Адамар-Маршо мағынасындағы бөлшек ретті шекаралық

advertisement
МАТЕМАТИКА
Ш.АБИКЕНОВА, Н.ТЕМИРГАЛИЕВ
ОБ ОПТИМАЛЬНОЙ АБСОЛЮТНО ЛИНЕЙНОЙ Lq - ДИСКРЕТИЗАЦИИ РЕШЕНИЙ
ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ИЗ КЛАССОВ СОБОЛЕВА
(Институт теоретической математики и научных вычислений ЕНУ им. Л.Н.Гумилева, г. Астана)
В данной работе найдены точные порядковые оценки погрешности приближения решений волнового уравнения
посредством вычислительных агрегатов, построенных по числовой информации, полученной от всех линейных
функционалов, суммарное количество которых задано, примененных к двум начальным условиям из классов Соболева.
В данной работе изучается задача Коши для волнового уравнения s  1,2,
 2u
t
2

 2u
x12
 ... 
 2u
x s2
u  ux, t , 0  t  , x  x ,, x  R ,
s
1
s


(1)
u(x,0)  f 1(x)  F (1) , u x,0  f 2 x   F 2  x  R s .
(2)
t
Напомним определение функциональных классов, которые в данной работе берутся в
качестве F 1 и F 2  . Для ss  1,2, , целого неотрицательного числа r и 1  q   класс
Wqr (0,1) s есть множество всех 1-периодических по каждой переменной функций
f ( x)  f ( x1 ,..., xs ) , которые в случае r  0 вместе со своими частными производными до
Cоболева
порядка r включительно принадлежат Lq (0,1) s и для которых выполнено неравенство
,
s
r
f W
 f L  
f
1
r
x
j 1
r
q
q
j
Lq
а в случае r  0 полагаем Wqr (0,1) s  Lq (0,1) s .
Под
классом
g : R s 0,  C
Lq,  Lq, 0,1s  0,
таких, что для каждого
будем
понимать
множество
t 0,  g t  x   g  x ,t 
всех
функций
как функция аргумента
x R s
является измеримой периодической с периодом 1 по каждой из своих s переменных и
удовлетворяет неравенству
1
g
Lq , 
.

q
q
 g Lq ,  0,1s 0,    sup   g  x, t  dx   


t 0
 0,1s

Данная статья заключается в получении оценок сверху и оценок снизу
совпадающих с точностью до констант) для величины
  2u
N 

 t
2
 u; u ( x,0)  f1 ( x),

u
( x,0)  f 2 ( x); DN ; F 
 
t
Y
6
min
inf
(желательно
N1  N 2  N ( l ( N1 , N 2 ) , N )DN , N
1
2
u ; f
sup
f   f 1 , f 2 F (1)  F ( 2 )
N
N
  N  l11 f 1,..., l1 1  f 1, l21 f 2 ,..., l2 2  f 2 ;  


(3)
Y
и в указании вычислительного агрегата, реализующего оценку сверху.
Здесь,
Tf  u(; f )  u( x, t; f1, f 2 ) решение задачи (1)-(2).
Всюду ниже, как правило, через N (с индексами и без) будем обозначать количество
информации, или, более обще, элементов множества.
Также, без каких-либо оговорок принимается, что на классы, операторы и функции наложены
такие условия, что все определения
Далее,
(N ,N )
l
1
2
, N
N
 
имеют смысл.
N
N 
N 
 1

1
 l1  f 1,..., l1 1  f 1, l 2  f 2 ,..., l 2 2  f 2 ; x, t 


есть
вычислительный агрегат, построенный по числовой информации
  ,..., l    l   ,..., l   
l  N 1 , N 2   l1

N  N1  N 2 ,
объема
N
1
1
f
1
1
полученной об
f1 и f 2
N
1
f
1
,
f
2
N
2
же переменной, что и
И, наконец,
 
пар l
N1 , N 2 
2
 и

1
l1 ,..., l1
N
1
N до функции, зависящей от той
u( x, t; f1, f 2 ) .
DN1 , N 2

f
посредством функционалов
  соответственно, и переработанной по алгоритму 
1
l2 ,..., l2
2
2
2
,  N , т.е.
- заданный набор вычислительных агрегатов из множества всевозможных

DN1 , N 2  l  N1 , N 2  ,  N
, а D
N

 DN , N
1
N1 , N 2 :N1  N 2  N
.
2
Существенным в этой постановке является то обстоятельство, что при заданном общем
объеме информации N требуется распределить объемы N j числовой информации, получаемой от
f j  F  j   j  1,2 таким образом, чтобы суммарная погрешность
неулучшаемой или близкой к неулучшаемой.
Продолжая обозначение (3) в записи
N
была возможно малой -
 N  A, B; DN ; F Y под А будем понимать уравнение, а
В будет означать начальные или граничные условия.
Различные конкретизации в (3) пространств Y, классов F, операторов
Tf  u ( ; f )
,
вычислительных агрегатов DN приводит к разным постановкам задач, многие из которых были
предметом исследований в тех или иных разделах математики (см., напр., [1]-[10] и имеющуюся в
них библиографию).
Пусть  N - заданное множество наборов l  N  из N функционалов. Тогда при
D N   N   N  , то есть в случае приближения вычислительными агрегатами l  N  ,  N  с l  N  из
 N и произвольным  N , величину  N , зависящую только от  N , согласно [1], назовем
N 
информативной мощностью семейства функционалов  N . Соответственно через P
обозначим
N 
множество из
N
функционалов, являющихся значениями функции в точках, через
N 
Ф
множество
из N функционалов – коэффициентов Фурье-Лебега и пусть L
есть множество из N линейных
функционалов, определенных на линейной оболочке класса F .
Восстановление (в том числе дискретизацию) по всем вычислительным агрегатам,
 
построенным по всем возможным линейным функционалам, т.е. случай DN  L
  N , будем
называть абсолютно линейным, поскольку включает в себя все линейные средства приближений,
изучаемые в теории приближений и численном анализе (вычислительной математике) (см. [1]-[4]).
(N)
7
Через c(, ,…) будем обозначать некоторые положительные величины, разные, вообще говоря,
в разных формулах и зависящие лишь от указанных в скобках параметров.
 
Если AN 
– неотрицательная числовая последовательность и BN
N 1 - произвольная
N 1
числовая последовательность, то запись B
означает, что найдется постоянная
N  AN
c ,  , ,
 , ,...
для которой при каждом целом положительном
BN  c ,,...AN
последовательности,
.
то
AN N 1
Если же
запись
и
BN  AN
BN N 1
означает,
N
выполнено неравенство
- две неотрицательные числовые
что
одновременно
выполняются
 , ,...
соотношения
BN
и B
.
N  AN
 AN
 , ,...
 , ,...
Одним из авторов [5] в модельной ситуации, когда изучаемые дифференциальные уравнения
есть классические уравнения математической физики, классами являются обычные периодические
классы Соболева, а восстановление ведется по значениям соответствующих начальных и краевых
условий или правых частей уравнения в конечном числе точек, получены оптимальные порядки
восстановления, причем показано, что оптимальный оператор восстановления является конечной
сверткой значений f (x ) на равномерной сетке со стандартной функцией. Именно,
1) Если
Tf  ux; f 
есть решение уравнения Пуассона, то
r

 N  u  f ; P  N    N ; W2r 0,1s     s  N N s ,

 L s, r
где  s N   1 при s  2,3 ,  s N   ln N , при s  4 ,  s  N   N при s  4 .
2) Если Tf  ux, t; f  есть решение задачи Коши для волнового уравнения, то
 
  2u

u
 N  2  u; u ( x,0)  f ( x), ( x,0)  0; P  N    N ;W2r (0,1) s ,0   N s 2 ,
t
 t
 L r ,s
r 1
 s (N )  N

r
s

при s  2,3
  2u
 N 
 t
2
 u; u ( x,0)  0,
u
( x,0)  f ( x); P  N    N ;
t
0, W2r (0,1) s

L
 s N   ln N , при s  2 ,  s  N   N при s  3 .
3) Если Tf  ux, t; f  есть решение уравнения теплопроводности, то
  s ( N )  N
s, r

r
s,
где
r 1
 
 u

N 
 u; u ( x,0)  f ( x), P  N    N ; W r 0,1s 
 N s 2 .
2


t

 L s, r
E.A. Баиловым и Н.Темиргалиевым [6]
для решения уравнения Пуассона получены
следующие двусторонние оценки погрешности восстановления (определения ниже приведенных
классов Коробова
Esr , равно как и других классов, даны в соответствующих работах ).

1) При s ( s  2,3,...), r  1, 2  q   , 1 

1 2
 0
q s 
8

2
ln N  r  s s 1
   u  f ; P  N    N ; E r 0,1s  q 
N
s
 L s, r


1 2
1 2
r  1    s, r
r  1   
q s
q s


N
N
1

2) При s ( s  2,3,...), r  1, 2  q   , 1 

1 2
 0
q s 

,

ln N r   s  s .
1
   u  f ; P  N    N ; E r 0,1s  q 
N
s
 L s, r
N r s, r
Nr
К.Е.Шерниязовым [7] получены следующие оценки погрешности  N восстановления решений
задачи Коши для уравнения теплопроводности по значениям функции распределения начальной
температуры в конечном числе точек.
1) при r  1 и 1  q   (   0 индекс оптимальных коэффициентов)
r ( s  1)
ln
N
 u

    u; u ( x,0)  f ( x), P  N    N ; E r 0,1s 

N  t
s
 Lq s, r , q,  r  1  1 ,
r  1  1 s, r
q
q
N
N


u
ln r s  1 N

N 
 u; u ( x,0)  f ( x), P  N    N ; E r 0,1s 

,

s
1
 t
 L2 s, r
r
N
2) при
r
1
2
и
1 q  
r  1 ( s 1)
N
 u
 q ln 2
N 
r
s
  N   u; u ( x,0)  f ( x), P   N ; SW 0,1  
,
1
r2
1 1
2
 t
 Lq r ,s
r    s ,r
N
2 q
1
N
1
2




u
ln r s  1 N

 u; u ( x,0)  f ( x), P  N    N ; SW r 0,1s 

,
2
1
 t
 L2 s, r
r
2
N
N 

3) при
2r  s, 1    
и 1 q  
r


 1 ( s  1)

2
s

q


1
ln
N
 u

  
 u; u ( x,0)  f ( x), P  N    N ; B r 0,1s 
.



N
2
,

q
r
1
r  1 1  r , s , q ,
t



L
r, s
   
2 q
Ns 2
Ns 
Ш.У. Ажгалиевым
двусторонние оценки
1) при 2  q   ,
[8] для
уравнения теплопроводности получены следующие
1     , 2r  s  0 , s  1,2, 
 r  1 1 
    
 u

s 2 q
 N   u; u ( x,0)  f ( x), L N    N ; B2r, 0,1s   N     , N  1,2,...
 t
 L2, r ,s
2) при
r
1
,
2
s=1,2,…
ln
 u

 N   u; u ( x,0)  f ( x), L N    N ; SW2r 0,1s  
 t
 L r ,s
9
r ( s 1)
1
r
N 2
N
, N  1,2,...,
ln r ( s 1) N
 u

 u; u ( x,0)  f ( x), L N    N ; SW2r 0,1s  
, N  2,3,... .
Nr
 t
 L2, r ,s
N 
Е.Шангиреевым [9] для волнового уравнения получены следующие двусторонние оценки при
s
r :
2
r 1 1
  
  2u

u
 N  2  u; u ( x,0)  f ( x), ( x,0)  0; P  N    N ; M 2r (0,1) s   N s 2 q ( s  1,2,..),
t
 t
 Lq , r ,s
  2u
N 

2
 t
 u; u ( x,0)  0,
M 2r (0,1) s
1     .
где
u
( x,0)  f ( x ); P  N    N ; M 2r (0,1) s
t



N 2 ( s  2),
 2 ,  
r ,s
L
r
есть любой из классов Соболева W2r (0,1) s , Никольского-Бесова
Ибатуллиным И. и Темиргалиевым Н. [10] для уравнения Клейна-Гордона
s
s
r1  2  и r2  1  следующие двусторонние оценки
2
2
B2r, (0,1) s
получены при
N  2,3, 
  2u
u
 N  2  u  u; u ( x,0)  f1 ( x), ( x,0)  f 2 ( x);
N1  N 2  N ,
t
 t
N1 1, N 2 1
min
L N    N ; H 2r1 (0,1) s , H 2r2 (0,1) s

