Часть 3 Глава 1 Числовые и функциональные ряды 1.1 Числовые ряды, сходимость. Необходимый признак сходимости. Связь с несобственными интегралами 1 рода. Ряды Дирихле. Признаки сравнения для знакоположительных рядов. Признаки Даламбера и Коши. Абсолютная и условная сходимость. Теорема об абсолютной сходимости. Примеры. 1.2Функциональные ряды. Сходимость. Равномерная сходимость. Возможность почленного интегрирования и дифференцирования. 1.3Степенные ряды. Радиус сходимости, формула для него. Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов. 1.4 Ряды Маклорена.Достаточное условие сходимости. Стандартные разложения Маклорена. 1.1 Числовые ряды, сходимость. Необходимый признак сходимости. Связь с несобственными интегралами 1 рода. Ряды Дирихле. Признаки сравнения для знакоположительных рядов. Признаки Даламбера и Коши. Абсолютная и условная сходимость. Теорема об абсолютной сходимости. Признак Лейбница. Примеры. Теория числовых рядов тесно связана с теорией несобственных интегралов. Дадим соответствующие определения. Определение 1.(числового ряда, частичной суммы, сходимости) Выражение вида a n 1 n _ где _ a n числовая _ последовательность _ называется числовым рядом. Частичной суммой числового ряда называется конечная n сумма Sn= a k , n=1,… Если последовательность частичных сумм имеет k 1 конечный предел, то он называется суммой ряда, а сам ряд в этом случае называется сходящимся. a 1 n lim S n . n Пример.(геометрическая прогрессия) известно _ из _ школы n1 q 1 bq b . при q 1. и 1 bq . Частичные суммы Sn= q 1 k 1 n n k Sn=bn при q=1, Sn=b(-1)n при q=-1. Исследуем сходимость в разных случаях. При q=1 предел частичных сумм бесконечен и ряд расходится. При q=-1 предел частичных сумм не существует и ряд расходится. При q 1 _ lim S n lim b n n q n1 , ряд расходится. При q 0 1 b q 1 _ lim S n b . Предел конечный и ряд сходится. q 1 1 q n Т.е геометрическая прогрессия сходится только при знаменателе, по модулю меньшем 1. Теорема 1.(необходимый признак сходимости и достаточный признак расходимости) Если ряд a n сходится, то Обратно, если lim a n 1 lim a n n n 0. 0 либо не существует, то ряд расходится. Доказательство. an=Sn-Sn-1. Если ряд сходится, то lim S lim S S - конечен. Тогда по свойству пределов существует lim a lim S lim S S S 0, n n n n n 1 n n n n n 1 что и требовалось. Если же этот предел не равен 0 или не существует, то ряд сходится не может(ибо тогда предел равен 0!). Пример. Этот признак позволяет доказать расходимость геометрической прогрессии при q 1. Тогда предел общего члена не существует, либо 1 . Поэтому он расходится по достаточному признаку расходимости. Далее попытаемся сопоставить числовой ряд с несобственным интегралом, Сопоставим любую последовательность an c кусочно-постоянной функцией, a(x), график которой является простым продолжением графика последовательности из точки n на полуинтервал [n,n+1) значением an. (см. рис. 1) Полученная функция будет определена на [1, ) и интегрируема на конечных отрезках, являясь там кусочно-постоянной. Поэтому можно рассматривать несобственный интеграл a ( x )dx . 1 Рис.1 Теорема 2(связь рядов и несобственных интегралов) 1) Описанное соответствие {an } a( x) сохраняет все арифметические операции, т.е. сумме последовательностей соответствует сумма функций, произведению последовательности соответствует произведение функций и частному последовательностей соответствует частное функций. Кроме того нулевой последовательности соответствует нулевая функция, постоянной последовательностипостоянная функция. 2) Сохраняются неравенства: если an bn _ _ n N _{an } a( x), _{bn } b( x), _ то, _ a( x) b( x) _ _ x 1. Строгие неравенства тоже сохраняются. 3)Сохраняются пределы на бесконечности: если lim a n n A, _{a n } ax , _ lim a( x) A. x 4)Последовательности из модулей соответствует модуль функции. an a(x) . Отсюда и из линейности соответствия последовательностям a n , _ a n _ соответствуют _ a ( x), _ a ( x). 1 1 5) a n _ сходится _ одновременно _ с _ a ( x)dx __ и _ их _ значения _ совпадают _ 1 1 an a( x)dx. Все свойства 1-2 следуют из определения, поясним 3и 5 . 