О накоплении вычислительной погрешности в нечетких

1
О накоплении вычислительной погрешности в нечетких
иерархических структурах
About accumulation of computational errors in fuzzy
hierarchical structures
Одинцов Борис Ефимович / Boris E. Odintsov,
доктор экономических наук, профессор кафедры информационные технологии
Финансовой академии при Правительстве Российской Федерации / Doctor of Economics
Sciences, Professor Department of Information Technology, Financial University of the
Government of the Russian Federation,
Odintsov45@list.ru
Аннотация
В статье излагаются результаты исследования поведения уровня неопределенности в
нечетких правилах вывода, связанных в иерархическую структуру. Получен ответ на вопрос,
имеет ли место накопление погрешности по мере продвижения нечетких вычислений вверх по
иерархической структуре. Кроме того, получен ответ на вопрос, влияет ли процедура
фаззификации/дефаззификации на качество промежуточных лингвистических переменных,
рассчитываемых на всех уровнях иерархии дерева вывода.
Ключевые слова: неопределенность, измерение неопределенности, нечеткие множества,
уровень неопределенности, нечеткие правила вывода, иерархические структуры, функции
принадлежности.
The article presents the results of studying the behavior of the level of uncertainty in the fuzzy
inference rules connected in the hierarchical structure. Answer received on the question whether there is
accumulation of errors as you move up the fuzzy computations on hierarchical structure. In addition,
answer received on the question, does the procedure of fuzzification / defuzzification influence on quality
of intermediate linguistic variables, calculated on all levels of the hierarchy tree output.
Key words: uncertainty, measurement of uncertainty, fuzzy sets (multiplicity), the level of uncertainty,
fuzzy inference rules, hierarchical structure, membership functions.
В последнее десятилетие уровень развития информационных технологий
экономической направленности достиг того качества, при котором появилась
возможность управлять уже не просто бизнесом, но и его эффективностью (Business
Performance Management – BPM-системы). Управление эффективностью в любой
сфере деятельности человека это управление более высокого порядка, по сравнению
с любым другим управлением, так как задействуются уже не только и не столько
четкие первичные показатели, сколько нечеткие и их производные. Именно
возможность применения в управлении качественных нечетких показателей и их
производных в BPM-системах позволяет управлять эффективностью. Такая
2
возможность появилась благодаря усиленному развитию теории нечетких множеств,
как одной из форм борьбы с неопределенностью.
Неопределенность преследует человека везде и всегда: в быту, на отдыхе, на
производстве, в общественной и другой деятельности. Но так как ему непременно
нужно подчинять себе окружающие процессы, и в том числе плохо определяемые,
внимание ученых к содержанию и формам представления нечетких процессов не
ослабевает уже на протяжении многих лет. Типов, видов, родов и т.д.
неопределенностей в научной литературе исследовано немало [11]. Мы, также как и
Ф. Найт [2], будем различать измеримую и неизмеримую неопределенность.
Измеримая означает «некое количество, доступное измерению». Для нас важной
является следующая мысль, изложенная в упомянутом источнике: «Оказывается,
измеримая неопределенность, или собственно «риск», настолько отличается от
неизмеримой, что по существу вообще не является неопределенностью» [стр. 30].
Если природа измеримой неопределенности вероятностная, так как анализируемые
факторы статистически устойчивы, то неизмеримая, по Е.С. Вентцелю, является
«дурной неопределенностью [4], ибо ни о какой устойчивости речи быть не может.
Ни первый, ни второй тип нас не интересует. В последние десятилетия активно
исследуется промежуточный тип, формой представления которого являются
нечеткие множества Л.Заде [1]. Эта форма, с одной стороны, не имеет отношения к
статистически устойчивым факторам, а с другой - позволяет отмежеваться от
«дурной неопределенности» за счет использования нечетких субъективных знаний
человека об окружающей его среде и преследуемых им целей. Эти процессы или
объекты не измеримы в смысле риска, но их характеристики могут быть
приблизительно сравнимы, на основе субъективных знаний о них человека, а
значит, отнесены к тому или иному классу. В экономике, как правило, они
связываются
с
такими
характеристиками
как
расплывчатость,
нечеткость,
непредсказуемость, неоднозначность и т д. Такого рода знания, представленные
нечеткими множествами, позволяют ввести меру их неопределенности, которая в
настоящей работе послужила инструментом для анализа качества результатов
3
иерархического нечеткого вывода. Для представления связей между нечеткими
правилами вывода воспользуемся деревом вывода.
Цель настоящей работы заключается в исследовании динамики уровня
неопределенности нечетких множеств, изменяющегося по мере продвижения
расчетов вверх по дереву нечетких правил, а также качество промежуточных
лингвистических
переменных,
получаемых
с
помощью
процедуры
фаззификации/дефаззификации [12] на всех уровнях иерархии дерева вывода.
Как известно, управлять, значит измерять и изменять [9]. Для того чтобы
управлять и изменять плохо определяемые процессы или объекты необходимо уметь
измерять уровень их неопределенности. Сегодня существует несколько методов его
расчета для такого типа неопределенности как нечеткое множество Л. Заде [1].
Воспользуемся методом, изложенным в [10, стр. 39], где уровень неопределенности
назван индексом нечеткости. Основная идея данного метода состоит в сравнении
анализируемого нечеткого множества с некоторой базой, в качестве которой
выступает четкое множество вида:
где А- нечеткое множество;
0, если 𝜇А (𝑥) < 0,5
𝜇𝐴∗ = {
1, если 𝜇А (𝑥) ≥ 0,5
А*- базовое четкое множество, используемое в качестве основы для сравнения с
нечетким множеством А.