2 ,
L
 N 
s ,r ,r


min r1 ;r2 1
s
.
1 2
Теперь перейдем к основным результатам настоящей статьи.
Через ux, t; f ,0 обозначим решение задачи (1)-(2) в случае
через ux, t;0, f  - в случае
f ( x)  f1 ( x) W r21 0,1s , f 2 ( x)  0 ,
(4)
f1 ( x)  0, f ( x)  f 2 ( x) W r22 0,1s
(5)
f1 ( x)  W r21 0,1s , f 2 ( x)  W r22 0,1s .
(6)
и через ux, t; f1 , f 2  обозначим решение задачи (1)-(2) в случае
Нами доказаны следующие теоремы.
Теорема 1. Пусть даны целые положительные числа
r1  2 
s
и r1 , число
s
.
2
Тогда в случае задачи (1) и (4) имеют место соотношения
inf
sup
r1
l1 ,..., l N  линейные
s
функционал ы,  N f W2 0,1
2q
N  1,2, 
u ; f ,0   N l1  f ,..., l N  f ; Lq ,  N
r
1 1
 1 
s 2 q
s ,r1
Теорема 2. Пусть даны целые положительные числа
r2 1
s
и r2 , число
s
.
2
Тогда в случае задачи (1) и (5) имеют место соотношения
10
такие, что
2q
N  1,2, 
.
такие, что
inf
sup
l1 ,..., l N  линейные
функционалы,  N
f W2 2 0,1s
r
u ;0, f    N l1  f ,..., l N  f ; Lq ,   N

r2 1 1 1
 
s 2 q.
s , q , r2
s , 2q
Теорема 3. Пусть даны целые положительные числа
и положительные
числа r1 и r2 такие, что
r1  2 
s
2
и r2 1
s
.
2
1) Тогда в случае задачи (1) и (4) имеют место соотношения
~ 1
sup
f W2 1 0,1s
r
u ; f ,0    N l1  f ,..., l N  f ;
где
~N1 l1  f ,..., l N  f ; x, t  
 
n  log 2
s

0,1
s
k k1 ,...,ks :
k j 2n  j 1,...,s 
где
 
n  log 2
s

,

,
u ;0, f   ~N2  l1  f ,..., l N  f ;
~N2  l1  f ,..., l N  f ; x, t  
Lq ,  s ,r1
f k1 ,..., k s cos k12  ...  k s2 t e 2i  x1k1 ... xs ks 
2) Тогда в случае задачи (1) и (5) имеют место соотношения
f W2r2
 N
r 1 1
 1 
s 2 q



N 1 1 .
sup
N  1,2, 

f k1 ,..., k s 

k k1 ,...,k s Z s :
k j 2n  j 1,...,s 
sin
N  1,2, 
 N
r 1 1 1
 2
 
s
2 q
Lq ,  s ,r2
k
2
1
 ...  k s2 t
k12  ...  k s2
,
e
2i  x1k1 ... xs k s 
,
N 1 1 .
Здесь и всюду ниже […] – целая часть числа.
Теорема 4 (информативная мощность всех возможных линейных функционалов). Пусть даны
целые положительные числа
s, 2 q 
и положительные числа r1 и r2 такие, что
r1  2 
s
s
и r2 1 .
2
2
Тогда в случае задачи (1) и (6) имеют место соотношения
min
inf
N1  N 2  N , l11  ,..., l1 N1  ,
N1 1, N 2 1 l 1  ,..., l  N 2   линейные
2
2
функционал ы,  N

1
  N l1
sup
f1W2 1 0,1s
r
f 2W2 2 0,1s
r
 N1 
 f1 ,..., l1
u ; f1 , f 2  
 N2 
1
 f1 , l2  f 2 ,..., l2
N  2,3
 f 2  ; L
q ,

 N


min r ; r 1 1 1
1 2
 
s
2 q
.
s ,r1 ,r2
Отметим, что в случае задачи (1)-(2) из доказанных теорем следуют те же выводы, что и в [10].
Именно, пусть minr1 ,r2 1 r . Если r1  r , то r 2 1 r , и всякое повышение гладкости

r
s
r2  r 1 не отразится на порядке погрешности  N при дискретизации решений задачи (1)-(6),
то же относится к случаю r1  r , r2  r 1 . При этом, самый широкий класс упорядоченных пар
функций
 f1 , f 2  ,
f 1  W2r1 0,1 , f 2  W2r2 0,1 для которых еще выдерживается указанный
s
оптимальный порядок получится при
s
r1  r2  1  r .
11
и функции  N , в качестве
Далее, конкретизируя линейные функционалы l1 ,....l N
вычислительных агрегатов  N l1 ,....l N ; x, t  в теореме 4 можно получать все возможные N - членные
частичные суммы рядов Фурье по всем возможным ортонормированным системам, в их числе и по
вейвлет-системам, все возможные N - членные частичные суммы разложений по всем возможным
базисам и также разностные схемы, то есть, фактически, весь спектр агрегатов, изучаемых в теории
приближений и вычислительной математике. Смысл теоремы 4 состоит в том, что в условиях данной



min r1 ; r 2 1 1 1
 
s
2 q
теоремы весь перечисленный арсенал не может дать оценку лучше, чем  N
,
причем эта оценка реализуется на операторах из теоремы 3.
В заключение, введем обозначения и приведем некоторые утверждения в виде лемм, которые
используются при доказательстве результатов данной работы.
Для 1-периодической по каждой из s -переменных суммируемой функции f x  через



f (m) m  Z s будем обозначать ее тригонометрические коэффициенты Фурье-Лебега, в дальнейшем
именуемые просто коэффициенты Фурье,

f (m)   f ( x)  e 2i ( m, x ) dx .
0,1s
Для сокращения записей всюду ниже будем использовать обозначение    t  
 
2
2 
 sin  m1  ...  m s t 

, m  0,
 m t   
2
2
m

...

m

1
s

t ,
m0




m  0 и  m t   1 .
 t   cos m12  ...  ms2 t  .
и, как следствие,  m
Отметим, что m t  
1
(m, m)
Лемма 1. Пусть даны целое положительное число s , положительные числа r1 и r2 такие,
что
s
s
и r2 1 .
2
2
s
s
r1
r
Тогда для каждой пары  f1 , f 2  : f1  W2 0,1 , f 2  W2 2 0,1
r1  2 
задача (1)-(6) имеет
классическое решение ux, t; f1 , f 2  , представимое в виде абсолютно сходящегося ряда



u  f1 , f 2 ; x, t     f1 m m t   f 2 (m)  m t  e 2 i m, x  .

mZ s 
Лемма 2. Если действительные функции g1 N1 , N 2  и g 2 N1 , N 2  определены на конечном
множестве  и для всякого N1 ,N 2  выполнено неравенство
g1 N1 , N 2   g 2 N1 , N 2  ,
то
min
 N1 , N 2 
Лемма 3(см. [10]).
соотношения
N  2,3
g1  N1 , N 2  
min
 N1 , N 2 
g 2  N1 , N 2  .
Пусть даны положительные числа
12
A1 , A2 , c1
и
c2 .
Тогда верны
min
c N
1
N1  N 2  N
N1 1, N 2 1
 A1
1
 c2 N 2 A2


N
A1 , A2 ,c1 ,c2
Лемма 4. (см. [8]). Пусть дано целое положительное число
 min  A1 , A2 
.
s . Тогда для каждого целого
G  Z s , количество элементов
которого не меньше 2 N и для произвольных линейных функционалов l1 , , l N , определенных, по
положительного
N
выполнено: для любого конечного множества
крайней мере, на множестве всех тригонометрических многочленов со спектром в
тригонометрический многочлен
условиям
 x  G,l1,..., lN x 
l1    ...  l N    0 , 
L
со спектром в
 N, 
s
Лемма 5. Пусть дано целое положительное число
положительного
N
выполнено: для множества

L2
G
G,
найдется
, удовлетворяющий
 N.
. Тогда для каждого целого

s
Bn  2n 1 ,2n  Z s
, где
n  n s , N 
2n  2s  2 N  2n 1s , произвольной последовательности чисел  m  0
m Bn  и для произвольных линейных функционалов l1,, lN , определенных, по крайней мере,
на множестве всех тригонометрических многочленов со спектром в Bn , найдется
тригонометрический многочлен  ( x)   b e 2i ( m, x ) , удовлетворяющий условиям
m
определено условием
mBn
l1      l N    0
такой, что для  ( x) 
 cm  m e 2i ( m, x )
имеют место соотношения
mBn
 ( x)
 N ,  ( x)

L
1
 N2.
2
L
Лемма 6. Пусть даны целые положительные числа

тригонометрическим многочленом порядка
соотношение
T
W 2r
и пусть
T  (x) является
по каждой из своих s переменных. Тогда верно
  r T
l
Лемма 7. Если функция f(x) W2r (0,1) s ,
неравенство

s, r, 

L2 .
тогда существует такое число с, что верно
2
f (m)  m, m   с 2
r
mZ s
обратно, если


2
f (m)  m, m   1
r
mZ s
то найдется число с, что c  f(x) W2r (0,1) s .
Лемма 8 (см., напр., [11]). Пусть даны целые положительные числа
s,  , 1 q  
и
пусть T (x)
является тригонометрическим многочленом порядка  по каждой из своих s
переменных. Тогда верно соотношение
T
Lq
3
s
13


s
q
 T  .
L
Лемма 9. Пусть даны целое положительное число
s, 2 q .
Тогда для функции
f ( x)  (0,1) верно неравенство
s
2
q
2
f Lq  f   f q2 .
L
L
1
Полученные результаты были апробированы на Выездном семинаре профессоров МГУ
В.Н.Чубарикова, А.И. Шафаревича, Б.С.Гашкова, Д.В.Георгиевского, проведенного 13-16 декабря
2009 года в рамках мероприятия «Дни механико-математического факультета МГУ им.
М.В.Ломоносова в ЕНУ им. Л.Н.Гумилева».
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Темиргалиев Н. Теоретико-числовые методы и теоретико-вероятностный подход к задачам
Анализа. Теория вложений и приближений, абсолютная сходимость и преобразования рядов
Фурье //Вестн. ЕАУ, 1997, № 3. - С.90-144.
2. Темиргалиев Н. Математика: Избранное. Наука /под ред. Б. С. Кашина. - Астана: ЕНУ им. Л.Н.
Гумилева, 2009.- 613 с.
3. Темиргалиев Н. Компьютерный (вычислительный) поперечник. Алгебраическая теория чисел и
гармонический анализ в задачах восстановления (метод Квази-Монте Карло). Теория вложений и
приближений. Ряды Фурье. // Вест.ЕНУ им. Л.Н.Гумилева, 2010. Спец. выпуск, посвященный
научным достижениям математиков ЕНУ им. Л.Н.Гумилева, 194 с.
4. Ажгалиев Ш.У., Темиргалиев Н. Информативная мощность всех линейных функционалов при
восстановлении функций из классов // Матем. сборник, 2007, T. 198, № 11.- С.3-20.
5. Темиргалиев Н. Об оптимальном восстановлении решений классических уравнений
математической физики // I-съезд математиков Казахстана: Тезисы докл.-Шымкент,1996.- С.151153.
6. Баилов Е.А., Темиргалиев Н. О дискретизации решений уравнения Пуассона // ЖВМ и МФ, 2006.
т.46, №9. - С. 1594-1604.
7. Шерниязов К.Е. Восстановление функций и решений уравнения теплопроводности с
распределениями начальных температур из классов E, SW и SH // Вестн. КазГУ. - Сер. мат.,
мех., инф.- 1998.- №11.-С.98-108.
8. Ажгалиев Ш.У. О дискретизации решений уравнений теплопроводности // Матем. заметки,
2007.- т. 82, выпуск 2.- С. 177-182.
9. Шангиреев Е.И. О восстановлении решений волнового уравнения // Дисс. … канд. физ.-мат.
наук, Караганда, 2002.
10. Ибатулин И.Ж., Темиргалиев Н. Об информативной мощности всех возможных линейных
2,
функционалов при дискретизации решений уравнения Клейна-Гордона в метрике L //
Дифференциальные уравнения. 2008. Т.44. №4.- С. 491-506.
11. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения
//М.:Наука,1977. -455 с.
Бұл жұмыста жалпы саны берілген барлық сызықты функционалдардан Соболев кластарында жататын бастапқы екі
шарттар негізінде алынған сандық ақпарат бойынша құрылған есептеуіш агрегат арқылы толқындық теңдеудің жуық
шешімінің дәл реттік бағалаулары табылған.
In this paper sharp estimates of the error of approximation of solutions of the wave equation by means of applications of
computational aggregate using are numerical information obtained by applying all linear functionals, the total number of which as
fixed, to two initial conditions which are functions on Sobolev classes.
14
Ш.АБИКЕНОВА, А.УТЕСОВ, Н.ТЕМИРГАЛИЕВ
О ДИСКРЕТИЗАЦИИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
(Институт теоретической математики и научных вычислений ЕНУ им. Л.Н.Гумилева, г. Астана)
В данной работе исследуется задача дискретизации решения задачи Коши для волнового уравнения с начальными
условиями из обобщенных классов Соболева. Найден точный порядок погрешности дискретизации решений волнового
уравнения по линейной информации, при этом полученные оценки сверху и снизу представлены средними функциями
систем функций типа модуля гладкости, определяющими свойства функций из рассматриваемых классов.
В данной работе изучается задача Коши для волнового уравнения s  1,2,
 2u
t
2
 2u