3 следует из того, что график функции является «растяжением» параллельно OX графика последовательности и если график последовательности при n>N попадает в горизонтальную полосу, либо в полуплоскость, то туда же попадает при x>N+1 и график функции. А это есть графический смысл одного и того же предела на бесконечности у последовательности и у функции (рис. 2). Что касается 5), то из рис 1 видно, что k 1 k 1 n k k k 1 an= ak *1 ak dx a( x)dx, _ S n ak n n 1 1 аддитивность n a( x)dx a( x)dx. n k 1 1 k 1 lim S n lim a( x)dx a( x)dx, n если последний интеграл сходится. Тогда сходится ряд и сумма его рабна несобственному интегралу. Если сходится ряд, то сходится n последовательность интегралов S= lim S n lim a( x)dx . Из-за свойств n n 1 a(x) (рис.3) b n 1 1 a( x)dx a( x)dx an (b n), _ n [b]. Тогда b n 1, _ an 0 _ при _ n по необходимому признаку сходимости. Поэтому b n 1 1 a( x)dx a( x)dx (b) бесконечно _ малая _ при _ b Поэтому сходится b n 1 b 1 n 1 a( x)dx lim a( x)dx lim a( x)dx ( x) lim S n an . n 1 Рис.3 На основании этих свойств мы можем сразу доказать для неотрицательных рядов теоремы, аналогичные теоремам для несобственных интегралов. Теорема 3 Сопоставим как в теореме 2 an a( x), _ x [1, ). Тогда по этой теореме ряд a n 1 сходится или расходится одновременно с a( x)dx 1 По теореме 17 ч2,гл.2 об аддитивности несобственных интегралов a( x)dx 1 сходится или расходится одновременно с считаем _ из _ рис.3а N 1 a ( x ) dx _ и _ a ( x ) dx a ( x ) dx a ( x ) dx . a n d ( x)dx, N N 1 1 N где a ( x), x N d ( x) . 0 _ при _ x [1, N ) Причем _ d ( x) 0 ,..., 0, a N , a N 1 ,... N 1 _ раз (см.рис.3а). 1 1 Поэтому ряд a 1 n сходится или расходится одновременно с N 1 N a( x)dx d ( x)dx a n , для любого фиксированного N и N 1 1 1 N an an an . Теорема 4(непредельный признак сходимости) Пусть 0 an bn _ n N . Тогда если ряд bn сходится, то сходится и ряд a n . 1 Если ряд a 1 n расходится, то расходится и ряд bn . 1 1 Доказательство. Рассматриваем построенное соответствие 1 1 an a( x), _ bn b( x). Из свойства сохранения неравенств 0 a ( x) b( x) _ x 1 Тогда по непредельному признаку сходимости для интегралов из сходимости 1 1 b( x)dx _ следует _ сходимость _ a( x)dx. Из расходимости 1 1 a( x)dx _ следует _ расходимость _ b( x)dx. Отсюда из эквивалентности сходимости ряда и сопоставленного ему интеграла следует наш признак для рядов: если ряд bn сходится, то сходится и ряд a n . 1 Если ряд 1 1 1 a n расходится, то расходится и ряд bn . Теорема 5(предельный признак сходимости) Пусть 0 an ;0 bn _ n N. _ И _ при __ n _ an ~ bn . Тогда ряды an и 1 b 1 n сходятся или расходятся одновременно. Доказательство. Опять обратимся к построенному соответствию последовательностей и функций. В силу сохранения при этом соответствия операции деления, а также пределов на бесконечности последовательностей и соответствующих функций функции a(x) и b(x), соответствующие нашим последовательностям, будут эквивалентны. Они также положительны. По предельному признаку для интегралов интегралы от этих функций будут сходиться или расходиться одновременно. Из сохранения сходимости при соответствии ряды a n и 1 b n сходятся или расходятся одновременно. 1 Теорема 6(интегральный признак Коши) Пусть f(x)>0 непрерывна на на _[1, _ ) и монотонно убывает. Тогда ряд f (n) 1 сходится или расходится одновременно с f ( x)dx . 1 Доказательство. Пусть ряд сходится. Сопоставим последовательности {f(n)} n=1,2… функцию f1(x)=f(n) на [n,n+1). Тогда f1 ( x) f ( x) так как f(x) убывает(см. рис.4а). Т.е. если ряд сходится и с ним вместе сходится f ( x)dx . Тогда по 1 1 непредельному признаку сходится и f ( x)dx . Наоборот, пусть сходится 1 интеграл . Рассмотрим ряд f (n) . По теореме 2 он сходится одновременно с 2 f (n) . 1 Пусть сходится f ( x)dx . Сопоставим последовательности {f(n)} n=2,3… 1 функцию f2(x)=f(n+1) на [n,n+1). Тогда f 2 ( x) f ( x) так как f(x) убывает(см. рис.4б). По непредельному признаку сходится f 1 сходится ряд 2 1 f (n) , а значит и f (n) . 2 ( x)dx , одновременно с ним Следующие 2 признака получаются сравнением знакоположительных рядов с геометрической прогрессией. Теорема 7(радикальный признак Коши) Пусть дан ряд a n , an 0, n N и существует конечный или бесконечный 1 предел lim n n an q . Тогда при q<1 ряд a n сходится, при q>1–расходится (при q=1 ничего 1 сказать нельзя). Доказательство. Пусть q<1. Возьмем q<q1<1(рис.5). Тогда при q1 q и больших n>N по определению предела lim n a n q n будет q an q q1 1, _ an q1n 1 (рис.5). n Но q N 1 1 n сходится как геометрическая прогрессия со знаменателем меньше 1. Из неравенства an q1n _ при _ n N по непредельному признаку сравнения следует тогда сходимость a N 1 n , а значит по теореме 2 сходится и a n 1 Пусть q>1. Возьмем q>q1>1(рис.6). Тогда при q q1 и больших n>N по определению предела конечного lim n a n q n будет 1 q1 q . an q , _ an q 1 (рис.6). . n n 1 . При q по определению предела при n>N будет an >2>1 Поэтому в обоих случаях не может быть lim a n 0 и ряд расходится по достаточному n признаку расходимости Теорема доказана. Пример. Исследовать на сходимость 2 n2 2 1 n2 nn n . Имеем 0 n an n n 2 2 n 0 q 1 . Ряд сходится по радикальному при знаку Коши. Теорема 8( признак Даламбера) Пусть дан ряд a n , an 0, n N и существует конечный или бесконечный 1 предел lim n a n1 q. an Тогда при q<1 ряд a n сходится, при q>1–расходится (при q=1теорема 1 ответа не дает) Доказательство. Пусть q<1. Возьмем q<q1<1(рис.7). Тогда при q1 q и больших n>N по определению предела lim n будет q a n1 q an an1 q q1 1, _ an q1n 1 (рис.7). Т.