такое

0


D d  D , существует
, что знаки
F t , xi ,     и F t, xi ,    0
различны для любого   
3. Будем называть
0.
z   t , xi 
устойчивым корнем уравнения (4), если
F t , xi ,      0 и F t , xi ,     0 0    
100
0
.
(9)
Академик А.Н.Тихонов
Достаточным условием устойчивости корня в случае дифферен-
F t , xi , z  по z является следующее:
цируемости функции
F
t , xi ,   0.
z


(10)
4. Будем называть некоторую поверхность
z  h t , x i 
определенно ориентированной относительно системы уравнений
dx i

  i  t, xi , z  

dt

dz
   t , x i , z  
dt

 i  1,..., n  1 
(11)
(или систему уравнений (12) относительно поверхности (11)) в области
d переменных
 t, x 
i
если все векторы, определяемые правыми ча-
стями этой системы в точках поверхности z  h , пересекают эту поверхность в определенном направлении сверху вниз или снизу вверх.
Если ,функция
z  h  t , xi  - гладкая и не имеет нормалей, перпендику-
лярных оси z , то аналитическим условием для определенной ориентированности поверхности (11) относительно системы (12) (или системы
(12) относительно поверхности (11)) является постоянство знака выражения


cos  n t 
cos  n x i 
h
h
S

  ,
  i   
 
cos  nz 
t
 xi i
cos  n z 

где через n обозначена нормаль к поверхности, образующая с осью z
острый угол. Если S  0 , то векторы направлены снизу вверх относительно поверхности, а если S  0 , то - сверху вниз. Очевидно, что кривые, определяемые решениями системы (12), пересекают поверхность
(11) в том же направлении, как и рассматриваемые векторы.
5. Обратимся к системе (1). Очевидно, что всегда можно найти
гладкие поверхности
101
Избранные труды
z  h  t , xi  и z  H  t , xi  ,
не имеющие нормалей, перпендикулярных оси z , и такие, что
  t , x i     h t , x i     t , x i ,
  t , xi   H  t , xi     t , xi    .
Как нетрудно видеть, существует такое
 0
 0 , что для всякого
векторное поле, задаваемое правыми частями системы (1),
определенно ориентировано относительно h и H . При этом, если
z    t , xi  - устойчивый корень, то для поверхности h поле направлено снизу вверх, а для H - сверху вниз. В самом деле, при достаточно
малом 
h
 h
1

 f i  F  t , x i , h  0,
 t
 xi

H
H
1
S H   

 f i  F  t , x i , H   0,
 t
 xi

S  h  
так как знак S определяется последним слагаемым, а в силу устойчивости поверхности  , мы имеем:
F  t , xi , h  0 и F  t , xi , H   0;
остальные же слагаемые ограничены. Очевидно, что если решение си-
xi t ,  , zt ,   при    0 для некоторого t  t1 пересекается с поверхностью z  h или z  H , то для всех последующих t
стемы
это решение будет заключено между этими поверхностями:



h t , x i t ,    z t ,    H t , x i t ,  
6. Если корень
 t  t 
1
z    t , xi  не является устойчивым, то ориен-
тация векторного поля относительно поверхностей h и H будет противоположной. Отсюда следует, что если начальная точка
0
0
0
t   , x i  , z   не лежит на поверхности z   , то решение (2) систе-


мы (1) не может приближаться при
 0
102
к кривой
x i  t , z  t  ,
Академик А.Н.Тихонов
определяемой (8) и (8).
Для некоторых систем может случиться, что решение (2) при
всех
 лежит на поверхности z    t , xi , когда z  0   t  0 , x i 0  .
Это имеет место, например, для системы
dx i
dz
 f i  0,   F  z  z 0 ,
dt
dt
     z   , то z t,    z   . Если мы обозначим через X вектор в пространстве  t , x  с компонентами 1, f 
и если  grad , X   0, то этого уже не будет.
Если даже кривая x  t ,  , z  t ,   лежит на поверхности
В этом случае, если z t
0
0
0
i
i
i
z   , то очевидно, что среди кривых с немного измененными
 0
начальными значениями x i , z
клоняются от рассматриваемой.
Итак, если
 0
найдутся такие, которые сильно от-
z    t , xi  - неустойчивый корень уравнения
F  t , xi , z   0 , , то не существует таких начальных значений
t  0  , x i 0  , z  0  для которых кривая xi  t ,  , z  t , 