x12
 ... 
u  ux, t , 0  t  , x  x ,, x  R ,
 2u
s
1
x s2
s

(1)

u(x,0)  f 1(x)  F (1), u x,0  f 2 x   F 2  x  R s .
(2)
t
Сначала приведем общую постановку задачи восстановления, различные конкретизации в
которой пространств X и Y, классов F, операторов T, вычислительных агрегатов D N , приводят к
разным постановкам задач (см., напр., [1-8] и имеющуюся в них библиографию).
Пусть даны нормированные пространства X (1) , X (2) и Y числовых функций, определенных на
множествах 
X (1)
,  X ( 2) и  Y соответственно, множества функций F ( j )  X ( j ) ( j  1,2) и
Tf  Tf  y   u( y; f )  u( y; f1, f 2 ) - отображение F  F (1)  F (2) в Y. Пусть также даны целое
положительное число N и целые положительные числа N1, N 2 , N1  N 2  N , набор функционалов
l ( N)  l1 ,l 2  , l j  (l (j1) ,..., l j
(N j )
(k )
), lj
() : F ( j )  C , где k  1,...,N j и j  1,2 . И, наконец, пусть
дана функция  N ( z1 ,..., z N ; y) : C N  Y  C такая, что  N (z1 ,..., z N ; y) при всех фиксированных
z1 ,..., z N как функция от y принадлежит пространству Y, где C, как обычно, есть поле комплексных
чисел.
Тогда для каждого f   f1, f 2   F соответствующую функцию Tf  u ( y; f ) будем
приближать
в
метрике
Y
функцией
(вычислительным
агрегатом)
 N  l1(1)  f 1,..., l1
(N 2 )
(1)

 f 2; y 
f 1, l 2  f 2 ,..., l 2

(N )
(N )
l1(1)  f 1,..., l1 1  f 1, l 2(1)  f 2 ,..., l 2 2  f 2  объема
( N1 )


,
построенной
по
N, полученной об
числовой
информации
f   f1, f 2  посредством
функционалов l ( N)  l 1 2  l1 ,l 2  и переработанной по алгоритму  N до функции,
зависящей от той же переменной, что и Tf.
Пусть l ( N 1 ,N 2 ) ,  N есть множество всевозможных пар l ( N 1 ,N 2 ) ,  N и пусть DN  l ( N1 ,N2 ) , N .
Задача заключается в получении оценок сверху и оценок снизу (желательно совпадающих с
точностью до констант) для величины
 N A, B; D N ; F Y  min ( N , N inf
sup
u ; f  
)
N ,N



N1  N 2  N ( l
1
2



, N )DN f  f , f F (1) F ( 2 )
1 2
N 
N 
 1

1
  N  l1  f 1,..., l1 1  f 1, l 2  f 2 ,..., l 2 2  f 2 ;  


(3)
Y
и в указании вычислительного агрегата, реализующего оценку сверху.
При этом, обычно сначала устанавливаются оценки снизу погрешности дискретизации по
информации, полученной от всех вычислительных агрегатов из заданного множества DN , которые
затем подтверждаются оценками сверху для конкретных вычислительных агрегатов (построение
которых, разумеется, можно продолжить с точки зрения улучшения вычислительных характеристик).
15
В (3) символами обозначены А - уравнение, В - начальное или граничное условие, F - класс.
Пусть  N - заданное множество наборов l  N  из N функционалов. Тогда при D N   N   N  , то

есть в случае приближения вычислительными агрегатами l  N  ,  N

с l  N  из  N и произвольным
 N , величину  N , зависящую только от  N , согласно [1], назовем информативной мощностью
семейства функционалов  N . Соответственно через  N  P  N    f 1 ,..., f  N  : f  F ,
1 ,...,  N  точки из множества задания функций класса F  обозначим множество из N
функционалов,
являющихся
  
значениями
функции


в
 N  Ф N   fˆ m(1) ,..., fˆ m( N ) : f  F , m( j )  Z s , j  1,, N
функционалов
N 
N  L
–
тригонометрических
 l1  f ,..., l N  f  : f  F
коэффициентов
Rs
с целочисленными компонентами
Здесь рассматривается следующая
через
 множество из
Фурье-Лебега
есть множество из
N
пусть
и
N линейных функционалов,
Z s - множество всех векторов m  (m1 ,..., m s )
определенных на линейной оболочке класса F, где
из
точках,
конкретизация
общей
задачи
восстановления:
1   2    [0,1] , Y  L (0,1) , оператор Т ( f1 ; f 2 ) определен как u( y; f1, f 2 )  u( x, t; f1, f 2 ) s
2
s
решение задачи (1)-(2), при этом используется термин «дискретизация».
Прежде чем определить классы функций F  j   j  1,2 , рассматриваемые в данной работе,
напомним определение средней функции.
r 1
Для данного действительного числа
функцию  r   такую, что
 r 0  0
и
всякую непрерывную неубывающую на [0,1]
 r  
  
 С ( r )  r r
r


при некотором С(r )  0 и всех 0      1 , называют функцией типа модуля гладкости r го порядка.
В качестве функций типа модуля гладкости r -го порядка можно указать функции вида
 r log r1
т.п.
1 ( r 1 ,

0  r1   ),  r log r
1
1

log log r2
1

( r  1 , 0  r1   ,
   r2   )
и
Пусть  r1 ,...,  rs - система функций типа модуля гладкости порядков r1 ,..., rs соответственно.
В дальнейшем, не ограничивая общности (в случае необходимости, переходя к
считать, что все функции  r j  j  1,.., s  строго возрастают на 0,1 и
 r    
r
j
 r (1)  1
 r j 1  1.
), будем
j
Обратную к инъективной функции g функцию будем обозначать через g 1 .
Рассмотрим функции  rj1   , обратные к
   1( ) 
Очевидно, что
   1( )
 r   , и положим
j
s
1
  r (
j
j 1
)
0  
 1.
является строго возрастающей функцией на [0,1], причем
 1(1)  1. Функцию    , обратную к  1( ) , следуя В.И.Коляде [9]
средней функцией системы  r1 ,...,  rs .
16
будем называть

Отметим, что в случае
очевидно, есть функция 
Класс
W 2
r1 ,...,
( )  ...   v ( )   v ( ) средняя функция этой системы,

s
  ( ) , обратная к функции
   1( )  v1( )

s
.
 rs есть, по определению, множество всех суммируемых 1-периодических по
каждой переменной функций
Лебега
v1
f ( x)  f ( x1,..., xs ) , тригонометрические коэффициенты Фурье-

f (m) которых удовлетворяют условию


m  m1 ,, m s Z s
В частности, при
классам Соболева
Под
классом
g : R s 0,  C
r
r1 ,..., rs
W2


, m j  max{1, m j }, j  1,.., s .
1
1
 1
 ...
 2 1 
 1 
2
  r1  m 
rs  m  
 1
 s 

2 

f ( m ) 
( )  
j
rj
классы
 r1 ,...,  rs
W2
сводятся к обычным анизотропным
.
s
Lq ,  Lq , 0,1  0,  будем
таких, что для каждого
понимать
множество
всех
функций
t 0,  g t  x   g  x ,t  как функция аргумента
x R s
является измеримой периодической с периодом 1 по каждой из своих s переменных и
удовлетворяет неравенству
1

q
q

g Lq ,  g Lq , 0,1s 0,    sup  g x, t  dx    .
 s

t 0
 0,1

s
q
Норму пространства L 0,1 (1  q  ) , как обычно, будем обозначать через 
Lq
или  q , то
есть
1
f

 s
Lq
 f
q

q
q
   f ( x) dx  ,
 s

 0,1

s
 
а под L 0,1 будем всюду понимать C 0,1 .
Через c(, ,…) будем обозначать некоторые положительные величины, разные, вообще
говоря, в разных формулах и зависящие лишь от указанных в скобках параметров.
Если
AN N 1 – последовательность положительных чисел и BN N 1 - произвольная
числовая последовательность, то запись
BN  AN
 , ,...
означает, что найдется постоянная c(, ,…),
для которой при каждом целом положительном N выполнено неравенство
Если же
AN N 1
BN  AN
 , ,...
и
BN N 1
означает,
что
BN  c ,,...AN .
- две последовательности положительных чисел, то запись
одновременно
выполняются
соотношения
BN
 AN
и
 , ,...
BN  AN .
 , ,...
Приведем некоторые результаты, полученные в аналогичном исследуемому случаю
направлении.
17
Ш.У. Ажгалиевым [4] для уравнения теплопроводности при использовании числовой
информации в виде всевозможных линейных функционалов получены следующие двусторонние
оценки:
1) при 2  q   , 1     , 2r  s  0 , s  1,2, 
 u

 N   u , u (0, x)  f ( x); L N    N ; B2r, 0,1s 
 N
 t
 L 0,   Lq 0,1s r , s
2) при
r
 r  1 1 
      
 s  2 q 
1
, s  1,2, 
2
ln
 u

 u, u ( x,0)  f ( x); L N    N ; SW2r 0,1s 

 t
 L 0,   L 0,1s r , s
N 
r ( s 1)
N
r
, N  1,2,...
N
, N  1,2,...
1
2
,
ln r ( s 1) N
 u

 u , u ( x,0)  f ( x); L N    N ; SW2r 0,1s 

, N  2,3,... .
r
r
,
s
s

2

t
N

 L 0,   L 0,1
N 
А.Б.Утесовым [5] для уравнения теплопроводности, когда в качестве числовой информации
используются значения в точках функции из обобщенных классов многомерной гладкости,
определяющей начальное условие, получены следующие двусторонние оценки:

 u
1
r1 ,...,  rs
0,1s 
 u, u ( x,0)  f ( x); P  N    N ;W 
   , N  1,2,.. ,
2
 t
 L2 0,1s s, r1 ,.., rs  N 
N 
  1 
 u

 u, u ( x,0)  f ( x); P  N    N ; H 2 r 0,1s 
 r  s N  , N  1,2,.. .
s
2
s
,
r

t

 L 0,1


N 
Е.Шангиреевым [6] для волнового уравнения получены следующие двусторонние оценки при
s
r :
2
r 1 1
  
  2u

u
 N  2  u, u ( x,0)  f ( x), ( x,0)  0; P  N    N ; M 2r (0,1) s 
 N s 2 q ( s  1,2,..),
t
 t
 Lq , (0,1)s [0,  )  r ,s

  2u

u
 N  2  u, u ( x,0)  0, ( x,0)  f ( x); P  N    N ; M 2r (0,1) s 
 N 2 ( s  2),
t
 t
 L2, ( 0,1) s [ 0,   r ,s
r
M 2r (0,1) s
1     .
где
есть любой из классов Соболева W2r (0,1) s , Никольского-Бесова
B2r, (0,1) s
Ш.Абикеновой [7] для волнового уравнения получены следующие двусторонние оценки:
1) при
s s  1,2,  и r , v 
  2u
 N  2  u, u ( x,0)  f
 t
2) при 
r

(1)
s
, 2q
2
u
( x), ( x,0)  f
t
( 2)
( x); Ф
 r ,..., r  и  v
1
s
типа модуля гладкости r1 ,..., rs - го
удовлетворяющих условиям
N 



 N ; W2r (0,1) s , W2v (0,1) s




N
 q ,
 L (0,1) s [0,  )  r ,v,q , s
min( r ,v 1) 1 1
 
s
2 q
 v ,..., v  систем строго возрастающих функций
1
и
s
v1   ,...,v s   -го порядков соответственно,
 2 1 
1
2 



1 
 m   ...    s  m

 1
 s
mZ s 

18

  


и
j  1,  , s ,
 j      С   j     j   ,  j  r j , v j
при некотором
 u
 N 
2
 t
2
С  0 и для всех 0      1
 u, u ( x,0)  f (1) ( x),

u
( x,0)  f ( 2) ( x); Ф  N    N ;W 2 r 0,1s ,W 2 v 0,1s 

t
 L2, (0,1) s [0,  ) 