е. an+1<q1an при n>N. an Распишем это подробно: aN+2<q1aN+1, aN+3<q1aN+2, …………… aN+k<q1aN+k-1, k>1. Перемножив все эти положительные неравенства. Получим aN+k<q1 k-1 *aN+1, k>1. Но a k 2 q k 1 N 1 1 сходится как геометрическая прогрессия со знаменателем q1 меньше 1. Из неравенства aN+k<q1aN+k-1, k>1 по непредельному признаку сравнения следует тогда сходимость a n , а значит по теореме 2 сходится и N 1 a 1 Пусть q>1. Возьмем q>q1>1(рис.8). Тогда по определению конечного предела lim n a n1 q an n . при q q1 и больших n>N будет 1 q1 q . an1 q , _ an1 q1an an 0 (рис.8). an . При q по определению предела при n>N будет обоих случаях an+1>an>0 при n>N и не может быть a n1 2 1 Поэтому в an lim a n n 0 , т.е. ряд расходится по достаточному признаку расходимости Пример. Исследовать на сходимость ln n 2n 3 3n 2 * 2 n 1 7 * 3 n n100 3n 2 * 2 n . По предельному признаку достаточно исследовать 7 * 3n n 2 2n и по линейности n . По Даламберу 3 1 Имеем an ~ 3 n2 2n 7 1 3n a n 1 (n 1) 2 2 n 13 n n2 2 2 q 1 lim lim lim 2 3 3 n 1 n 2 2 n n a n n n 3n И ряд сходится. Как видим для знакоположительных рядов существует достаточно много признаков сходимости. Поэтому аналогично несобственным интегралам принято исследовать на сходимость ряд из модулей. Определения бьудут аналогичные. Определение 2(абсолютная и условная сходимость). a Ряд n 1 называется абсолютно сходящимся, если сходится an . 1 a Ряд n 1 называется условно сходящимся, если он сходится, а an 1 расходится. Теорема 9(об абсолютно сходящихся рядах) Если ряд a n 1 сходится абсолютно, то он сходится. Доказательство. С помощью сопоставления с несобственными интегралами. Пусть последовательности отвечает функция {an } a( x) . Тогда по свойству сопоставления { a n } a ( x) . И при сходимости an 1 сходится a( x) dx. 1 По теореме об абсолютной сходимости несобственных интегралов отсюда следует сходимость a( x)dx, 1 что в силу свойств сопоставления означает сходимость a n . 1 Теорема доказана. Пример. Исследовать на сходимость cos n 1 n 3 2 . Имеем an cos n n 3 2 1 n 3 2 . Ряд 1 1 n2 3 сходится как ряд Дирихле с показателем 3/2>1. Отсюда и из неравенства следует по непредельному признаку сравнения сходимость an . 1 Это значит, что по теореме об абсолютной сходимости сходится и исходный ряд, причем сходится абсолютно. Дадим теперь признак условной сходимости для знакочередующихся рядов (рядов Лейбница). Теорема 10(признак Лейбница) Пусть дан знакочередующийся ряд (1) n a n , где an 0 . Причем выполнены 1 два условия: 1) lim a n 0; n 2)последовательность a n монотонно убывает. Тогда ряд (1) n a n сходится и 1 (1) n an a1 . 1 Следствие Обозначив Rn (1) k n 1 k a k остаток исходного ряда Лейбница, получившийся отбрасыванием n-ой частичной суммы, и применив к нему оценку теоремы, получим Rn an1 . Это можно сформулировать так: Остаток ряда Лейбница не превосходит модуля первого отброшенного слагаемого. Доказательство теоремы.. Рассмотрим частичные суммы с четными и нечетными номерами и покажем, что они имеют равные пределы. Действительно S2n=-a1+a2-a3+a4-…-a2n-1+a2n=-a1+( a2-a3)+(a4-a5)…+(a2n-2-a2n-1)+a2n -a1, Так как каждая скобка неотрицательна из-за монотонного убывания последовательности, а a 2 n 0 по условию. Т.е. последовательность четных сумм ограничена снизу. Покажем, что она убывает. Имеем S2n+2=-a1+a2-a3+a4-…-a2n+1+a2n+2=( -a1+a2-a3+a4-…-a2n-1+a2n)+ -a2n+1+a2n+2= S2n+a2n+2-a2n+1 S 2n , т.к. a2n+1 a2n+2 из-за убывания последовательности. Т.е по признаку Вайерштрасса у монотонно убывающей и ограниченной снизу последовательности четных сумм существует предел S lim S 2 n . Так как для нечетных сумм S2n+1=(-a1+a2-…-a2n-1+a2n)-a2n+1=S2nn lim a a2n+1, то lim S n 2n a 2 n 1 lim S 2 n lim a 2 n 1 n n n 0 _ по _ условию S 0 S . n Так как четные и нечетные суммы имеют одинаковые пределы, то существует равный им lim S n S и ряд сходится. Получим неравенство для суммы ряда. n Имеем (1) n an S 1 lim a n 1 lim S n 2n каждая _ скобка 0 lim (a1 a 2 ) ...(a 2 n1 a 2 n ) lim . S 2 n n n a 2 ... a 2 n1 a 2 n lim a1 (a 2 a3 ) (a 2 n2 n все _ скобки 0 a 2 n 1 ) (a 2 n ) a1 . Теорема доказана. Пример. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд (1) n 1 n . Так как из абсолютной сходимости следует сходимость, то лучше сначала исследовать на абсолютную сходимость,т.