при
 0
стремилась бы устойчиво (в отношении начальных значений) к кривой
xi  t  , z  t , определяемой вырожденной системой
dx i
 f i t , x i ,   t , x i  , x i t  0  x i 0 , z  t     t , x i  t 
dt

  
xi t ,  , z t ,   непрерывно зависел от
(т.е. так, чтобы предел
начальных значений).
7. Назовем областью влияния устойчивого корня z  
купность точек ( t
 0
 0
, xi , z
 0
) для которых
sign F (t 0  , xi0  ,z)sign F t 0  , xi0  ,z 0  
для всех z в промежутке
 z ,  t
 0
 0
103

0
, xi  , т.е.
сово-
Избранные труды

z 0    t 0  , xi0  
и F (t
ли z
 0
 0

z  0   z   t  0  , x i 0  ,
F ( t  0 , x i 0 , z ) > 0 для

если

, x i 0 , z ) < 0 для z  0   z   t  0  , x i 0  , ес-


  t  0  , x i 0  .
Теорема. Если точка t
 0
, x i 0  , z  0  - внутренняя по отноше-
нию к области влияния устойчивого корня
F  t , xi , z   0,
z   t , x i 
уравнения
то
lim x i t ,    x i  t 
0
и
lim zt ,    z t    t, xi t 
 0
где система функций
t  t ,
0
xi t  и z t  определяется условиями (6)-
(8). Этот предел будет непрерывно меняться при непрерывном изменении начальных условий.
Будем
для
определенности
рассматривать
точку


z  0    t  0  , x i 0  . Если эта точка лежит внутри области влияния
корня z   , то найдется такое
 0 , что все точки  t , xi , z  , для ко-
торых
t  t  0    0, x i  x i 0    0, z  0   z    t , x i 
принадлежат к той же области. Совокупность таких точек обозначим
через U . Пусть нам дано произвольно малое  0  0 . Рассмотрим поверхности
z  h x, t  и z  H  x, t  , для которых
  t , xi    0  h  t , xi     t , xi   H  t , xi     t , xi    0.
Обозначим соответственно через M и  числа, удовлетворяющие
условиям:
104
Академик А.Н.Тихонов
f i  t , xi , z   M
 i 1,..., n  1,  t, x , z  U и M 1;
F  t , x , z    ,  t , x , z   U и z  h  t , x .
i
i
i
i
 0
Пусть t1 - произвольное число t
чим
через
t1    0
первое
 0
 t1 0   t  0 
значение,
при
0
M
. Обозна-
котором
кривая
xi  t ,  , z t ,   пересекает поверхность h t , xi  . Очевидно, что та-
кое значение при достаточно малом
 существует и t1     t1 0 , так
 0
как, допуская противное, получим, что, покуда t1  t
z
 0
 z  ht , xi t ,
 0
 0 и
dz 1

 F  .
dt 

Если положим


l  max ht , x i   z  0 для x  x i 0   0, t  t  0   0 ,
то мы приходим к противоречию при значениях  удовлетворяющих
неравенству
  0  0
t  t   l
 1
Итак,
кривая
 
т.е. для
 t1 0  t  0 
xi  t ,  , z t ,  
l
.
пересекает
поверхность
z  h t , xi  на как угодно малом интервале t , t1 , если только 
 0
 0
xi  t ,  , z t ,   попала между
поверхностями h и H , то при достаточно малом  она из этой обладостаточно мало. Далее, если кривая
сти никогда не выйдет, т.е.




h t , xi  t ,    z t ,    H t , xi  t ,   .
Отсюда следует, что
105
Избранные труды
z t ,     t , xi  t     t ,  , где   t,    0 .
Далее, заключаем, что система функций
xi  t ,   удовлетворяет си-
стеме уравнений
dx i
 f i t , x i ,  t , x i    t ,  
dt