N1  N 2  N ,
N1 1, N 2 1
 min

1
1
 1 
 1 
 .
s

N 
  2 
N 
 N2 
 1
 2 

Ибатуллиным И. и Темиргалиевым Н. [8] для уравнения Клейна-Гордона
получены при
s
s
и r2  1  следующие двусторонние оценки (N=2,3,…)
2
2
2
 u

u
min  N  2  u  u, u ( x,0)  f1 ( x), ( x,0)  f 2 ( x); L N    N ; H 2r1 (0,1) s , H 2r2 (0,1) s 

N1  N 2  N ,
s ,r1 ,r2
t

t
2 ,
s


L ( 0,1) [ 0,  
N1 1, N 2 1
min r1 ; r 2 1
r1  2 

 N
s
.
s ,r1 ,r2
Теперь перейдем к формулировкам основных результатов.
Все рассматриваемые функции будем считать определенными на всем пространстве
периодическими по каждой из своих s переменных и суммируемыми на кубе
0,1
s
.
Для 1-периодической по каждой из s -переменных суммируемой функции


Rs ,
1-
f x  через

f (m) m  Z s будем обозначать ее тригонометрические коэффициенты Фурье-Лебега, в дальнейшем
именуемые просто коэффициенты Фурье,

f ( m) 
 f ( x)  e
2i ( m, x )
dx .
0,1
Теперь перейдем к основным результатам настоящей статьи.
Через ux, t; f ,0 обозначим решение задачи (1)-(2) в случае
s
,...,  r
s u
r1
s 0,1 ,
u  x,0  f1 ( x)  f ( x) W 
( x,0)  f 2 ( x)  0 ,
2
t
(4)
через ux, t;0, f  - в случае
u  x,0   f1 ( x)  0,
u
,..., 

0,1s
( x,0)  f 2 ( x)  f ( x) W 
2
t
(5)
и через ux, t; f1 , f 2  обозначим решение задачи (1)-(2) в случае
,...,  r
,..., 
s u
r1

s 0,1 ,
0,1s .
u  x,0   f1 ( x) W 
( x,0)  f 2 ( x) W 
(6)
2
2
t
Теорема 1. Пусть  r ,...,  r - система функций типа модуля гладкости порядков r1,..., rs
1
s
соответственно, удовлетворяющие условию
и такие, что  j  1,..., s 



s 
mZ 


m 
1

2
r1
 1

m
 1



ms
  .
2  1 


rs 

 ms  
 
4
4




 ... 

 r      С  r   r     r  
j
j
19
j
j
(7)
при некотором положительном
С (r j ) и для всех 0   ,  1 .
Тогда для решений ux, t; f ,0 задачи (1) и (4) имеет место соотношение N  1,2,..
inf
l1 ,..., l N  линейные
функционал ы,  N
1
u ; f ,0    N l1  f ,..., l N  f ; L2 , 0,1s 0;      ,
s , r1  N 
s
r ,...,  rs 0 ,1
f W 
2 1
sup
где
1
Теорема 2. Пусть
условию

v
 s

 ( x)     rj1 x 
 j 1

- функция типа модуля гладкости  -го порядка, удовлетворяющая


4
4
 m1
ms

...

 
 1
mZ s 
2 1 


2  m
   m 
 1
 s









 
 
(8)
и такая, что
      С        
при некотором положительном С ( ) и для всех 0   ,   1 .
Тогда для решений ux, t;0, f  задачи (1) и (5) имеет место соотношение N  1,2,..
1

N ,

sup
u ; f ,0    N l1  f ,..., l N  f ; L2 ,  0,1s 0;    s
s , r1
s

N
f W 2  0,1

inf
l1 ,..., l N  линейные
функционал ы,  N
где


 ( x)   r1 x 
Теорема 3. Пусть
гладкости r1 ,..., rs -го и
соответственно и
 r ,...,  r
1
и
s

j
s 1
.
- система и отдельная функция типа модуля
 -го порядков соответственно, удовлетворяющие условиям (7), (8)
      С          r , , j  1,..., s 




(9)
j
при некотором положительном С   и для всех 0   ,  1 .
1) Тогда в случае задачи (1) и (4) имеют место соотношения (N=1,2,…)
sup
f W2 r 0,1s
u ; f ,0  ~N1 l1  f ,..., l N  f ;
2,
L
1
   ,
0,1 0; 
N
s
где
~N1 l1  f ,..., l N  f ; x, t  




,
1
 1
nj 
 1   1   
  
  r  
 j   N 

k  k1 ,..., k s :
k j  n j  j 1,..., s 

f k1 ,..., k s  k1 ,..., ks t e 2i  x1k1 ...  xs ks 
j  1,..., s .
2) В случае задачи (1) и (5) имеют место соотношения
20
,
1

N
2 
~
sup
u ;0, f    N l1  f ,..., l N  f ; 2 , 
0,1s 0;   s N ,
L
f W2r2 0,1s

где
~N2  l1  f ,..., l N  f ; x, t  

f k1 ,..., k s  k1 ,..., k s t e 2i  x1k1 ...  xs k s 

k  k1 ,..., k s Z s :
k j  2 n  j 1,..., s 
,




1

  1, где здесь и всюду ниже […] – целая часть числа.
n
 1   1   
  v     
  N 

Теорема 4 (информативная мощность всех возможных линейных функционалов). Пусть
 r ,..., r и  - система и отдельная функция типа модуля гладкости r1 ,..., rs -го и  -го
1
s
порядков соответственно, удовлетворяющие условиям (7), (8) соответственно и (9).
Тогда в случае задачи (1) и (6) имеют место соотношения (N=2,3,…)
min
N1  N 2  N ,
N1 1, N 2 1
inf
l11 ,..., l1 N1  ,
 N2 
1
l2 ,..., l2  линейные
функционал ы,  N
sup
f1W2 r

f 2W2 
0,1
0,1s
s


u ; f1 , f 2    N l11  f1 ,..., l1 N1   f1 , l 21  f 2 ,..., l 2 N 2   f 2 ;

 
L2 ,  0,1s 0;   s ,r ,v
1
  1 
 1 
 
  N 2 s  .
 min  1     2 

N1  N 2  N ,
 N1 
 N2 

N1 1, N 2 1
Доказательства этих теорем проводятся с использованием следующих лемм.
Для сокращения записей всюду ниже будем использовать обозначение    t  
 
2
2 
 sin  m1  ...  m s t 

, m  0,
 m t   
2
2
m

...

m

1
s

t ,
m0




m  0 и  m t   1 .
 t   cos m12  ...  ms2 t  .
и, как следствие,  m
Отметим, что m t  
1
(m, m)
Лемма 1. Пусть s- целое положительное число. Если для функций f1 ( x) и f 2 ( x) ряды

mZ
fˆ j (m) m, m   j  1,2 сходятся, то задача (1)-(2) имеет классическое решение u f1, f2; x, t  ,
s
представимое в виде абсолютно сходящегося ряда
u  f 1 , f 2 ; x, t  


 2 i  m , x 
.
 f1 m  m t   f 2 (m)  m t  e
s 

mZ

Лемма 2. Пусть  r1 ,...,  rs - система функций типа модуля гладкости порядков r1,..., rs
соответственно, удовлетворяющие условию

mZ s







m 
1

 1

r1 
 m1
2


.

ms
  .
2  1  


rs 

 ms  
 
4
4




 ... 

r1 ,...,rs
Тогда для всякой функции f ( x) W 
0,1s ряд
2
21

fˆ (m) m12  ...  ms2

mZ s

сходится.
Лемма 3 (см. [4]). Пусть дано целое положительное число s . Тогда для каждого целого
положительного N выполнено: для любого конечного множества G  Z s , количество элементов
которого не меньше 2 N и для произвольных линейных функционалов l1 ,..., l N , определенных, по
крайней мере, на множестве всех тригонометрических многочленов со спектром в G , найдется
тригонометрический многочлен  x   G, l ,...,l x  со спектром в G , удовлетворяющий условиям
1
N
l1    ...  l N    0 ,  L  N ,  L2  N .
Лемма 4. Если действительные функции g1 N1 , N 2  и g 2 N1 , N 2  определены на конечном
множестве  и для всякого N1 ,N 2  выполнено неравенство
g1 N1 , N 2   g 2 N1 , N 2  ,
то
min
 N1 , N 2 
g1 N1 , N 2   min
 N1 , N 2 
g 2 N1 , N 2  .
Лемма 5(см. [8]). Пусть даны положительные числа A1, A2, с1 и с2. Тогда верны соотношения
(N=2,3,…)
min
c N
N1  N 2  N
N 1 1, N 2 1
1
 A1
1
 c2 N 2 A2


A1 ,A2 ,c1 ,c 2
N
 min  A1 , A2 
.
Полученные результаты были апробированы на Выездном семинаре профессоров МГУ
В.Н.Чубарикова, А.И. Шафаревича, Б.С.Гашкова, Д.В.Георгиевского, проведенного 13-16 декабря
2009 года в рамках мероприятия «Дни механико-математического факультета МГУ им.
М.В.Ломоносова в ЕНУ им. Л.Н.Гумилева».
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Темиргалиев Н. Теоретико-числовые методы и теоретико-вероятностный подход к задачам
Анализа. Теория вложений и приближений, абсолютная сходимость и преобразования рядов Фурье
//Вестн. ЕАУ, 1997, № 3.- С.90-144.
2. Темиргалиев Н. Математика: Избранное. Наука /под ред. Б. С. Кашина. - Астана: Изд-во
ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2009.- 613с.
3. Темиргалиев Н. Компьютерный (вычислительный) поперечник. Алгебраическая теория
чисел и гармонический анализ в задачах восстановления (метод Квази-Монте Карло). Теория
вложений и приближений. Ряды Фурье. // Вест.ЕНУ им. Л.Н.Гумилева, 2010. Спец. выпуск,
посвященный научным достижениям математиков ЕНУ им. Л.Н.Гумилева.- 194с.
4. Ажгалиев Ш.У. О дискретизации решений уравнений теплопроводности // Матем. заметки,
2007.- т. 82.- выпуск 2.- С. 177-182
5. Утесов А.Б. Задача восстановления функций и интегралов на обобщенных классах и
решений уравнения теплопроводности // Дисс. … канд. физ.-мат. наук, Алматы, 2001.
6. Шангиреев Е.И. О восстановлении решений волнового уравнения. //Дисс. … канд. физ.-мат.
наук, Караганда, 2002.
7. Абикенова Ш.К. Дискретизация решений задачи коши для волнового уравнения с
начальными
условиями
из
классов
E s 0,1
s
r
и
W 2
r1 ,...,
 rs //Материалы Международной
конференции «Теория функций и вычислительные методы», посвященной 60-летию со дня рождения
профессора Н. Темиргалиева, Астана 5-9 июня 2007года.- C.10-14.
8. Ибатулин И.Ж., Темиргалиев Н. Об информативной мощности всех возможных линейных
2,
функционалов при дискретизации решений уравнения Клейна-Гордона в метрике L
//
Дифференциальные уравнения. 2008. Т.44. №4.- С. 491-506
22
9. Коляда В.И. О вложении некоторых классов функций многих переменных.//Сиб. мат.
журнал, 1973.-№4.- C.766-790.
Берілген жұмыста бастапқы шарттары жалпыланған Соболев класынан алынғандағы толқын теңдеуі үшін Коши есебінің
шешімін дисреттеу есебі қарастырылады. Толқын теңдеуі үшін Коши есебінің шешімін сызықтық ақпарат бойынша
дисреттеудегі қателіктің дәл реті көрсетілген. Алынған жоғарыдан және төменнен бағалаулар қарастырылып жатқан
кластардағы функциялардың қасиеттерін анықтайтын тегістік модул тектес функциялар жүйелерінің орта
функцияларыарқылы берілген.
In this paper the problem of discretization of the solutions of the Cauchy problem for the wave equation with initial conditions which
are functions in generalized Sobolev classes investigated. The sharp order of the error for of discretization of solutions of the wave
equation is found by numerical information obtained by applying all linear functionals. The obtained lower and upper estimates are
expressed in terms of averaged functions of a system of functions of modulus of smoothness type, defining properties of functions of
the classes under consideration.
23
Б.Х.ТУРМЕТОВ, М.Т.ИЛЬЯСОВА
О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ С ГРАНИЧНЫМ
ОПЕРАТОРОМ ДРОБНОГО ПОРЯДКА В СМЫСЛЕ АДАМАРА-МАРШО
(Международный казахско-турецкий университет им. Х.А.Ясави, г.Туркестан)
(Евразийский национальный университет им. Л.Н.Гумилева, г.Астана)
В настоящей работе в n-мерном шаре исследуются вопросы разрешимости нелокальной задачи для уравнения
Лапласа. Доказаны теоремы о единственности и существования решения рассматриваемых задач.
1.Введение.
Пусть заданы последовательности чисел k и ak, k=1,2,…, удовлетворяющие условиям

| a
0  k    1,
k 1
k
|  .
Для любого  >0 рассмотрим оператор дробного интегрирования в смысле Адамара (см.[1],
с.251):
 [ f ](t ) 
 1
t
1
 t
 ln 

