Численный анализ ндс пластины в области трещины в

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ НДС ПЛАСТИНЫ В ОБЛАСТИ ТРЕЩИНЫ
В КОНТАКТНОЙ ПОСТАНОВКЕ С УЧЁТОМ ТРЕНИЯ И ФИЗИЧЕСКИ
НЕЛИНЕЙНОГО ПОВЕДЕНИЯ МАТЕРИАЛА.
О. В. Клейдман1, С. А. Малкин2
1
Казанский государственный энергетический университет, 2Казанский государственный
университет, Казань, Россия
Проектирование, создание и эксплуатация объектов машиностроения в современных
условиях требуют разработки достоверных методов оценки несущей способности
элементов конструкций. Известно, что в структуре реального конструкционного
материала имеются (или возникают в процессе его деформирования) различного рода
микродефекты. Развитие этих дефектов под действием внешней нагрузки и агрессивной
окружающей среды может привести к образованию трещин и полному разрушению
конструкции.
Изучение контактных задач теории трещин сопряжено со значительными
математическими трудностями. Решение каждой новой задачи в этом направлении даёт
возможность полнее учитывать реальную картину напряженно-деформированного
состояния (НДС) с тем, чтобы более точно оценить прочность тела.
Исследование шероховатой краевой трещины со стёртыми неровностями в упругой
однородной пластине проведено Л. Юнгом и Й. Цай [1]. М. Хаммода, А. Файед и
Х. Салам [2] представили результаты расчета коэффициента интенсивности напряжений с
учетом влияния трения (при изменении коэффициента трения от 0 до 1) на поверхностях
наклонной трещины при одноосном сжатии пластины. Т. Врайт [3] провел анализ
показателей динамического поведения микротрещин в технической керамике с
неоднородным трением на кромках трещин в условиях знакопеременного нагружения.
Сопоставляются признаки напряженного состояния в двумерной трещиноватой среде в
зависимости от сдвига с учетом и без учета трения. К. Чао и Ю. Ванг [4] методом
граничных интегральных уравнений проанализировали сингулярность в задачах для
фрикционных трещин в двумерной теории упругости. Были выявлены сингулярности поля
напряжений в окрестности вершины сдвиговой трещины с учетом трения Кулона между
контактирующими поверхностями. В работе [5] А. В. Андреев с соавторами
смоделировали эффекты взаимодействия поверхностей трещин в упругой полуплоскости.
Предложен численный метод анализа предельного равновесия трещин произвольной
формы с взаимодействующими с трением поверхностями в двумерных упругих телах. В
работе [6] для решения контактных задач теории трещин применялся метод конечных
элементов (МКЭ).
В настоящей работе проводится численное исследование влияния сил трения между
берегами трещины на НДС в её вершине. На практике данный тип нагружения может
возникать при кручении тонкостенных труб, в длинных трубопроводах (при сварке встык
в безмоментном поперечном сечении) и некоторых других случаях эксплуатации деталей
и элементов конструкций оборудования.
Расчётная схема трещины для анализа влияния сил трения на НДС в ее вершине
должна удовлетворять ряду требований. Во-первых, должна быть предусмотрена удобная
реализация сдвигового нагружения в плоскости трещины с возможностью изменения сил
трения в широком диапазоне. Во-вторых, в вершине трещины должна быть сгенерирована
достаточно густая сетка конечных элементов, позволяющая регистрировать изменения в
НДС с высокой чувствительностью в зависимости от изменения внешних факторов.
Расчетная схема (рис. 1) представляет собой пластину 8×13.6 см с трещиной длиной 5 см,
к которой приложены сдвигающие усилия Т и сжимающие – Р. Для обеспечения
равновесия в пластине на линии продолжения трещины заданы соответствующие
граничные условия (на линии продолжения трещины перемещения в направлении оси OY
равны нулю, перемещения крайней точки этой линии на стороне пластины закреплены
также по оси OX.).
При расчётах задавались свойства модельного
материала: модуль упругости Е = 200000 МПа,
коэффициент Пуассона μ = 0.3, предел текучести
 Т  800 106 Па, – а также принята билинейная
зависимость между действующими напряжениями и
деформациями. В качестве варьируемых параметров
выступали коэффициент трения f, величины Т и Р, а
также параметр деформационного упрочнения Е1
(касательный модуль), определяющий соотношение
   Т  E1 (  Т ), (   Т )
.