е. рассмотреть ряд из модулей 1 n . Это ряд Дирихле с показателем 1. Он расходится. Значит 1 абсолютной сходимости нет. Может быть только условная сходимость. Поскольку ряд знакочередующийся, то применим признак Лейбница. Имеем an=1/n, монотонно убывая, стремится к 0 при n . поэтому по признаку Лейбница ряд сходится условно. 1.2Функциональные последовательности и ряды. Сходимость. Равномерная сходимость. Достаточные условия. Возможность почленного интегрирования и дифференцирования. Кроме числовых рядов можно рассматривать функциональные ряды -ряды из функций. Определение 3(функционального ряда, области сходимости) Ряд вида f n ( x ) , где fn(x) для любого натурального n-функции, 1 определенные на одном и том же множестве M. В каждой точке x0 M получаем числовой ряд f n ( x 0 ) . МножествоD точек x0 из M, 1 где эти ряды сходятся к f(x0), называется областью сходимости функционального ряда, а f(x)-его суммой: f(x)= f n ( x), x D. . 1 Пример. Функциональный ряд x n представляет собой на всей числовой n 0 прямой геометрическую прогрессию со знаменателем x. Как мы видели ранее его областью сходимости является интервал (-1,1). Кроме рядов, по аналогии с числовыми последовательностями рассматривают последовательности из функций Определение 3(функциональной последовательности, области сходимости) Пусть fn(x) для любого натурального n-функции, определенные на одном и том же множестве M. В каждой точке x0 M получаем числовую последовательность fn(x0). МножествоD точек x0 из M, где эти последовательности сходятся к f(x0), называется областью сходимости Функциональной последовательности, а f(x)-ее пределом: f(x)= lim f n ( x), x D. . n Пример. Как известно из предыдущего последовательность xn сходится на 0 _ на _(1.1) . (см. рис.9) 1 _ в _ точке _ 1 D=(-1,1] к функции f(x)= Рис.9 Для определения понятия равномерной сходимости последовательности функций введем окрестности радиуса графика функции f(x) на плоскости : Определение 4(окрестности графика) Пусть f(x) определена на множестве A прямой. Тогда –окрестностью ее графика на A называется следующее множество точек плоскости : O ( f ( x)) ( x. y) : f ( x) y f ( x) _ x A Замечание. Как видно из рис. 10, окрестность радиуса графика функции f(x) на плоскости представляет собой «коридорчик» ширины 2 вокруг графика. Определение 5(равномерной сходимости последовательности функций) Последовательность fn(x) называется равномерно сходящейся к f(x) на множестве A , если для любого >0 при n>N все графики fn(x) при x из A лежат внутри 2 -коридорчика O ( f ( x)) . Следствие. При равномерной сходимости имеем для любого >0 при n>N f ( x) f n ( x) , x A. Это следует из определения 2 -коридорчика O ( f ( x)) ( x. y) : f ( x) y f ( x) _ x A , где лежат fn(x) при n>N (рис.10а). Т.е. ( f ( x) f n , ( x) f ( x) _ x A что эквивалентно f ( x) f n ( x) . Пример . Последовательность xn сходится равномерно к 0 на (-1+a,1+a) при 0<a<1 (рис.11) и не сходится равномерно на всей области сходимости (-1,1](рис.12). Теорема 11 (непрерывность предела равном. сход. последовательности непр.функций) Пусть последовательность fn(x) из непрерывных на отрезке[a,b] функций равномерно сходится к f(x) на этом отрезке. Тогда f(x) непрерывна на [a,b]. Доказательство. Пусть >0. Рассмотрим сходящуюся к точке x0 из [a,b] последовательность xm точек отрезка : lim x m x0 . Из-за равномерной сходимости при n>N m все графики fn(x) на отрезке лежат внутри 2 /3-коридорчика O ( f ( x)) .А значит f N 1 ( x) f ( x) / 3, x [a, b]. Но fN+1(x) непрерывна в x0. Поэтому подстановкой получим lim f N 1 ( x) f N ! ( x0 ). Поэтому при x x0 будет x x0 f N ! ( x) f N 1 ( x0 ) / 3. Рассмотрим теперь модуль _ суммы f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) f N 1 ( x0 ) f N 1 ( x0 ) f N ! ( x) f N ! ( x ) f ( x) f N ! ( x0 ) f ( x0 ) f N ! ( x0 ) f N ! ( x) f n ! ( x) f ( x) / 3 / 3 / 3 _ x x0 . (первый и последний модули меньше /3 -из-за равномерной сходимости, средний- из-за непрерывности функции fN+!(x)) А это есть определение lim f ( x) f ( x0 ). Т.