( ) 0  s 
f (s)
ds
,
s
t  0,
где Г(z) – гамма функция Эйлера.
Дробную производную мы рассмотрим в форме Адамара-Маршо, а именно считая f(t)
достаточно гладкой функцией, в случае 0<<1, полагаем

D [ f ](t ) 

f (t )  f ( st ) ds
,
| ln s |1
s
1
(1   ) 
0
а при   1
D [ f ](t ) 
1
1
l
 (1)
 ( , l ) 
k
0 k 0
Здесь
=[]+1, [] – целая часть  и
 1
 ( , l )   (1  s)  ln 
0
 s
l
Пусть
l 
ds
k
  f s t 
1
s ln s
k 
1
l 1

ds,
l
l!
.
 
 k  k !(l  k )!
  { x : | x |  1 } – единичный шар в R n , n 2 и  – его граница.
Рассмотрим в  следующую краевую задачу:
u x   0 , x   ,
(1)

D u ( x)   ak D u ( k x)  f  x  , x   ,
(2)
k 1
где оператор D действует по направлению вектора нормали r=|x| .
Рассматриваемая задача является простейшим обобщением задачи Бицадзе – Самарского [2]
на граничные операторы нецелого порядка.
Отметим, что аналогичные задачи для эллиптических уравнений второго порядка с граничными
операторами целого порядка были рассмотрены в работах [3-6], а для оператора дробного порядка в
смысле Римана-Лиувилля в [7].
Кроме того задача (1),(2) в случае аk=0,k=1,2,…, изучалась в работе [8].
24
Решением задачи (1),(2) назовем гармоническую функцию u(x) из класса
 
C 2 ( )  C 

такую, что D u ( x)  C () и выполняется условие (2) в классическом смысле.
Приведем известное утверждение из работы [8].
Теорема 1. Пусть f(x)C() и аk=0, k=1,2,….
Тогда для разрешимости задачи (1), (2) необходимо и достаточно
выполнения условия

f ( x)( x)ds x  0
.
(3)

Если решение существует, то она единственна с точностью до постоянной и представляется в
виде
1
(4)
1
ds
 1
ln s
v ( sx )

 ( ) 0
s
u ( x) 
где v(x) решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа с граничным значением f(x).
В общем случае для задачи (1), (2) справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть f(x)C(),
| a
k
k 1
| 1 и

a
k 1
k
 1 . Тогда для разрешимости задачи (1), (2)
необходимо и достаточно выполнения условия (3).
Если решение существует, то она единственна с точностью до постоянной и представляется в
виде (4), где v(x) решение задачи
v  x   0 , x   ,
(5)

v( x)   ak v( k x)  f  x  , x   ,
k 1
(6)
v  0  0
(7)
2. Вспомогательные утверждения.
Для доказательства теоремы нам необходимо рассмотреть некоторые вспомогательные
утверждения.
Лемма 1. Если
функция в области
Лемма
2.
u ( x)
.
гармоническая функция в области
Если
u ( x)
 
гармоническая
 , то D u ( x)
функция
 
также гармоническая
удовлетворяющая
u ( x)  C 2     C  , D u ( x)  C  , то

D u ( x)dS x  0 .

Доказательства этих утверждений приведени в работе [8].
Лемма 3. Пусть f(x)C() и v(x) решение задачи (5)-(7) из класса
Тогда
1)
если

f ( x)dS x  0 и

2)
если v(0)=0, то

a
k 1

k
 1 , то v(0)=0;
f ( x)dS x  0 .

Доказательство. Пусть решение задачи (5)-(7) принадлежащее классу
25
 
C 2   C  .
условиям
 
C 2     C  существует, и выполняются условия

f ( x)dS x  0 и
k 1

Так как v(x) гармоническая функция в области  , то для любого
v( k x) также является гармонической в .
Обозначим vk (x)=v( k x) . По условию теоремы
> 0 такое, что |vk (x)|=|v( k x) | M для всех
Тогда

a
k
 1.
 k  (0,1) функция
 
v( x)  C  и следовательно, существует M
x  .



k 1
k 1
k 1
|  a k v k (x)|  |a k ||v k (x)| M  |a k |  

т.е. ряд
a
k 1
сумма
этого
k
v( k x) сходится равномерно в  и в силу теоремы Гарнака (см.например [9])
ряда
представляет
гармоническую
функцию
в
области
.
Обозначим

w( x)  v( x)   a k v( k x) .Тогда w(x) является решением следующей задачи Дирихле
k 1
w  x   0 , x   , w( x)  f  x  , x   .
Решение этой задачи для любого f(x)C() существует и представляется в виде интеграла
Пуассона
w( x) 
Так как в

1 | x |2
 | x  y |n f ( y)dS y .
n 
1
f ( x)dS x  0 , то в силу непрерывности функции w(x) имеем

w(0) 
1

n 
f ( y)dS y  0 .
Тогда




w(0)  v(0)   a k v(0)=v(0) 1   a k   0 .
k 1
 k 1 

Следовательно, из условия
a
k 1
k
 1 вытекает условие v(0)=0.
Таким образом, утверждение теоремы по части 1) доказано.
Пусть теперь для решения задачи (5)-(7) выполняется условие v(0)=0.
Тогда в силу равенства w( x)  v( x) 

a
k 1
Так как w( x) 
k
v( k x) получаем w(0)=0.
1 | x |2
 | x  y |n f ( y)dS y , то отсюда следует, что
n 
1

f ( x)dS x  0 .

Лемма 3 доказана.

Замечание 1. Отметим, что если в лемме 3 выполняется условие
a
k 1
произвольное постоянное.
26
k
 1 , то v(0)=С –
Лемма 4. Пусть выполняются условия

a

 | ak | 1 ,
k 1
k 1

k
 1 , f ( x)  C () и
f ( x)dS x  0 .

Тогда решение задачи (5)-(7) существует и единственно.
Доказательство. Исследуем вопрос о единственности решения задачи (5)-(7). Пусть функция
v(х) является решением задачи (5)-(7) при f(x)=0.
Если v(х)≠const, то в силу принципа максимума для гармонических функций v(х) свое
максимальное или минимальное значения достигает на границе области. Пусть
M  max | v( x) || v( x0 ) |, x0   .

Подставляя это значение в условие (6), получаем M 

 a v(
k
k 1
x).
k 0
Так как 0< k <1, то  k x0  и поэтому


k 1
k 1
M   | ak ||v( k x0 ) | M  | ak | .

Теперь, если
 | a |  1 , то получаем противоречие M<M.
k
k 1

Поэтому, в случае
 | a |  1 необходимо, чтобы v(x)C=const. Но так как v(0)=0, то
k 1
k
v(x) 0.
Теперь перейдем к изучению существования решения задачи (5)-(7).
Обозначим  ( x)  v( x)  , где v(x)-неизвестная функция.
Решение задачи (5)-(7) будем искать в виде интеграла Пуассона
1 | x |2
v( x) 
 | x  y |n  ( y)dS y .
n 
1
(8)
Подставляя данную функцию в граничное условие (6), относительно неизвестной функции (х)
получаем следующее интегральное уравнение

 ( x)   ak
k 1
1 |  k x |2
 |  k x  y |n  ( y )dS y  f ( x), x   .
n 
1
(9)
Обозначим
1 1 |  k x |2
.
, x, y  
n |  k x  y |n

K ( x, y )   ak
k 1
Тогда уравнение (9) представляется в виде
 ( x) 
 K ( x, y) ( y)dS
y
 f ( x), x  .
(10)

Так как |  k x  y || y   k x || y |  |  k x | 1   k  1    0 , то функция
на  .
Далее, из оценки

a
k 1
k
1 1 |  k x |2
2

n
n |  k x  y |
n

 | a 1   
k 1
k
k
27
 ( n 1)


2
n 1   
1 |  k x |2
непрерывна
|  k x  y |n
( n 1)
| a
k 1
k
| 

следует, что
ряд
 ak
k 1
1 1 |  k x |2
сходится равномерно. Поэтому функция K(x,y)
n |  k x  y |n
-
непрерывна на  .
Следовательно, к интегральному уравнению (10) применима теория Фредгольма.
По теореме Фредгольма если однородное уравнение, соответствующее к уравнению (10)
имеет только нулевое решение, то уравнение (10) имеет решение при любой непрерывной функции
f(x).Причем это решение будет непрерывной функцией на  .
Подставляя полученное решение в равенство (8) из свойств интеграла Пуассона, получаем,
что функция v(x) удовлетворяет условию (6).
Далее, по лемме 3 если функция f(x) удовлетворяет условию (3) и выполняется условие

a
k 1
 1 , то функция v(x)
k
удовлетворяет и условию (7).

Таким образом, из теоремы единственности следует, что при выполнений условий
| a
k 1

,
a
k 1
k
1
k
| 1
и f ( x)  C () , решение задачи (5)-(7) существует.
Доказательство теоремы 2.
Обозначим v( x)  D u ( x) . Тогда легко показать, что для неизвестной функции v(х) получим
задачу (5)-(7).
Действительно, в силу леммы 1 функция v(х) является гармонической в области . Если иметь в
виду, что D u ( x) должна удовлетворят условию (2), то для v(х) получаем условию (6).
Далее, из леммы 2 следует, что
D

u ( x)dS x 

 v( x)dS
x
0

Тогда в силу теоремы о среднем значении для гармонических функций
v(0) 
1

n 
v( x)dS x  0 .
Таким образом, функция v(х) является решением задачи (5)-(7).
А в силу леммы 4 при
выполнении условии теоремы решение задачи (5)-(7) существует и единственно.
Обозначим через g(x) след функции v(х) на  т.е. g ( x)  v( x)  .
Тогда, функция u(x) является решением следующей задачи
u ( x)  0, x   , D u ( x)  g ( x), x 
(11)
В силу теоремы 1 при выполнении условий (3) решение этой задачи существует, единственно с
точностью до постоянной и представляется в виде интеграла (4).
Теорема 2 доказана.

Замечание 2. Если в теореме 2 выполняется условия
a
k 1
условие v(0)=Соnst. А тогда
 v( x)dS
x
k
 1 , то для функции v(x) получаем
 0 и не выполняется необходимое условие существования

решения задачи (11).
Следовательно, в этом случае решение задачи (1),(2) не существует.
28

| a
Замечание 3. Если в теореме 2 выполняется условие
k 1
k
|  1 , то легко показать, что
соответствующая однородная задача имеет не нулевые решения.
Пример. Пусть a0  0 и ak  0 , k=2,3,…
Пусть задан однородный гармонический полином степени m
um ( x) 
c x   x 


1
1
| |m
2
2
 ...  xnn .
(12)
Рассмотрим действие оператора D к функции um ( x) . По определению
D um ( x) 
1 l
l
ds
1
ds
k l 
k
(-1)
u
s
x

(-1) k   s kmum  x 





  m
1
1


 ( , l ) 0 k 0
 ( , l ) 0 k 0
s ln s
s ln s
k 
k 
1
1
l
um  x  1 l
l
ds

(-1)k   s km
m um ( x)

1

 ( , l ) 0 k 0
s ln s
k 
Далее, так как D um (1 x)  1m m um ( x) , то
полином (12) является решением однородной
задачи, соответствующей (1),(2) с a0   .Заметим также, что при n=3 число однородных
гармонических полиномов степени m равно 2m+1 (см.например [10, с.683]).
3.Нелокальная задача в случае выхода носителей данных к границе области.
Рассмотрим теперь задачу (1),(2), когда последовательность чисел  k удовлетворяет условиям:
m
1
0   k  1, k  1,2,..., и k ∞ при k ∞.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 3. Пусть выполняются условия
1) фунция f(x) непрерывна на  ;

2)
| a
k 1
k
| 1 ,

a
k 1
k
1 и

ряд
 a (1  b )
k 1
k
 ( n 1)
сходится.
k
Тогда для разрешимости задачи (1),( 2) необходимо и достаточно выполнения условия (3) .
Если решения задачи существует, то оно единственно с точностью до постоянной и
представляется в виде (4), где v(x) решение задачи (5)-(7).
Доказательства теоремы вытекает из следующей леммы.