Уровень нечеткости множества А* равен нулю. Если найти расстояние между
А и А*, то результат можно интерпретировать как уровень неопределенности
нечеткого множества А. Чем больше расстояние оцениваемого множества от
ближайшего к нему четкого, тем выше его уровень неопределенности. Для того
чтобы результат измерения был в диапазоне от 0 до 1 в работе [10] предлагается
следующая формула:
2
𝜌(А, А∗ ) = 𝑑(А, А∗ ),
𝑛
где 𝜌(А, А∗ ) - уровень неопределенности нечеткого множества А в сравнении
с четким множеством А*;
𝑑(А, А∗ ) - линейное расстояние Хемминга между множествами А и А∗ ,
4
измеряемое по формуле:
𝑑(А, А∗ ) = ∑𝑛𝑖=1|𝜇𝐴 (𝑥𝑖 ) − 𝜇А∗ (𝑥𝑖 )|,
где 𝑑(А, А∗ ) - линейное расстояние Хемминга;
𝜇𝐴 (𝑥𝑖 ), 𝜇А∗ (𝑥𝑖 ) – соответствующие функции принадлежности;
n – количество сравниваемых элементов в множествах.
Прежде чем перейти к анализу динамики уровня неопределенности нечетких
множеств, изменяющегося по мере продвижения расчетов вверх по дереву нечетких
правил, необходимо сделать некоторые предварительные пояснения, касающиеся
зависимости уровня неопределенности от вида их функций принадлежности. Как
известно, в процессе выполнения правил Мамдани [12], среди прочих, выполняется
две
операции,
изменяющие
мощность
нечетких
множеств:
это
операции
пересечения и объединения. Поэтому, исходя из сформулированной ранее цели
исследования, важными являются ответы на следующие вопросы:
- как изменяется уровень неопределенности выходного нечеткого множества в
правиле вывода в результате выполнения операций пересечения двух
исходных нечетких множеств;
- как изменяется уровень неопределенности выходного нечеткого множества в
правиле вывода, в результате выполнения операции объединения двух
исходных нечетких множеств;
- как
изменяются
результаты
попеременного
выполнения
операций
фаззификации/дефффазификации по мере перехода от одного нечеткого
правила к другому.
Обратимся к рис. 1а, где три фигуры 1, 2 и 3, отражают треугольные и
трапециевидную функции принадлежности. В табл. 1 приведены их дискретные
значения, графическое представление которых показано на рис. 1.
5
1
1
2
1
0,5
0,5
4
3
1 2 3 4 5 6 7 8 9
3
1 2 3 4 5 6 7 8 9
а)
б)
Рис. 1. Иллюстрация к предварительному анализу уровней неопределенности
Таблица 1
Номер
фигуры
Функция принадлежности
Базовая функция принадлежности
1
0 0,25 0,5 0,75 1 0,75 0,5 0,25 0
𝜇А (х) = ;
;
;
; ;
;
;
;
1 2
3
4 5 6
7
8 9
2
0 0,5 1 0,5 0 0 0 0 0
𝜇А (х) = ;
; ;
; ; ; ; ;
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 1 1 1 1 0 0
𝜇А∗ (х) = ; ; ; ; ; ; ; ;
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 1 1 0 0 0 0 0
𝜇А∗ (х) = ; ; ; ; ; ; ; ; .
1 2 3 4 5 6 7 8 9
3
0 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0
𝜇А (х) = ;
;
;
;
;
;
;
;
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 0 0 0 0 0 0 0
𝜇А∗ (х) = ; ; ; ; ; ; ; ;
1 2 3 4 5 6 7 8 9
4
𝜇А (х) =
0 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,75 0,75 0
;
;
;
;
;
;
;
;
1 2 3 4 5 6
7
8 9
𝜇А∗ (х) =
0 0 0 0 0 0 1 1 0
; ; ; ; ; ; ; ;
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Для фигуры 1, согласно данным табл. 1, расстояние Хемминга будет равно:
𝑑(А, А∗ ) = 0 + 0,25 + 0,5 + 0,25 + 0 + 0,25 + 0,5 + 0,25 + 0 = 2,0
что
и
определяет
соответствующий уровень неопределенности, равный 𝜌1 (А) = 0,44. Для фигуры 2, в
свою очередь, это расстояние равно: 𝑑(А, А∗ ) = 0 + 0,5 + 0 + 0,5 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 1,0,
а уровень неопределенности 𝜌2 (А) = 0,22. Те же характеристики, для следующей
трапециевидной фигуры 3, равны: 𝑑(А, А∗ ) = 0 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 +
0 = 1,4, 𝜌3 (А) = 0,31. Для последней, объединенной фигуры, представленной на рис.
1б, те же характеристики равны: 𝑑(А, А∗ ) = 0 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,25 + 0,25 +
0 = 1,5, 𝜌3,4 (А) = 0,33.
