Основные законы распределения дискретных

Пример Дискретная
распределения:
xi
ni
случайная
1
0
,1
X
величина
0
1
2
0
0
0
,2
,1
задана
законом
,6
Найти числовые характеристики СВ: M  X , D X ,  , моду.
Решение. Построим многоугольник распределения данной случайной
величины.
Математическое ожидание:
4
M  X    xi p i 
i 1
 1 0 ,1 0  0 ,2  1 0 ,1 2  0 ,6  1,2.
Дисперсия:
4
D X    xi2 pi  M  X  
2
i 1
  1  0 ,1 0  0 ,2  12  0,1 2 2  0 ,6  1,2 2 
 2,6  1,44  1,16.
2
2
СКО:   D X   1,16  1,077 .
Мода равна 2.
Основные законы распределения дискретных случайных
величин
1. Закон распределения Бернулли. Случайная величина X ,
распределенная по закону Бернулли, принимает значения: 1 – «успех» или 0
– «неудача» с вероятностями p и q  1  p соответственно
xi
0
1
q
pi
p
Математическое ожидание: СВ X: M  X   0  q  1 p  p .
2
2
2


D
X

0

q

1

p

p
 p1  p  .
Дисперсия:
2. Биномиальный закон распределения. Случайная величина X ,
распределенная по биномиальному закону, принимает значения:
0, 1, 2, …, n с вероятностями, определяемыми по формулам Бернулли:
,
xi
0
pi
C n0 p 0 q n C n1 p 1q n1 C n2 p 2 q n2
1
2
,,
k
,
,,
C nk p k q nk
n
C nn p n q 0
Математическое ожидание: M  X   np .
Дисперсия: D X   npq .
На рисунке приведены многоугольники (полигоны) распределения
случайной величины X, имеющей биномиальный закон распределения с
параметрами n=5 и p (для p=0,2; 0,3; 0,5; 0,7; 0,8).
Пример . В рекламных целях торговая фирма вкладывает в каждую
пятую единицу товара денежный приз размером 100 тенге. Найти закон
распределения числа сотен тенге, полученных при четырёх сделанных
покупках.
Решение Вероятность того, что в случайно сделанной покупке окажется
денежный приз, равна p=1/5=0,2. Случайная величина X - число покупок, в
которые вложен денежный приз, имеет биномиальный закон распределения с
параметрами n=4 и p=0,2. Ряд распределения X имеет вид:
xi
0
1
2
3
4
pi
0,409
6
0,409
6
0,153
6
0,025
6
0,001
6
значения pi=P(X=m), (m=0, 1, 2, 3, 4) вычислены по формуле