при начальных условиях
xi t1 ,    xi 0  i   ,
При этом, при
i  0 .
 0,
t1   t  0 ,
xi t1 ,    xi 0 ,



f i t , xi ,  t , xi     t ,    f i t , xi ,  t , xi 

f  t , xi , z  и   t , xi  по предположению ограничены и непрерывны по x i и z . Отсюда получим, пользуясь теоремой Арцеля
Функции
(Arzela) и предположением о единственности решения вырожденной
системы1, что для t  t
 0
lim x i t ,    x i t ,
 0
откуда заключаем далее, что
lim z  t ,    z  t     t , x i  t   для t  t  0 
 0
 0
причем эта сходимость - равномерная в области t  t1 t .
8. Рассмотрим случай, когда правые части системы (1) определены и непрерывны для всех значений z,    z    . Областью
влияния
  будем называть совокупность точек t  0 , x i 0 , z  0  для
которых
Замечанием о том, что в этом рассуждении можно ограничиться единственность вырожденной системы, не предполагая единственность полной системы, как мы это делели
раньше, мы обязаны М.А. Крейнесу.
1
106
Академик А.Н.Тихонов


F t  0  , x i 0  , z  0 для всех
z , z  0   z  ,
а областью влияния   - совокупность точек
которых


F t  0  , x i 0  , z  0 для всех
t   , x   , z   
0
0
0
i
для
z , z  0   z  .
Нетрудно установить, подобно предшествующему, что интегральная
xi  t ,  , z  t ,  , имеющая своими начальными значениями
кривая
t   , x   , z    , соответствующие внутренней точке области влияния
0
0
0
i
  (или   ), при   0 будет стремиться к кривой, определяемой
системой
dx i
 f  t , x i , 
dt
с начальными значениями
 
x i t  0  x i 0 ,
причем
lim z  t ,    
 0
 t t  
0
(и аналогично для   ). Кроме того, при непрерывном изменении
начальных условий предел будет также меняться непрерывно.
9. Если уравнение F t , x i , z  0 имеет лишь конечное число

изолированных корней

z   t , x i  , то каждая точка  t , xi , z  , не
принадлежащая поверхностям, определяемым этими корнями, либо
принадлежит области влияния какого-либо устойчивого корня (допуская в том числе корни   ), либо лежит на границе областей влияния
устойчивых корней. Чтобы убедиться в этом, достаточно из точки
t   , x   , z    двигаться по параллелям оси
0
0
0
i
z соответственно вверх
или вниз в зависимости от того, положительно или отрицательно



F t  0  , x i 0  , z  0  ; при этом движении F t  0  , x i 0  , z  0 

сохраняет
знак, пока эта функция либо обратиться в нуль, либо пока мы не дойдем
107
Избранные труды
до бесконечности. В том и в другом случае эта предельная точка определит нам устойчивый корень так, что
t   , x   , z    является внут0
0
0
i
ренней или граничной точкой области влияния этого устойчивого корня. Отметим, что если
F  t , xi , z  имеет более чем один корень, то
наряду с устойчивыми обязательно будут и неустойчивые корни, являющиеся границами областей влияния устойчивых корней. Предел кри-
xi t ,  , zt ,  , исходящих из точки t  0 , x i 0 , z  0  , лежащей
на границе различных областей влияния, при   0 , если таковой превых
дел существует, будет, вообще говоря, неустойчив при малых изменениях начальных значений, однако нетрудно построить системы, где этот
предел будет устойчив.
10. Рассмотрим предельное множество для кривых
xi t ,  , zt ,  при   0 .Очевидно, что это множество состоит из
следующих кусков. Во-первых, из отрезка, параллельного оси z , от
начальной точки
t   , x   , z   
0
0
i
0
до точки
t
 0


, xi 0 ,  t  0 , xi 0 ,
лежащей на поверхности, соответствующей тому устойчивому корню
уравнения F  0 , в области
Рис. 1
108
Академик А.Н.Тихонов
Рис. 2
влияния которого лежит начальная точка. Во-вторых, из кривой, соответствующей функциям
x t , z t ,
i
определяемым условиями (6),
(7), (8) и (8). Эта кривая начинается в точке
доходит до точки
t   , x   , z   ,
1
1
1
i
t
 0

, xi 0 ,  t  0 , xi 0
лежащей на границе
 и
D , области
определения рассматриваемого изолированного устойчивого корня
z   . Эта граница может иметь место по разным причинам: либо
потому, что эти точки соответствуют границе области определения
функции нашей системы уравнений, либо потому, что в этих точках
границы наш изолированный корень соприкасается по крайней мере с
одним другим корнем
уравнения
F  t , xi , z
0
(просто прекра-
щаться устойчивый корень не может). При этом могут быть следующие
1 1 1
возможности: а) к точке t , x i , z
из области, внешней к D , не