Приведенные расчеты позволяют сделать следующие выводы:
Вывод 1. Уровень
неопределенности
зависит
от
пространства
неопределенности: чем больше это пространство, тем выше ее уровень. Сравним
площади фигур 1, 2 и 3 с уровнями их неопределенностей: 𝑆1 = 4 > 𝑆2 = 2 при этом
𝜌1 (А) = 0,44 > 𝜌2 (А) = 0,22 , где: 𝑆1 , 𝑆2 площади треугольников 1 и 2, а
6
𝜌1 (А) и 𝜌2 (А) – уровни неопределенности соответственно. Как видим, при
уменьшении площади треугольника в два раза уровень неопределенности также
сократился в два раза. Очевидно площадь фигуры 3 (трапеция) меньше площади
фигуры 1 в 1,33 раза, поэтому отражаемый ею уровень неопределенности снизился
до 0,31 (в 1,4 раза). А так как в результате выполнения правил Мамдани на первых
порах происходит усечение площадей, очерчиваемых выходными функциями
принадлежности, поэтому вывод будет следующим: в результате выполнения
операции пересечения двух исходных нечетких множеств неопределенность
выходного (результирующего) нечеткого множества снижается.
Подтверждается также и предположение, высказанное в [7], заключающееся в
следующем: наблюдается зависимость уровня неопределенности от крутизны
функции принадлежности: чем круче график функции принадлежности нечеткого
множества, тем ниже уровень ее неопределенности. Это укладывается в наше
наблюдение, касающееся усеченных пространств (площадей). На рис. 1а фигура 1
более покатая по сравнению с фигурой 2, ограничиваемая ее площадь больше, а
значит уровень неопределенности выше. Как видим, данное предположение
подтверждается не только для функций вида s и π, рассмотренных в [7].
Вывод 2. Обратимся к рис. 1б), где представлена фигура, иллюстрирующая
результат объединения нечетких множеств 3 и 4. Уровень ее неопределенности,
равен 𝜌3,4 (А) = 0,33, что выше чем у фигур 3 и 4, рассматриваемых порознь. Все
это указывает на следующее: в результате выполнения операции объединения
двух
исходных
нечетких
множеств
неопределенность
выходного
(результирующего) множества повышается.
Кроме уровня неопределенности далее также будут использоваться центроиды
(центры
тяжести),
получаемые
в
среднеквадратичные
отклонения.
Рассчитываются
общеизвестным формулам:
результате
дефаззификации
они
по
и
их
следующим
7
n
 x  (x )
i A i ,
 ( А ) i 1
n
  (x )
A i
i 1
1n
 (   xi ) ,
n i 1
( А) 
где 𝜏(𝐴) – центр тяжести (центроид) нечеткого множества А;
𝛿(А) – среднеквадратичное отклонение;
𝑥𝑖 – i-й элемент множества А;
n – количество элементов в множестве А.
Эти показатели необходимы для того, что чтобы ответить на следующий
вопрос: Влияют ли результаты дефаззификации предыдущего уровня на результат
последующего, более высокого уровня в иерархии нечетких выводов? Характер
их поведения будет рассмотрен ниже.
Для иллюстрации расчетов характеристик узлов иерархической структуры
представим последовательность выполнения нечетких выводов в виде дерева (см.
рис. 2), отражающего иерархически связанные нечеткие правила.
ПЧ
ПП
В
ПП
В
С
К
Вариант1
ПП
С
Ц
В
К
Вариант 2
ПД
Н
С
Ц
Вариант 3
Рис. 2. Варианты иерархически связанных нечетких правил
На
данном
рисунке
узлы
дерева
соотнесены
со
следующими
лингвистическими переменными: ПЧ – чистая прибыль, ПП – прибыль от продаж,
ПД - прочие доходы, Н – налог на прибыль, В – выручка от продаж, С –
себестоимость продаж, К – количество проданной продукции, Ц - продажная
цена. Примеры содержательного наполнения нечетких правил можно найти в
[5,6].
На рис. 2 представлено три варианта дерева нечетких правил: в первом
варианте узел В не зависит от нижестоящих узлов, являющихся терминальными, но
8
влияет на вышестоящий узел ПП, во втором он зависит от узлов К и Ц, а в третьем узел ПП сам влияет на узел ПЧ. Здесь следует обратить внимание на узел ПП, так
как он может послужить основой для сравнений уровней его неопределенности по
отношению к остальным вариантам (2 и 3). Поэтому, далее, будем рассматривать
результаты выполнения операций вычитания и сложения нечетких множеств,
отражающих динамику уровня неопределенности узла В в трех вариантах:
Вариант 1: узел В является терминальным (отсутствуют узлы К и Ц).
Вариант 2: узел В является промежуточным (узлы К и Ц присутствуют).
Вариант 3: узел ПП является промежуточным (появился узел ПЧ).
Для каждого из вариантов рассчитаем:
- уровень неопределенности всех используемых нечетких множеств;
- центр тяжести (центроид), полученный в результате дефаззификации;
- среднеквадратичное отклонение значений транзитных и зависимых узлов.
Анализ будем выполнять для каждого варианта в отдельности.
Вариант 1
Исходные данные для анализа варианта 1 (функции принадлежности всех
лингвистических переменных) приведены в табл. 2, а их графическое представление
на рис. 3.
