Лекция №3 Интегральное исчисление

Кучина О.М.
Неопределенный интеграл
Опред: Функция F(х) называется первообразной для функции f(х), если F´(х) = f(х).
Любая непрерывная функция f(х) имеет бесконечное множество первообразных, которые отличаются
друг от друга постоянным слагаемым.
Опред: Совокупность F(х)+С всех первообразных для функций f(х) называется неопределенным
интегралом от этой функции:
∫ 𝒇(х)𝒅х = 𝑭(х) + С, если 𝒅[𝑭(х) + С] = 𝒇(х)𝒅х
Основные свойства неопределенного интеграла:
1. (∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥), = 𝑓(𝑥)
2. ∫ dF(х) = F(х) + С;
3. ∫ [f1(х)±f2(х)]dх = ∫ f1(х)dх ± ∫ f2(х)dх.
4. ∫ сf(х)dх = с ∫ f(х)dх.
∫хпdх =
хп+1
п+1
+ С(n≠ -1)
𝑑х
∫ х = 𝑙𝑛|х| + С
Таблица простейших интегралов
𝑑х
∫ 𝑠𝑖𝑛²𝑥 = - ctg х + С
𝑑х
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 х + С
∫√1−х2 = {
− 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 х + С
𝑑х
ах
∫ахdх = 𝑙𝑛 а + С
∫ √х2
dx
+1
= 𝑙𝑛 |𝑥 + √х + 1| + С
1
1+х
∫sin х dх = - cos х + С
∫1− х2 = 2 ln | 1−х | + С
∫cos x dx = sin x + С
∫ 1+ х2 = {
dх
arctg x + С
− arctg x + С
𝑑х
∫𝑐𝑜𝑠2 х =tg х + С
Опред: Проинтегрировать функцию f(х) – значит найти ее неопределенный интеграл.
Непосредственное интегрирование основ на прямом использовании основных свойств
неопределенного интеграла в таблицы простейших интегралов.
Интегрирование способом подстановки.
Любая формула интегрирования вида
∫f (х)dх = F(х) + С,
в частности, таблица простейших интегралов, остается в силе, если в подынтегральном выражении и
в правой части сделать замену переменной
х=ψ(t).
Сформулированное свойство неопределенного интеграла лежит в основе интегрирования способом
подстановки. Этот способ заключается в том, что стараются сделать такую подстановку t = ψ(х),
чтобы данный интеграл свести к одному из табличных.
Кучина О.М.
Интегрирование по частям
С помощью формулы интегрирования по частям
 udv  uv   vdu
(1)
(u и v – дифференцируемые функции от x) нахождение интеграла  udv сводится к отысканию более
простого интеграла  vdu .
Определенный интеграл
Опред: Определенным интегралом в пределах от а до b от функции f(x), непрерывной на отрезке [a,
b], называется приращение любой ее первообразной F(x) при изменении аргумента х от значения х=а
до значения х=b:
b
 f ( x)dx  F ( x)
b
a
= F(b)-F(a).
a
Свойства определенного интеграла
1) Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного
алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых функций:
b
  f1 ( x)  f 2 ( x)  f 3 ( x)dx =
a
b
b
 f ( x)dx   f
1
a
a
числа
функций
равен
b
2
( x)dx   f 3 ( x)dx .
a
2) Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
b
b
a
a
 Af ( x)dx  A f ( x)dx .
3) При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на
противоположный:
b
a
a
b
 f ( x)dx   f ( x)dx .
4) Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:
a
 f ( x)dx  0
a
5) Отрезок интегрирования можно разбивать на части:
b