е. предел для f(x) при x, x x0 стремящемся к x0 , вычисляется подстановкой, что доказывает ее непрерывность в x0, в качестве которой была взята любая точка отрезка. Теорема 12 (интегрирование равном. сход. последовательности) Пусть последовательность fn(x) из непрерывных на отрезке[a,b] функций равномерно сходится к f(x) на этом отрезке. Тогда b lim n a b f n ( x)dx f ( x)dx. a Доказательство. По теореме 11 f(x) непрерывна, fn(x) непрерывны по условию. Значит все они интегрируемы на отрезке. По следствию из определения равномерной сходимости получаем для любого >0 при n>N f ( x) f n ( x) b f ( x) f n , x [a, b]. Оценим ba оценка _ интеграла b ( x)dx a a ba (b a ) . Это и означает нер во _ для _ равн. _ сход. b f ( x) f n ( x) dx a b adx b lim n a b f n ( x)dx f ( x)dx. a Теорема 13 (связь дифференцируемости с равномерной сходимостью) Пусть fn(x) непрерывно дифференцируемы и сходятся к f(x) на отрезке [a,b]. Пусть кроме того последовательность производных f n (x) равномерно сходится к g(x) на отрезке[a,b] . Тогда f(x) дифференцируема на отрезке и f ( x) g ( x). Доказательство. Имеем по формуле Ньютона-Лейбница x (*) f n ( x) f n (t )dt f n (a) _ x [a, b]. f n (t ) _ сходятся равномерно на [a,x]так же, a как на [a,b] потому, что «коридорчик» ширины 2 вокруг графика f(x) на [a,x]есть часть «коридорчика» ширины 2 вокруг ее графика на [a,b] (рис.13). По x x a n a теореме 12 получим g (t )dt lim f n (t )dt .Кроме того, по условию lim f n n ( x) f ( x). Используя все это, перейдем к пределу в (*) при n . Получим x f ( x) g (t )dt f (a). Т.к. g(x) непрерывна по теореме 11, то по теореме о a существовании первообразной x g (t )dt, _ а также отличающаяся на константу a f(x) будут первообразными для g(x) и поэтому f ( x) g ( x). Примеры. 1. lim x n 0 . Функции непрерывны и сходимость равномерная на n [0,1-a](рис.12) Поэтому 1 a n x dx lim n 0 n n x dx lim n 0 n 2. lim n xn n x 0 n 0dx 0 по теореме 12. Проверим это. 0 1 a lim 1 a n 1 x n 1 1 a 0 lim n (1 a) n1 0 0, как и следовало ожидать. n 1 на [0,1-a]. nx n 1 / n x n 1 непрерывны и сходятся равномерно к 0 на [0,1-a] (рис.12). Поэтому по теореме 13 имеем 0 0. Ничего необычного! Сформулируем теперь понятие равномерной сходимости и аналогичные теоремы для рядов. Теорема 12.1 (интегрирование равном. сход. ряда) Пусть ряд fn(x) из непрерывных на отрезке[a,b] функций равномерно 1 сходится к f(x) на этом отрезке. Тогда b 1 a b f n ( x)dx f ( x)dx. a Доказательство. Частичные суммы ряда непрерывны на отрезке вместе с членами ряда и равномерно по определению сходятся к f(x). Поэтому по теореме 12 об интегрировании равномерно сходящейся последовательности получим b линейность _ интеграла опр.суммы _ ряда N b f ( x)dx lim f n ( x)dx lim f n ( x)dx b N N a a b f 1 a n 1 ( x)dx. Теорема доказана. N 1 a Теорема 13.1 (связь дифференцируемости суммы ряда с равномерной сходимостью) f Пусть ряд n ( x ) из непрерывно дифференцируемых функций сходится 1 к f(x) на отрезке [a,b]. Пусть кроме того ряд из производных f n ( x) равномерно сходится к 1 g(x) на отрезке[a,b] . Тогда f(x) дифференцируема на отрезке и f ( x) g ( x). Доказательство. Частичные суммы ряда непрерывны на отрезке вместе с членами ряда и по определению сходятся к f(x). Кроме того частичные суммы ряда из производных, являющиеся производными частичных сумм членов ряда , непрерывные вместе с производными, сходятся к g(x) равномерно. Поэтому по теореме 13 о дифференцировании такой последовательности получим N f ( x) lim ( f n ( x)) N 1 линейность _ производной N lim N опред.суммы _ ряда f n ( x) 1 f n 1 Теорема доказана. Теорема 14(достаточное условие равномерной сходимости последовательности) Пусть f ( x) f n ( x) M n _ x A _ и _ lim M n 0, n то последовательность f n (x)_ равномерно сходится к f(x) на A. Доказательство. Т.к. Mn- бесконечно малая, то 0 при n>N будет 0 M n . Тогда f ( x) f n ( x) M n _ x A _ и _ n N. Это значит, что при n>N все графики находятся внутри 2 «коридорчика» ( x, y) : x A, y f ( x) . А это и есть равномерная сходимость. Определение 6.(равном. сходимость функционального ряда) ( x) Функциональный ряд f n ( x ) называется равномерно сходящимся на 1 множестве , если на этом множестве равномерно сходится N последовательность его частичных сумм S N ( x) f n ( x). . 1 Теорема 15(достаточное условие равномерной сходимости ряда) Пусть f n ( x) с n _ x A, _ n 1,2,... _ и _ c n 1 сходится. Тогда ряд f n ( x ) _ равномерно сходится на A. 1 Доказательство. Для фиксированного x0 по непредельному признаку сравнения сходится f f n ( x0 ) . Значит n ( x0 ) f ( x0 ) сходится абсолютно для любого x0 из A. 1 1 Далее, т.к. ряд с c сходится, то его «остаток» RN= n 1 N c N 1 n N 1 1 c cn cn 1 n c c c 0 - бесконечно малая. N N Рассмотрим теперь частичные суммы SN(x)= f n ( x). Тогда 1 f ( x) S N ( x) f 1 N n ( x) f n ( x) 1 f N 1 n ( x) N 1 f n ( x) c n f n ( x) cn RN 0 N 1 N Это значит, что по теореме 14 частичные суммы функционального ряда сходятся равномерно и сам ряд равномерно сходится на A по определению. Теорема 16(почленное интегрирование функционального ряда) sin( nx) сходится равномерно на всей прямой по достаточному n2 1 sin nx 1 1 _ x условию равномерной сходимости, так как и ряд 2 2 2 n n 1 n Пример. Ряд сходится как ряд Дирихле с показателем 2, большим 1. 