Таблица 2
Исходные данные для расчетов уровней неопределенности нечетких
множеств в варианте 1
Лингвистическая
Выходная функция принадлежности 𝜇А (х)
переменная
Базовая функция принадлежности 𝜇А∗ (х)
идентификатор Название,
Расстояние Хемминга 𝑑(А, А∗ )
ρ, τ, σ
статус
0 0,4 1 1 1 0,6 0 0 0 0
Вс
𝜇 (х) =
;
; ; ; ;
; ; ; ;
𝜌(Вс ) = 0,24 ,
𝜏(Вс ) = 31,2
𝜎(Вс ) = 6,5
Вв
𝜌(Вс ) = 0,2
Выручка от
продаж
средняя,
входная
Выручка от
продаж
высокая,
входная
Вс
10 12 20 30 40 50 52 60 70 80
0 0 1 1 1 0 0 0 0 0
𝜇В∗с (х) =
; ; ; ; ; ; ; ; ;
10 12 20 30 40 50 52 60 70 80
𝑑(Вс Вс∗ ) = 0 + 0,4 + 0 + 0 + 0 + 0,6 + 0 + 0 + 0 + 0 = 1,0
0 0 0 0 0,2 0,5 0,5 1 1 1
𝜇Вв (х) =
; ; ; ;
;
;
; ; ;
10 12 20 30 40 50 52 60 70 80
0 0 0 0 0 1 1 1 1 1
𝜇В∗в (х) =
; ; ; ; ; ; ; ; ;
10 12 20 30 40 50 52 60 70 80
𝑑(Вс Вс∗ ) = 0 + 0 + 0 + 0 + 0,2 + 0,5 + 0,5 + 0 + 0 + 0 = 1,2
9
Сс
𝜌(Сс ) = 0,38
Св
𝜌(Сс ) = 0,34
ППв
𝜌(ППв ) = 0,35
ППн
𝜌(ППн ) = 0,4
ППну
𝜌(ППну ) = 0,2
ППву
𝜌(ППву ) = 0,2
ППо
𝜌(ППо ) = 0,55
𝜏(ППо ) = 9,0
𝜎(ППо ) = 3,5
0 0,3 0,5 0,7 1 0,7 0,3 0 0 0
Себестоимость 𝜇Сс 𝜇(х) = 5 ; 10 ; 20 ; 22 ; 30 ; 40 ; 50 ; 60 ; 70; 80
продаж
0 0 0 1 1 1 0 0 0 0
средняя,
𝜇С∗с (х) = ; ; ; ; ; ; ; ; ;
5 10 20 22 30 40 50 60 70 80
входная
∗
Себестоимость
продаж
высокая,
входная
Прибыль от
продаж
высокая,
выходная
Прибыль от
продаж низкая,
выходная
Прибыль от
продаж низкая
усеченная,
выходная
Прибыль от
продаж
высокая
усеченная,
выходная
Прибыль от
продаж
объединенная,
выходная
(вариант 1)
𝑑(Сс Сс ) = 0 + 0,3 + 0,5 + 0,3 + 0 + 0,3 + 0,3 + 0 + 0 + 0 = 1,7
0 0 0 0,1 0,4 0,6 1 0,6 0,4 0
𝜇В (х) = ;
; ; ; ; ; ; ; ;
в
5 10 20 22 30 40 50 60 70 80
Св
0 0 0 0 0 1 1 1 0 0
𝜇С∗В (х) = ;
;
;
;
;
;
; ;
;
5 10 20 22 30 40 50 60 70 80
𝑑((Св С∗в )) = 0 + 0 + 0 + 0,1 + 0,4 + 0,4 + 0 + 0,4 + 0,4 + 0 = 1,3
0,1 0,3 0,7 1
𝜇ППв (х) =
;
;
;
5 10 15 20
0 0 1 1
𝜇пп∗в (х) = ; ; ;
5 10 15 20
𝑑(ППв , ППв∗ ) = 0,1 + 0,3 + 0,3 + 0 = 0,7
0,9 0,5 0,2 0
𝜇ППн (х) =
;
;
;
5 10 15 20
1 1 0 0
𝜇пп∗в (х) = ; ; ;
5 10 15 20
𝑑(ППн , ППн∗ ) = 0,1 + 0,5 + 0,2 + 0 = 0,8
07 0,5 0,2 0
𝜇ППну (х) =
;
;
;
5 10 15 20
1 1 0 0
𝜇пп∗ву (х) = ; ; ;
5 10 15 20
∗
𝑑(ППну , ППну
) = 0,4 + 0,4 + 0,3 + 0 = 1,0
0,1 0,1 0,1 0,1
𝜇ППву (х) =
;
;
;
5 10 15 20
0 0 0 0
𝜇пп∗ву (х) = ; ; ;
5 10 15 20
∗
𝑑(ППву , ППву
) = 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 = 0,4
0,7 0,5 0,2 0,1
𝜇ППо (х) =
;
;
;
5 10 15 20
0 0 0 0
𝜇ппо∗ (х) = ; ; ;
5 10 15 20
∗)
𝑑(ППо , ППо = 0,3 + 0,5 + 0,2 + 0,1 = 1,1
Идентификаторы нечетких множеств указаны в графе 1 табл. 2.
Уровни исходной неопределенности узлов В, С и ПП равны:
𝜌(Вв ) = 0,24 𝜌(Сс ) = 0,38, 𝜌(ППн ) = 0,4,
𝜌(Вс ) = 0,12, 𝜌(Св ) = 0,34, 𝜌(ППв ) = 0,35.