E


,
(



)

Т
Дополнительно для сравнения рассмотрены
идеальная упругость, идеальная пластичность.
Решение задачи проводилось на основе метода
конечных элементов. Дискретная модель пластины
построена на базе восьмиузлового конечного
элемента (PLANE 82) со сгущением сетки в
вершине трещины для более аккуратного и точного
расчёта параметров НДС в зоне концентрации. На
прилегающих друг к другу берегах трещины
сформированы
контактные
элементы
типа
«поверхность-поверхность». В качестве свойства
контактной поверхности был задан контакт без
разделения, при этом допускается скольжение. Внешняя нагрузка прикладывается в два
этапа: на первом этапе прикладывается сжимающая нагрузка P, на втором – сдвиговая
нагрузка T. Решение проводилось в геометрически нелинейной постановке с учётом
больших перемещений. Задача рассмотрена для условий плоско деформированного и
плоско напряжённого состояний.
Для проведения анализа влияния на НДС типа напряжённого состояния,
коэффициента трения, упрочнения и величины сжимающей нагрузки для каждого
расчетного случая построены соответствующие серии графиков, а также изополя
компонент напряжений, деформаций и характеристики контактного взаимодействия.
Характер распределения напряжений и деформаций, области максимальных их
значений существенно отличаются от результатов, полученных в пределах упругости.
Величина напряжений сдвига τхy на всём продолжении длины трещины уменьшается с
увеличением коэффициента трения и коэффициента деформационного упрочнения как для
плоской деформации, так и для плоско напряженного состояния (причем влияние
коэффициента трения на уровень напряжений сдвига проявляется тем больше, чем больше
величина сжимающей нагрузки), но несущественно зависит от изменения коэффициента
трения при идеальной пластичности (Е1 = 0). Напряжения σх (σy) отличаются для разных
значений коэффициента трения на продолжении длины трещины, причем это отличие
проявляется тем больше, чем меньше Е1. Максимальное значение напряжения σхмах в
области вершины трещины увеличивается при значительном росте Е1, причём чем больше f,
тем меньше σхмах. Значение f существенно не влияет на характер распределения
интенсивности напряжений на продолжении длины трещины для различных значений
упрочнения и сжимающей нагрузки, но максимальное значение интенсивности зависит от f
при увеличении Е1. Экстремальное значение интенсивности напряжений возрастает для
плоско напряженного состояния при увеличении упрочнения, причём при малых Е1 её
величина одинакова для разных коэффициентов трения и при дальнейшем увеличении Е1 её
значение тем выше, чем больше коэффициент трения. Максимальная интенсивность
напряжений возрастает для плоской деформации при увеличении упрочнения для гладких
берегов трещины, а при повышении коэффициента трения и Е1 снижается с локальным
максимумом при малых значениях Е1.
ЛИТЕРАТУРА
1. Young Lih-Jier, Tsai Yeong-Pei A detailed study of rough edge crack with worn
asperities // Int. J. Solids and Struct. – 2000. – Vol. 37. – № 35. – P. 4783–4790.
2. Hammouda M.M.I., Fayed A.S., Sallam H.E.M. Mode II stress intensity factors for
central slant cracks with frictional surfaces in uniaxially compressed plates // Int. J. Fatigue. –
2002. – Vol. 24. – № 12. – Р. 1213–1222.
3. Wright T.W. A note on frictional release in microcracks // Int. J. Fract. – 1998. –
Vol. 91. – № 3. – Р. L37–L42.
4. Chau K.T., Wang Y.B. Singularity analysis and boundary integral equation method for
frictional crack problems in two-dimensional elasticity // Int. J. Fract. – 1998. – Vol. 90. – № 3. –
Р. 251–274.
5. Андреев А.В., Медведева Ю.В., Гольдштейн Р.В., Житников Ю.В. Моделирование
эффектов взаимодействия поверхностей трещин в упругой полуплоскости // 19 Междунар.
конф. "Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и
конечных элементов", Санкт-Петербург, 30 мая – 2 июня, 2001. – Санкт-Петербург, 2001.
– С. 36–41.
6. Fredriksson В., Billy S. Elastic contact problems in fracture mechanics // Adv. Res.
Strengh. and Fract. Mater. 4th Int. Conf. Fract., Waterloo, 1977, Vol. 3A. – New York, e.a.,
1978. – P. 427–435.