Лемма 5.
| a
Пусть выполняются условия
k 1

f ( x)dS x  0 . Тогда если ряд


 a ( 1 b
k 1
k
k
k
| 1 ,
 ( n 1 )
)

a
k 1
k
сходится, то
1 ,
f ( x)  C () и
решение задачи (5)-(7)
существует и единственно.
Доказательство. Доказательство единственности решения проводится почти дословным
повторением доказательства леммы 4.
Исследуем существования решения задачи (5)-(7).
Обозначим  ( x)  v( x)  , где v(x)-неизвестная функция.
Решение задачи (5)-(7) будем искать в виде (8). Подставляя данную функцию в граничное
условие (6), относительно неизвестной функции (х) получаем интегральное уравнение (9).
2

Обозначим K ( x, y )   a 1 1 |  k x | , x, y   .
k 1
k
n |  k x  y |n
Тогда уравнение (9) представляется в виде (10).
29
Так как |  k x  y | 1   k и по условию, ряд

 | a | 1   
k 1
k
k
 ( n 1)
сходится, то ядро K(x,y) -
ограничено.
Следовательно, к интегральному уравнению (10) применима теория Фредгольма и при
выполнении условий леммы решение задачи (5)-(7) существует.
Лемма 5 доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Самко С.Г., Кильбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка
и некоторые их приложения. Минск: Наука и Техника. 1987. -688с.
2.
Бицадзе А.В., Самарский А.А. О некоторых простейших обобщениях
линейных
эллиптических задач. //Доклады АН СССР.Москва, 1969. т.185. №4. С.739-740.
3.
Пулатов А.К.Об одной нелокальной краевой задаче Бицадзе-Самарского. //Доклады
АН УзССР. Ташкент, 1985. №8. С.4-5.
4.
Пулатов А.К.Об одной задаче Бицадзе - Самарского. //Дифференциальные
уравнения. Минск, 1989. т.25. №3. С.537-540.
5.
Скубачевский А.Л. Неклассические краевые задачи. Часть I. Современная математика.
Фундаментальные направления. Москва: 2007. -Т.26.-С.3-123.
6.
Скубачевский А.Л. Неклассические краевые задачи. Часть II. Современная
математика. Фундаментальные направления. Москва: 2007. Т.33 (2009). С.3-179.
7.
Турметов Б.Х., Абдурахманов С. О разрешимости одной нелокальной краевой задачи
для уравнения Лапласа. //Известия Челябинского научного
центра. Челябинск, 2009. вып. 3
(45),C.7-12.
8.
Турметов Б.Х., Ильясова М.Т. Об одной краевой задаче для уравнения
Пуассона с
граничным оператором дробного порядка в смысле АдамараМаршо. //Вестник ЕНУ им.Л.Н.
Гумилева. Астана. Серия естественно-технических наук. № 4(71).2009.- C.6-15.
9.
Бицадзе А.В.Уравнения математической физики. Москва: Наука,1981.-336с.
10. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнение математической физики. Москва:
Наука,1977.- 724с.
Адамар-Маршо мағынасындағы бөлшек ретті шекаралық оператормен локалдьды емес есептердің бір шешімі
туралы
Бұл жұмыста өлшемді шардағы Пуассон теңдеуі үшін локальды емес есептердің шешілу сұрақтары зерттеледі.
Қарастырылған есептердің шешімінің жалғыздығы және бар болуы туралы теоремалар дәлелденген.
About one a boundary-value problem for the equation of Puasson with the boundary operator of fractional order in
sense of Hadamar-Marchaud
In given article boundary value problems for Puasson equation is studied. As boundary operators is considered operator of the
fractional differentiation in the sense of Hadamar-Marchaud.
30
ТҮНҒАТАРОВ Ә.Б., КУСПЕКОВА М.К.
БІРІНШІ РЕТТІ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ЖҮЙЕСІНІҢ БІР КЛАСЫНЫҢ
КВАДРАТУРАЛЫҚ ШЕШІМІ
(Л.Н.Гумилев атындағы Еуразия Ұлттық университеті, Астана)
Мақалада неміс математигі Э.Камкенің белгілі кітәбында жоқ бір бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер
жүйесінің шешімдері айқын алынған.
Неміс математигі Э.Камкенің белгілі кітәбында [1,534]
u   f (t )  u  g (t )  v
,

v   g (t )  u  f (t )  v
(1)
du
dv
. Осы шешімнің алу
, v 
dt
dt
жолын көрсетейік. (1)-ші теңдеулер жүйесінің екінші теңдеуін i -ге көбейтіп, бірінші теңдеуге
теңдеулер жүйесінің айқын шешімі берілген. Мұнда u  
қосқанда
W   b(t )W  0
(2)
теңдеуін аламыз. Мұнда
b(t )  f (t )  ig (t ) , W (t )  u (t )  iv (t ) , W  
dW
, i  1 .
dt
(2)-ші теңдеудің шешімі оңай алынады:
W (t )  с  cos G(t )  i sin G(t )  exp F (t )
Мұнда G (t )   g (t ) dt , F (t )   f (t )dt , с- кез келген комплекс сан.
Осы теңдіктің нақты бөліктері мен жорамал бөліктерін ажыратсақ u мен v белгісіздерінің
мәндері шығады:
u  (с1  cos G(t )  с2  sin G(t ))  exp F (t )
,
v  (с1  sin G(t )  с2  cos G(t ))  exp F (t )
Мұнда с1 мен с2 кез келген нақты сандар.
Осындай жолмен
u   f (t )  u  g (t )  v
,

v    g (t )  u  f (t )  v
теңдеулер жүйесінің шешімін алуға болады:
u  (с1  cos G(t )  с 2  sin G(t ))  exp F (t )
,
v  (с1  sin G(t )  с 2  cos G(t ))  exp F (t )
Енді келесі теңдеулер жүйесін қарастырайық:
u   f (t )  u  g (t )  v
,

v   g (t )  u  f (t )  v
(3)
Бұл теңдеулер жүйесінің шешімі 1  і кітапта жоқ. Өйткені, оның шешімі осы кітәпта
көрсетілген әдіспен шықпайды. Біз осы жұмыста (3)-і жүйенің шешімін айқын құрамыз және оны
қалай құру жолын көрсетеміз. Жүйенің коэффициенттері f (t ) мен g (t ) белгілі аралықта
интегралданатын функциялар болсын делік.
(3)-ші теңдеулер жүйесінің екінші теңдеуін i -ге көбейтіп, бірінші теңдеуге қосқанда
W   b(t )W  0
(4)
теңдеуі шығады.
Мұнда b(t )  f (t )  ig (t ) , W (t )  u (t )  iv (t ) , W (t )  u (t )  iv (t ) .
(4)-ші теңдеуді Камкенің кітәбындағы қарастырған әдіспен шығара алмаймыз. Сондықтан біз
осы теңдеуді шығаратын жаңа жол қолданамыз. Енді осы жолды келтірейік.
(4)-ші теңдеуді интегралдаймыз
31
W (t )  ( BW )(t )  c
(5)
t

Мұнда ( BW )(t )  b( )  W ( )d , с-кез келген комплекс сан.
0
(5)-ші теңдеудің екі жағына ( BW )(t ) түрлендіруін жасайық:
( BW )(t )  ( B 2W )(t )  c  I1 (t )
(6)
Мұнда c таңбасы c санының түйіндесін білдіреді,
t
( B W )(t )  B( BW )(t )(t ) ,
I1 (t )   b( )d .
2
0
(5) пен (6)-шы теңдеулерден
W (t )  ( B 2W )(t )  c  I1 (t )  c
(7)
теңдеуі шығады.
Енді тағы да (7)-ші теңдеудің екі жағына ( BW )(t ) түрлендіруін жасайық:
( BW )(t )  ( B 3W )(t )  c  I 2 (t )  c  I1 (t )
(8)
t
Мұнда ( B 3W )(t )  ( B( B 2W )(t ))(t ) ,
I1 (t )   b( )  I 0 ( )d .
0
(8) бен (5)-ші теңдеулерден
W (t )  ( B 3W )(t )  c  I1 (t )  c  (1  I 2 (t ))
теңдеуі шығады.
t

Мұнда I 2 (t )  b( )  I1 ( )d .
0
Осы процесті n рет қайталасақ
n
n
k 1
k 1
W (t )  ( B nW )(t )  c   I 2 k 1 (t )  c  (1   I 2 k (t ))
(9)
теңдігін аламыз.
t

Мұнда I k (t )  b( )  I k 1 ( )d , ( B кW )(t )  ( B( B к 1W )(t ))(t ) , (к  2, ) ,
0
( B W )(t )  ( BW )(t ) .
1
Осы теңдікте n   болғанда шекке көшіру үшін келесідей бағалауларды қолданамыз:
( B W )(t ) 
n
Мұнда
f
0
( b 0  t)n
n!
 W 0 , I k (t ) 
( b 0  t)k
k!
, (к  2, )
(10)
 max f (t ) .
t
Енді (9) теңдікте n   болғанда шекке көшсек, онда (10)-ы бағалардың көмегімен
W (t )  c  P1 (t )  c  P2 (t )
(11)
теңдігін аламыз.
Мұнда P1 (t ) 

I
k 1

2 k 1 (t ) , P2 (t )  1   I 2 к (t ) .
k 1
P1 (t ) және P2 (t ) функциялары үшін
P1 (t )  sh( b 0  t ) , P2 (t )  ch( b 0  t )
теңсіздіктері орындалады. Сондықтан P1 (t ) және P2 (t ) дағы қатарлар жинақты.
Сол сияқты

P1 (t )  b(t )  P2 (t ) , P2 (t )  b(t )  P1 (t )
32
(12)
t
t
0
0
P1 (t )   b( )  P2 ( )d , P2 (t )   b( )  P1 ( )d  1
теңдіктері оңай орындалады.
Осы теңдіктерден
P2 (t )  P1 (t )  1
2
2
(13)
өте пайдалы теңдігін алуға болады.
Сонымен (4)-ші теңдеудің шешімі (11) формуламен беріледі. Осы формуланың нақты бөліктері
мен жорамал бөліктерін ажырату арқылы (3)-ші теңдеулер жүйесінің шешімін аламыз:
u  c1  (Re P1 (t )  Re P2 (t ))  c2  (Im P1 (t )  Im P2 (t ))
v  c1  (Im P1 (t )  Im P2 (t ))  c2  (Re P1 (t )  Re P2 (t ))
,
Мұнда с1 мен с2 кез келген нақты сандар.
Ескерту: P1 (t ) және P2 (t ) функциялары 0,2  аралығында үзіліссіз. P1 (0)  P1 (2 ) және
P2 (0)  P2 (2 ) теңдіктері әрқашанда орындалмайтындықтан (11) мен берілген W (t ) функциясы
2 - периодты функция бола алмайды. Оның 2 - периодты функция болу үшін бос с санын таңдап
алу керек. Сондай жағдайда (13)-шы теңдікті пайдалануға болады.
ПАЙДАЛАНҒАН ӘДЕБИЕТТЕР
1. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Москва: Наука,
1966.-534 с.
33
АБИЕВ А.К., АЙТЖАНОВ С.Е.
ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ НАВЬЕ-СТОКСА
(Казахский Национальный Университет имени Аль-Фараби, Алматы),
(Казахский Национальный Педагогический Университет имени Абая, Алматы)
В данной работе рассматриваются обратные задачи для системы Навье-Стокса с интегральным
переопределением. Для линейной системы Навье-Стокса, в которой нужно определить источник нам удалось
доказать теорему существования, единственности и устойчивости. Коэффициентной обратной задачи для
нелинейной системы Навье-Стокса получена теорема существования и единственности.
Задача I. Рассмотрим в цилиндре QT    [0, T ],   R 2 обратную задачу для линейной

системы Навье-Стокса, определить v ( x, t ), p ( x, t ) и f (t ) которые удовлетворяют (1)-(5)


 

v ( x, t )
 ( x, t , v , v )  p ( x, t )  v ( x, t )  f (t )h ( x, t ),
t
(1)

divv  0,
(2)


v t 0  v0 ( x),
(3)
начальным условиям
граничным условиям

v S  0,
(4)
и интегральным условиям


 u ( x, t )  v ( x, t )dx  e(t ),
(5)









где ( x, t , v , v )  a ( x, t )v k  bk ( x, t )v xk ; a( x, t ), b ( x, t ), h ( x, t ), v0 ( x), e(t )  заданные функции.
В работе [1] исследована обратная задача интегрального наблюдения для общего
параболического уравнения. Задача определения источника в данной постановке рассматривалась
различными методами рядом автором [2-4].
Обратную задачу (1)-(5) можно трактовать как задачу нахождения точных управлении f (t ) ,
необходимых для достижения заданной или ожидаемой энергии e (t ) . Обратные задачи
исследовались методами теории управления для систем с распределенными параметрами в работах
[5-7].
Современное состояние теории обратных и некорректных задач изложено в известных
работах [8-12].
В работах [13-15] обратные задачи для параболического уравнении исследовались методами
теории полугрупп, а этот метод, как известно, предполагает линейность операторов и независимость
коэффициентов уравнения от времени t .
Прямые задачи для нелинейного уравнения Навье-Стокса, и их дифференциальные свойства для
размерности n  2, 3 достаточно хорошо исследованы в работах [16-18].
Прежде чем перейти к определению слабого решения обратной задачи, введем необходимое
функциональное пространство [16].
34
Обозначим через V  множества гладких, финитных, соленоидальных функций т.е.