10
узел В
узел С
1
Выручка от продаж
средняя
узел ПП
Себестоимость
продаж средняя
1
0,5
0,5
10
20 30 40
50 60 70
1
1
Выручка от продаж
высокая
10 20 30
40 50 60 70 80
Себестоимость
продаж высокая
1
0,5
0,5
10
20
30 40 50 60
70 80
Прибыль от продаж
низкая усеченная
0,5
5
80
1
5
10 15 20
Прибыль от
продаж высокая
усеченная
0,5
5
10
20 30 40 50
60 70 80
5
1
10 15 20
Прибыль от продаж
объединенная
0,5
5
10 15 20
9,0
Рис. 3. Иллюстрация процесса нечеткого вывода при варианте 1
В результате выполнения операций пересечения, согласно правилу
Мамдани, вполне естественно ожидать, что уровень неопределенности выходных
нечетких множеств снизится (см. рис. 3). Действительно, площади выходных
функций ППв и ППн сократились в результате выполнения операций вычитания
нечетких множеств Вс и Ву , а также Сс и Св . Проецирование результатов
пересечения на ППн и ППв позволяет получить усеченные множества ППву и
ППну , что в свою очередь, обеспечивает снижение 𝜌(ППв ), равного 0,35 до
𝜌(ППву ), равного 0,2, и снижение 𝜌(ППн ) равного 0,4 до 𝜌(ППву ) до 0,2.
Объединение же полученных нечетких усеченных множеств ведет к
повышению уровня неопределенности результирующего множества:
 ППо ( x )   ППВУ ( x )   ППНУ ( x ) 
Отсюда
уровень
неопределенности
0 ,7 0 ,5 0 ,2 0 ,1
;
;
; .
5 10 15 20
объединенного
нечеткого
характеризующего узел ПП, повысился и стал равным: 𝜌(ППо ) = 0,55.
Вариант 2
множества,
11
На рис. 2 вариант 2 представлен дополнительными двумя узлами К и Ц.
Соответствующие функции принадлежности и иллюстрация их применения
представлены в табл. 3 и рис. 4 и 5.
Таблица 3
Исходные данные для расчетов уровней неопределенности нечетких
множеств в варианте 2
Лингвистическая
Выходная функция принадлежности 𝜇А (х)
переменная
Базовая функция принадлежности 𝜇А∗ (х)
идентификатор Название,
Расстояние Хемминга 𝑑(А, А∗ )
ρ, τ, σ
статус
Км
𝜌(Км ) = 0,23
Кб
𝜌(Кб ) = 0,29
Цв
𝜌(Цв ) = 0,1
Цн
𝜌(Цн ) = 0,15
Количество
проданной
продукции
малое,
входная
Количество
проданной
продукции
большое,
входная
Продажная цена
высокая,
входная
Продажная цена
низкая,
входная
0 0,4 1 0,4 0 0 0
;
; ;
; ; ;
10 20 30 40 50 60 70
0 0 0 1 0 0 0 0
𝜇к∗м (х) =
; ; ; ; ; ; ;
10 12 20 30 40 50 60 70
𝑑(Км , К∗м ) = 0 + 0,4 + 0 + 0,4 + 0 + 0 + 0 = 0,8
0 0 0 0,5 1 0,5 0
𝜇Кб (х) =
; ; ;
; ;
;
10 20 30 40 50 60 70
0 0 0 1 1 1 0
𝜇к∗м (х) =
; ; ; ; ; ;
10 20 30 40 50 60 70
𝑑(Км , К∗м ) = 0 + 0 + 0 + 0,5 + 0 + 0,5 + 0 = 1,0
0 0 0 0 0,7 1 0,7 0
𝜇Цв (х) = ; ; ; ;
; ;
;
5 6 7 8 9 10 11 12
0 0 0 0 1 1 1 0
𝜇Ц∗в (х) = ; ; ; ; ; ; ;
5 6 7 8 9 10 11 12
𝑑(Цв , Ц∗в ) = 0 + 0 + 0 + 0 + 0,3 + 0 + 0,3 + 0 = 0,6
0 0,7 1 0,7 0 0 0 0
𝜇Цн (х) = ;
; ;
; ; ; ;
5 6 7 8 9 10 11 12
0 1 1 1 0 0 0 0
𝜇Ц∗н (х) = ; ; ; ; ; ; ;
5 6 7 8 9 10 11 12
𝑑(Цн , Ц∗н ) = 0 + 0,3 + 0 + 0,3 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0,6
𝜇Км (х) =
0 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0 0 0 0
;
;
;
;
;
; ; ; ;
10 12 20 30 40 50 52 60 70 80
Всу
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
𝜇В∗су (х) =
; ; ; ; ; ; ; ;
10 12 20 30 40 50 52 60 70 80
𝜌(Всу ) = 0,1
𝑑(Вс В∗с ) = 0 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0,5
0 0 0 0 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2
𝜇Вву (х) =
; ; ; ;
;
;
;
;
;
Выручка от
10 12 20 30 40 50 52 60 70 80
Вву
продаж
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
высокая
𝜇В∗ву (х) =
; ; ; ; ; ; ; ; ;
𝜌(Вву ) = 0,24
10 12 20 30 40 50 52 60 70 80
усеченная,
𝑑(Вв В∗в ) = 0 + 0 + 0 + 0 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 = 1,2
выходная
0 0,2 0,2 0,2 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3
В0
𝜇Во (х) = 10 ; 12 ; 20 ; 30 ; 40 ; 50 ; 52 ; 60 ; 70 ;
Выручка от
80