1.3Степенные ряды. Радиус сходимости, формула для него. Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов. Определение 6.(степенного ряда) Функциональный ряд вида a n 0 n ( x x0 ) n называется степенным рядом с центром x0 и коэффициентами an. Замечание. Степенной ряд с центром x0 заменой y=x-x0 сводится к степенному ряду a n y n с центром 0. При этом сходимость в 0 соответствующих точках сохраняется, а область сходимости и равномерной сходимости сдвигаются на x0 влево, если x0>0 и вправо, если x0<0. В силу замечания далее будем изучать ряды с центром 0. Найдем сначала область сходимости степенного ряда. Теорема (Лемма Абеля) Если ряд a n x n сходится в точке b, то он и ряд из его производных 0 na n x n 1 сходятся абсолютно во всех точках x b . 1 Доказательство. a b Ряд n n сходится, поэтому по необходимому признаку сходимости 0 lim a n b 0, и существует номер Nтакой, что при n>N будет a n b 1 n n n Т.е. при n>N будет an xn 1 bn . Пусть x b . Тогда по полученному неравенству n x x an x n . _ Но _ 1 по условию. Поэтому b b b n 0 n x сходится как b геометрическая прогрессия . Поэтому по непредельному признаку сравнения a N 1 n x n сходится абсолютно, а с ним сходится и отличающийся на N слагаемых ряд a N 1 n x n при x b . Для ряда из производных имеем оценку члена при n>N n an x n 1 n x n 1 bn n x n 1 x . _ Но _ 1. Поэтому n b b Даламбера, так как lim n n 1 x n1 сходится по признаку bn (n 1) x x 1 q 1 Поэтому по непредельному n b b признаку сравнения na n x n 1 сходится абсолютно, а с ним сходится и N 1 отличающийся на N слагаемых ряд na N 1 n x n 1 при x b . Следствие 1 Область сходимости степенного ряда с центром 0 есть интервал интервал (-R, R) и, может быть его концы(R может быть 0 или бесконечностью). Действительно, область сходимости вместе с каждой своей точкой x содержит симметричный относительно 0 интервал (-x,x). Поэтому она есть объединение бесконечного числа симметричных относительно 0 интервалов, которое есть такой же симметричный интервал (-R, R) и, может быть, его концы, если они входят в область сходимости(см. рис.14) . Из результата для ряда из производных следует, что его область сходимости есть тот же интервал и, возможно уже другие его концы. Заметим, что ряд x an n 1x n 1 dx имеет ту же область сходимости, что и исходный ряд, 0 кроме.может быть точек R , так как исходный ряд есть ряд из его производных. Следствие 2. Пользуясь замечанием к определению степенного ряда с центром x0 a n 0 n ( x x0 ) n область сходимости для него и ряда из его производных получается сдвигом на x0 интервала (-R,R) , где радиус сходимости для a n 0 n x n Это будет интервал (x0 -R, x0+ R) и, может быть его концы, возможно, разные для самого ряда и ряда из производных. Следствие 3. На любом отрезке [c, d ] ( R, R) ряд a n x n и ряд из его N производных na n x n 1 сходятся равномерно при некотором N . N Доказательство этого следствия. Возьмем b : _ m max c , d b R, m 1. b (рис.15) . По определению общего радиуса сходимости оба ряда сходятся в b. Поэтому для них верны при n>N оценки из доказательства теоремы an x n xn bn n n x n1 x m m n1 m n 1 . n an x n n n n . _ Но _ 1 . Поэтому так же b b b b b показываем сходимость рядов 0 n m и b m n1 1 n b n . Из этого и приведенных Оценок по достаточному признаку равномерной сходимости рядов получим равномерную сходимость ряда a n x n и ряда из его производных N na n x n 1 N при некотором N. Определение 7. Если область сходимости для ряда a n 0 n ( x x0 ) n есть интервал (x0 -R, x0+ R) и, может быть его концы, то R называется радиусом сходимости, а интервал (x0 -R, x0+ R) называется интервалом сходимости. Теорема 16(вычисление радиуса сходимости). Пусть существует lim n an R число или бесконечность. Тогда ряд a n x n a n 1 0 сходится при x R, расходится при x R, при x R могут быть любые варианты, требуется отдельное исследование. Доказательство. Рассмотрим ряд из модулей a x . При x 0 члены этого ряда n n 0 положительны. Поэтому при каждом фиксированном применим признак Даламбера. Он дает lim a n 1 x n an x n 1 n x lim n a n 1 an x lim n R x R q (при будет q=0) По Даламберу ряд сходится при q 1, _ т.е. _ при _ R an a n 1 x R 1 _ или _ x R (при сходимость на всей прямой) Аналогично ряд расходится при q 1, _ т.е. _ при _ x R 1 _ или _ x R (при R=0 ряд сходится только в 0) Теорема доказана. Следствие 1. Область сходимости для ряда с центром в 0 является интервалом (-R,R) и ,возможно, содержит его концы.