 

V : v : v  C  (), divv  0 .
0
Замыкание множества V в норме L2 () , а также в норме W21 () обозначим через V0 () : V
L2 (  )
0
и V1 () : V W2 (  ) соответственно.
1
V2 (QT )  банахово пространство, полученное в результате замыкания множества гладких,
соленоидальных и равных нулю вблизи
S    [0, T ] , функций по норме


u V (Q )  vrai max u ( x, t )
2
T
0t T
2,

 ux
2,QT
.

Определение 1. Функции v ( x, t ) и f (t ) называются обобщенным решением обратной задачи

(1)-(5), если функции v ( x, t )  L 0, T ;V0 ()   L2 0, T ;V1 () ,
f (t )  L2 (0, T ) и удовлетворяют следующим интегральным тождествам
  v    ( x, t, v, v)  v   dxdt   f (t )h  dxdt   v ( x)( x,0)dx,
t
0
QT
(6)

QT
для любых  ( x, t )  W21,1 (QT )  V0 (QT ),  ( x, T )  0,
 

 
 
 
e(t )   ut  v dx   u  ( x, t , v , v )dx    u  v dx  f (t )  u  h dx,



(7)

где



a ( x, t )  C (QT ), b ( x, t )  C (0, T ;V0 ()), u ( x, t )  C 1 (0, T ;V1 ()),


e(t )  W21 (0, T ), v0 ( x)  V1 (), h ( x, t )  C (QT ),
 
 u  h dx  0, ïðè t  [0, T ].
(8)

Лемма 1. Обратная задача (1)-(5) эквивалентна постановке задачи (1)-(4), (7) при достаточно

гладком решении v, f  и при совместных данных задачи.
Замечание 1. В обратной задаче (1)-(5) функцию f (t ) можно выразить явно, т.е.
1
    
 

 
  
f (t )    u  h dx  e(t )   ut  v dx   u  ( x, t , v , v )dx    u  v dx. (9)




 

Теорема 1. Пусть выполняются условия (8), тогда существует единственное обобщенное

решение v ( x, t ) V2 (QT ) и f (t )  L2 (0, T ) обратной задачи (1)-(5).
Доказательство. Методом последовательных приближений докажем существование и

единственности обобщенного решения в “целом”. Возьмем в качестве нулевого приближения v 0  0.
35
1
    
 
f (t )    u  h dx  e(t )   u t  v m 1 dx 


 
m
(10)




 
  u  ( x, t , v m 1 , v m 1 )dx    u  v m 1 dx .




А v m ( x, t ) находим из уравнении





v m ( x, t )
 ( x, t , v m , v m )  p m ( x, t )  v m ( x, t )  f m (t )h ( x, t ),
t

divv m  0,


v m  v0 ( x),
t 0
m
v
 0.
(11)
(12)
(13)
(14)
S
Из (10) f m (t ) подставим в (11), откуда следует, что существует единственное решение

 являются последовательностью
, т.е. v

, f m  v , f  при m   , тем самым


v m ( x, t )  V2 (QT ) . Докажем, что последовательности v m , f m

Коши, то в силу полноты пространств V2 (QT )  L2 (0, T ) следует, что пара функций v, f  является

предельной для последовательности v m , f
m
m


v,
f  является искомым слабым решением обратной задачи (1)-(5).



Вводя обозначения w m1  v m1  v m ,  m1  f
m 1
 f m , из (10)-(14) получим:
1

m 1
      




 
(t )    u  h dx    ut  w m dx   u  ( x, t , w m , w m )dx    u  w m dx,



 

 m1




w
 ( x, t , w m1 , w m1 )   p m1  p m   w m1   m1h ,
t

divw m1  0,

w m1
 0,
t 0

w m1  0.
S
Оценим  m 1 следующим образом
1

m 1
      



(t )    u  h dx    u t  w m dx   u  ( x, t , w m , w m ) dx 


 
 

 




   u  w m dx   c0   w m dx  N   w m dx   w m dx  












   w m dx   c0  ( N  1)  w m dx  ( N   )  w m dx  






m
m
 c0 c() ( N  1) w  ( N   ) w 



 c0 c() ( N  1)c () w m  ( N   ) w m  c1 w m .




Возведем в квадрат и проинтегрируем по t в последнем неравенстве, получим
36
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
t
t
0
0
2
m 2
m 1
2
  ( ) d  c1  w d 
t

 2
 2 

 c2  max wm   wm d   c2 wm
0
 t

(20)
2
V 2 ( QT )
.

Умножим (16) на w m 1 в L2 , получим
1 d  m1
w
2 dt

  w m1
2
2,
2
2 ,
  m1
 m1
 m1  m1
m 1
  w  ( x, t , w , w )dx   (t )  h w dx.


Оценивая правые части
 
 

 m1 (t )  h  w m1 dx   m1 (t )  h  w m1 dx  c0  m1 (t )  w m1


1  m1

w
2
 m 1
w

2
2 ,
2 ,

c02 m 1 2

 (t ) ,
2






 ( x, t , w m 1 , w m 1 )dx   awkm 1  w m 1 dx   bk wxmk1  w m 1 dx 


2


 

  awkm 1  w m 1 dx   a  w m 1 dx  Nc () w m 1


2
2 ,
.
Подставляя, тогда получим
d
dt
d
dt

w m1
2

w m1
2
2 ,
2 ,
2
2
c 2

1  m1 2
w
 Nc () w m1
 0  m1 (t ) ,
2 ,
2 ,
2 ,
2
2
2
2
2
c 

1  m1 2
 (  Nc ()) w m1

w
 0  m1 (t ) ,
2 ,
2 ,
2
2

  w m1
2

пусть   Nc ()  0 , тогда из последнего неравенства получим
d  m1
w
dt
2
2 ,

1  m1
w
2
2
2 ,

c02 m1 2
 (t ) .
2
Применяя, известное неравенство Гронуолла получим

w m1
2
2,
t
2
c02
c 2
1 
1  
exp  t    m1 (t ) d  c2 0 exp  T  w m
2
2
 2  0
 2 


w m1
2
2,
t

   w m1
0
c02
1  
d  c2
exp  T  w m
2,
2
 2 
2
Тем самым мы получили требуемую оценку
37
2
V2 ( QT )
.
2
V2 ( QT )
.

wm 1
2
V2 ( Qt )
 c2
c02
1  
exp  T  wm
2
 2 
2
V2 ( QT )
.
(21)
Рассматривая вместе (20) и (21), заметим, что справедлива оценка
t

m 1
0
Выберем c0 , c 2 и
t
2
c02
1 
( ) d  c2
exp  T    m ( ) d .
2
 2  0
2
(22)
 таким образом, чтобы выполнялось
c 2
1 
c2 0 exp  T   1.
2
 2 
(23)
Следовательно, из (21), (22), при выполнении (23) и сходимости бесконечной геометрической

прогрессии вытекает, что v m , f m являются последовательностью Коши в соответствующих


пространствах V2 (QT )  L2 (0, T ) .

Пусть существует два решения v k , f k , k  1,2 в QT , тогда в силу соотношений (21)-(22)
получим
T

f1  f 2
2
0
 
v1  v2
2
V2 ( QT )
T
c02
2
1 
d  c2
exp  T   f1  f 2 d ,
2
 2  0
c02
1  
 c2
exp  T  v1  v2
2
 2 

2
V2 ( QT )
.

Отсюда следует, что v1  v2 , f1  f 2 .
Проблема устойчивости решения обратных задач связана с построением таких методов, которые
 

̂
позволяют определять приближенные решения v , fˆ , близкие к искомому v, f  , но на основе

имеющейся, приближенно заданной исходной информации vˆ0 ( x), eˆ(t ) . Впервые проблема
устойчивости решения обратных задач была поставлена А.Н. Тихоновым [19].

Теорема 2. Пусть v k , f k , k  1,2 обобщенные решения обратной задачи (1)-(5),

соответствующие v0 k , ek (k  1,2) , тогда для разности этих обобщенных решений выполняется
соотношение
 
v1  v 2
V2 ( QT )
 f1  f 2
L2 ( 0 ,T )



 C (T ) v01  v02
0
W21 (  )
 e1  e2
W21 ( 0 ,T )
,
(24)

где C (T ) независит от v0 k , ek (k  1,2) .

Доказательство. Пусть v k , f k , k  1,2 обобщенные решения обратной задачи (1)-(5) с

соответствующими данными v0 k , ek (k  1,2) . Запишем обратную задачу (1)-(5) для их разности.
Далее, из (6) - (7) при выполнении условии (8), (23) получим требуемую оценку (24).
Задача II. Рассмотрим в цилиндре QT    [0, T ],   R 2 следующую обратную задачу для

нелинейной системы уравнении Навье-Стокса, определить v ( x, t ), p ( x, t ) и  (t ) которые
удовлетворяют
38





v ( x, t )
 v k v xk   (t )v  p( x, t )  v ( x, t )  f ( x, t ),
t
(25)

divv  0,
(26)


v t 0  v0 ( x),
(27)

v S  0,

(28)

 u ( x, t )  v ( x, t )dx  e(t ).
(29)

Рассматриваемая задача относится к коэффициентным обратным задачам. Для решения
коэффициентных обратных задач были созданы множество методов.
Возросшие возможности вычислительной техники позволяют удешевить и ускорить проведение
экспериментальных исследований и автоматизировать исследуемый процесс. Поэтому разработка
эффективных алгоритмов решения коэффициентных обратных задач для нелинейных уравнений
особенно актуально для задач восстановления параметров динамики жидкости, гидродинамики,
фильтрации позволяющих значительно упростить инженерные экспериментальные исследования и
повысить точность получаемых результатов.

Определение 2. Функции v ( x, t ) и  (t ) называются обобщенным решением обратной задачи

(25)-(29), если функции v ( x, t )  L 0, T ;V0 ()   L2 0, T ;V1 () ,
 (t )  L2 (0, T ) и удовлетворяют следующим интегральным тождествам
  
 
  v     v v  
t
k

QT
xk
 



 

dx  v     (t )v    dxdt   f   dxdt   v0 ( x) ( x,0)dx,
QT


(30)
для любых  ( x, t )  W21,1 (QT )  V0 (QT ),  ( x, T )  0,
 
 
 
 
e(t )   ut  v dx   vk v  u xk dx    u  v dx   (t )e(t )   u  fdx,



(31)

где
0



 
u ( x, t )  C 1  0, T ;V 1 () , v0 ( x)  V1 (), f ( x, t )  L2 (QT ),


1
e(t )  W2 (0, T ), e(t )  0, ïðè t  [0, T ].
(32)
По вышеприведенной методике аналогично доказываются следующие утверждения.
Лемма 2. Обратная задача (25)-(29) эквивалентна постановке задачи (25)-(28), (31) при

достаточно гладком решении v ,   и при совместных данных задачи.
39
Замечание 2. В обратной задаче (25)-(29) функцию  (t ) можно выразить явно, т.е.
  