продаж
𝜌(Во ) = 0,54
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
𝜇В∗о (х) =
; ; ; ; ; ; ; ; ;
𝜏(Во ) = 46,0 (объединенная),
10 12 20 30 40 50 52 60 70 80
Выручка от
продаж
средняя
усеченная,
выходная
𝜇Всу (х) =
12
𝜎(Во ) = 6,5
выходная/
входная
ППну
Прибыль от
продаж низкая
усеченная,
выходная
𝜌(ППну ) = 0,4
Прибыль от
продаж
высокая
усеченная,
выходная
ППву
𝜌(ППву ) = 0,2
ППо
𝜌(ППо ) = 0,35
𝜏(ППо ) = 8,6
𝜎(Во ) = 3,5
Прибыль от
продаж
объединенная,
выходная/
входная
𝑑(Во В∗о ) = 0 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3 = 2,7
0,3 0,3 0,2 0
;
;
;
5 10 15 20
0 0 0 0
𝜇пп∗ву (х) = ; ; ;
5 10 15 20
∗
𝑑(ППну , ППну ) = 0,3 + 0,3 + 0,2 + 0 = 0,8
0,1 0,1 0,1 0,1
𝜇ППву (х) =
;
;
;
5 10 15 20
0 0 0 0
𝜇пп∗ву (х) = ; ; ;
5 10 15 20
∗
𝑑(ППву , ППву ) = 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 = 0,4
0,3 0,3 0,1 0
𝜇ППо (х) =
;
;
;
5 10 15 20
0 0 0 0
𝜇ппо∗ (х) = ; ; ;
5 10 15 20
𝑑(ППо , ППо∗ ) = 0,4 + 0,4 + 0,3 + 0,2 = 1,3
𝜇ППну (х) =
Уровни исходной неопределенности нечетких множеств, характеризующих
узлы К, Ц и В равны:
𝜌(Км ) = 0,23 𝜌(Цв ) = 0,15
𝜌(Вв ) = 0,24,
𝜌(Кб ) = 0,29, 𝜌(Цн ) = 0,15
𝜌(Вс ) = 0,38.
Как и прежде, мы вправе ожидать, что в результате операций пересечения
множеств, характеризующих узлы К и Ц, с последующим отсечением площадей,
ограничиваемых
функции
принадлежности
𝜇Всу (х)
и
𝜇Вву (х),
уровни
их
неопределенности либо снизятся, либо останутся на прежнем месте. Действительно:
𝜌(Вс ), равная 0,12 снизилась до 𝜌(Всу ) = 0,1, а 𝜌(Вв ), равная 0,24, не изменилась.
Объединение двух усеченных нечетких множеств привело к повышению
уровня неопределенности результирующего множества:
 Во ( x )   ВСУ ( x )   ВВУ ( x ) 
0,7 0,5 0,2 0,1 0,7 0,5 0,2 0,1 0,7 0,5
;
;
; ;
;
;
; .
;
.
10 12 20 30 40 50 52 60 70 80
что определило следующее: 𝜌(Во ) = 0,54.
Так как узел В является промежуточным, поэтому результат его
деффазификации, равный 𝜏(Во ) = 46,0, служит исходной информацией для
фаззификации узла В, выступающего уже в качестве исходной информации для
нечеткого вывода узла ПП. Процесс его нечеткого вывода представлен на рис. 5. В
13
результате фаззификации узлов В и С получим новые усеченные множества,
характеризующие узел ПП. Уровни их неопределенности станут следующими:
исходный уровень равный 𝜌(ППн ) = 0,4 остался на прежнем уровне: 𝜌(ППну ) =
0,4; а 𝜌(ППв ) = 0,3, но повысился до 𝜌(ППву ) = 0,4. Их объединение равное
 ППо ( x )   ППВУ ( x )   ППНУ ( x ) 
0,3 0 ,3 0,3 0
;
;
;
5 10 15 20
привело к следующему результату: 𝜌(ППо ) = 0,35.
узел К
1
узел В
узел Ц
1
Количество
большое
1
0,5
0,5
10 20 30 40
50 60 70
1
0,5
5
6 7
8 9 10 11 12
1
0,5
30 40 50 60
Выручка от продаж
высокая
Цена низкая
0,5
20
70
50 60 70 80
1012 20 30 40
1
Количество
малое
10
Выручка от продаж
средняя
Цена высокая
0,5
5
6 7
8 9 10 11 12
1012 20
30 40 50 60
1
70 80
Выручка от продаж
объединенная
0,5
1012 20 30
40 50 60 70 80
49,1
Рис. 4. Иллюстрация процесса нечеткого вывода в варианте 2 (начало)
узел С
узел В
0,5
Себестоимость
продаж средняя
1
1
Выручка от продаж
объединенная
1012 20 30
0,5
40 50 60 70 80
49,1
узел ПП
1
Прибыль от продаж
низкая усеченная
0,5
5
10 20 30
40 50 60 70 80
1
1
Себестоимость
продаж высокая
5 10 15 20
Прибыль от
продаж высокая
усеченная
0,5
Произвольные данные
5
10
20 30 40 50
5
60 70 80
10 15
20
1
0,5
Прибыль от
продаж
объединенная
5
10 15
20
8,6
Рис. 5. Иллюстрация процесса нечеткого вывода в варианте 2 (окончание)
14
Вариант 3
Поднимемся еще на один уровень иерархии для того, чтобы сделать узел ПП
промежуточным и посмотреть на характер поведения его неопределенности.
Функции принадлежности данного уровня приведены в табл. 4, а иллюстрации к
нему на рис. 6.