(При бесконечном R это вся прямая, при R =0 это одна точка 0.) Замечание. Есди an lim a n не существует то область сходимости имеет тот же n 1 вид . интервал ( -R, R) и, может быть его концы, только R находится по-другому. Теорема 17 (О дифференцировании и интегрировании суммы степенного ряда внутри интервала сходимости) Пусть ряд a n x n S (x) сходится при x R N Тогда для любого отрезка d d c 0 c 0 [c, d ] ( R, R) _ имеем _ S ( x)dx an x n dx a n n1 (d c n1 ), n n 1 и для любого x из интерт-вала сходимости S ( x) a n nx . 1 Заметим, что любую точку с x R можно поместить в некоторый отрезок, целиком лежащий в интервале сходимости. Тогда по следствию 1 и 3 теоремы 15 следует равномерная сходимость самого ряда и ряда из производных, начиная с некоторого номера N, на любом отрезке из интервала сходимости. Отсюда по теоремам 3, 12.1, 13.1 получим 1 _ слаг. линейность,2 равн.сход. d an x n dx. S ( x)dx an x an x dx d d N n с c n N 1 0 0 c 1 _ слаг. линейность,2 е равн.сход. N S ( x) ( a n x a n x ) an nx n1 an nx n1 . N n 0 n N 1 1 1 Следствие. Сумма степенного ряда имеет в интервале сходимости производные любого порядка, получающиеся почленным дифференцированием. Действительно, первая производная суммы получается почленным дифференцированием и представляет собой степенной ряд с тем же интервалом сходимости. Аналогично эта первая производная имеет Производную . получающуюся ее почленным дифференцированием, и, значит двукратным почленным дифференцированием исходного ряда с тем же интервалом сходимости и т. д. до бесконечности. Т.е . n-ая производная суммы степенного ряда существует внутри интервавла сходимости и получается n-кратным почленным дифференцированием исходного ряда. Пример 1. Найти область сходимости производную и первообразную суммы ряда. ln n * (n 1) ln n * n ln n ( x 1) n . R lim lim 1. n ln( n 1) n n n * ln n n 1 n ln n ( 1) n . Это ряд Лейбница. Интервал сходимости (0.2). При x=0 получаем n 1 ln n ln n 1 ln n 0. _( ) 0 _ при _ n 3. Значит с n=3 ряд сходится по lim n n n2 n S ( x) признаку Лейбница , а следовательно и весь сходится по теор.3. При x=2 получаем 1 1 n ln n 1 ln n n при n>2. (1) . . Это знакоположительный ряд. n n n расходится как ряд Дирихле с показателем 1. Значит, исходный ряд 1 расходится по непредельному признаку сравнения при n>2, а значит, по теореме 3 расходится и весь. Итак, область сходимости [0,2). Найдем теперь производную и первообразную почленным дифференцированием и интегрированием внутри интервала сходимости. ln n (( x 1) n ) ln n( x 1) n1 . n 1 n 1 S ( x) x x 1 1 S ( x)dx 1 ln n ln n (t 1) n dt ( x 1) n C n n ( n 1 ) 1 Пример 2. Руководствуясь правилом вычисления n-ой производной суммы степенного ряда S ( x) a k x k , выведенным в следствии к теореме 17, k 0 получим ряд для n-ой производной: S ( n ) ( x) a k (x k ) ( n ) k 0 a k k (k 1)( k 2)...( k n 1) x k n a n (n)! a n 1 (n 1)! x a n 2 (n 2)( n 1) * ... * 3x 2 ... k n Подставивx=0, получим S ( n ) (0) a k (x k ) ( n ) k 0 x 0 a n * (n)! _ _ n 1,2,... Отсюда an S n (0) . (n)! Мы видим, что коэффициенты степенного ряда находятся по значаениям в 0 производных его суммы. 1.4 Ряды Тейлора.Достаточное условие сходимости. Стандартные разложения Маклорена Зададимся теперь обратной задачей. Пусть S(x) бесконечно дифференцируема на (-R,R). Тогда можно вычислить последовательность чисел an S n (0) . (n)! Определение 8. Пусть S(x) бесконечно дифференцируема на (-R,R). Тогда ряд 0 S n (0) n .x (n)! называется рядом Маклорена для S(x) в точке x0=0. Найдем условие сходимости ряда Маклорена к S(x) в некотором интервале ( , ). Дадим аналогичное определение ряда Тейлора . Определение 9. Пусть S(x) бесконечно дифференцируема на (x0-R, x0+R ). Тогда ряд 0 S n ( x0 ) .( x x0 ) n (n)! называется рядом Тейлора для S(x) в точке x0. Теорема 18. Пусть S(x) бесконечно дифференцируема на ( , ) _ и _ x ( , ) _ и _ _ натурального _ n _ имеем _ S ( n ) ( x) M для одного и того же M. Тогда ряд Маклорена в x0=0 сходится к S(x) на ( , ). Доказательство. В части 1 главе 4 была рассмотрена формула Маклорена для S(x), n раз дифференцируемой на ( , ) : S ( x) Tn ( x) Rn ( x), _ x ( , ). Здесь многочлен Маклорена S ( k ) (0) k Tn ( x) x (k )! k 0 n для каждого x является частичной суммой ряда Тейлора. Поэтому условием сходимости ряда Маклорена к S(x) на ( , ) является стремление к 0 в этих точках остатка в формуле Маклорена S ( x) Tn ( x) Rn ( x), _ x ( , ). Проверим это при наших условиях. Для этого запишем остаток в форме Лагранжа и оценим его модуль: S ( n 1) ( ) n 1 Rn ( x ) x (n 1)! условие _ на _ производные n 1 x Mx M n 1 0 (n 1)! (n 1)! n как член сходящегося ряда M n 0 (n)! . В