a
c
o
a
c
f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx .
Кучина О.М.
Площадь плоской фигуры.
Площадь S криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y=f(x), двумя прямыми х=а
и х=b и отрезком оси абсцисс а<х<b, вычисляется по одной из следующих формул:
b
S=  f ( x)dx .
(1*)
a
если f(x)≥0 на отрезке [a,b];
b
S=-  f ( x)dx .
(2)
a
если f(x)≤0 на отрезке [a,b];
b
S=  f ( x) dx ,
(3)
a
если f(x) конечное число раз меняет знак на [a,b].
Площадь S фигуры, ограниченной двумя непрерывными кривыми y=f1(x) и y=f2(x) и двумя прямыми
x=a и x=b, где f1(x)≥f2(x) на отрезке [a,b], вычисляем по формуле
b
S=   f1 ( x)  f 2 ( x)dx .
(4)
a
Решение типовых заданий.
1. Найти интегралы:
1) ∫
3х2 – 5х√х +2
3
√х
dх;
х
х2
2) ∫х2 + 1 dх;
3) ∫
2
𝑐𝑜𝑠 2
3
dх;
𝑑х
4)∫ 𝑠𝑖𝑛2 2х .
Решение. 1) Разделив почленно числитель на знаменатель, разложим подынтегральную функцию на
слагаемые, после чего проинтегрируем каждое из полученных слагаемых:
∫
3х2 – 5х√х +2
3
√х
= 3·
5
х3 + 1
5
+1
3
5
7
−1
х 3 +1
9
5
7
5
−1
7
−1
dх = ∫ (3х3 – 5х6 + 2х 3 )dх = ∫ 3х3 dх - ∫ 5х6 dх + ∫ 2х 3 dх = 3 ∫ х3 dх - 5 ∫ х6 dх + 2∫ х 3 dх
7
- 5·
х6
−1
+1
7
+1
6
+2·
−1
+1
3
8
30 13
2
+ С = 8 х3 - 13 х 6 + + 3х3 + С.
Здесь через С обозначен результат суммирования всех произвольных постоянных, получающихся
при
интегрировании
каждого
слагаемого.
2) Представим подынтегральную функцию следующим образом:
х2
( х2 + 1)− 1
х2
1
𝑑х
= х2 + 1 = 1 − х2 + 1 . Тогда ∫ х2 + 1 dх = ∫ dх - ∫ х2 + 1 =
х2 + 1
=х–arctgх+С.
х
3)
Используя
тригонометрическую
формулу 𝑐𝑜𝑠 2 2
х
𝑐𝑜𝑠2
2
1+𝑐𝑜𝑠 х
1
1
=
1+cos х
∫ 3 dх = ∫
dх = 6 ∫(1 + 𝑐𝑜𝑠 х) dх = 6 [∫ dх + ∫ cos х dх] =
6
4) Преобразуем подынтегральную функцию таким образом :
2
1
6
,
получим
(х +sin х)+ +С.
Кучина О.М.
1
1
𝑠𝑖𝑛2 2х
1
= 4𝑠𝑖𝑛2 х·𝑐𝑜𝑠²х = 4 ·
𝑑х
1
𝑠𝑖𝑛²х+ 𝑐𝑜𝑠²х
𝑠𝑖𝑛²х·𝑐𝑜𝑠²х
1
1
=
1
4
1
1
( 𝑐𝑜𝑠²х + 𝑠𝑖𝑛²х ).
1
𝑑х
𝑑х
1
Отсюда ∫ 𝑠𝑖𝑛²2х = ∫ 4 ( 𝑐𝑜𝑠²х + 𝑠𝑖𝑛²х )dх = 4 [∫𝑐𝑜𝑠²х + ∫𝑠𝑖𝑛²х ] = 4 (tg х – ctg х)+С.
2. Найти интегралы способом подстановки:
х² 𝑑х
𝑠𝑖𝑛х 𝑑х
ех 𝑑х
5
1) ∫ cos2х dх , 2) ∫ 5+х³ , 3) ∫ 1+ 𝑐𝑜𝑠²х , 4) ∫ √1− 2х dх, 5) ∫ √1 − 2х dх.
е
Решение. 1) Данный интеграл окажется табличным, если под знаком дифференциала будет стоять
аргумент 2х подынтегральной функции cos2х. Так как d(2х)=2dх, то
1
∫cos2хdх = 2 ∫cos2хd(2х).
Следовательно, подстановка 2х = t приводит рассматриваемый интеграл к табличному:
1
1
1
∫cos2xdх = 2 ∫ 𝑐𝑜𝑠 2х 𝑑(2х) = 2 ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 = 2 𝑠𝑖𝑛 𝑡 + С.
Возвращаясь к старой переменной интегрирования х, окончательно получим
1
∫cos2хdх= sin2х+С.
2
х² 𝑑х
𝑑(5+х3 )
1
2) Так как d(5 + х³) = 3х² dх, то ∫ 5+х³ = 3 ∫ 5+х3 .
Полагая, что 5 + х³ = t, получим
х² 𝑑х 1 𝑑𝑡
1
1
∫ 5+х³ = 3 ∫ 𝑡 = 3 ln|t| + С = 3 ln|5 + х³| + С.
3) Поскольку d(cos х) = - sin х dх, то
𝑠𝑖𝑛х 𝑑х
𝑑 (cos х)
∫ 1+ 𝑐𝑜𝑠²х = - ∫ 1+ 𝑐𝑜𝑠²х . Отсюда, применяя подстановку t = cosх, приходим к табличному интегралу:
𝑠𝑖𝑛х 𝑑х
𝑑𝑡
∫ 1+ 𝑐𝑜𝑠²х = - ∫1+ 𝑡² = −а𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑡 + С = − а𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑐𝑜𝑠 х) + С.
ех 𝑑х
4)
Из
соотношения
d(ех )
=
ех dх
получаем
∫
√1− е2х
х
Воспользовавшись подстановкой t = е , приходим к табличному интегралу:
ех 𝑑х
𝑑𝑡
∫
=∫
= arcsint + С = arcsin ех + С.
𝑡²
√1−(ех )²
=
∫
√1−
5) Подстановка t= 1–2х приводит данный интеграл к табличному:
1
5
1
5
1
1
5
6
1 𝑡5
∫ √1 − 2х dх = -2 ∫ (1 − 2х) d(1 – 2х) = -2 ∫ 𝑡 dt = -2
5 5
6
5
5 5
+ С = - 12 √𝑡 6 + С =
= - 12 √(1 − 2х)6 + С.
3. Найти интегралы методом интегрирования по частям:
1)