Таблица 4
Исходные данные для расчетов уровней неопределенности нечетких
множеств в варианте 3
Лингвистическая
Выходная функция принадлежности 𝜇А (х)
переменная
Базовая функция принадлежности 𝜇А∗ (х)
идентификатор Название,
Расстояние Хемминга 𝑑(А, А∗ )
ρ, τ, σ
статус
ПЧв
ρ(ПЧв ) = 0,29
ПЧн
Прибыль чистая
высокая,
выходная
Прибыль чистая
низкая, выходная
ρ(ПЧн ) = 0,23
ПЧву
Прибыль чистая
высокая
ρ(ПЧву ) = 0,26
усеченная,
выходная
ПЧну
Прибыль чистая
низкая усеченная,
выходная
ρ(ПЧну ) = 0,8
ПЧо
ρ(ПЧо ) = 0,31
𝜏(ПЧо ) = 6,5
𝜎(Во ) = 2,5
𝑑(ПЧну , ПЧ∗ну ) = 0 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0 + 0 + 0 = 0,3
0 0,1 0,1 0,3 0,3 0,3 0
;
;
;
;
;
;
3 4 5 6 7 8 9
0 0 0 0 0 0 0
𝜇пЧ∗о (х) = ; ; ; ; ; ;
3 4 5 6 7 8 9
∗)
𝑑(ПЧо , ПЧо = 0 + 0,1 + 0,1 + 0,4 + 0,4 + 0,4 + 0 = 1,1
0 0,1 0,1 0,8 0,8 0,8 0
𝜇ПЧо (х) = ;
;
;
;
;
;
3 4 5 6 7 8 9
0 0 0 1 1 1 0
𝜇пЧ∗о (х) = ; ; ; ; ; ;
3 4 5 6 7 8 9
𝜇ПЧо (х) =
Прибыль чистая
объединенная,
выходная
Прибыль чистая
объединенная
ρ(ПЧо ) = 0,23 (дополнительная)
τ(ПЧо ) = 6,8
, выходная
ПЧо
0 0 0 0,4 1 0,4 0
; ; ;
; ;
;
3 4 5 6 7 8 9
0 0 0 0 1 0 0
𝜇пЧ∗в (х) = ; ; ; ; ; ;
3 4 5 6 7 8 9
𝑑(ПЧв , ПЧ∗в ) = 0 + 0 + 0 + 0,4 + 0 + 0,4 + 0 = 0,8
0 0,4 1 0,4 0 0 0
𝜇ПЧн (х) = ;
; ;
; ; ;
3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 0 0 0 0
𝜇ПЧ∗Н (х) = ; ; ; ; ; ;
3 4 5 6 7 8 9
𝑑(ПЧн , ПЧ∗н ) = 0 + 0,4 + 0 + 0 + 0 + 0,4 + 0 = 0,8
0 0 0 0,3 0,3 0,3 0
𝜇ПЧву (х) = ; ; ;
;
;
;
3 4 5 6 7 8 9
0 0 0 0 0 0 0
𝜇пЧ∗ву (х) = ; ; ; ; ; ;
3 4 5 6 7 8 9
𝑑(ПЧву , ПЧ∗ву ) = 0 + 0 + 0 + 0,3 + 0,3 + 0,3 + 0 = 0,9
0 0,1 0,1 0,1 0 0 0
𝜇ПЧну (х) = ;
;
;
; ; ;
3 4 5 6 7 8 9
0 0 0 0 0 0 0
𝜇ПЧ∗Ну (х) = ; ; ; ; ; ;
3 4 5 6 7 8 9
𝜇ПЧв (х) =
15
𝑑(ПЧо , ПЧ∗о ) = 0 + 0,1 + 0,1 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0 = 0,8
𝜎(Во ) = 2,5
Исходные нечеткие множества, отражающие содержание узла ПЧ (прибыль
чистая), характеризуются следующим образом: 𝜌(ПЧВ ) = 0,29 𝜌(ПЧН ) = 0,23.
В
результате деффаззификации величины ППо получен центроид 𝜏(ППо ) = 8,6,
который на данном уровне служит исходной информацией для фаззификации
прибыли от продаж (ПП). Другие исходные функции не рассматриваются, поэтому
их фаззификация, показанная на рис. 6, произвольна. Мы намеренно отсекаем
функцию принадлежности вначале на довольно низком уровне, а потом на высоком,
так как стремимся выяснить характер поведения уровня неопределенности
результата объединения.
Уровни неопределенности усеченных множеств равны: 𝜌(ПЧВУ ) = 0,26
𝜌(ПЧНУ ) = 0,08. Как видим, на данном этапе уровень неопределенности снизился
у обоих множеств.
узел ПЧ
1
0,5
Прибыль чистая
высокая усеченная
1
Прибыль от
продаж
объединенная
10 15
0,5
20
3 4 5 6 7 8 9
8,6
Дополнительны
произвольные данные
Прибыль чистая низкая
1
0,5
Произвольные данные
3 4 5
6 7 8 9
1
0,5
Прибыль чистая
объединенная
6 7 8 9
3 4 5
6,64
6,8
Рис. 6. Иллюстрация процесса нечеткого вывода в варианте 3
В результате их объединения получим:
16
0 0,1 0,1 0,3 0,3 0,3 0
; ;
;
;
; .