сходимости этого ряда можно убедиться по признаку Даламбера. Действительно, M n 1 (n)! lim 0 q 1. lim n n ( n 1)! M n ( n 1) Итак имеем lim S т n ( x) Tn ( x) 0 на ( , ) . Так как Tn(x) являются частичными суммами ряда Тейлора, то по определению ряд Маклорена сходится к S(x) на ( , ). Замечание. Аналогично, заменой х-x0=y сводя ряд Тейлора к ряду Маклорена, получаем, что ограниченность одной константой всех производных бесконечно дифференцируемой функции на интервале (x0-R, x0+R ) является достаточным условием разложимости этой функции на этом интервале в ряд Тейлора. Примеры(стандартные разложения Маклорена) 1. S(x)=sinx имеет ограниченные производные на всей прямой: S (0) sin 0 0, S ( x) cos x, _ S (0) 1, S ( x) sin x, _ S (0) 0, S ( x) cos x, S (0) 1 Далее все производные и значения в 0 повторяются. Имеем все четные производные в 0 равны0. Поэтому в ряде Маклорена присутствуют только нечетные степени икса. Причем нечетные производные в 0 поочередно равны +1 и -1. Получим разложение с бесконечным радиусом сходимости sin x x x3 x5 x7 x 2n1 (1) n ... . 3! 5! 7! n 0 (2n 1)! 2. Аналогично для S(x)=cosx S (0) cos 0 1, S ( x) sin x, _ S (0) 0, S ( x) cos x, _ S (0) 1, S ( x) sin x, S (0) 0. Далее все производные и значения в 0 повторяются. Имеем все нечетные производные в 0 равны0. Поэтому в ряде Маклорена присутствуют только четные степени икса. Причем четныве производные в 0 поочередно равны +1 и -1. Получим разложение с бесконечным радиусом сходимости cos x 1 x2 x4 x6 x 2 n (1) n ... . 2! 4! 6! (2n)! n 0 3 S(x)=ex. Все производные S(n)(x)=ex, S(n)(0)=1. На любом интервале (-R,R) производные ограничены по модулю одним и тем же числом M=eR. Поэтому ряд Маклорена сходится к ex на любом интервале (-R,R), а потому также имеет бесконечный радиус сходимости и получаем в любой точке x2 x3 xn ... . 2! 3! 0 (n)! ex 1 x . 4.S(x)=ln(1+x) , x 1. Воспользуемся здесь возможностью интегрирования степенного ряда. x 1 dt. 1 t 0 ln( 1 x) По формуле для суммы геометрической прогрессии при знаменателе t _ с _ t 1 _ имеем __ 1 (1) n t n . Радиус сходимости этого ряда 1 и там его 1 t 0 можно почленно интегрировать: ln( 1 t ) 0 (1) n x 0 t n1 n x 0 (1) n1 1 xn . n Окончательно ln( 1 x) (1) n1 1 xn x2 x3 x4 x .... n 2 3 4 5. S(x)=(1+x)a. Имеем S ( x) a(1 x) a1 _ и _ выполнено соотношение S ( x)(1 x) a(1 x) a aS ( x). С другой стороны, верна Лемма 1 Если функция f(x) удовлетворяет соотношению (***) f ( x)(1 x) af ( x), и f ( x) 0, _ x 1, то f ( x) (1 x) a C S ( x) C . Доказательство f ( x) a , f ( x) 1 x ln( f ( x)) ln(( 1 x) a ). И в силу свойств первообразных f ( x) (1 x) a C S ( x) C Лемма доказана. Напишем ряд Маклорена для S(x) и назовем его f(x). Имеем S (0) 1, S ( x) a(1 x) a 1 _ и _ S (0) a, S ( x) a(a 1)(1 x) a 2 _ и _ S (0) a(a 1), S ( x) a(a 1)( a 2)(1 x) a 3 _ и _ S (0) a(a 1)( a 2), ………………… S ( n ) ( x) a(a 1)( a 2) * ... * (a n 1)(1 x) a n _ и _ S ( n) (0) a(a 1)( a 2) * ... * (a n 1), ………………… И положим f ( x) 1 1 a (a 1) * ... * (a n 1) n x . (n)! Осталось показать, что f(x)=S(x) на общем интервале сходимости. Заметим сначала , что S(x) определена при x 1. Максимальный симметричный относительно 0 интервал, принадлежащий этой области есть (-1,1). Покажем, что это будет интервал сходимости для f(x), т.е. радиус сходимости соответствующего ряда равен 1. Действительно, lim n an a(a 1) * ... * (a n 1)( n 1)! n 1 n lim lim lim 1. an1 (n)! a(a 1) * ... * (a n) n n a n n n Покажем теперь, что наша f(x) удовлетворяет соотношению (***) в интервале сходимости (-1.1). Найдем для этого ее производную по правилу дифференцирования рдов и подставим ее в левую часть соотношения. a (a 1) * ... * (a n 1) n x . (n)! 1 a(a 1) * ... * (a n 1)n n 1 a(a 1) * ... * (a n 1) n 1 f ( x) x x . (n)! (n 1)! 1 1 f ( x) 1 Далее, левая часть(***) равна f ( x)(1 x) ( 1 a (a 1) * ... * (a n 1) n 1 x )(1 x) (n 1)! a(a 1) * ... * (a n 1) n 1 a(a 1) * ... * (a n 1) n 1 ( x )1 ( x )* x (n 1)! 1 1 a(a 1) * ... * (a k ) k a(a 1) * ... * (a n 1) n x x (k )! (n 1)! 0 1 в _ 1 _ сумме _ выпишем _ k 0 _ и _ . a(a 1) * ... * (a k ) k a(a 1) * ... * (a n 1) n a x x (k )! (n 1)! 1 1 в _ 1 _ сумме _ k n 1 . в _ 1 _ ряде _ положим _ k n _ . сложим _ коэф. _ при _ x n _ a(a 1) * ... * (a n) n a(a 1) * ... * (a n 1) n a x x . (n)! (n 1)! 1 1 a 1 a (a 1) * ... * (( a n) n) n a(a 1) * ...(a n 1) x a (1 ) af ( x). (n)! (n)! 1 Итак, f ( x)(1 x) af ( x), И, следовательно, по лемме 1 f ( x) (1 x) a C Найдем С. f (0) (1 0) a C С 1. С другой стороны f(0)= f ( x) x 0 1 1 a(a 1) * ... * (a n 1) n x (n)! 1=C+1. Значит С=0. И (1 x) 1 1 при x 1. a(a 1) * ... * (a n 1) n x (n)! x 0 1 0 1.