3
x 2 ln xdx ;
3)  (1  x) sin xdx ;
2)
 xe
4)
 xarctgxdx .
2x
dx ;
Решение. 1) Положим u=lnx, dv= 3 x 2 dx ,
откуда
du 
dx
3
, v   3 x 2 dx  3 x 5 .
x
5
По формуле (1) получим
3 2
 ln x x dx  ln x 
33 5
3
dx 3 3 5
3
3
9
x   3 x5 

x ln x   3 x 2 dx   3 x 5 ln x  3 x 5  C
5
25
5
5
x 5
5
𝑑(ех )
√1− е2х
.
Кучина О.М.
2) Полагая u  x, dv  e 2 x dx ,
найдем
du  dx, v   e 2 x dx 
1 2x
e .
2
Отсюда
1
1
1
1
2x
2x
2x
2x
2x
 xe dx x  2 e   2 e dx  2 xe  4 e  C .
3) Пусть u  1  x, dv  sin xdx .
Тогда
du  dx, v   sin xdx   cos x .
По формуле (1) получим
 (1  x) sin xdx  (1  x)( cos x)   cos xdx  ( x  1) cos x  sin x  C 4) Полагая u  arctgx, dv  xdx ,
получим
dx
du 
1 x2
v
x2
.
2
Тогда по формуле (1) имеем
x2
x2
dx
1 2
1 ( x 2  1)  1
 x arctgx  
dx 
 xarctgxdx  2  arctgx   2  2
2
x 1 2
x2 1
1
1
dx  1 2
1
1
 x arctgx  x  arctgx  C .
= x 2 arctgx    dx   2

2
2
2
2
x  1 2
4. Вычислить определенные интегралы:
1
2
2)  ( x  2e x )dx
1)  4 x 3 dx
0
0

2
3)

0
cos x
3
sin 2 x
dx
0
4)

3
xinxdx .
1
Решение. 1) Найдем одну из первообразных F(х) для функции 4х3. Так как
Кучина О.М.
x4
3
4
 4 x dx  4  C  x  C , то F(x)=x . По формуле (1) получаем
4
2
 4 x dx  x
3
4 2
1
2 4  14  16  1  15 .
1
2) По формуле (1) имеем
1
 x2
1
5
1

x
0
(
x

2
e
)
dx

  2e     2e   (0  2e )   2e  2   2e .
0
2
2

2
0  2
1
x
3) Первообразную F(x) для функции

cos x
3
2
sin x
dx  
d (sin x)
3
2
cos x
3
sin 2 x
получим, вычислив неопределенный интеграл
 33 sin x  C .
sin x
Отсюда F(x)=3 3 sin x и по формуле (1) имеем

2

0
cos x
3
sin 2 x

dx  33 sin x
2
0



= 3  3 sin  3 sin 0  =3.
2


4) Для нахождения неопределенного интеграла
частям. Полагая u=lnx, dv= 3 x dx , получим du=

3
х ln xdx =
33 4
x ln x 4
33
4
x4

3
x ln xdx применим формулу интегрирования по
dx
3
, v=  3 x dx  3 x 4 . Отсюда
4
x
dx
3
9 3 4
= 3 x 4 ln x x +С
x
4
16
и
e
e

1
3

9
9
9
3 3 4
9
3

3

3 4

x ln x = 
=
e 
x ln x  3 x 4  =  3 e 4 ln e  3 e 4  -  3 14 ln 1  3 14  =
16
16
16
16
16
4

4

4
1

3 3 e4  3
.
16
5.Вычислить площадь, ограниченную параболой y=3x2, прямыми х=2, х=4 и осью абсцисс.
Решение. Воспользовавшись формулой (1), имеем:
Кучина О.М.
x3
S=  3x dx  3 
3
2
4
2
4
2
 64  8  56 .
6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной ветвью гиперболы y=
1
, прямыми х=-3, х=-1 и осью
x
абсцисс.
1
отрицательна. Поэтому для вычисления площади
х
рассматриваемой фигуры воспользуемся формулой (2).
Решение. На отрезке [-3,-1] функция f(x)=
1
1
S=-  dx   ln x
x
3
1
3
 (ln 1  ln 3)  ln 3 .