3 4 5 6 7 8 9
 ПЧ о ( x )   ПЧ НУ ( x )   ПЧ ВУ ( x )  ;
Уровень
неопределенности
полученного
результата
равен:
𝜌(ПЧо ) = 0,31.
Справа на рис. 6 приведены дополнительные произвольные данные,
противоположные предыдущим произвольным данным. Эти данные отсекают
множества ПЧН на уровне 0,8. Тогда в результате объединения получим:
𝜇ПЧо (х) =
0 0,1 0,1 0,8 0,8 0,8 0
3
;
4
;
5
;
6
;
7
;
8
; 9.
Уровень неопределенности в данном случае снизился и стал равным 0,23.
Теперь можно привести общую динамику уровней неопределенности для
рассматриваемой иерархической структуры:
Вариант 1: 𝜌(ППо ) = 0,35.
Вариант 2: 𝜌(Во ) = 0,24; 𝜌(ППо ) = 0,35.
Вариант 3: 𝜌(Во ) = 0,24; 𝜌(ППо ) = 0,35; 𝜌(ПЧо ) = 0,31.
Как видим, вести речь о погрешностях вычислений в виде накопления
величины уровня неопределенности, не приходится.
До сих пор мы не рассматривали более объективную характеристику –
результаты дефаззификации в форме центроидов. Они равны:
Вариант 1: 𝜏(Вс ) = 31,2; 𝜎(Вс ) = 6,5; 𝜏(ППо ) = 9,0; 𝜎(ППо ) = 3,5.
Вариант 2: 𝜏(Во ) = 46,0; 𝜎(Во ) = 6,5 ; 𝜏(ППо ) = 8,6; 𝜎(Во ) = 3,5.
Вариант 3: 𝜏(ПЧо ) = 6,5; 𝜎(Во ) = 2,5; τ(ПЧо ) = 6,8; 𝜎(Во ) = 2,5.
Как уже отмечалось, показательным узлом иерархии является узел ПП, так как
для него можно рассчитать два варианта центроида: первый - прямая зависимость от
узлов В и С, в второй – транзитивная зависимость от узлов К и Ц. Если в первом
варианте центроид равен 9,0, то во втором 8,6, при одинаковом среднеквадратичном
отклонении, равном 3,5. Разница не существенная. Что касается узла ПЧо , то при
снижении его уровня неопределенности по сравнению с узлом ПП, до 6,5, при
среднеквадратичном отклонении центроида на 2,5, можно предположить, что
накопления погрешности в вычислениях, и в этом случае, можно не опасаться.
17
Существуют различные методы расчета уровня неопределенности нечеткого
множества и их центра тяжести. Одни вызываю больше доверия, иные меньше. Это
касается также и метрик, применяемых для вычисления расстояний межу нечеткими
множествами. Нам же представляется, что различия в результатах будут не
существенными. С другой стороны, более объективной характеристикой, на наш
взгляд, являются центроиды и их среднеквадратичные отклонения. Расчеты
показали, что они слабо реагируют на изменения уровней неопределенности
нечетких множеств в процессе продвижения расчетов вверх по дереву выводов.
На основании
исследования динамики уровня неопределенности нечетких
множеств, изменяющегося по мере продвижения расчетов вверх по дереву нечетких
правил,
а
также
качества
промежуточных
лингвистических
переменных,
получаемых с помощью процедуры фаззификации/дефаззификации на всех уровнях
иерархии дерева, можно сделать следующий вывод: никакой надобности в
ликвидации промежуточных узлов дерева вывода, как это предлагается в [8], нет, но
их отсутствие ведет к ряду отрицательных последствий, главной из которых
является потеря управления структурными подразделениями. Управляющие
предписания, находящиеся на промежуточных уровнях иерархии, касаются
деятельности структурных подразделений предприятия. Из отсутствие ведет
к
потере контроля, учета и анализа функционирования объекта управления.
Литература
1. Заде Л. А. Понятие лингвистической переменной и его применение в принятии
приближенных решений.-М.: Мир, 1976.
2. Найт Ф.Х. Риск, неопределенност и прибыль.-М.: Дело, 2003.
3. Одинцов Б.Е. Обратные вычисления в формировании экономических решений.-М.: Финансы
и статистика, 2004.
4. Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология.-М.: Наука, 1988.
5. Одинцов Б.Е. Формирование управляющих предписаний в экономике/Методы/Нечёткие
воздействия. 2013: http://obe45.ru.
6. Одинцов Б.Е. Целевое управление эффективностью бизнеса в нечеткой среде //
Информатизация образование и науки. Издательство: Государственный научноисследовательский институт информационных технологий и телекоммуникаций (Москва). 2014. - №2 (22). - С. 100-110.
7. Рыжов А.П. Элементы теории нечетких множеств и ее приложений. М.: 2003.
http://window.edu.ru/resource/012/24012/files/FuzzySetsTheory.pdf.
8. Ярушкина Н.Г., Ястребова Н.Н., Ястребов И.С. Экспертная система анализа экологической
безопасности: http://do.gendocs.ru/docs/index-341669.html.
18
9. Управлять значит измерять и изменять: http://www.uml2.ru/forum/index.php?topic=1414.0;
http://www.d-kvadrat.ru/dk/info/15433.html:
10. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств.- М.: Радио и связь, 1982.
11. Классификация и виды неопределенностей: http://www.risk24.ru/vidineopred.htm.
12. Леоненков А.В. Нечеткое моделирование в среде MATLAB и FuzzyTech.- СПб.: БХВПетербург, 2005.