 

 


 (t )  e 1 (t )  ut  v dx   vk v  u x dx   u  v dx   u  fdx  e(t ) .

k




(33)
Теорема 3. Пусть выполняются условия (32), тогда существует единственное обобщенное

решение v ( x, t ) V2 (QT ) и  (t )  L2 (0, T ) обратной задачи (25)-(29).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Абылкаиров У.У. Обратная задача интегрального наблюдения для общего параболического уравнения. // Математический журнал, Алматы, 2003, Vol.3, №4(10), С.5-12.
2. Abylkairov U.U.Solvability local and nonlocal inverse problems for Navier-Stokes systems. //
International conference “Tikhonov and Contemprorary Mathematics”, Moscow State Lomonosov
University, June 19-25, 2006, Section №3, -Р. 7-9.
3. Абылкаиров У.У. Обратная задача для линеаризованной 2D-3D системы Навье - Стокса с
нестандартными граничными условиями // Неклассические уравнения математической физики: Сб.
науч. работ. Новосибирск. Изд-во Института математики. 2005. 11c.
4. Prilepko A.I., Orlovsky D.G., Vasin I.A. Method for Solving Inverse Problems in Mathematical
Physics. Monograths and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, V. 231. Marcel Dekker, 2000, 723 p.
5. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с
частными производными. Москва, Мир, 1972.
6. Лионс Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами. Москва, Наука, 1987.
7. Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и
приложения. Новосибирск, Научная книга, 1999.
8. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. Москва
Наука,
1979.
9. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. СО АН
СССР, Москва, 1962.
10. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. Москва, Наука, 1984.
11. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Сибирское научное изд-во,
Новосибирск, 2009.
12. Kozhanov A.I. Composite type equations and inverse problems. VSP, The Netherlands, 1999.
13. Прилепко А.И., Орловский Д.Г. Определение эволюционного параметра в уравнении и
обратные задачи математической физики I. //Дифференциальные уравнения. Т.21, №1, 1985, -C.119129.
14. Прилепко А.И., Орловский Д.Г. Определение эволюционного параметра в уравнении и
обратные задачи математической физики II. //Дифференциальные уравнения. Т.21, №4, 1985, -С. 694701.
15. Прилепко А.И., Орловский Д.Г. Определение эволюционного параметра в уравнении и
обратные задачи математической физики III. //Дифференциальные уравнения. Т.23, №8, 1987, -С.
1343-1353.
16. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости.
Москва, Наука, 1970.
17. Лионс Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. Мир, Москва. 1972.
18. Солонников В.А. Оценки решений нестационарной системы Навье-Стокса. //Записки
научн. семинаров Ленинград. отд. Матем. инстит. АН СССР, 1973, Т.38, -С.153-231.
19. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач. Доклады АН СССР, 1943, Т.39, №5,
-С. 195-198.
Навье-Стокс жүйесіне қойылған кері есепті шешудің бір әдісі
Бұл жұмыста Навье-Стокс жүйесіне интегралдық бақылау шартымен қойылған кері есептері қарастырылған. Сызықты
Навье-Стокс моделіне қойылған кері есептің шешімнің бар болуы, жалғыздығы және орнықтылығы туралы теоремалар
алған. Сонымен қатар сызықты емес Навье-Стокс теңдеуіне қойылған коэффициентті кері есебі қарастырып, сол кері
есептің шешімнің бар және жалғыздығы туралы теорема алынды.
40
One of the methods decisions of the inverse problem for system Navier-Stokes
In given work are considered inverse problems for system Navier-Stokes with integral redefining. For linear system NavierStokes, in which it is necessary to define the source to us to manage to prove the theorem of existence, single and stability.
Coefficients inverse problem for nonlinear system Navier-Stokes is received theorem of existence and single.
ӘБІЛҚАЙЫРОВ О.Ө., ҚОМПЫШ Қ.
НАВЬЕ-СТОКС ЖҮЙЕСІ ҮШІН ЭКСТРЕМАЛДЫ ЕСЕП
(әл-Фараби ат. Қазақ Ұлттық Университеті Алматы)
(Абай атындағы Қазақ Ұлттық Педагогикалық Университеті Алматы)
Бұл жұмыста сызықты емес Навье-Стокс теңдеулер жүйесімен өрнектелінген тиімді басқару есебінің шешімі бар
болу мәлелесі зерттелді.
Басқарылатын жүйе ретінде оң тұтқырлықпен де әрі теріс тұтқырлықпен де берілген НавьеСтокс теңдеулері үшінгі бастапқы шеттік есебі алынған дербес туындылы теңдеулер үшін ұқсас
есептер А.В. Фурсиковтың [1, 2] жұмыстарында қарастырыла бастады. А.В. Фурсиковтың [1]
жұмысында үлестірімді басқару бойынша біртекті емес шекаралық шартпен берілген, Навье-Стокс
жүйесі үшін абстрактылы экстремалды есебінің шешімі бар болуы дәлелденген.
О.Ө.
Әбілқайыровтың [3] мақаласында біртекті емес сұйықтар үшін Навье-Стокс жүйесіне тиімді басқару
есебі қарастырылған.
Бұл жұмыста нөлдік шекаралық шартпен берілген, Навье-Стокс теңдеулер жүйесімен
өрнектелінген нақты қойылған бастапқы басқару (басқарушы параметр бастапқы шартқа енген)
есебінің шешімі бар болу мәселелері қарастырылады.
QT    0,T  цилиндрінде бастапқы-шеттік шартпен берілген келесі теңдеулер жүйесімен
өрнектелінген басқару есебін қарастыралық:






t  ( , )  p    f , div   0 ,


   0 , t  0,T  ,
 t 0  u, x   ,
(1)
(2)
мұндағы   R n , n  2,3 ,-шенелген жеткілікті жатық  шекаралы облыс, t  0, T ,

px, t  -қысым,  x, t   1 x, t , 2 x, t ,..., n x, t  - ізделінді сұйық

жылдамдығы, u x  -басқару, f х, t    f1 , f 2 ,..., f n  -берілген сыртқы күш,  -тұтқырлық
x  x1 , x2 ,..., xn   ,
 p p
p
,
,...,
xn
 x1 x2

 -қысым градиенті,  - Лапласа операторы, және

n



 n 
( , )   i i , div    i .
xi
i 1
i 1 xi
коэффициенті, p  
Есеп:
J (u) || M  zd ||2L2 ( Z )  || u ||2
41
(3)
функционалы мүмкіндігінше ең кіші мәнін қабылдайтындай, жарамды ux  K басқаруын және

оған сәйкес (1)-(2) есебінің  x, t  шешімін тап.
Мұнда K - жарамды басқарулар жиыны. Z -бақылау жасайтын гильбертік кеңістік;
M : L2 (V )  L2 (Z ) сызықты, үзіліссіз оператор. z d  L2 (Z ) - берілген функция.
Ескерту 1. Бұл есептің физикалық мағынасы- бастапқы басқару арқылы сұйық жылдамдығын
бақыланған қажетті- z d жылдамдыққа дейін жеткізу.
Бізге (1)-(2) есебінің шешімдері үшін келесі тұжырым орынды екендігі белгілі.




Теорема 1. [4] Кез-келген
u  H , f  L2 (0, T ;V ) кеңістіктерінен алынған u және f
функциялары үшін келесі априорлық бағалауы орынды


2
L ( 0,T ;H (  ))

 
L2 ( 0,T ;V (  ))

 0
H ( )
 f
L2 ( 0,T ;L2 (  ))
.
(4)
Біз берілген есепті шешу үшін келесі экстремалдық есебін қарастырамыз. Ол үшін сызықты емес
экстремалдық есептер үшін абстрактылы сұлба қарастырамыз.
Айталық сызықты, нормаланған Y , V кеңістіктері берілсін. Одан басқа Y1 , U рефлексивті
банах кеңістіктері және U кеңістігінің дөңес K ішкі жиыны берілсін, мұнда Y1 кеңістігі Y -ке
үзіліссіз енгізілген.
J ( , u ) - дөңес жартылай үзіліссіз және Y  K кеңістігінде төменнен шенелген функционал
бола алады.
Әрі қарай сызықты, үзіліссіз
(5)
L : Y1 U  V
операторын және сызықты емес
F : Y1  V
операторын қарастырамыз.
Келесі сызықты емес экстремалдық есебін зерттелік:
J (u )  inf,
L( , u )  F (u )  0
uK
Анықтама 1. Экстремалдық (6)-(8) есебінің жарамды элементері деп
J ( , u )   шартын қанағаттандыратын , u Y1  K жұптарын айтамыз.
Экстремалдық (6)-(8) есебінің жарамды элементер жиынын
жиын емес (нөлдік емес шарт).
Е
(6)
(7)
(8)
(7) теңдікті және
деп белгілейік, мұнда
Е
бос
Анықтама 2. Экстремалдық (6)-(8) есебінің шешімдері деп J ( , u ) функционалы ең кіші мәніне
ие болатындай ̂ , uˆ   Å элементтер жұбын айтамыз, яғни:
J (ˆ, uˆ)  inf J ( , u) .
( ,u )E
(9)
Теорема 2. (4)-априорлық бағалауды қанағаттандыратын экстремалдық (6)-(8) есебінің
, u Y1  K шешімдері бар.
Дәлелдеуі: Бізде Е бос жиын емес, олай болса (6) функционалы үшін минимизациялайтын
( m , um )  Е тізбегі табылады, яғни
lim J (m , um )  inf J ( , u)
( ,u )Е
m
(10)
мұнда J ( m , u m )  С   , С тұрақтысы m -нен тәуелсіз. Сондықтан да коэрцитивтігінен (
R  0 үшін , u  Е : J (, u)  R жиыны Y1  U кеңістігінде шенелген) алатынымыз:
 m Y  c,
um U  c
(11)
1
Сондай ақ Y1 және U -рефлексивті банах кеңістіктері болғандықтан m   кезде
(12)
Y1 кеңістігінде  m  ˆ әлсіз, U кеңістігінде u m  uˆ әлсіз жинақты.
42
Бұлардан Y1  Y1 компактылы енуі (компактылық шарты) бойынша
Y1 кеңістігінде  m  ˆ әлді жинақтылығы шығады.
(13)
K жиынының дөңестігінен және тұйықтылығынан Мазур теоремасы ( [5], 177 бет), бойынша
оның секвенциалды әлсіз тұйықтылығы шығады, сондай-ақ
uˆ  K .

Айталық L* : V   Y1  U


(5) операторының түйіндес операторы болсын:
L( y, z ), w  ( y, z ), L w ,  y, z Y1  K , w  V *
(14)
1
Онда (5), (12), (14) өрнектері бойынша m   кезде
L(m , um ), w  (m , um ), L w  (m , um ), L w  L(ˆ, uˆ), w
1
орынды, мұнда
,
белгісі
V
(15)
1
және
V * кеңістіктері арасындағы, ал , 1 белгісі Y1  U
арасындағы қосалқы қатынастар.
Әрі қарай,   S үшін   F ( ),
функционалы Y1 -ден Y1 кеңістігіне үзіліссіз
V

жалғасатындай барлық жерде тығыз S  V жиынның табылатындығынан және (10) өрнектен
(16)
 F (ˆ), w V , w  S  V  ,
m   кезде F ( m ), w V 
шығады. Сөйтіп
L( m , um )  F ( m )  0 m ,
Олай болса (7), (15) және (16) өрнектерден
L( , u )  F ( )  0
(17)
теңдігін аламыз.
J ( , u ) функционалының дөңестігінен және Y  K кеңістігінде төменнен жартылай
үзіліссіздігінен оның әлсіз жинақтылығына қатысты төменнен жартылай үзіліссіздігі шығады:
J ( , u )  lim J ( m , um ) .
(18)
m
Шындығында, Y1 -дің Y -ге үзіліссіз енуінен және (11) бағалаулар  m
Y
 c1 бағалауын аламыз.
Ал бізде Y рефлексивті банах кеңістік, онда Y кеңістігінде  m   әлсіз жинақтылығы шығады.
(17), (18) өрнектерінен және uˆ  K қатысынан (ˆ, uˆ )  Е болады.
Ал (9) және (18) өрнектерден J (ˆ, uˆ )  inf J ( , u) теңсіздігі орынды екендігін аламыз, яғни
( ,u )Å
(ˆ, uˆ )  Å жұбы (6)-(8) экстремалды есебінің ізделінді шешімі. Теорема дәлелденді.
ПАЙДАЛАНҒАН ӘДИБЕТТЕР
1. Фурсиков А.В. Задача управления и теоремы, касающиеся однозначной разрешимости
смешанной краевой задачи для трехмерных уравнений Навье-Стокса и Эйлера.// Математический
сборник. 1981. 115(157), №2(6). 281с.
2. Фурсиков А.В. Свойства решение некорректных экстремальных задач, связанных с системой
Навье-Стокса. //Математический сборник, 1982. 118(160), №3(7).- 323с.
3. Abylkayrov U.U. Optimal control of Navier-Stokes equations for nonhomogeneous fluids//
ABSTRACTS of the International Conference “Inverse problems: Modeling and Simulation” 2004. Fethiye,
TURKEY.
4. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.:
Наука, 1970.- 288 с.
5. Иоффе А.Д., Тихомиров В.А. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.
43
Экстремальная задача для системы Навье-Стокса
В данной работе рассматриваются вопросы существования решения конкретно поставленной задачи стартового
управления (управляющий параметр входит в начальное условие) описываемой системой уравнений Навье-Стокса с
нулевым граничным условием.
Extremal problem for Navier-Stokes system
In this paper we consider the issues of the existence of the solution of initial control (the control parameter is included into
initial condition) which was described by the system of Navier-Stokes equations with a zero boundary condition.
44
Скачать