примыкает никакой корень уравнения F  0 (рис. 1); б) к точке
109
Избранные труды
t   , x   , z    из области, внешней к D , примыкает один или не1
1
1

i
сколько устойчивых корней (рис. 2).
В случае а) предельное множество будет продолжаться, и, вообще говоря, будет состоять далее из куска прямой, параллельной оси z ,
1 1 1
исходящей из точки t , x i , z
в направлении, соответствующем

знаку



F в точках, близких к t   , x i  , z   , лежащих вне D ( т.е.
1
1
1
вверх, если F  0 , и вниз, в противном случае). Этот кусок прямой,
параллельной оси z , будет продолжаться до встречи с новым корнем,
по поверхности которого и будет продолжаться кривая, пришедшая по
1 1 1
первому устойчивому корню в точку t , x i , z
, и т.д. Таким обра-


зом могут в пределе получаться разрывные периодические решения.
Если же вертикальный участок прямой не встречает устойчивых корней, то он продолжится до бесконечности, и если наши функции определены при z   , то предельное множество будет продолжаться так,
как это описано в п.7.
1 1 1
В случае б), когда к точке t , x i , z
примыкают несколько


устойчивых корней z   k , нельзя только по геометрическому расположению поверхностей этих корней высказать суждение о том, по ка 1
кому корню наша кривая будет продолжаться при t  t . Можно построить примеры с одинаковым расположением поверхностей, соответствующих корням z   k , в которых предельная кривая из точки
1
1
1
t   , x i  , z   будет продолжаться по разным поверхностям z   k .


11. Аналогично предшествующему можно исследовать систему,
содержащую более одного малого параметра:


  i  1, 2,..., n, 

  j  1, 2,..., m.
dx i
 f i t , xi , z j
dt
dx
 j i  Fj t , xi , z j
dt
Рассмотрим поведение интегральной кривой
110
Академик А.Н.Тихонов
 
 
xi t ,  j , z j t ,  j ,
определяемой начальными условиями
xi
t t0
0
 xi  ,
при стремлении
положить
zj
j  0 .
t t0
0
 z j  ,
Вырожденная система определиться, если
 j  0  j  1,2,..., m:

dx i
 f i t, xi , z j
dt

  i  1, 2,..., n, 


Fj t, xi , z j  0
 j  1, 2,.., m,
и, вообще говоря, распадается на несколько нормальных систем в зависимости от числа «корней»
z j   j  t , x i .
Будем предполагать, что такие корни являются «нормальными изолированными» корнями, подразумевая под этим то, что для всякого

z j0  
j0

Fj0 t , xi , z j0  0 определяет изолированный корень
j уравнение
t, x , z ,..., z
i
1
j0 1
, z j0 1 ,..., z m

(в том смысле, как это мы
понимали ранее), которому удовлетворяет система функций
z j   j  t , x i .
Таким образом, каждому корню системы
z j   j  t , xi  соответствуют
m корней отдельных уравнений


Fj t , xi , z j  0,
а именно:

z j   j t , x i , z1 ,..., z j 1 , z j 1 ,..., z m
Корень системы уравнений
  j  1,..., m.
Fj  0,
ми
111
определяемый функция-
Избранные труды
z j   j  xi , t ,
мы будем называть устойчивым корнем, если каждый из соответствующих корней
z j 
j
является устойчивым, т.е. если знак функций

Fj t , xi , z1 ,..., z j 1 , j   , z j 1 ,..., z m

при достаточно малом
дифференцируемости
 Fj
 zj
z j  j

будет противоположен знаку
Fj , если
 , или, в случае
 0.
z j   j  j  1,2,..., m мы будем
Областью влияния корня системы
называть общую часть областей влияния всех корней
z j 
 j  1,2,..., m.
j
Буквальным повторением рассуждений, приведенных выше, доказывает следующая теорема:
Если точка
сти
влияния
Fj  0,
0
0
i
0
j
z j   j  j  1,2,..., m системы
корня
уравнений
то

lim xi t , 
 j 0
t   , x   , z    является внутренней точкой обла-
j
  x t ,
i
xi t  - решение вырожденной системы, соответствующей
рассматриваемому корню z j  j , и
где

lim z j t , 
 0
j
  z t    t , x t .
j
j
i
Этот предел будет непрерывно меняться при изменении начальных условий.
112
Академик А.Н.Тихонов
z j   j неустойчив, т.е. если хотя бы один из
соответствующих корней z j   j
неустойчив, то имеет место слеЕсли корень системы
дующая теорема:
Решение полной системы

xi t, 
при
j  0
j
,

z j t, 
j

не может стремиться к решению вырожденной систе-
мы, определяемой при помощи устойчивого корня, с тем, чтобы этот
предел был устойчив относительно начальных значений.
Рассмотрим какую-либо
систему начальных значений
t   , x   , z    .
0
0
0
i
j
Как было установлено выше, для всякого значения
ляет устойчивый корень
z j 
j
уравнения
j эта точка опредеFj  0. Если си-
стема таким образом полученных уравнений (устойчивых корней):

z j   j t , xi , z1 ,..., z j 1 , z j 1 ,..., z m
z j , т.е. если она определяет корень системы
разрешима относительно
z j   j t , x i 
 j  1, ... , m,
t   , x   , z   
0
то начальная точка
  j  1,..., m,
0
i
0
j
принадлежит к области влияния
корня системы. В этом случае решение полной системы при начальных
t   , x   , z    , независимо от способа приближения 
0
условиях
0
0
i
j
j
к
нулю, стремиться к решению вырожденной системы, так как мы находимся в условиях применимости первой теоремы.
Если же система

z j   j t , xi , z1 ,..., z j 1 , z j 1 ,..., z m
неразрешима относительно
каются),

xi t, 
j
,
j  0 ,
то

очевидно,
z j t, 
j

  j  1, 2, ... , m,
z j (поверхности
что
характер
z j 
не пересе-
j
поведения
кривой
существенно зависит от способа стремления
и при различных способах стремления
113
j  0
могут суще-
Избранные труды
ствовать различные пределы. Мы не будем подробно останавливаться
на этом случае.
§2
Рассмотрим дифференциальное уравнение*
dy
 f  x, y,  ,
dx
и пусть
жутке x0


y x,  0 - решение этого уравнения, определенное в проме x  x1 . Допустим, что функция f  x, y,   в области
x 0  x  x1 ,
y  y x ,    b,
является аналитической функцией
литической функцией
 f  x, y,  
y

 0  
при фиксированных x , y и ана-
y при фиксированных x и  . При этом
- непрерывная функция переменных y ,  при фикси-
рованном x . Будем также предполагать, что существует суммируемая
функция M  x  такая, что
 f x, y, 
 f x, y, 
M  x  и
M x 
y

при любых значениях y и  . Названные условия гарантируют сущеf x, y,  M x ,
ствование и единственность решения уравнения (1) при заданном
начальном значении, а также непрерывную зависимость решения от на
чального значения и параметра  .


Докажем, что решение y x,  уравнения (1), удовлетворяющее
тому же начальному условию, является аналитической функцией на
x0  x  x1 в достаточно малой области
всем интервале
  0   .
*
Для простоты записи мы ограничиваемся одним уравнением.
114
Академик А.Н.Тихонов
Действительно, существует такое
значений
1
из области
  0  
,
что все кривые
yx,   для
принадлежат к рассматриваемой
y  yx, 0   b .
области:
Рассмотрим разностное отношение
y y x,    y x, 1 



    1  .
Это отношение удовлетворяет уравнению
d  y  f x, y x,  ,    f x, y x, 1 ,   y



dx   
y


f x, y x, 1 ,    f x, y  x, 1 , 1 

если   0 каким-либо способом, то коэффициенты этого уравнения стремятся, в силу сделанных предположений, к коэффициентам
уравнения
dY f
x, y x, 1 , 1   Y  f x, y x, 1 , 1 

dx y

f по y и по  , коэффициенты этого
уравнения не зависят от способа стремления  и  y к нулю; следоВ силу аналитичности функции
вательно,
lim
 0
y
 Y , Y 0  0

и не зависит от способа стремления  к нулю. Отсюда следует, что


y x,  является аналитической функцией, в силу определения аналитичности, данного Коши (Cauchy).*
Как мне стало известно во время подготовки настоящей статьи к печати, аналогичной
идеей пользовался В.В.Степанов при доказательстве аналитичности по = решения уравнения =.
*
115
Избранные труды
Литература
1.
2.
Yu-Why Then, Uber das Verhalten der Losungen einer Folge von Differential-gleichungen, welche in Limes ausarten, Composito Mathematica, v. 2 (1935), 378-401.
H. Poincare, Les methodes nouvelles de la mecanique celecte, t. 1, Paris,
1892-1899.
116